PHYSIC LESSONS: ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ

ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ

Για να απλοποιήσουμε τη μελέτη της κίνησης των σωμάτων,αντιμετωπίζουμε ως τα σώματα ως υλικά σημεία.

Υλικό σημείο ονομάζεται το σώμα που θεωρούμε ότι έχει όλες τις άλλες ιδιότητες της ύλης,εκτός από διαστάσεις.

Υλικό σημείο ονομάζεται το σώμα που θεωρούμε ότι έχει όλες τις άλλες ιδιότητες της ύλης,εκτός από διαστάσεις

Αφού το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις,έχει τη δυνατότητα να εκτελεί μόνο μεταφορικές κινήσεις.

Αφού το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις,έχει τη δυνατότητα να εκτελεί μόνο μεταφορικές κινήσεις

Η έννοια του υλικού σημείου χρησιμοποιείται καθαρά για διδακτικούς και πρακτικούς λόγους.Χρησιμοποιείται ιδιαίτερα στη μηχανική,όπου είναι πολύ ευκολότερη η μελέτη ενός υλικού σημείου συγκεκριμένης μάζας

ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ

Όμως,στην πραγματικότητα όλα τα σώματα έχουν διαστάσεις.Τα σώματα αυτά ονομάζονται στερεά.

Στερεό σώμα ονομάζεται το σώμα που έχει διαστάσεις,τις οποίες δεν μπορούμε να αγνοήσουμε.

Στερεό σώμα ονομάζεται το σώμα που έχει διαστάσεις,τις οποίες δεν μπορούμε να αγνοήσουμε

Ένα στερεό σώμα,έχοντας διαστάσεις,εκτός από μεταφορική κίνηση,μπορεί να αλλάζει προσανατολισμό στο χώρο,να εκτελεί δηλαδή περιστροφική (στροφική) ή,ακόμη,σύνθετη κίνηση,δηλαδή ταυτόχρονα μεταφορική και στροφική κίνηση.

ΜΗΧΑΝΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ

Ασκούμε δυνάμεις σε ένα στερεό σώμα.Τότε το σώμα παραμορφώνεται,λίγο ή πολύ και μόνιμα ή προσωρινά.Τα υποθετικά στερεά που δεν παραμορφώνονται όταν τους ασκούνται δυνάμεις λέγονται μηχανικά στερεά.

Μηχανικό στερεό ονομάζεται το στερεό που θεωρούμε ότι δεν παραμορφώνεται,όταν ασκούνται σ' αυτά δυνάμεις

Μηχανικό στερεό ονομάζεται το στερεό που θεωρούμε ότι δεν παραμορφώνεται,όταν ασκούνται σ' αυτά δυνάμεις.

Θα ασχοληθούμε με τη μελέτη της ισορροπίας και της κίνησης μηχανικών στερεών

Θα ασχοληθούμε με τη μελέτη της ισορροπίας και της κίνησης μηχανικών στερεών.Όταν αναφερόμαστε σε στερεό θα εννοούμε μηχανικό στερεό.

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ένα στερεό σώμα μπορεί να κάνει μεταφορική,στροφική και σύνθετη κίνηση.

Στη μεταφορική κίνηση κάθε στιγμή όλα τα σημεία του σώματος έχουν την ίδια ταχύτητα.Παράδειγμα τέτοιας κίνησης είναι η κίνηση ενός κιβωτίου που ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο.Στη μεταφορική κίνηση των στερεών ισχύουν οι νόμοι που διέπουν την κίνηση των υλικών σημείων.

Το κιβώτιο εκτελεί μεταφορική κίνηση.Στη μεταφορική κίνηση κάθε στιγμή όλα τα σημεία του σώματος έχουν την ίδια ταχύτητα

Μεταφορική μπορεί να είναι και μια καμπυλόγραμμη κίνηση.Το σώμα του σχήματος α κάνει μεταφορική κίνηση αν η ταχύτητα του σημείου Α είναι ίση με την ταχύτητα του σημείου Β.Αυτό είναι δυνατό.Όταν ένα στερεό κάνει μεταφορική κίνηση,το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο τυχαία σημεία του μετατοπίζεται παράλληλα προς τον εαυτό του.Μεταφορική είναι και η κίνηση που εκτελούν οι θαλαμίσκοι στον τροχό του λούνα πάρκ.

α) Η τροχιά κάθε σημείου είναι καμπύλη.Η κίνηση του σώματος είναι μεταφορική αφού το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ παραμένει διαρκώς παράλληλο προς τον εαυτό του.
β) Ο τροχός του λούνα πάρκ κάνει στροφική κίνηση.Ωστόσο κάθε θαλαμίσκος κάνει μεταφορική κίνηση

Στη στροφική κίνηση το σώμα αλλάζει προσανατολισμό.Στη στροφική κίνηση υπάρχει μια ευθεία-ο άξονας περιστροφής-που όλα της τα σημεία παραμένουν ακίνητα ενώ τα υπόλοιπα σημεία του σώματος κάνουν κυκλική κίνηση.

Κατάλληλο μέγεθος για να περιγράψει το πόσο γρήγορα περιστρέφεται ένα σώμα κάποια στιγμή,είναι η γωνιακή ταχύτητα ω.Η γωνιακή ταχύτητα είναι διάνυσμα πάνω στον άξονα περιστροφής.

Στο σώμα που στρέφεται,κάθε σημείο κινείται με γωνιακή ταχύτητα ω και γραμμική ταχύτητα που υπολογίζεται από τη σχέση υ=ω•r,όπου r η απόσταση του από τον άξονα περιστροφής.

Αν η γωνιακή ταχύτητα ενός σώματος που περιστρέφεται είναι σταθερή θα λέμε ότι κάνει ομαλή στροφική κίνηση.

α) Η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου αυξάνεται κατά dω. Ο δίσκος έχει γωνιακή επιτάχυνση α_γων

Ας υποθέσουμε ότι ο δίσκος τη χρονική στιγμή t1 έχει γωνιακή ταχύτητα ω1 ενώ τη χρονική στιγμή t2=t1+dt η γωνιακή του ταχύτητα γίνεται ω2=ω1+dω

Ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας του σώματος τη στιγμή t,ονομάζεται γωνιακή επιτάχυνση του σώματος.

αγων=dω/dt

Η γωνιακή επιτάχυνση έχει την κατεύθυνση του διανύσματος dω και μονάδα rad/s².

Η κύλιση του τροχού (γ) είναι επαλληλία της μεταφορικής κίνησης (α) και της στροφικής κίνησης (β).Η ταχύτητα κάθε σημείου του τροχού είναι η συνισταμένη της ταχύτητας που έχει λόγω μεταφορικής κίνησης (υcm) και της ταχύτητας λόγω περιστροφής (υ)

Όταν ένα σώμα μετακινείται στο χώρο και ταυτόχρονα αλλάζει ο προσανατολισμός του λέμε ότι κάνει σύνθετη κίνηση.Τέτοια κίνηση κάνει π.χ. ο τροχός ενός αυτοκινήτου,όταν κινείται το αυτοκίνητο.Όπως συμβαίνει και με το υπόλοιπο αυτοκίνητο,ο τροχός αλλάζει θέση στο χώρο (μεταφορική κίνηση) και ταυτόχρονα περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του.Σύνθετη κίνηση είναι και η κίνηση που κάνει μια ρακέτα αν κρατώντας τη από τη λαβή την πετάξουμε ψηλά.
Η σύνθετη κίνηση μπορεί να μελετηθεί ως επαλληλία μιας μεταφορικής και μιας στροφικής κίνησης.

Η τροχιά ενός μικρού λαμπτήρα που τοποθετήθηκε στην περιφέρεια κυλιόμενου τροχού.Το κέντρο του τροχού κινείται ευθύγραμμα

Έχουμε ένα τροχό που κυλίεται.Η κίνησή του μπορεί να θεωρηθεί ως το αποτέλεσμα της επαλληλίας μιας μεταφορικής κίνησης,στην οποία όλα τα σημεία του τροχού,κάθε στιγμή,έχουν την ίδια ταχύτητα υcm και μιας στροφικής κίνησης,γύρω από άξονα που περνάει από το κέντρο του τροχού και είναι κάθετος σ' αυτόν.Στη στροφική κίνηση όλα τα σημεία του τροχού που απέχουν το ίδιο από τον άξονα περιστροφής έχουν ταχύτητες με το ίδιο μέτρο υ,εφαπτόμενες στην κυκλική τους τροχιά.Η ταχύτητα κάθε σημείου του τροχού είναι η συνισταμένη της ταχύτητας υcm,λόγω μεταφορικής κίνησης και της υ λόγω της στροφικής.Όπως γνωρίζουμε για την ταχύτητα υ λόγω στροφικής κίνησης ισχύει υ=ω•R.Θα δούμε παρακάτω ότι ισχύει και υcm=ω•R,δηλαδή υ=υcm.

ΤΟ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

Μια έννοια που απλοποιεί τη μελέτη του στερεού σώματος είναι η έννοια του κέντρου μάζας του σώματος.

Η κίνηση ενός κλειδιού πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο μετά από μία ώθηση που δέχτηκε.Η συνολική δύναμη που ασκείται στο κλειδί είναι μηδέν.Αν το κλειδί ήταν υλικό σημείο θα έκανε ευθύγραμμη ομαλή κίνηση.Παρατηρήστε ότι υπάρχει ένα σημείο του που κάνει ακριβώς τέτοια κίνηση.Το σημείο αυτό είναι το κέντρο μάζας του κλειδιού.

Το κλειδί της φωτογραφίας κάνει σύνθετη κίνηση.Το κέντρο μάζας του όμως κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση

Κέντρο μάζας (cm) ενός στερεού σώματος ονομάζεται το σημείο εκείνο που κινείται όπως ένα υλικό σημείο με μάζα ίση με τη μάζα του σώματος,αν σε αυτό ασκούνταν όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα.

Το κέντρο μάζας ομογενών και συμμετρικών σωμάτων συμπίπτει με το κέντρο συμμετρίας τους. Π.χ. το κέντρο μάζας ενός κύβου είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του,το κέντρο μάζας μιας σφαίρας είναι το κέντρο της σφαίρας.

Το κέντρο μάζας του δίσκου κινείται όπως ένα υλικό σημείο που βάλλεται πλάγια

Το κέντρο μάζας ενός σώματος μπορεί να βρίσκεται και έξω από το σώμα.Τέτοια είναι η περίπτωση ισοπαχούς ομογενούς δακτυλίου,το κέντρο μάζας του οποίου βρίσκεται στο κέντρο του.Αν ένα σώμα βρίσκεται μέσα σε ομογενές πεδίο βαρύτητας το κέντρο μάζας του συμπίπτει με το κέντρο βάρους,το σημείο δηλαδή από το οποίο περνάει πάντα το βάρος του σώματος,όπως και να τοποθετηθεί.

Η ΚΥΛΙΣΗ ΤΟΥ ΤΡΟΧΟΥ

Ας επανέλθουμε στην κύλιση του τροχού.Κατά την κύλιση κάθε σημείο του τροχού έρχεται διαδοχικά σε επαφή με το δρόμο.Έτσι,όταν ο τροχός σε χρόνο dt μετακινηθεί κατά ds,ένα σημείο Α της περιφέρειας του θα έχει στραφεί κατά τόξο μήκους ds,στο οποίο αντιστοιχεί η επίκεντρη γωνία dθ.

Όταν το κέντρο μάζας του τροχού μετακινηθεί κατά ds, κάθε σημείο στην περιφέρεια του στρέφεται κατά το ίδιο τόξο

Η ταχύτητα υcm του κέντρου μάζας του τροχού είναι:

υcm=ds/dt

όμως dθ=ds/R ή

ds=R•dθ

αντικαθιστώντας στην σχέση υcm=ds/dt έχουμε υcm=R•dθ/dt και,επειδή dθ/dt=ω τελικά παίρνουμε:

υcm=ω•R

Έστω ένας τροχός που κυλίεται πάνω σε πλάγιο επίπεδο.Η γωνιακή ταχύτητα του τροχού αυξάνεται,δηλαδή έχει γωνιακή επιτάχυνση.

Ένας τροχός που κυλίεται πάνω σε πλάγιο επίπεδο

Το κέντρο μάζας του τροχού εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση.Αν η ταχύτητα του κέντρου μάζας του τροχού κάποια στιγμή είναι υcm,θα ισχύει:

υcm=ω•R

οπότε

dυcm/dt=dω/dτ • R

και τελικά

αcm=αγων•R

όπου:
αcm η επιτάχυνση του κέντρου μάζας και
αγων η γωνιακή επιτάχυνση περιστροφής του τροχού.

ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ασκούμε μια δύναμη σε ένα σώμα που έχει τη δυνατότητα να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα.Τότε το σώμα περιστρέφεται εκτός αν ο φορέας της δύναμης περνάει από τον άξονα περιστροφής.Από την καθημερινότητα μας γνωρίζουμε ότι η περιστροφή που προκαλεί μια δύναμη εξαρτάται όχι μόνο από την κατεύθυνση και το μέγεθος της δύναμης αλλά και από το σημείο στο οποίο ασκείται η δύναμη.
Στην πόρτα του παρακάτω σχήματος ασκούμε δύναμη F ίδιου μέτρου.Θέλουμε να διαπιστώσουμε σε ποια περίπτωση θα κλείσει ευκολότερα η πόρτα και σε ποιο σημείο της και με ποια διεύθυνση πρέπει να ασκήσουμε δύναμη.

Η ίδια δύναμη περιστρέφει την πόρτα πιο εύκολα όταν ασκείται μακριά από τον άξονα περιστροφής.Η F' που ο φορέας της διέρχεται από τον άξονα δε μπορεί να περιστρέψει το σώμα

Από την εμπειρία μας για να κλείσουμε μια πόρτα τη σπρώχνουμε κοντά στο πόμολο και όχι κοντά στον άξονα περιστροφής της,γιατί ακόμα και μικρή δύναμη μπορεί να προκαλέσει στροφή της πόρτας όταν εφαρμόζεται μακριά από τον άξονα περιστροφής.

Ασκώντας τη δύναμη στο σημείο Β,η πόρτα θα περιστραφεί ευκολότερα σε σχέση με το σημείο Α.Ασκώντας τη δύναμη στο σημείο Γ η πόρτα δε θα περιστραφεί

Πρακτικά φαίνεται ότι ασκώντας τη δύναμη στο σημείο Β,η πόρτα θα περιστραφεί ευκολότερα σε σχέση με το σημείο Α.Ασκώντας τη δύναμη στο σημείο Γ,με τον τρόπο που φαίνεται στο σχήμα,η πόρτα δε θα περιστραφεί.

Από το παράδειγμα αυτό μπορούμε να συμπεραίνουμε ότι η δύναμη δεν είναι το κατάλληλο φυσικό μέγεθος για να μελετήσουμε φαινόμενα στροφικής κίνησης ενός στερεού.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ

Κατάλληλο φυσικό μέγεθος για να περιγράψει τις μεταβολές στη στροφική κίνηση ενός στερεού,δηλαδή να του προσδώσει γωνιακή επιτάχυνση,είναι η ροπή δύναμης τ.

Ροπή τ της δύναμης ονομάζεται το μέγεθος το οποίο περιγράφει την ικανότητα μιας δύναμης να στρέφει ένα σώμα

Ροπή τ της δύναμης ονομάζεται το μέγεθος το οποίο περιγράφει την ικανότητα μιας δύναμης να στρέφει ένα σώμα.
Η ροπή δύναμης μπορεί να ορισθεί είτε για στερεό που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα,είτε για ελεύθερο στερεό (χωρίς σταθερό άξονα περιστροφής).

ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Θεωρούμε ένα σώμα,το οποίο έχει τη δυνατότητα να στρέφεται γύρω από τον άξονα z΄z.
Στο σώμα ασκείται δύναμη F,η οποία βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής και ο φορέας της απέχει από τον άξονα περιστροφής l (μοχλοβραχίονας).

ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΑ

Ροπή τ της δύναμης F,ως προς τον άξονα περιστροφής zz',ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος ,το οποίο έχει:
α) Διεύθυνση τη διεύθυνση του άξονα περιστροφής.
β) Φορά τη φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού.
γ) Μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της δύναμης F επί την κάθετη απόσταση l της δύναμης από τον άξονα περιστροφής (μοχλοβραχίονας).

τ=F∙l

όπου:
τ το μέτρο της ροπής δύναμης σε Νm.
F το μέτρο της δύναμης σε Ν.
l η κάθετη απόσταση (μοχλοβραχίονας) της δύναμης από τον άξονα περιστροφής σε m.

Ροπή τ της δύναμης F,ως προς τον άξονα περιστροφής zz',ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος ,το οποίο έχει διεύθυνση τη διεύθυνση του άξονα περιστροφής,φορά τη φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού και μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της δύναμης F επί την κάθετη απόσταση l της δύναμης από τον άξονα περιστροφής (μοχλοβραχίονας )

Για να προσδιορίσουμε τη φορά της ροπής κλείνουμε τα τέσσερα δάκτυλα του δεξιού χεριού γύρω από τον άξονα περιστροφής,έτσι ώστε να δείχνουν τη φορά κατά την οποία η δύναμη τείνει να περιστρέψει το σώμα.Ο τεντωμένος αντίχειρας δείχνει τότε τη φορά του διανύσματος της ροπής.

Η φορά της ροπής της δύναμης F βρίσκεται με τον κανόνα του δεξιού χεριού

Στο Διεθνές σύστημα SI η μονάδα μέτρησης της ροπής στο SI είναι το 1 Ν m.
Πρέπει να σημειωθεί ότι Νm≠Joule
Αν η δύναμη F δε βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής,τότε την αναλύουμε σε δύο συνιστώσες,τη συνιστώσα Fx πάνω σε επίπεδο κάθετο στον άξονα και τη συνιστώσα Fz παράλληλη προς τον άξονα.

Η ροπή της δύναμης F έχει μέτρο Fx∙l

Η ροπή της δύναμης είναι ίση με τη ροπή που δημιουργεί η συνιστώσα της που βρίσκεται πάνω στο κάθετο επίπεδο,δηλαδή έχει μέτρο:

τ=Fx∙l ή

τ=F∙l∙συνφ

Η ροπή μιας δύναμης ως προς άξονα είναι ίση με μηδέν:
α) Όταν η δύναμη ασκείται στον άξονα,
β) Όταν ο φορέας της δύναμης τέμνει τον άξονα και
γ) Όταν ο φορέας της δύναμης είναι παράλληλος προς τον άξονα.

Η ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΤΙΜΗ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ

Θα μελετήσουμε μόνο περιπτώσεις,στις οποίες όλες οι δυνάμεις που ασκούνται σ' ένα σώμα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο,το οποίο είναι κάθετο στον άξονα περιστροφής του σώματος.
Σε τέτοια προβλήματα, για να περιγράψουμε την τάση μιας δύναμης να περιστρέψει ένα σώμα προς τη μια ή την άλλη φορά,χρησιμοποιούμε την αλγεβρική τιμή της ροπής.

Για να περιγράψουμε την τάση μιας δύναμης να περιστρέψει ένα σώμα προς τη μια ή την άλλη φορά,χρησιμοποιούμε την αλγεβρική τιμή της ροπής

Κατά σύμβαση θεωρούμε θετική τη ροπή της δύναμης που τείνει να περιστρέψει το σώμα αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού και αρνητική τη ροπή της δύναμης που τείνει να το περιστρέψει κατά τη φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού.

Η ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ ΠΟΥ ΔΕΧΕΤΑΙ ΤΟ ΣΩΜΑ

Η συνολική ροπή που δέχεται ένα σώμα στο οποίο ασκούνται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις,είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων ως προς τον άξονα περιστροφής του σώματος.

τ=τ1+τ2+τ3+.........

Για παράδειγμα θέλουμε να υπολογίσουμε την συνολική ροπή που δέχεται το σώμα του παρακάτω σχήματος.Στο σώμα δρουν οι δυνάμεις F₁ και F₂.

Η συνολική ροπή που δέχεται ένα σώμα στο οποίο ασκούνται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις,είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων ως προς τον άξονα περιστροφής του σώματος

Το σώμα έχει τη δυνατότητα να στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο και είναι κάθετος στο επίπεδο της σελίδας.

Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμειςF₁ και F₂.Η φορά περιστροφής του σώματος καθορίζεται από το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών

Η συνολική ροπή που δέχεται το σώμα είναι:

τ=τ1+τ2=F1∙l1+ F2∙l2

ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ασκούμε δύναμη σ' ένα σώμα ελεύθερο να κινηθεί που ο φορέας της διέρχεται από το κέντρο μάζας του.Τότε το σώμα δεν περιστρέφεται και θα εκτελέσει μόνο μεταφορική κίνηση.Αν όμως ο φορέας της δύναμης δε διέρχεται από το κέντρο μάζας του, το σώμα θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση μια μεταφορική και μια περιστροφική γύρω από ένα νοητό άξονα (ελεύθερος άξονας) που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζεται από τη δύναμη και το κέντρο μάζας του σώματος.

Ασκούμε δύναμη σ' ένα σώμα ελεύθερο να κινηθεί που ο φορέας της διέρχεται από το κέντρο μάζας του

Μπορούμε να διαπιστώσουμε τα παραπάνω με ένα μολύβι που βρίσκεται πάνω σε ένα τραπέζι.Ωθούμε το μολύβι στο κέντρο μάζας του.Τότε το μολύβι κάνει μόνο μεταφορική κίνηση.Αν όμως ασκήσουμε δύναμη στη μια του άκρη (ο φορέας της δεν πρέπει να διέρχεται από το κέντρο μάζας του) τότε το μολύβι στρέφεται γύρω από έναν νοητό άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και ταυτόχρονα μετακινείται.Η μεταφορική κίνηση μπορεί να μην είναι εμφανής αν η τριβή ανάμεσα στο μολύβι και το τραπέζι είναι σημαντική.

ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

Στις περιπτώσεις που δεν υπάρχει σταθερός άξονας περιστροφής χρησιμοποιείται η έννοια της ροπής της δύναμης ως προς σημείο.
Ροπή τ δύναμης F ως προς σημείο Ο ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος,το οποίο έχει:
α) Διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζεται από το φορέα της δύναμης και το σημείο Ο.
β) Φορά τη φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού.
γ) Μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της δύναμης F επί την κάθε τη απόσταση l του σημείου Ο από το φορέα της δύναμης.

τ=F∙l

όπου:
τ το μέτρο της ροπής δύναμης σε Ν∙m.
F το μέτρο της δύναμης σε Ν.
l η απόσταση του φορέα της δύναμης από το σημείο Ο σε m.

Ροπή τ δύναμης F ως προς σημείο Ο ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος,το οποίο έχει διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζεται από το φορέα της δύναμης και το σημείο Ο,φορά τη φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού και μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της δύναμης F επί την κάθε τη απόσταση l του σημείου Ο από το φορέα της δύναμης

Η ροπή δύναμης ως προς σημείο είναι ίση με μηδέν:
α) Όταν η δύναμη ασκείται στο σημείο αυτό,
β) όταν ο φορέας της δύναμης διέρχεται από το σημείο αυτό και το στερεό δε στρέφεται.
Πράγματι στις δύο αυτές περιπτώσεις είναι l=0 και σύμφωνα με την σχέση τ=F∙l είναι τ=0.

Προσδιορισμός της φοράς της ροπής δύναμης ως προς σημείο με τον κανόνα του δεξιού χεριού

  Αν σ' ένα ελεύθερο στερεό ασκηθεί δύναμη που ο φορέας της δε διέρχεται από το κέντρο μάζας του,το στερεό θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση,μεταφορική και στροφική γύρω από έναν νοητό (ελεύθερο) άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του στερεού και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζεται από τη δύναμη και το κέντρο μάζας του στερεού.
Αν ένα στερεό είναι ελεύθερο,η δύναμη του βάρους δε μπορεί να το περιστρέψει,διότι ο φορέας της περνά από το κέντρο μάζας του στερεού και η ροπή βάρους είναι μηδέν (η δύναμη ασκείται στο κέντρο μάζας).

ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ

  Θέλουμε να υπολογίσουμε τη συνολική ροπή όταν σε ένα στερεό ασκούνται πολλές δυνάμεις.Η αλγεβρική τιμή της συνολικής ροπής που δέχεται ένα στερεό ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των επιμέρους ροπών:

   τ=τ1+τ2+τ3+.........

Για παράδειγμα θέλουμε να υπολογίσουμε την συνολική ροπή που δέχεται το στερεό του παρακάτω σχήματος.Στο σώμα δρουν οι δυνάμεις F₁ και F₂.

Η αλγεβρική τιμή της συνολικής ροπής που δέχεται ένα στερεό ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των επιμέρους ροπών

Οι αλγεβρικές τιμές των αντίστοιχων ροπών είναι:

τ1=-F1∙x1

τ2=+F2∙x2

Η αλγεβρική τιμή της συνολικής ροπής είναι:

τ=τ1+τ2=-F1∙x1+F2∙x2

ΡΟΠΗ ΖΕΥΓΟΥΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

Ζεύγος δυνάμεων ονομάζεται ένα σύστημα δύο σωμάτων F1 και F2,οι οποίες ασκούνται σε δύο διαφορετικά σημεία ενός σώματος,είναι αντίρροπες και έχουν ίσα μέτρα.

Ζεύγος δυνάμεων ονομάζεται ένα σύστημα δύο σωμάτων F1 και F2,οι οποίες ασκούνται σε δύο διαφορετικά σημεία ενός σώματος,είναι αντίρροπες και έχουν ίσα μέτρα

Δύο δυνάμεις αποτελούν ζεύγος δυνάμεων,όταν:

α) Ασκούνται σε δύο διαφορετικά σημεία ενός σώματος,

β) Είναι παράλληλες μεταξύ τους,

γ) Έχουν αντίθετη φορά και

δ) Έχουν ίσα μέτρα.

Παράδειγμα ζεύγους δυνάμεων είναι οι δυνάμεις F1 και F2 του παρακάτω σχήματος.

Οι δυνάμεις F1 και F2 αποτελούν ζεύγος.Η ροπή τους είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου τους

Το επίπεδο που ορίζεται από τις δύο δυνάμεις ονομάζεται επίπεδο του ζεύγους.
Η απόσταση d των δύο φορέων των δύο δυνάμεων ονομάζεται βραχίονας του ζεύγους.
  Η αλγεβρική τιμή της ροπής του ζεύγους ως προς κάποιο σημείο Α του επιπέδου του,που απέχει απόσταση x1 από τη δύναμη F1 και x2 από την F2, είναι:

τ=F1∙x1+F2∙x2

Επειδή είναι F1=F2  έχουμε:

τ=F1∙x1+F1∙x2

τ=F1∙(x1+x2)

τ=F1∙d

επομένως:

   τ=F1∙d

Το ίδιο αποτέλεσμα θα είχαμε και ως προς οποιοδήποτε άλλο σημείο.

Η αλγεβρική τιμή της ροπής του ζεύγους ως προς κάποιο σημείο Α του επιπέδου του,που απέχει απόσταση x1 από τη δύναμη F1 και x2 από την F2,είναι τ=F1∙d

Ροπή τ ενός ζεύγους δυνάμεων F1 και F2 ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος,το οποίο έχει:
α) Διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο των δύο δυνάμεων,
β) Φορά τη φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού.
γ) Μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της δύναμης F1 της μιας από τις δύο δυνάμεις επί τον βραχίονα d του ζεύγους.

τ=F1∙d

ΤΡΟΠΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ

Η ροπή μιας δύναμης μπορεί να υπολογιστεί με δύο τρόπους:
α) με χρήση του μοχλοβραχίονα:

Η ροπή μιας δύναμης μπορεί να υπολογιστεί με χρήση του μοχλοβραχίονα

Σε αυτή την περίπτωση:

τ=F∙r

β) με ανάλυση της δύναμης σε συνιστώσες:

Η ροπή μιας δύναμης μπορεί να υπολογιστεί με ανάλυση της δύναμης σε συνιστώσες

  Σε αυτή την περίπτωση:

  τ=Fx∙d

  Οι δύο περιπτώσεις είναι ισοδύναμες:

τ=Fx∙d=F∙συνφ∙d=F∙(r/d)∙d=F∙r

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

α) Το μέτρο της συνισταμένης των δύο δυνάμεων του ζεύγους είναι ίσο με μηδέν.Αυτό σημαίνει ότι ένα ζεύγος δυνάμεων δεν μπορεί να μετακινήσει ένα σώμα,αλλά μόνο να το περιστρέψει.

Το μέτρο της συνισταμένης των δύο δυνάμεων του ζεύγους είναι ίσο με μηδέν

Η περιστροφή θα πραγματοποιηθεί γύρω από τον άξονα περιστροφής του σώματος,αν υπάρχει τέτοιος άξονας,ή γύρω από νοητό άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και είναι κάθετος στο επίπεδο του ζεύγους,αν το σώμα είναι ελεύθερο να κινηθεί

β) Η σχέση τ=F1∙d,που αποδείξαμε για το σημείο Α,ισχύει και για οποιοδήποτε άλλο σημείο.

Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου τους και ως προς οποιονδήποτε άξονα περιστροφής κάθετο στο επίπεδο ζεύγους

Δηλαδή:

Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου τους και ως προς οποιονδήποτε άξονα περιστροφής κάθετο στο επίπεδο ζεύγους.

γ) Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ένα ελεύθερο διάνυσμα και μπορεί να σχεδιαστεί σε οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου του ζεύγους.

Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ένα ελεύθερο διάνυσμα και μπορεί να σχεδιαστεί σε οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου του ζεύγους

Αν,όμως,το σώμα στο οποίο ασκείται το ζεύγος έχει τη δυνατότητα να στρέφεται γύρω από έναν άξονα περιστροφής zz',κάθετο στο επίπεδο του ζεύγους,τότε η ροπή του ζεύγους έχει ως φορέα τον άξονα περιστροφής.

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Θεωρούμε ένα αρχικά ακίνητο στερεό,στο οποίο ασκούνται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις.

Αν το στερεό έχει σταθερό άξονα περιστροφής,τότε μπορεί να εκτελέσει μόνο στροφική κίνηση

Αν το στερεό έχει σταθερό άξονα περιστροφής,τότε μπορεί να εκτελέσει μόνο στροφική κίνηση.Άρα,για να ισορροπεί,αρκεί το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων ως προς τον άξονα να είναι μηδέν.

ΡΟΠΕΣ ΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

Αν το στερεό είναι ελεύθερο,τότε μπορεί να εκτελέσει και μεταφορική και στροφική κίνηση.Αν η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα είναι μηδέν,τότε το σώμα δε θα εκτελέσει μεταφορική κίνηση.

Αν υπάρχουν ροπές,το σώμα θα στραφεί

Αυτό όμως δεν εξασφαλίζει ότι δε θα στραφεί.Προφανώς,αν υπάρχουν ροπές,το σώμα θα στραφεί.Όταν η συνισταμένη των δυνάμεων είναι μηδέν,αν υπάρχουν ροπές,αυτές θα οφείλονται υποχρεωτικά σε ζεύγη δυνάμεων.

Η ροπή ενός ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια ως προς όλα τα σημεία του επιπέδου τους

Η ροπή ενός ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια ως προς όλα τα σημεία του επιπέδου τους.Άρα,για να μη στραφεί ένα σώμα,πρέπει η συνισταμένη ροπή να είναι μηδέν ως προς ένα οποιοδήποτε σημείο.Τότε θα είναι μηδέν και ως προς κάθε άλλο.

ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

Επομένως για να ισορροπεί ένα αρχικά ακίνητο στερεό σώμα στο οποίο ασκούνται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις θα πρέπει πρώτον η συνισταμένη δύναμη να είναι μηδέν και δεύτερον το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς οποιοδήποτε σημείο να είναι μηδέν:

Για να ισορροπεί ένα αρχικά ακίνητο στερεό σώμα στο οποίο ασκούνται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις θα πρέπει πρώτον η συνισταμένη δύναμη να είναι μηδέν και δεύτερον το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς οποιοδήποτε σημείο να είναι μηδέν

α) Η συνισταμένη δύναμη να είναι μηδέν:

β) Το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων,ως προς οποιοδήποτε σημείο είναι επίσης μηδέν:

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Θεωρούμε έναν τροχό ποδηλάτου και έναν τροχό αυτοκινήτου που στρέφονται γύρω από σταθερό άξονα,με την ίδια γωνιακή ταχύτητα.Οι δύο αυτοί τροχοί δε σταματούν με την ίδια ευκολία.

Τροχός αυτοκινήτου

Πρέπει να εισάγουμε ένα νέο φυσικό μέγεθος για τη μέτρηση της δυσκολίας που μεταβάλλεται η στροφική κινητική κατάσταση ενός στερεού.

Τροχός ποδηλάτου

Το νέο φυσικό μέγεθος που θα ορίσουμε είναι η ροπή αδράνειας.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

Θεωρούμε ένα στερεό το οποίο περιστρέφεται γύρω από το σταθερό άξονα zz',όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.Χωρίζουμε το στερεό σε στοιχειώδη τμήματα με μάζες m1,m2....

Το στερεό μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται από στοιχειώδη τμήματα

Οι μάζες m1,m2....κινούνται κυκλικά γύρω από τον άξονα,σε κύκλους ακτίνων r1,r2 ....Τα στοιχειώδη τμήματα είναι τόσο μικρά,ώστε να θεωρούνται υλικά σημεία.

Ροπή αδράνειας Ι ενός στερεού ως προς κάποιο άξονα ονομάζεται το άθροισμα των γινομένων των στοιχειωδών μαζών από τις οποίες αποτελείται το σώμα επί τα τετράγωνα των αποστάσεων τους από τον άξονα περιστροφής

Ι=m•r1²+m•r2²+.......

όπου:
Ι η ροπή αδράνειας στερεού ως προς τον άξονα περιστροφής zz' σε kg•m².
m1, m2.... οι στοιχειώδεις μάζες που αποτελούν το στερεό σε kg.
r1,r2.... οι αντίστοιχες αποστάσεις από τον άξονα περιστροφής zz' σε m.

Αγώνας δρόμου διάφορων σωμάτων με διαφορετική ροπή αδράνειας

Η ροπή αδράνειας είναι μονόμετρο μέγεθος.
Η ροπή αδράνειας στο σύστημα S.I. έχει μονάδα το μέτρησης 1 kg•m².

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

Επίσης η ροπή αδράνειας είναι πάντα θετική ή μηδέν.
Η φυσική της σημασία είναι ότι προσδιορίζει την αδράνεια στη στροφική κίνηση ενός στερεού.

Η φυσική σημασία της ροπής αδράνειας είναι ότι προσδιορίζει την αδράνεια στη στροφική κίνηση ενός στερεού

H ροπή αδράνειας ενός σώματος δεν εξαρτάται μόνο από τη μάζα του σώματος αλλά και από την κατανομή της μάζας γύρω από τον άξονα περιστροφής.

H ροπή αδράνειας ενός σώματος δεν εξαρτάται μόνο από τη μάζα του σώματος αλλά και από την κατανομή της μάζας γύρω από τον άξονα περιστροφής

Η ροπή αδράνειας έχει αντίστοιχο μέγεθος στη μεταφορική κίνηση τη μάζα.
Σε αντίθεση με τη μάζα M που για ένα στερεό έχει μια μοναδική τιμή,η ροπή αδράνειας I ενός στερεού παίρνει διαφορετική τιμή για κάθε διαφορετικό άξονα περιστροφής του.

Η ροπή αδράνειας I ενός στερεού παίρνει διαφορετική τιμή για κάθε διαφορετικό άξονα περιστροφής του

Ο υπολογισμός της ροπής αδράνειας ενός σώματος είναι γενικά δύσκολος,γιατί απαιτεί τον υπολογισμό του αθροίσματος μιας άπειρης σειράς γινομένων m•r1²,που το καθένα έχει διαφορετική τιμή.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕ ΤΙΣ ΡΟΠΕΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΑ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

Στον παραπάνω πίνακα δίνονται οι ροπές αδράνειας μερικών σωμάτων ως προς έναν από τους άπειρους άξονες που διέρχονται από το κέντρο μάζας τους.Ο συγκεκριμένος άξονας για κάθε σώμα εικονίζεται στο σχήμα.

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ

Από τον ορισμό της ροπής αδράνειας προκύπτει ότι η ροπή αδράνειας ενός υλικού σημείου μάζας m,το οποίο κινείται κυκλικά σε κύκλο ακτίνας r,ως προς τον άξονα zz' που διέρχεται από το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και είναι κάθετος στο επίπεδο της,δίνεται από την σχέση:

Ι=m•r²

ΘΕΩΡΗΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΑΞΟΝΩΝ

Θέλουμε να συσχετίσουμε τη ροπή αδράνειας Icm ενός σώματος ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και της ροπής αδράνειας Ip ως προς οποιοδήποτε άλλο άξονα ρ,παράλληλο με τον πρώτο σε απόσταση d από αυτόν.

Το θεώρημα παραλλήλων αξόνων δίνει τη ροπή αδράνειας ως προς τυχαίο άξονα που απέχει απόσταση d από το κέντρο μάζας

Αν Icm η ροπή αδράνειας ενός σώματος μάζας Μ,ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας,η ροπή αδράνειάς του ως προς ένα άξονα που είναι παράλληλος και απέχει απόσταση d από τον πρώτο είναι ίση με το άθροισμα της ροπής αδράνειας ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και του γινομένου της μάζας του σώματος επί το τετράγωνο της απόστασης d.

Ip=Icm+M•d²
όπου:
Icm η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο μάζας σε kg•m².
Ip η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς άξονα περιστροφής που απέχει απόσταση d από τον άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο μάζας και είναι παράλληλος σ' αυτόν σε kg•m².
Μ η μάζα του στερεού σε kg.
d η απόσταση μεταξύ των παραλλήλων αξόνων σε m.

Η σχέση αυτή είναι γνωστή ως το θεώρημα παραλλήλων αξόνων ή θεώρημα Steiner (Στάινερ).

Το θεώρημα παραλλήλων αξόνων ή θεώρημα Steiner

Από τη σχέση φαίνεται ότι η ροπή αδράνειας ενός σώματος ως προς άξονες παράλληλους μεταξύ τους,παίρνει την ελάχιστη τιμή της για τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος.Δηλαδή:

Ip(min)=Icm

ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Γνωρίζουμε ότι στην περίπτωση ενός υλικού σημείου,για να μεταβληθεί η ταχύτητά του,πρέπει να ασκηθεί σε αυτό δύναμη.Η σχέση ανάμεσα στην αιτία(δύναμη) και το αποτέλεσμα(επιτάχυνση) είναι:

Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή ως θεμελιώδης νόμος της μηχανικής.

Ένας αντίστοιχος νόμος ισχύει στη στροφική κίνηση των στερεών σωμάτων.

Για να μεταβληθεί η γωνιακή ταχύτητα ενός σώματος που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα πρέπει να ασκηθεί σ' αυτό ροπή

Σύμφωνα με αυτόν,για να μεταβληθεί η γωνιακή ταχύτητα ενός σώματος που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα πρέπει να ασκηθεί σ' αυτό ροπή.

ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Η σχέση ανάμεσα στην αιτία (ροπή) και το αποτέλεσμα (γωνιακή επιτάχυνση) είναι:

Στ=Ι•αγων

όπου:

Στ το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που δρουν στο στερεό ως προς το σταθερό άξονα περιστροφής σε Νm.
αγων η γωνιακή επιτάχυνση,ίδια για κάθε σημείο του στερεού,σε rad/s.
Ι η ροπή αδράνειας στερεού ως προς το σταθερό άξονα περιστροφής σε Kg•m².
Τα διανύσματα Στ και αγων είναι ομόρροπα.

Το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που δρουν πάνω σε ένα στερεό σώμα,το οποίο περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα,είναι ίσο με το γινόμενο της ροπής αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής και της γωνιακής επιτάχυνσης του σώματος

Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή ως ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης,ο οποίος διατυπώνεται ως εξής:

ΦΥΣΙΚΗ ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

Έστω Ι η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος,το οποίο περιστρέφεται γύρω από ένα συγκεκριμένο σταθερό άξονα zz'.Από τη σχέση Στ=Ι•αγων φαίνεται ότι,για μια ορισμένη τιμή του μέτρου της ροπής Στ,όσο μεγαλύτερη είναι η ροπή αδράνειας Ι του σώματος,τόσο μικρότερο είναι το μέτρο α της γωνιακής επιτάχυνσης που αποκτά το σώμα.Με άλλα λόγια,όσο μεγαλύτερη είναι η ροπή αδράνειας ενός σώματος,τόσο πιο δύσκολα αλλάζει η περιστροφική κατάσταση του σώματος.

Το σώμα Σ,μέσω του σκοινιού,ασκεί ροπή στον άξονα περιστροφής με αποτέλεσμα η γωνιακή ταχύτητα των μαζών m να αυξάνεται

Η ροπή αδράνειας εκφράζει στην περιστροφική κίνηση,ότι εκφράζει η μάζα στη μεταφορική κίνηση,δηλαδή την αδράνεια του σώματος στη στροφική κίνηση.Πιο συγκεκριμένα:
α) Η μάζα εκφράζει στη μεταφορική κίνηση την αντίδραση που προβάλλει ένα σώμα σε κάθε μεταβολή της ταχύτητας του.
β) Η ροπή αδράνειας εκφράζει στην περιστροφική κίνηση την αντίδραση που προβάλλει ένα στερεό σώμα σε κάθε μεταβολή της γωνιακής του συχνότητας.

Η ροπή αδράνειας εκφράζει στην περιστροφική κίνηση την αντίδραση που προβάλλει ένα στερεό σώμα σε κάθε μεταβολή της γωνιακής του συχνότητας

Πρέπει να τονίσουμε,ότι αντίθετα με τη μάζα ενός σώματος που είναι σταθερό μέγεθος,η ροπή αδράνειας δεν είναι μονοσήμαντη ιδιότητα του σώματος.Εξαρτάται κάθε φορά από τη θέση του άξονα περιστροφής.

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ Στ=Ι•αγων

α) Θέτοντας στη σχέση αυτή Στ=0,παίρνουμε α=0.Δηλαδή,αν το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν,τότε η γωνιακή επιτάχυνση του σώματος είναι μηδέν και επομένως η γωνιακή του ταχύτητα διατηρείται σταθερή.Αυτό σημαίνει ότι,αν το σώμα δεν στρέφεται,δηλαδή ω=0,θα εξακολουθήσει να μην στρέφεται,ενώ αν στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω,θα εξακολουθήσει να στρέφεται με τη σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω.
Το συμπέρασμα αυτό ονομάζεται αρχή της αδράνειας στην στροφική κίνηση.
β) Θέτοντας στη σχέση αυτή Στ=σταθ.,παίρνουμε α=σταθ.

Αν σε ένα σώμα που έχει την δυνατότητα να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής ασκείται σταθερή συνισταμένη ροπή,το σώμα στρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση

Αυτό σημαίνει ότι,αν σε ένα σώμα που έχει την δυνατότητα να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής ασκείται σταθερή συνισταμένη ροπή,το σώμα στρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση,δηλαδή εκτελεί ομαλά μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση.

ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ

Ως τώρα αναφερθήκαμε σε στροφικές κινήσεις γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής.Τα συμπεράσματά μας για την κίνηση αυτή μπορούν να επεκταθούν και στις περιπτώσεις που ο άξονας περιστροφής μετατοπίζεται.Αυτό συμβαίνει στις σύνθετες κινήσεις,στις οποίες το σώμα κάνει ταυτόχρονα μεταφορική και στροφική κίνηση,όπως στην κίνηση ενός τροχού που κυλάει.

Ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης ισχύει και στις περιπτώσεις που ο άξονας περιστροφής μετατοπίζεται

Ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης ισχύει και στις περιπτώσεις που ο άξονας περιστροφής μετατοπίζεται,αρκεί αυτός:
α) να διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος,
β) να είναι άξονας συμμετρίας και
γ) να μην αλλάζει κατεύθυνση κατά τη διάρκεια της κίνησης.

Η ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΣΧΕΣΗ Στ=Ι•αγων

Η σχέση Στ=Ι•αγων γενικά δεν ισχύει διανυσματικά.Η διανυσματική σχέση του θεμελιώδη νόμου της στροφικής κίνησης είναι:

Για να ισχύει διανυσματικά, πρέπει η ροπή αδράνειας Ι του σώματος να είναι σταθερή και ο άξονας περιστροφής του σώματος:
α) να έχει σταθερή θέση και σταθερή διεύθυνση ή
β) να διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και να έχει σταθερή διεύθυνση.

ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η ορμή αποδείχτηκε μέγεθος ιδιαίτερα χρήσιμο για την περιγραφή της μεταφορικής κίνησης των στερεών.Το αντίστοιχο της ορμής του στερεού στη στροφική κίνηση το ονομάζουμε στροφορμή.

Η στροφορμή ενός υλικού σημείου που κάνει κυκλική κίνηση

Θα ορίσουμε πρώτα τη στροφορμή ενός υλικού σημείου που κάνει κυκλική κίνηση,στη συνέχεια θα ορίσουμε τη στροφορμή στερεού σώματος και,τέλος, τη στροφορμή συστήματος σωμάτων.

Α) ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ

Έστω ένα υλικό σημείο μάζας m και ορμής ρ που κινείται σε περιφέρεια κύκλου ακτίνας r.

Το υλικό σημείο μάζας m κινείται κυκλικά. Η στροφορμή του είναι κάθετη στο επίπεδο της τροχιάς του

Ονομάζουμε στροφορμή του υλικού σημείου ως προς ένα άξονα z΄z που διέρχεται από το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και είναι κάθετος στο επίπεδο της το διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο

l=p·r ή

L=m·υ·r

διεύθυνση αυτή του άξονας z'z και φορά του καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού.
Μονάδα στροφορμής είναι το 1 kg·m²/s.

Β) ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

Έστω το στερεό που περιστρέφεται γύρω από το σταθερό άξονα z΄z με γωνιακή ταχύτητα ω.Κατά την περιστροφή του σώματος τα διάφορα σημεία του διαγράφουν κυκλικές τροχιές τα επίπεδα των οποίων είναι κάθετα στον άξονα περιστροφής.Όλα τα σημεία περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω,η γραμμική ταχύτητά τους όμως είναι διαφορετική,και μάλιστα ανάλογη με την απόσταση τους από τον άξονα περιστροφής.Χωρίζουμε το σώμα σε στοιχειώδη τμήματα,με μάζες m1,m2 . . .. ,τόσο μικρά ώστε καθένα από αυτά να μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο.

Το στερεό μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται από στοιχειώδη τμήματα με μάζες m₁ m₂ ...Κάθε μάζα εκτελεί κυκλική κίνηση γύρω από τον άξονα περιστροφής

Οι στροφορμές των στοιχειωδών αυτών μαζών έχουν όλες την ίδια κατεύθυνση και μέτρα:

L₁=m₁·υ₁·r₁,L₂=m·₂υ₂·r₂....

Η στροφορμή του σώματος είναι το άθροισμα των στροφορμών των υλικών σημείων που το αποτελούν.

L=m1·υ1·r1+m2·υ2·r2

Επειδή τα υλικά σημεία m1,m2...κάνουν κυκλική κίνηση οι ταχύτητές τους υ1,υ2 ...μπορούν να γραφούν υ1=ω·r1,υ1=ω·r1 κ. ο. κ. οπότε:

L=m1·ω·r1²+m2·ω·r2²+........=ω·(m1·r1²+m2·r2²+.........)

όμως:

m1·r1²+m2·r2²+........=Ι

επομένως:

Η στροφορμή ενός στερεού σώματος που περιστρέφεται γύρω από άξονα ισούται με:

L=Ι·ω

έχει τη διεύθυνση του άξονα και η φορά της ορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού.

H σχέση ανάμεσα στη δύναμη (F),στη ροπή (τ) και στις ορμή και στροφορμή (p and L) σε ένα περιστρεφόμενο σύστημα

Τη στροφορμή που σχετίζεται με την περιστροφική κίνηση ενός σώματος γύρω από άξονά που περνάει από το κέντρο μάζας του συχνά την ονομάζουμε σπιν,για να τη διακρίνουμε από τη στροφορμή που μπορεί να έχει το σώμα λόγω άλλης κίνησης.

Στροφορμή μερικών σωμάτων

Τροχιακή κίνηση της Γης	2,7x10⁴⁰ kg·m²/s
Περιστροφή της Γης	5,8x10³³ kg·m²/s
Τροχός αυτοκινήτου (u=90 km/h)	10² kg·m²/s
Δίσκος πικ-απ (33 στροφές ανά min)	6x10^-3 kg·m²/s
Τροχιακή κίνηση ηλεκτρονίου	1,05x10^-35 kg·m²/s
Σπιν ηλεκτρονίου	0,53x10^-34 kg·m²/s

Για παράδειγμα,η Γη έχει σπιν εξαιτίας της περιστροφής της γύρω από τον άξονά της και στροφορμή εξαιτίας της κίνησής της γύρω από τον Ήλιο,δηλαδή της τροχιακής της κίνησης.

Ο κώνος του σχήματος περιστρέφεται γύρω από τον άξονα z'z με γωνιακή ταχύτητα ω.Η στροφορμή του σώματος είναι Ι·ω,βρίσκεται πάνω στον άξονα και η φορά της δίνεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού

Τα στοιχειώδη σωματίδια-ηλεκτρόνια,πρωτόνια και νετρόνια-έχουν σπιν μέτρου 0,53×10^-34J·s.
Αυτή η στροφορμή σπιν συνήθως εκφράζεται ως:

1/2h

όπου:
h=0,53x10^-34J (προφέρεται έιτς μπάρ) και είναι μια θεμελιώδης ποσότητα στροφορμής που εμφανίζεται συχνά στη κβαντική φυσική.

Γ) ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

Σε ένα σύστημα σωμάτων, στροφορμή ονομάζεται το διανυσματικό άθροισμα των στροφορμών των σωμάτων που απαρτίζουν το σύστημα.Εάν δηλαδή οι στροφορμές των σωμάτων του συστήματος είναι L1, L2, ..,η στροφορμή L του συστήματος είναι:

L=L1+L2+.....

ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΘΕΜΕΛΙΩΔΟΥΣ ΝΟΜΟΥ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Από τη σχέση L=Ι·ω προκύπτει ότι αν σε απειροστά μικρό χρόνο dt η γωνιακή ταχύτητα του στερεού μεταβληθεί κατά dω,η στροφορμή του θα μεταβληθεί κατά dL=Ι·dω.

Από τη σχέση αυτή προκύπτει:

dL/dt=Ι·dω/dt=I·α.

και εξαιτίας της Στ=Ι·αγων έχουμε:

Στ=dL/dt

Επομένως το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που δρουν σε ένα στερεό που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα,είναι ίσο με την αλγεβρική τιμή του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του.

Η σχέση αυτή είναι για τη στροφική κίνηση το ανάλογο του δεύτερου νόμου του Newton.

Ο νόμος αυτός ισχύει και σε σύστημα σωμάτων.Σε ένα σύστημα σωμάτων,το αλγεβρικό άθροισμα όλων των ροπών, δηλαδή των ροπών που οφείλονται στις εξωτερικές δυνάμεις καθώς και εκείνων που οφείλονται στις εσωτερικές δυνάμεις,είναι ίσο με το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του συστήματος.

Η ολική ροπή των εσωτερικών δυνάμεων είναι μηδενική.Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Newton οι εσωτερικές δυνάμεις απαντούν κατά ζεύγη (δράση-αντίδραση).Σε κάθε τέτοιο ζεύγος οι δυνάμεις είναι αντίθετες.Η ροπή κάθε τέτοιου ζεύγους ως προς οποιοδήποτε σημείο είναι μηδενική και επομένως το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών όλων των εσωτερικών δυνάμεων να είναι μηδέν.
Έτσι η σχέση Στ=dL/dt για σύστημα σωμάτων γράφεται:

Στεξ=dL/dt

όπου:
τεξ η ροπή μιας εξωτερικής δύναμης και
L η στροφορμή του συστήματος.

ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Γνωρίζουμε ότι στη μεταφορική κίνηση ισχύει ο νόμο διατήρησης της ορμής.Στη στροφική κίνηση ισχύει ένας ανάλογος νόμος διατήρησης.Το μέγεθος που διατηρείται στη στροφική κίνηση είναι η στροφορμή.

Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ ΣΕ ΕΝΑ ΣΩΜΑ

Θεωρούμε ότι σε ένα σώμα το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν.Έτσι στη σχέση Στ=dL/dt θέτουμε Στ=0.Τότε προκύπτει ότι:

dL/dt=0     ή

dL=0     ή

L=σταθ.

  Η στροφορμή του σώματος παραμένει σταθερή.

Αν το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων που δρουν σε ένα στερεό σώμα,ως προς κάποιον άξονα,είναι μηδέν,η στροφορμή του σώματος,ως προς τον ίδιο άξονα,παραμένει σταθερή

Δηλαδή:

Αν το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων που δρουν σε ένα στερεό σώμα,ως προς κάποιον άξονα,είναι μηδέν,η στροφορμή του σώματος,ως προς τον ίδιο άξονα,παραμένει σταθερή.

Για παράδειγμα,κατά την περιστροφή της Γης γύρω από τον άξονα της (ιδιοπεριστροφή),η στροφορμή της Γης παραμένει σταθερή,γιατί η ελκτική δύναμη που δέχεται από τον Ήλιο δε δημιουργεί ροπή,αφού ο φορέας της διέρχεται από το κέντρο μάζας της.

Η στροφορμή της Γης διατηρείται σταθερή,λόγω της ιδιοπεριστροφής της

Άρα η χρονική διάρκεια περιστροφής της Γης γύρω από τον εαυτό της παραμένει σταθερή,δηλαδή 24 ώρες.

Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΩΜΑΤΩΝ

Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα για τη στροφική κίνηση,στην περίπτωση συστήματος σωμάτων,έχει τη μορφή:

Στεξ=dL/dt

Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι αν το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των εξωτερικών δυνάμεων στο σύστημα είναι μηδέν,η στροφορμή του συστήματος διατηρείται σταθερή.

Αν η συνολική εξωτερική ροπή σε ένα σύστημα σωμάτων,ως προς κάποιον άξονα είναι μηδέν,η ολική στροφορμή του συστήματος,ως προς τον ίδιο άξονα,παραμένει σταθερή

  Η πρόταση αυτή είναι γνωστή ως αρχή της διατήρησης της στροφορμής.
Έτσι από την σχέση Στεξ=dL/dt προκύπτει ότι,αν είναι Στεξ=0,τότε είναι:

dL/dt=0     ή

dL=0     ή

L=σταθ.

Το συμπέρασμα αυτό διατυπώνεται ως εξής:

  Αν η συνολική εξωτερική ροπή σε ένα σύστημα σωμάτων,ως προς κάποιον άξονα είναι μηδέν,η ολική στροφορμή του συστήματος,ως προς τον ίδιο άξονα,παραμένει σταθερή.

Η πρόταση αυτή είναι γνωστή ως αρχή της διατήρησης της στροφορμής.

Η αρχή της διατήρησης της στροφορμής σε σύστημα δύο σωμάτων

Η αρχή αυτή είναι μια πολύ σημαντική και σπουδαία αρχή της Φυσικής.

Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ ΚΑΙ Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

Αν σε ένα σύστημα σωμάτων δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις,η στροφορμή του συστήματος διατηρείται.Αυτό,όμως,δεν σημαίνει ότι θα διατηρείται οπωσδήποτε και η μηχανική ενέργεια του συστήματος.Αυτό συμβαίνει γιατί οι εσωτερικές δυνάμεις μπορεί να έχουν συνισταμένη μηδέν,αυτές ή οι ροπές τους,είναι όμως δυνατό να παράγουν συνολικά έργο.

Μπορεί μεταξύ δύο σωμάτων του συστήματος να αναπτύσσεται τριβή,εσωτερική δύναμη και ένα μέρος της μηχανικής ενέργειας του συστήματος να μετατρέπεται εξαιτίας της σε θερμική ενέργεια,οπότε η μηχανική ενέργεια του συστήματος δε διατηρείται

Για παράδειγμα,μπορεί μεταξύ δύο σωμάτων του συστήματος να αναπτύσσεται τριβή,εσωτερική δύναμη και ένα μέρος της μηχανικής ενέργειας του συστήματος να μετατρέπεται εξαιτίας της σε θερμική ενέργεια,οπότε η μηχανική ενέργεια του συστήματος δε διατηρείται.

ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ

Θεωρούμε ότι το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν σε ένα περιστρεφόμενο σώμα είναι μηδέν.Αν,λόγω ανακατανομής της μάζας,εξαιτίας εσωτερικών δυνάμεων,μεταβληθεί η ροπή αδράνειας ενός σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής του,τότε μεταβάλλεται και η γωνιακή του ταχύτητα,αλλά η στροφορμή του διατηρείται σταθερή.

Αν το σώμα στρέφεται γύρω από έναν ακλόνητο άξονα περιστροφής ή γύρω από ένα νοητό άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και μετατοπίζεται παράλληλα προς τον εαυτό του,τότε μπορούμε να γράψουμε:

Lαρχ=Lτελ

Αν Ι1 είναι η αρχική ροπή αδράνειας και ω1 είναι το μέτρο της αρχικής γωνιακής ταχύτητας του σώματος και Ι2 είναι η τελική ροπή αδράνειας και ω2 είναι το μέτρο της τελικής γωνιακής ταχύτητας του σώματος,τότε η σχέση Lαρχ=Lτελ γράφεται:

Ι1•ω1=Ι2•ω2

Από αυτήν την σχέση προκύπτει ότι,όταν μεταβάλλεται η ροπή αδράνειας του σώματος από Ι1 σε Ι2,τότε μεταβάλλεται το μέτρο της γωνιακής του ταχύτητας από ω1 σε ω2.Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να έχουμε γωνιακή επιτάχυνση ενός σώματος,α≠0,ακόμα και αν το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των εξωτερικών δυνάμεων είναι μηδέν(Στεξ=0).

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Τα παραδείγματα φαινομένων στα οποία διατηρείται η στροφορμή είναι πολλά.Μερικά από αυτά είναι τα παρακάτω.

ΑΘΛΗΤΗΣ ΚΑΛΛΙΤΕΧΝΙΚΟΥ ΠΑΤΙΝΑΖ

Μια αθλήτρια του καλλιτεχνικού πατινάζ,που στριφογυρίζει στο παγοδρόμιο.

Μια αθλήτρια του καλλιτεχνικού πατινάζ,που στριφογυρίζει στο παγοδρόμιο

Όταν η αθλήτρια,που περιστρέφεται,θέλει να περιστραφεί γρηγορότερα,συμπτύσσει τα χέρια και τα πόδια της,ώστε να αυξήσει τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της,αφού μειώνεται η ροπή αδράνειας λόγω εσωτερικών δυνάμεων.

Η αθλήτρια συμπτύσσει τα χέρια και τα πόδια της,ώστε να αυξήσει τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της,αφού μειώνεται η ροπή αδράνειας λόγω εσωτερικών δυνάμεων

Πράγματι,αν η τριβή των παγοπέδιλων με τον πάγο θεωρηθεί αμελητέα,οι εξωτερικές δυνάμεις,όπως το βάρος και η δύναμη που δέχεται από το έδαφος,δε δημιουργούν ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής της,οπότε η στροφορμή της διατηρείται,δηλαδή το γινόμενο Ι•ω παραμένει σταθερό.

Η ροπή αδράνειας μειώνεται,οπότε,αφού το γινόμενο Ι•ω μένει σταθερό,αυξάνεται η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της

Συμπτύσσοντας τα χέρια και τα πόδια της η ροπή αδράνειας μειώνεται,οπότε, αφού το γινόμενο Ι•ω μένει σταθερό,αυξάνεται η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της.
Άρα:

Ι1•ω1=Ι2•ω2    ή

ω2=Ι1/Ι2 • ω1

  Επειδή η σύμπτυξη των χεριών μειώνει τη ροπή αδράνειας του χορευτή έχουμε:

Ι2<Ι1

επομένως:

ω2>ω1

ΑΘΛΗΤΗΣ ΚΑΤΑΔΥΣΕΩΝ

   Ένας αθλητής καταδύσεων,καθώς περιστρέφεται στον αέρα,θέλοντας να κάνει πολλές στροφές στον αέρα,συμπτύσσει τα χέρια και τα πόδια του.

Ένας αθλητής καταδύσεων,καθώς περιστρέφεται στον αέρα,θέλοντας να κάνει πολλές στροφές στον αέρα,συμπτύσσει τα χέρια και τα πόδια του

Με τη σύμπτυξη των άκρων μειώνεται η ροπή αδράνειας και κατά συνέπεια αυξάνεται η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής.

Με τη σύμπτυξη των άκρων έχουμε αύξηση της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της

Επειδή η μόνη εξωτερική δύναμη είναι το βάρος,το οποίο δε δημιουργεί ροπή,αφού διέρχεται από το κέντρο μάζας,η στροφορμή διατηρείται.

Με τη σύμπτυξη των άκρων μειώνεται η ροπή αδράνειας της καταδύτριας με συνέπεια την αύξηση της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της

Άρα:

Ι1•ω1=Ι2•ω2 ή

ω2=Ι1/Ι2 • ω1

και επειδή Ι2<Ι1 έχουμε:

ω2>ω1

Με την τεχνική αυτή,μια κατάδυση μπορεί να γίνει πολύ θεαματική.

ΑΣΤΕΡΕΣ ΝΕΤΡΟΝΙΩΝ

Από την αστρονομία γνωρίζουμε ότι τα αστέρια τα οποία στο τελευταίο στάδιο της ζωής τους έχουν μάζα από 1,4 έως 2,5 φορές τη μάζα του Ήλιου,μετατρέπονται σε αστέρες νετρονίων ή pulsars.

Αστέρας νετρονίων ονομάζεται ένα είδος αστρικού κατάλοιπου που μπορεί να προκύψει από τη βαρυτική κατάρρευση ενός αστέρα μεγάλης μάζας μετά από μία έκρηξη υπερκαινοφανούς τύπου II,και ίσως τύπων Ia και Ib.Τέτοιος αστέρας αποτελείται σχεδόν εξ ολοκλήρου από νετρόνια

Τα απομονωμένα αστέρια αυτά,όταν εξαντλήσουν τις πηγές ενέργειας που διαθέτουν,συρρικνώνονται λόγω της βαρύτητας μέχρις ότου η πυρήνες των ατόμων τους αρχίσουν να εφάπτονται, με αποτέλεσμα η ακτίνα ενός τέτοιου αστεριού να είναι μόνο 15-20 km.

Οι αστέρες νετρονίων όταν εξαντλήσουν τις πηγές ενέργειας που διαθέτουν,συρρικνώνονται λόγω της βαρύτητας μέχρις ότου η πυρήνες των ατόμων τους αρχίσουν να εφάπτονται, με αποτέλεσμα η ακτίνα ενός τέτοιου αστεριού να είναι μόνο 15-20 km

Επειδή η συρρίκνωση οφείλεται σε εσωτερικές δυνάμεις η στροφορμή διατηρείται σταθερή και επειδή η ροπή αδράνειας του αστεριού μειώνεται δραματικά,έχουμε μια αντίστοιχη αύξηση της ταχύτητας περιστροφής.Oι ασκούμενες δυνάμεις είναι εσωτερικές, επομένως διατηρείται η στροφορμή τους.
Έτσι ισχύει:

Ι1•ω1=Ι2•ω2

ω2=Ι1/Ι2•ω1

2•π•f2=Ι1/Ι2•2•π•f1

f2=Ι1/Ι2•f1

και επειδή Ι2<Ι1 έχουμε:

f2>f1

Υπολογίζεται ότι ένας αστέρας νετρονίων περιστρέφεται με περίοδο 1/3000 s.

Υπολογίζεται ότι ένας αστέρας νετρονίων περιστρέφεται με περίοδο 1/3000 s

Για σύγκριση,να αναφέρουμε ότι η περίοδος περιστροφής του Ήλιου είναι 25 μέρες.

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΩΜΑΤΟΣ ΛΟΓΩ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Θεωρούμε ένα στερεό σώμα που εκτελεί μεταφορική κίνηση με ταχύτητα υ.Για να υπολογίσουμε την κινητική ενέργεια του σώματος,το χωρίζουμε σε στοιχειώδεις μάζες m1,m2,...,mν που λόγω της μεταφορικής κίνησης,έχουν όλες την ίδια ταχύτητα υ.

Θεωρούμε ένα στερεό σώμα που εκτελεί μεταφορική κίνηση με ταχύτητα υ

Η κινητική ενέργεια του σώματος είναι ίση με το άθροισμα των επιμέρους κινητικών ενεργειών των μαζών από τα οποία αποτελείται.Δηλαδή:

Κ=Κ1+Κ2+...+Κν    ή

Κ=1/2•m1•υ²+1/2•m2•υ²+...+1/2•mν•υ²   ή

Κ=1/2•(m1+m2+...+mν)•υ² ή

Όμως ισχύει:

m1+m2+...+mν=Μ

   Άρα η τελευταία σχέση γράφεται:

   Κ=1/2•Μ•υ²

όπου:
Μ η μάζα του στερεού σώματος,
υ η ταχύτητα του στερεού σώματος.

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΩΜΑΤΟΣ ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ

  Θεωρούμε ένα σώμα που στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω,γύρω από τον άξονα z'z,όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.Για να υπολογίσουμε την κινητική ενέργεια του σώματος,το χωρίζουμε σε στοιχειώδεις μάζες m1,m2...mν,οι οποίες απέχουν αποστάσεις r1,r2,...rν,αντίστοιχα,από τον άξονα περιστροφής.

Η κινητική ενέργεια του σώματος είναι το άθροισμα των ενεργειών των στοιχειωδών μαζών από τις οποίες αποτελείται

Οι μάζες αυτές έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω και γραμμικές ταχύτητες που δίνονται από τις σχέσεις:

υ1=ω•r1,υ2=ω•r2,...,υν=ω•rν

Η κινητική ενέργεια του σώματος είναι ίση με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των μαζών από τις οποίες αποτελείται.Δηλαδή:

Κ=Κ1+Κ2+...+Κν ή

K=1/2•m1•υ1²+1/2•m2•υ2²+...1/2•mν•υν²ή

K=1/2•m1•ω²•r1²+1/2•m2•ω²•r2²+...1/2•mν•ω²•rν² ή

Κ=1/2•(m1•r1²+m2•r2²+...mν•rν²)•ω²

Όμως ισχύει:

m1•r1²+m2•r2²+...mν•rν²=Ι

Επομένως:

Κ=1/2•Ι•ω²

όπου:
Ι η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς άξονα zz',
ω η γωνιακή ταχύτητα του σώματος ως προς άξονα z'z.
Η σχέση αυτή αποτελεί τη μαθηματική έκφραση της κινητικής ενέργειας ενός στερεού σώματος που στρέφεται.

H μαθηματική έκφραση της κινητικής ενέργειας ενός στερεού σώματος που στρέφεται

Πρέπει να τονίσουμε ότι η ενέργεια αυτή δεν είναι μια νέα μορφή ενέργειας.
Τα μεγέθη Ι και ω της στροφικής κίνησης αντιστοιχούν στα μεγέθη Μ και υ,και ο τύπος Κ=1/2•Ι•ω² της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής αντιστοιχεί στον τύπο Κ=1/2•Μ•υ² της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφοράς.

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Αν το σώμα εκτελεί ταυτόχρονα μεταφορική κίνηση με ταχύτητα υcm και στροφική κίνηση με γωνιακή ταχύτητα ω,όπως ο τροχός του σχήματος,η κινητική του ενέργεια είναι ίση με το άθροισμα της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφορικής και της κινητικής ενέργειας λόγω στροφικής κίνησης.

Ο τροχός έχει κινητική ενέργεια λόγω μεταφορικής και λόγω περιστροφικής κίνησης

Δηλαδή:

Κ=1/2•Μ•υ²cm+1/2•I•ω²

όπου:
Μ η μάζα του σώματος,
υcm η ταχύτητα του κέντρου μάζας του σώματος,
Ι η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του,
ω η γωνιακή ταχύτητα του σώματος.

Ένα ελεύθερο στερεό σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση

Η ροπή αδράνειας του σώματος έχει την ίδια διεύθυνση με την γωνιακή ταχύτητα.

Σύνθετη κίνηση

Η παραπάνω σχέση δεν εκφράζει νέα μορφή ενέργειας.Είναι,απλά,χρήσιμη έκφραση της κινητικής ενέργειας του στερεού.

ΕΡΓΟ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Όταν πατάμε τα πετάλια του ποδηλάτου ασκούμε δύναμη και παράγουμε έργο.Επίσης έργο παράγεται και από τη μηχανή του αυτοκινήτου αφού στρέφει τον άξονα των τροχών.

Όταν πατάμε τα πετάλια του ποδηλάτου ασκούμε δύναμη και παράγουμε έργο

Μια δύναμη που περιστρέφει ένα σώμα παράγει έργο,το οποίο μπορούμε να εκφράσουμε σε συνάρτηση με τη ροπή της ως προς τον άξονα περιστροφής του σώματος.

ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΣ ΕΡΓΟ

Θεωρούμε ότι σε έναν τροχό ακτίνας R,ο οποίος μπορεί να στρέφεται γύρω από τον άξονα του,ασκείται δύναμη F σταθερού μέτρου,όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Θεωρούμε ότι σε έναν τροχό ακτίνας R,ο οποίος μπορεί να στρέφεται γύρω από τον άξονα του,ασκείται δύναμη F σταθερού μέτρου

Όταν ο τροχός στρέφεται κατά την απειροστά μικρή γωνία dθ (σε ακτίνια),τότε το σημείο εφαρμογής της δύναμης F μετατοπίζεται κατά το αντίστοιχο απειροστά μικρό τόξο μήκους ds,το οποίο δίνεται από την σχέση:

ds=R•dθ

Επειδή η δύναμη F και το τόξο ds,το οποίο ως απειροστά μικρό μπορούμε να θεωρήσουμε ευθύγραμμο,έχουν τον ίδιο φορέα,το στοιχειώδες έργο της δύναμης δίνεται από την σχέση:

dW=F•ds

Αν η γωνία μετριέται σε ακτίνια τότε ds=R•dθ.

Με την επίδραση της δύναμης F το σώμα στρέφεται κατά γωνία dθ.Το σημείο εφαρμογής της F μετατοπίζεται κατά ds=R•dθ

H τελευταία σχέση γράφεται:

dW=F•R•dθ

Επειδή το γινόμενο F•R είναι το μέτρο της ροπής τ της δύναμης F,ως προς τον άξονα περιστροφής του τροχού,η σχέση dW=F•R•dθ γράφεται:

dW=τ•dθ

ΕΡΓΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ

Όταν μια δύναμη περιστρέφει ένα σώμα κατά γωνία θ,τότε για να υπολογίσουμε το έργο W της δύναμης,χωρίζουμε τη γωνία σε απειροστά μικρές γωνίες dθ1,dθ2...dθν και αθροίζουμε τα αντίστοιχα στοιχειώδη έργα dW1,dW2...dWν.Δηλαδή:

W=dW1+dW2+...+dWν

Η τελευταία σχέση λόγω της σχέσης dW=τ•dθ γίνεται:

W=τ1•dθ1+τ2•dθ2+...+τν•dθν

Αν η ροπή της δύναμης έχει σταθερό μέτρο ίσο με τ,είναι σταθερή, όπως στην περίπτωση του σχήματος,τότε η τελευταία σχέση γράφεται:

W=τ•dθ1+τ•dθ2+...+τ•dθν ή

W=τ•(dθ1+dθ2+...+dθν) ή

W=τ•θ

Η γωνία θ μετριέται σε rad.

Το έργο W μιας ροπής μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό

Το έργο W μιας ροπής μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό.Θετικό,όταν η ροπή τ έχει την ίδια φορά με τη φορά περιστροφής του σώματος (η ροπή τείνει να επιταχύνει το σώμα) και αρνητικό,όταν η ροπή έχει αντίθετη φορά από τη φορά περιστροφής του σώματος (η ροπή τείνει να επιβραδύνει το σώμα).

ΙΣΧΥΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

Θεωρούμε ένα σώμα που εκτελεί στροφική κίνηση και δέχεται την επίδραση μιας εξωτερικής δύναμη F,της οποίας η ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής του σώματος έχει μέτρο τ.

Θεωρούμε ένα σώμα που εκτελεί στροφική κίνηση και δέχεται την επίδραση μιας εξωτερικής δύναμη F,της οποίας η ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής του σώματος έχει μέτρο τ

Αν στο απειροστά μικρό χρονική στιγμή t μέχρι τη χρονική στιγμή t+dt,το σώμα στρέφεται κατά την απειροστά μικρή γωνία dθ,τότε η δύναμη F παράγει έργο dW και ισχύει:

dW=τ•dθ ή

dW/dt=τ•dθ/dt

Ο ρυθμός παραγωγής έργου dW/dt είναι η (στιγμιαία) ισχύς Ρ της δύναμης και το πηλίκο dθ/dt είναι η γωνιακή ταχύτητα ω του σώματος τη χρονική στιγμή t.

Ο ρυθμός παραγωγής έργου dW/dt είναι η (στιγμιαία) ισχύς Ρ της δύναμης και το πηλίκο dθ/dt είναι η γωνιακή ταχύτητα ω του σώματος τη χρονική στιγμή t

Επομένως:

P=τ•ω

Στο S.I.,όπου η μονάδα της ροπής είναι το 1 Ν•m και η μονάδα της γωνιακής ταχύτητας είναι το 1 rad/s,η μονάδα της ισχύος είναι το 1 W(1 Watt).

Στη σχέση P=τ•ω η ροπή τ και η γωνιακή ταχύτητα ω αναφέρονται στον ίδιο άξονα περιστροφής.

Αν τα μεγέθη τ και ω είναι σταθερά,τότε η ισχύς που δίνεται από τη σχέση P=τ•ω είναι σταθερή

Αν τα μεγέθη τ και ω είναι σταθερά,τότε η ισχύς που δίνεται από τη σχέση P=τ•ω είναι σταθερή.

Αν ένα τουλάχιστον από τα μεγέθη τ και ω μεταβάλλεται με το χρόνο,τότε η ισχύς που δίνεται από την σχέση είναι η στιγμιαία ισχύς.

ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΡΓΟΥ -ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

Ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης είναι:

Στ=Ι•α

Από τον νόμο αυτό προκύπτει ότι,όταν σε ένα σώμα που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα ασκούνται εξωτερικές ροπές με μη μηδενικό αλγεβρικό άθροισμα (Στ≠0),τότε το σώμα αποκτά γωνιακή επιτάχυνση α,με αποτέλεσμα να μεταβάλλεται η γωνιακή ταχύτητα ω και κατά συνέπεια η κινητική ενέργεια περιστροφής του σώματος,αφού είναι:

Κπερ=1/2•Ι•ω²

Αποδεικνύεται ότι η ροπή μιας δύναμης μεταβάλλει την κινητική ενέργεια περιστροφής του σώματος στο οποίο ασκείται κατά ποσότητα ίση με το έργο της.

Το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των ροπών που ασκούνται σε ένα σώμα είναι ίσο με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας περιστροφής του σώματος

Έτσι,στη περίπτωση ενός στερεού σώματος που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα,το γνωστό μας από τη μεταφορική κίνηση θεώρημα έργου-ενέργειας παίρνει τη μαθηματική μορφή: