ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ  Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ  Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Το στερεό του σχήματος αποτελείται από δύο ομοαξονικούς κυλίνδρους,με ακτίνες R1=4 cm και R2=3 cm,που στέφονται γύρω από σταθερό άξονα x’x. 

Ο άξονας x’x συμπίπτει με τον άξονα συμμετρίας των κυλίνδρων.Εξ αιτίας των βαρών που κρέμονται από τους δύο κυλίνδρους,τα σκοινιά ασκούν στους κυλίνδρους δυνάμεις F1=6 Ν και F2=10 Ν.
Να υπολογίσετε την ολική ροπή που δέχεται το στερεό.

ΛΥΣΗ

Η δύναμη F1 τείνει να στρέψει το στερεό κατά τη θετική φορά και δημιουργεί θετική ροπή:

τ1=F1·R1

Η δύναμη F₂ τείνει να το στρέψει κατά την αρνητική φορά και δημιουργεί ροπή:

τ2=- F2·R2

Η συνολική ροπή που δέχεται το στερεό είναι:

τ=τ1+τ2=F1·R1-F2·R2=-0,06 Ν·m

Άρα η ολική ροπή που δέχεται το στερεό είναι τ=-0,06 Ν·m.

Το αρνητικό πρόσημο δείχνει ότι το στερεό θα στραφεί όπως στρέφονται οι δείκτες του ρολογιού.

ΑΣΚΗΣΗ 2

Η αβαρής ράβδος του σχήματος μπορεί να στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο και είναι κάθετος σε αυτή.Το Ο απέχει από τα άκρα της ράβδου x1=5 cm και x2=8 cm. 

Στα άκρα της ράβδου ασκούνται οι δυνάμεις F1=50 Ν και F2=40 Ν.Η δύναμη F2 σχηματίζει γωνία φ=30° με τη ράβδο.
Πόση είναι η ολική ροπή που δέχεται η ράβδος;

ΛΥΣΗ

Η ροπή της F1 είναι θετική γιατί η δύναμη τείνει να στρέψει τη ράβδο κατά τη θετική φορά.
Είναι:

τ1=F1·x1=2,5 N

Για να υπολογίσουμε τη ροπή της F2 την αναλύουμε στις συνιστώσες F2x και F2y με μέτρα:

F2x=F2·συν30^ο

F2y=F2·ημ30^ο

Η ροπή της F2x είναι μηδέν διότι ο φορέας της διέρχεται από τον άξονα ( η απόσταση της F2x από τον άξονα είναι μηδέν),ενώ η ροπή της F2y είναι αρνητική και ίση με:

τ2=-F2·ημ30^ο·x2=-1,6 N·m

Η συνολική ροπή που δέχεται η ράβδος είναι:

τ=τ1+τ2=0,9 N·m

Άρα η ολική ροπή που δέχεται η ράβδος είναι τ=0,9 N·m. 
Η συνολική ροπή είναι θετική,επομένως η ράβδος θα στραφεί αντίθετα με τη φορά της κίνησης των δεικτών του ρολογιού.

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Ομογενής οριζόντια δοκός ΑΓ που έχει μήκος l=4 m και βάρος w1=200 N,κρέμεται από δύο κατακόρυφα σκοινιά που είναι δεμένα στα άκρα της και ισορροπεί. 

Πάνω στη δοκό και σε απόσταση x=l m από το άκρο της στέκεται άνθρωπος βάρους w2=600 Ν.
Ποια είναι τα μέτρα των δυνάμεων που ασκούν τα σκοινιά στη δοκό;

ΛΥΣΗ

Οι δυνάμεις που ασκούνται στη δοκό είναι το βάρος της (w1),η δύναμη που δέχεται από τον άνθρωπο-είναι ίση με το βάρος του w2-και οι δυνάμεις Τ1 και Τ2 από τα σκοινιά.
Εφόσον η ράβδος ισορροπεί η συνισταμένη των δυνάμεων είναι μηδέν:

ΣF=0 

οπότε 

T1+T2-w1-w2=0                                    (1)

και το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων,ως προς οποιοδήποτε σημείο είναι επίσης μηδέν.Οι υπολογισμοί μας απλουστεύονται αν οι ροπές αναφέρονται σε σημείο από το οποίο περνάει μία από τις άγνωστες δυνάμεις.
Επιλέγουμε το σημείο Α.

ΣτA=0 

άρα 

Τ2·l-w1·l/2-w2·x=0

από όπου προκύπτει ότι Τ2=w1·l+2w2·x/2l=250 N

Αντικαθιστώντας στην (1) βρίσκουμε Τ1=550 Ν
Άρα τα μέτρα των δυνάμεων που ασκούν τα σκοινιά στη δοκό είναι Τ1=550 Ν και Τ2=250 N.

ΑΣΚΗΣΗ 2

Ομογενής δοκός ΑΓ,μήκους l και βάρους w=400 Ν,ισορροπεί οριζόντια.Το άκρο Α της δοκού στηρίζεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. 

Το άλλο άκρο της Γ συνδέεται με τον τοίχο με σκοινί που σχηματίζει γωνία φ=30° με τη δοκό.
Να βρείτε τις δυνάμεις που δέχεται η δοκός από το σκοινί και από την άρθρωση.

ΛΥΣΗ

Αναλύουμε όλες τις δυνάμεις σε μια οριζόντια και μια κατακόρυφη διεύθυνση.

Tx=T·συν30^o 

Τy=T·ημ30^o

Εφόσον η ράβδος ισορροπεί:

ΣFx=0                                                             ή 

T·συν30^o=Fx                                                  (1)
  
ΣFy=0                                                            ή 

T·ημ30^o+Fy=w                                               (2)

Επίσης Στ=0 ως προς οποιοδήποτε σημείο.
Υπολογίζουμε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς το σημείο Α και το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων,ως προς οποιοδήποτε σημείο είναι επίσης μηδέν.Οι υπολογισμοί μας απλουστεύονται αν οι ροπές αναφέρονται σε σημείο από το οποίο περνάει μία από τις άγνωστες δυνάμεις.Επιλέγουμε το σημείο Α.

T·ημ30^o·l-w·l/2=0                                           (3)

Οι δυνάμεις Fx_,Fy και Τx έχουν μηδενικές ροπές ως προς το σημείο Α. 

Από τη σχέση (3) προκύπτει:

2·T·ημ30^o=w 

επομένως 

T=400 N                                                         (4)

Από την (1) λαμβάνοντας υπόψη την (4) έχουμε:

Fx=200·√ 3 N

και από την                                                     (2) 

Fy=200 N

Επομένως η δύναμη F έχει μέτρο:

F=[(Fx)²+(Fy)²]^1/2=400 N

και σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ για την οποία:

εφθ=Fy/Fx=√ 3/3

άρα

θ=30^o

Άρα η δοκός από το σκοινί και από την άρθρωση δέχεται μέτρο δύναμης F=400 N και σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ=30^o.

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Υπολογίστε τη ροπή αδράνειας ομογενούς δακτυλίου μάζας Μ και ακτίνας R,ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζει. 

Το πάχος του δακτυλίου είναι αμελητέο σε σχέση με την ακτίνα του.

ΛΥΣΗ

Θεωρούμε ότι ο δακτύλιος αποτελείται από τις στοιχειώδεις μάζες m1,m2....

Είναι φανερό ότι:

m1+m2+......=M

Επειδή το πάχος του δακτυλίου είναι αμελητέο σε σχέση με την ακτίνα του R,όλες οι στοιχειώδεις μάζες έχουν την ίδια απόσταση R από τον άξονα περιστροφής.

Σύμφωνα με τον ορισμό της ροπής αδράνειας

Ι=m1·r1²+m2·r2²+ ...... =m1·R²+m2·R²+.....=(m1+m2+.......)·R²

Άρα:

I=M·R²

Άρα η ροπή αδράνειας ομογενούς δακτυλίου μάζας Μ και ακτίνας R είναι I=M·R².

ΑΣΚΗΣΗ 2

Δυο σώματα αμελητέων διαστάσεων,με ίσες μάζες m1 και m2 (m1=m2=m),συνδέονται μεταξύ τους με αβαρή ράβδο,μήκους l. 

Ποια είναι η ροπή αδράνειας του συστήματος,ως προς άξονα που είναι κάθετος στη ράβδο και διέρχεται: 
α) από το μέσον της ράβδου.
β) από τη μάζα m1; 

ΛΥΣΗ

α) Ι=m1·(l/2)²+m2·(l/2)²=2·m·(l/2)²=m·l²/2

Άρα η ροπή αδράνειας του συστήματος,ως προς άξονα που είναι κάθετος στη ράβδο και διέρχεταο από το μέσον της ράβδου είναι I=m·l²/2.

β) I=m1·l²+0=m·l²

Άρα η ροπή αδράνειας του συστήματος, ως προς άξονα που είναι κάθετος στη ράβδο και διέρχεται από τη μάζα m1 είναι I=m·l².

ΑΣΚΗΣΗ 3

Υπολογίστε τη ροπή αδράνειας ενός λεπτού ομογενούς δίσκου,μάζας Μ και ακτίνας R,ως προς άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο του,που περνάει από το άκρο του δίσκου.

ΛΥΣΗ

Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας του είναι:

Icm=M·R²/2

Εφαρμόζοντας το θεώρημα παραλλήλων αξόνων για d=R έχουμε:

Ip=Icm+M·d²=M·R²/2+M·R²=3·M·R²/2

Άρα η ροπή αδράνειας ενός λεπτού ομογενούς δίσκου,μάζας Μ και ακτίνας R,ως προς άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο του,που περνάει από το άκρο του δίσκου είναι Ip=3·M·R²/2.

ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Δίνεται το σύστημα του σχήματος όπου οι δυο σημειακές μάζες έχουν μάζα m=0,5 kg και η απόσταση μεταξύ τους είναι 1 m.Η μάζα της τροχαλίας θεωρείται αμελητέα. 

Αφήνουμε το σώμα Σ μάζας Μ=2 kg να κινηθεί και παρατηρούμε ότι κατέρχεται κατά h=1 m σε χρονικό διάστημα t1=2 s.

α) Υπολογίστε την τάση του νήματος Τ.

β) Αν ο μοχλοβραχίονας της τάσης Τ,ως προς τον άξονα περιστροφής της κατακόρυφης ράβδου είναι ίσος με 10 cm να υπολογισθεί η γωνιακή επιτάχυνση αγων.

γ) Να βρεθεί η κινητική ενέργεια κάθε σημειακής μάζας τη στιγμή t1.

Δίνεται ότι το νήμα είναι αβαρές και g=10 m/s².

ΛΥΣΗ

α) Για το σώμα Σ από το 2ο νόμο του Νεύτωνα παίρνουμε: 

ΣF=Μ·α                                              ή

Μ·g-Τ3=Μ·α                                       (1)

Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι η κίνηση του σώματος Σ είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη,για την οποία ισχύουν: 

υ=α·t  

y=1/2·α·t² 

από όπου και από την σχέση (1)  

Τ3=Μ·g-Μ·α=19 Ν

Αφού το νήμα αβαρές  οι δυνάμεις που ασκεί στα άκρα του,έχουν ίσα μέτρα,συνεπώς: 

Τ3=Τ2 

Τ1=Τ 

ενώ αφού η τροχαλία είναι αβαρής έχουμε: 

Στ=Ι·αγων                                           ή

Τ1·R-T2·R=0                                       ή

Τ1=Τ2                                                ή

Τ=Τ1=Τ2=Τ3=19 Ν

Άρα η τάση του νήματος είναι Τ=19 Ν.

β) Κάθε σημείο του νήματος έχει την ίδια επιτάχυνση,συνεπώς και η επιτάχυνση του άκρου του νήματος που ξετυλίγεται έχει επιτάχυνση α=0,5 m/s²,αλλά η επιτάχυνση αυτή είναι ίση με το ρυθμό μεταβολής της γραμμικής ταχύτητας,λόγω της κυκλικής κίνησης του σημείου με ακτίνα r=10 cm. 

Συνεπώς:

αγων=5 rad/s²

Άρα η γωνιακή επιτάχυνση είναι αγων=5 rad/s².

γ) Η γωνιακή ταχύτητα του στρεφόμενου στερεού τη στιγμή t1 είναι:

ω=αγων·t=10 rad/s

Οπότε κάθε σημειακή μάζα έχει κινητική ενέργεια:

Κ=1/2·m·υ²=1/2·m·ω²·R²=1/2·0,5·10·20,52 J=6,25 J

Άρα η κινητική ενέργεια κάθε σημειακής μάζας τη στιγμή t1 είναι Κ=6,25 J.

ΑΣΚΗΣΗ 2

Mε τη βοήθεια αβαρούς  νήματος δένουμε δύο σώματα με μάζες m1=4 Kg και m2=3 Kg που την στιγμή t=0 βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Την στιγμή t=0 αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο  καταργώντας τις εξωτερικές δυνάμεις και παρατηρούμε ότι η ράβδος συνεχίζει να παραμένει οριζόντια ενώ το σύστημα των δύο μαζών αρχίζει να κινείται έτσι ώστε το σώμα μάζας m1 να αρχίζει να κατέρχεται. Να υπολογιστεί η απόσταση ΑΟ.

Δίνεται Ιcm=1/2·M·R².

ΛΥΣΗ

Για την κίνηση του σώματος μάζας m1:

   

m1·g-T1=m1·a                            (1)

Για την κίνηση της τροχαλίας:

Τ1·R1-T2·R1=0,5·M1·R1²·αγων

άρα

Τ1-Τ2=0,5·Μ1·α                          (2)

Για την κίνηση του σώματος μάζας m2:

Τ3-m2·g=m2·α                            (3)

Για την κίνηση της τροχαλίας:

Τ2·R1-T3·R1=0,5·M2·R1²·αγων

άρα

Τ2-Τ3=0,5·Μ2·α                          (4)

Aπό (1),(2),(3) και (4) θα βρούμε:

α=1 m/s² και

Τ1=36 Ν

Τ2=34 Ν

Τ3=33 Ν

Για την ισορροπία της πρώτης τροχαλίας θα ισχύει:

Ν1=Μ1·g+T1                            (5)

άρα

Ν1=76 Ν

Για την ισορροπία της  δεύτερης τροχαλίας θα ισχύει:

Ν2=Μ2·g+T3                             (6)

άρα

Ν2=53 Ν 

Όπου Ν1 και Ν2 οι κατακόρυφες συνιστώσες των δυνάμεων που ασκεί η ράβδος στις τροχαλίες. 

Για την ισορροπία της ράβδου:

Στ(O)=0

άρα  Ν1·(AO)–N2·(L-AO)=0        (7)

άρα

ΑΟ=53/129 m

Άρα η απόσταση είναι ΑΟ=53/129 m.

ΑΣΚΗΣΗ 3

Στο παρακάτω σχήμα ο δίσκος ανεβαίνει το κεκλιμένο επίπεδο χωρίς ολίσθηση,υπό την επίδραση της δύναμης F=35 N,που ασκείται στο κέντρο του δίσκου. 

Να υπολογιστεί η τριβή Τ.
Δίνονται  μάζα δίσκου m=2 Kg,ακτίνα δίσκου R=1 m  και ροπή αδράνειας ως προς το κέντρο του δίσκου  Ι=1/2·m·R²

ΛΥΣΗ

Στ=Ι·α_γ

Τ·R=I·α_γ

Τ·R=1/2·m·R²·αγων  

Τ=1/2·m·R·αγων 

Τ=1/2·m·αcm                           (1)

ΣF=m·αcm

F-m·g–T=m·αcm

αν αντικαταστήσουμε από την (1) την Τ  θα βρούμε:

αcm=5 m/s²

Kαι από την (1)

Τ=5 Ν

Άρα η τριβή είναι Τ=5 Ν.

ΑΣΚΗΣΗ 4

Ομογενής κύλινδρος μάζας Μ=40 kg και ακτίνας R=40 cm,μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον άξονα του που είναι σταθερός.Στην επιφάνεια του κυλίνδρου έχουμε τυλίξει σκοινί,το ελεύθερο άκρο του οποίου έλκεται με σταθερή δύναμη F=6 Ν. 

Το σκοινί ξετυλίγεται,χωρίς ολίσθηση,περιστρέφοντας ταυτόχρονα τον κύλινδρο.
Ποια είναι η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου;
Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι Ι=1/2·Μ·R²

ΛΥΣΗ

Η δύναμη που ασκεί το σκοινί στον κύλινδρο προκαλεί ροπή τ =F·R

Σύμφωνα με το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης:

τ=Ι·αγων                                           ή

F·R=1/2·Μ·R²·αγων

Λύνοντας ως προς α και αντικαθιστώντας τις τιμές των μεγεθών βρίσκουμε:

αγων=2F/Μ·R=2·6N/4kg·40·10^-2 m=0,75 rad/s²

Άρα η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου είναι αγων=0,75 rad/s².

ΑΣΚΗΣΗ 5

Μία τροχαλία ακτίνας R,και ροπής αδράνειας I μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές,γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της,όπως φαίνεται στο σχήμα. 

Γύρω από την τροχαλία έχουμε τυλίξει αβαρές νήμα στην ελεύθερη άκρη του οποίου κρέμεται σώμα μάζας m.
Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σώματος,τη γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας και την τάση του νήματος.

ΛΥΣΗ

Θα εφαρμόσουμε τους νόμους της μηχανικής χωριστά σε κάθε σώμα.Οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα m,είναι το βάρος του m·g και η τάση του νήματος Τ.

Σύμφωνα με το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής: 

m·g-T=m·a                                                  (1)

Στον τροχό ασκούνται η Τ (από το νήμα),η δύναμη F (από τον ο άξονα) και το βάρος του Mg.

Οι δυνάμεις Mg και F δε δημιουργούν ροπή γιατί ο φορέας τους περνάει από τον άξονα περιστροφής. Ο θεμελιώδης νόμος της μηχανικής για τη στροφική κίνηση δίνει:

τ=Ι·αγων                                                         ή

Τ·R=Ι·αγων                                                    (2)

Λύνοντας την (1) ως προς Τ έχουμε:

T=m·g-m·a

Αντικαθιστώντας στην (2) έχουμε:

m·g·R-m·R·α=I·αγων                                      (3)

Η επιτάχυνση α του σώματος είναι ίση με το ρυθμό που αυξάνεται η ταχύτητα ενός σημείου της περιφέρειας της τροχαλίας.
Για την επιτάχυνση αυτή ισχύει:

α =dυ/dt=d(ω·R)/dt=R·dω/dt=αγων·R             (11)

οπότε η (3) γίνεται:

m·g·R-m·R²·αγων= I·αγων

Επομένως:

αγων=m·g·R/1+m·R²                                      (12)

Αντικαθιστώντας στην (11) βρίσκουμε για τη γραμμική επιτάχυνση:

α=m·g·R²/1+m·R²                                         (13)

Η τάση T υπολογίζεται αν αντικαταστήσουμε την (12) στην (2):

Τ=I/R ·αγων=I/R ·m·g·R/1+m·R²=I·m·g/1+m·R²

Άρα υπολογίσαμε την επιτάχυνση του σώματος,τη γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας και την τάση του νήματος από τις παραπάνω σχέσεις.

ΑΣΚΗΣΗ 6

Το γιο-γιο αποτελείται από ένα μικρό κύλινδρο, στο κυρτό μέρος του οποίου έχει τυλιχτεί πολλές φορές ένα σκοινί.Κρατώντας το ελεύθερο άκρο του σκοινιού και αφήνοντας τον κύλινδρο να πέσει,το σκοινί ξετυλίγεται και ο κύλινδρος περιστρέφεται γύρω από ένα νοητό οριζόντιο άξονα,τον xx'.

Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου I=1/2·m·R² και η επιτάχυνση της βαρύτητας g.
Θεωρήστε ότι σε όλη τη διάρκεια της κίνησης του κυλίνδρου το σκοινί παραμένει κατακόρυφο.

ΛΥΣΗ

Οι δυνάμεις που ασκούνται στον κύλινδρο είναι το βάρος του m·g και η δύναμη Τ από το σκοινί.
Για τη μεταφορική κίνηση του κυλίνδρου ισχύει:

ΣFy=m·αcm                                                               ή

m·g-T=m·αcm

οπότε

Τ=m·g-m·αcm                                                          (1)

Εφαρμόζοντας το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης ως προς τον άξονα xx' έχουμε:

Στ=Ι·αγων                                                                 ή

T·R=Ι·αγων                                                                          (2)

Αντικαθιστώντας την (1) στην (2) βρίσκουμε:

m·g·R-m·R·αcm=I·αγων

m·g·R-m·R·αcm= 1/2·m·R²·αγων                                 ή

g-αcm =1/2·R·αγων                                                   (3)

Όμως

αcm=R·αγων

οπότε

αγων=αcm/R

Αντικαθιστώντας στην (3) βρίσκουμε:

g-αcm =1/2·αcm

αcm=2g/3

Άρα η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου είναι αcm=2g/3.

ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Ο άνθρωπος στο σχήμα,έχει τα χέρια του τεντωμένα και στο κάθε χέρι του κρατάει ένα βαράκι μάζας Μ=4 kg.Εξαιτίας μιας ώθησης που δέχτηκε,ο άνθρωπος περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω1=4 rad/s.

Με ποια γωνιακή ταχύτητα θα στρέφεται αν συμπτύξει τα χέρια του; 

Το κάθισμα πάνω στο οποίο κάθεται,ο άνθρωπος μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο άξονα, που είναι ο άξονας συμμετρίας.Η ροπή αδράνειας του ανθρώπου (χωρίς τα βαράκια που κρατάει) όταν έχει τα χέρια του τεντωμένα είναι 3,25 kg·m² και όταν συμπτύσσει τα χέρια του είναι 2,5 kg·m².

Κάθε βαράκι απέχει από τον άξονα περιστροφής 1 m,στην αρχή και 0,2 m στο τέλος.
Η ροπή αδράνειας του καθίσματος είναι αμελητέα.

ΛΥΣΗ

Η αρχική ροπή αδράνειας I1,του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής, όταν ο άνθρωπος είχε τα χέρια του τεντωμένα,ήταν το άθροισμα της ροπής αδράνειας του ανθρώπου και της ροπής αδράνειας των σωμάτων που κρατάει.

I1=I1ανθ+I1βαρ+I1ανθ+2M·R1²=11,25 kg·m²

Η ροπή αδράνειας Ι₂ του συστήματος, όταν ο άνθρωπος κατεβάσει τα χέρια του είναι η νέα ροπή αδράνειας του ανθρώπου και η ροπή αδράνειας των σωμάτων.

I2=I2ανθ+I2βαρ+I2ανθ+2M·R1²=2,82 kg·m²

Επειδή στο σύστημα δεν ενεργούν εξωτερικές ροπές ως προς τον άξονα περιστροφής,η στροφορμή του διατηρείται.
Δηλαδή ισχύει:

I1·ω1=I2·ω2                                           ή                

ω2=I1/I2·ω1=16 rad/s

Άρα ο άνθρωπος θα στρέφεται αν συμπτύξει τα χέρια του με γωνιακή ταχύτητα ω2=16 rad/s.

ΕΡΓΟ ΚΑΤΑ ΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Ομογενής και ισοπαχής ράβδος μήκους L=0,3 m και μάζας Μ,στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα Ο που διέρχεται από το ένα άκρο της.Αρχικά η ράβδος είναι οριζόντια και στη συνέχεια αφήνεται ελεύθερη. 

Ποια είναι η γωνιακή ταχύτητά της τη στιγμή που θα περάσει από την κατακόρυφη θέση;

Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα Ο είναι 1/3·M·R² και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s² .

ΛΥΣΗ

Η μηχανική ενέργεια του συστήματος διατηρείται.Επιλέγουμε ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το μέσον της ράβδου Λ όταν βρίσκεται στην κατακόρυφη θέση.Το μέσον της ράβδου είναι το κέντρο μάζας της.

Όταν η ράβδος βρίσκεται στην οριζόντια θέση έχει δυναμική ενέργεια:

M·g·L/2

Όταν η ράβδος περάσει από την κατακόρυφη θέση,θα έχει κινητική ενέργεια:

1/2·I·ω² 

όπου Ι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα Ο.

Σύμφωνα με το θεώρημα διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ισχύει:

M·g·L/2=1/2·I·ω²                                          ή 

M·g·L/2=1/2·1/3·M·L²·ω²

απ' όπου                                                          

ω=(3·g/L)^1/2=10 rad/s

Άρα η γωνιακή ταχύτητά της ράβδου τη στιγμή που θα περάσει από την κατακόρυφη θέση είναι ω =10 rad/s.

ΑΣΚΗΣΗ 2

Ομογενής κύλινδρος μάζας Μ και ακτίνας R αφήνεται να κυλήσει κατά μήκος πλάγιου επιπέδου γωνίας φ. 

Ποια είναι η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου όταν η κατακόρυφη μετατόπισή του είναι h.

Η επιτάχυνση της βαρύτητας (g) θεωρείται γνωστή.
Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του I=1/2·M·R²

ΛΥΣΗ

Η κύλιση του κυλίνδρου οφείλεται στην τριβή.Η ροπή της τριβής ως προς τον άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου είναι αυτή που περιστρέφει τον κύλινδρο.Η τριβή δε μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της,αφού κάθε στιγμή ασκείται σε διαφορετικό σημείο του κυλίνδρου.Πρόκειται,δηλαδή,για στατική τριβή.Επομένως η μηχανική ενέργεια του κυλίνδρου διατηρείται.Αν θεωρήσουμε ότι στην κατώτερη θέση του η δυναμική ενέργεια του κυλίνδρου είναι ίση με μηδέν,στην ανώτερη θέση του ο κύλινδρος έχει δυναμική ενέργεια: 

M·g·h

Στην κατώτερη θέση του ο κύλινδρος έχει κινητική ενέργεια,που ισούται με το άθροισμα της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφοράς:

1/2·M·υcm²

και της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής:

1/2·I·ω²

Σύμφωνα με το θεώρημα διατήρησης της μηχανικής ενέργειας:

M·g·h=1/2·M·υcm²+1/2·I·ω²                                             ή            

M·g·h=1/2·M·υcm²+1/2·1/2M·R²·ω²                                         ή

g·h=1/2·υcm²+1/4·R²·ω²                                                (1)

Όμως η ταχύτητα υ_cm του κέντρου μάζας είναι:

υcm=ω·R                                                                        (2)

Η (1) γίνεται από την (2)

g·h=1/2·υcm²+1/4·R²·(υcm/R)²      

από όπου 

g·h=1/2·υcm²+1/4·υcm² 

και τελικά

υcm=(4/3·g·h)^1/2

Άρα η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου είναι υcm=(4/3·g·h)^1/2 .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Ομογενής ράβδος μήκους L=2 m και μάζας Μ=0,5 kg στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το μέσον της.Σε απόσταση L/4 από τον άξονα περιστροφής βρίσκονται δύο μεταλλικοί δακτύλιοι μάζας m=0,25 kg ο καθένας που συνδέονται μεταξύ τους με ένα νήμα.Το σύστημα στρέφεται και όταν η ταχύτητα γίνει ω=20π rad/s το νήμα σπάει και οι δακτύλιοι λόγω αδράνειας ωθούνται στα άκρα της ράβδου. 

Να υπολογιστούν:
α) Το όριο θραύσης του νήματος.
β) Η στροφορμή του συστήματος τη στιγμή που το νήμα σπάει.
γ) Τη συχνότητα περιστροφής του συστήματος όταν οι δακτύλιοι βρεθούν στα άκρα της ράβδου.
δ) Τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της Ι=1/12·Μ·L² και π²=10

ΛΥΣΗ

α) 500 Ν, 
β) 35π/6 kg·m²/s, 
γ) 35/8 Ηz,
δ) 328,125 J

ΑΣΚΗΣΗ 2

Για το παρακάτω σχήμα δίνεται ότι ο κύλινδρος έχει ακτίνα R=0,5 m,μάζα M=12 Kg και ροπή αδράνειας Icm=1/2·Μ·R².

Α) Να υπολογιστεί η ελάχιστη τιμή της δύναμης F που πρέπει να ασκηθεί οριζόντια στον κύλινδρο ώστε να υπερπηδήσει το σκαλοπάτι ύψους h=0,2 m.

Β) Αν θεωρήσουμε ότι ο κύλινδρος δέχεται την ελάχιστη δύναμη F συνεχώς οριζόντια και υπερπηδά το σκαλοπάτι,

Να υπολογιστούν:

α) ποια θα είναι η ταχύτητα του αμέσως μόλις ανέβει στο σκαλοπάτι;

β) ποιος πρέπει να είναι ο ελάχιστος συντελεστής στατικής τριβής,μεταξύ κυλίνδρου και οριζοντίου δαπέδου,ώστε ο κύλινδρος να συνεχίσει να κυλίεται στο οριζόντιο δάπεδο΄.

γ) Η γωνιακή του επιτάχυνση καθώς κυλίεται.

Γ) Αν θεωρήσουμε ότι ο κύλινδρος έχει μηδενική ταχύτητα αμέσως μόλις ανέβει στο σκαλοπάτι,και αφού διανύσει οριζόντια απόσταση S=10 m,συναντά κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης 30° στο οποίο αρχίζει να ανεβαίνει κυλίοντας,ενώ η δύναμη F καταργείται μόλις ο κύλινδρος συναντήσει το κεκλιμένο επίπεδο.

Να υπολογιστούν:

α) Η ταχύτητα του κυλίνδρου όταν συνάντησε το κεκλιμένο επίπεδο.

β) Ο χρόνος που ο κύλινδρος κινήθηκε στο κεκλιμένο επίπεδο μέχρι να σταματήσει.

ΛΥΣΗ

Α) 160 Ν 
Β) α) 2 /3 m/s 
β) 4/9 
γ) 160/9 rad/s² 
Γ) α) 40/3 m/s 
β) 4 s 

ΑΣΚΗΣΗ 3

Από ύψος h=7 m πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ=30° αφήνετε σφαίρα μάζας m=1,4 Kg και ροπής αδράνειας I=2/5·m·r².

Α) Να βρεθούν:

α) η επιτάχυνση του κέντρου μάζας της σφαίρας καθώς αυτή κυλίεται στο κεκλιμένο επίπεδο,

β) η δύναμη στατικής τριβής που δέχεται η σφαίρα από το κεκλιμένο επίπεδο,

γ) η ταχύτητα της σφαίρας στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου,

Β) Αν στη συνέχεια η σφαίρα, αφού κινηθεί σε οριζόντιο δάπεδο με σταθερή ταχύτητα,εισέρχεται σε κατακόρυφο οδηγό σχήματος τεταρτοκύκλιου και ακτίνας R=4,48 m,όπου συνεχίζει να κυλίεται,

Να βρεθούν:

α) ποια θα είναι η ταχύτητα με την οποία η σφαίρα θα εγκαταλείψει τον οδηγό και

β) το μέγιστο ύψος h1 που θα φτάσει η σφαίρα από το οριζόντιο δάπεδο,

Δίνονται g=10 m/s² και ότι η ακτίνα της σφαίρας είναι αμελητέα.

ΛΥΣΗ

Α. α) 25/7 m/s² , 
β) T=2 N , 
γ)10 m/s 
Β. α) 6 m/s , 
β) 6,28 m

ΑΣΚΗΣΗ 4

Κύλινδρος έχει τυλιγμένο γύρω του αβαρές σχοινί το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο.Ο κύλινδρος αφήνετε ελεύθερος και το σχοινί ξετυλίγει χωρίς να γλιστρά πάνω του.Μόλις ο κύλινδρος κατέβει κατά h,ακουμπά το οριζόντιο δάπεδο,το σχοινί έχει ξετυλίξει,και ο κύλινδρος συνεχίζει να κινείτε οριζόντια,χωρίς να αναπηδήσει.O κύλινδρος αφού διανύσει διάστημα S αρχίζει να κυλίεται με ταχύτητα υ=6 m/s.
Να βρεθούν:

α) Το ύψος h και ο χρόνος που χρειάστηκε να το διανύσει.

β) Το διάστημα S και ο χρόνος που χρειάστηκε να το διανύσει.

Δίνονται:Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα του I=1/2·M·R²,
Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ κυλίνδρου και δαπέδου μ=0,2 και g=10 m/s²

ΛΥΣΗ

α) h=2,7 m,t1=0,9 s , 

β) S=1 m,t2=1 s

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Το σώμα Σ1 έχει μάζα m και μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές στο οριζόντιο επίπεδο.Η οδοντωτή ράβδος Ρ είναι αβαρής, οριζόντια, στην προέκταση του άξονα του ελατηρίου (που διέρχεται και από το κέντρο μάζας του Σ1) και όλες οι δυνάμεις που ασκούνται πάνω της είναι οριζόντιες.Ο οδοντωτός τροχός Σ2 έχει κι αυτός μάζα m και μπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα γύρω από τον στερεωμένο άξονά του Ο,ως προς τον οποίο έχει ροπή αδράνειας Ι=1/2∙m∙r².

Αν εκτρέψουμε το Σ1 οριζόντια από τη θέση ισορροπίας του κατά +Α προς τα δεξιά και τη στιγμή t=0 το αφήσουμε ελεύθερο,αρχίζει να εκτελεί ταλάντωση με τη βοήθεια του ελατηρίου,συμπαρασύροντας και τον τροχό σε στροφική ταλάντωση.

Συμπίπτει η σταθερά επαναφοράς D με τη σταθερά k του ελατηρίου;

α) Να αποδείξετε ότι η απομάκρυνση του Σ1 είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου.Συμπίπτει η σταθερά επαναφοράς D με τη σταθερά k του ελατηρίου;

β) Πόση είναι η μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου και πόση η ολική ενέργεια της ταλάντωσης του Σ1.

ΑΣΚΗΣΗ 2

Ένας τροχός ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο Α σε απόσταση x1=2 m από ένα δεύτερο μη λείο επίπεδο Β.Σε μια στιγμή,που θεωρούμε t=0,ασκούμε στο κέντρο του τροχού μια σταθερή οριζόντια δύναμη F=10 Ν.Τη χρονική στιγμή t1=2 s ο τροχός περνά στο Β επίπεδο ενώ τη στιγμή t2=3 s έχει διανύσει απόσταση x2=2,1 m στο επίπεδο αυτό.

α) Να βρεθεί η μάζα του τροχού.

β) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σημείου επαφής του τροχού με το έδαφος τις χρονικές στιγμές t1 και t2.

Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι ίση με Ι=1/2·Μ·R²,ενώ η τριβή που δέχεται στο Β επίπεδο έχει σταθερό μέτρο.

ΑΣΚΗΣΗ 3

Γύρω από ένα κύλινδρο ακτίνας R=0,5 m και μάζας Μ=100 kg τυλίγεται ένα αβαρές νήμα και στο άκρο του ασκούμε οριζόντια δύναμη F=400 Ν με σκοπό την υπερπήδηση ενός σκαλοπατιού ύψος h=0,2 m.

α) Θα υπερπηδήσει ο κύλινδρος το σκαλοπάτι;

β) Σε μια στιγμή αυξάνουμε το μέτρο της ασκούμενης δύναμης στην τιμή F1=800 Ν.
Πόση γωνιακή επιτάχυνση θα αποκτήσει ο κύλινδρος αμέσως μετά;

γ) Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου όταν έχει ανυψωθεί κατά 0,1 m από το έδαφος.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του που διέρχεται από τα κέντρα των δύο βάσεών του Ι=1/2·Μ·R² και g=10 m/s².

ΑΣΚΗΣΗ 4

Η τροχαλία του σχήματος έχει μάζα 4 kg και ηρεμεί όπως στο σχήμα, όπου ένα αβαρές νήμα έχει περαστεί στο αυλάκι της.Το ένα του άκρο του νήματος έχει δεθεί σε ταβάνι, ενώ το άλλο του άκρο Α συγκρατείται σε τέτοια θέση,ώστε να απέχει κατά h=0,36 m από το νταβάνι.Ασκούμε κατάλληλη σταθερή κατακόρυφη δύναμη F στο άκρο Α του νήματος,ώστε το άκρο αυτό να φτάσει στο ταβάνι σε χρόνο t1=0,6 s.

α) Να αποδειχθεί ότι η τροχαλία κινείται προς τα πάνω με σταθερή επιτάχυνση κέντρου μάζας.

β) Να δειχτεί ότι το άκρο Α έχει διπλάσια επιτάχυνση από το κέντρο Ο της τροχαλίας.Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του άκρου Α.

γ) Να βρεθεί το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της Ι=1/2·m·R² και g=10 m/s².

ΑΣΚΗΣΗ 5

Ένας ομογενής κύλινδρος μάζας Μ=80 kg και ακτίνας R=1m περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω0=10 rad/s, γύρω από τον άξονά του,που συνδέει τα κέντρα των δύο του βάσεων,όπως στο σχήμα.

Σε μια στιγμή φέρνουμε σε επαφή με τον κύλινδρο μια ομογενή δοκό μάζας m=30 kg και μήκους 4m,το άκρο της οποίας συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο.Στη θέση αυτή η δοκός είναι οριζόντια,ενώ (ΑΓ)=1 m.Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ δοκού και κυλίνδρου είναι μ=0,2 και g=10 m/s²,

α) Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση (επιβράδυνση) του κυλίνδρου.

β) Πόσες περιστροφές θα εκτελέσει ο κύλινδρος μέχρι να σταματήσει;

γ) Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει με τη δοκό η διεύθυνση της δύναμης που ασκείται από την άρθρωση, στη διάρκεια της επιβράδυνσης του κυλίνδρου.

Δίνεται για τον κύλινδρο Icm=1/2·m·R².

ΑΣΚΗΣΗ 6

Δύο σώματα με μάζες m1=3 kg και m2=1 kg είναι δεμένα με σχοινί αμελητέας μάζας, το οποίο διέρχεται από τροχαλία μάζας m=2 kg και ακτίνας R=0,1 m,όπως φαίνεται στο σχήμα.Τη χρονική στιγμή t=0 αφήνουμε τα σώματα ελεύθερα να κινηθούν.

Να βρείτε:

α) την επιτάχυνση των σωμάτων τη χρονική στιγμή t=10 s.

β) τη γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας τη χρονική στιγμή τη χρονική στιγμή t=10 s.

γ) το πλήθος των περιστροφών της τροχαλίας μέχρι τη χρονική στιγμή t=10 s.

δ) πόσο έχει κατέβει το σώμα μάζας m2 στον ίδιο χρόνο;
Δίνεται για την τροχαλία Icm=1/2·m·R².

ΑΣΚΗΣΗ 7

Η ράβδος του σχήματος έχει μήκος 4 m και μάζα m=30 kg,μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρο της Α,ενώ στηρίζεται σε κύλινδρο σε σημείο Μ,που απέχει 1 m από το άκρο της Β.Ο συντελεστής τριβής μεταξύ σανίδας και κυλίνδρου είναι μ=0,2,ενώ η γωνία κλίσεως της ράβδου έχει ημθ=0,6.Ο κύλινδρος στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω=1 rad/s,γύρω από τον άξονά του.

α) Να βρεθούν οι συνιστώσες της δύναμης που ασκείται από τον άξονα στη ράβδο,την Fx παράλληλη προς την ράβδο και Fy κάθετη σ’ αυτήν.

β) Πώς θα μεταβληθεί το μέτρο των παραπάνω συνιστωσών αν αυξήσουμε τη γωνιακή ταχύτητα στην τιμή ω1=2 rad/s;

γ) Πώς θα μεταβληθεί το μέτρο των παραπάνω συνιστωσών αντιστραφεί η φορά περιστροφής του κυλίνδρου;

ΑΣΚΗΣΗ 8

Η ράβδος ΑΒ μήκους 4 m και βάρους 100 Ν μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α και ισορροπεί όπως στο σχήμα,δεμένη με νήμα στο άκρο της Β,το οποίο είναι κάθετο σε αυτήν.Κατά μήκος της ράβδου κινείται ένα σώμα Σ μάζας m₁=5 kg με επιτάχυνση α=2 m/s².

Αν η κλίση της σανίδας είναι θ,όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8,να βρεθούν η τάση του νήματος και οι συνιστώσες της δύναμης που δέχεται η σανίδα από τον άξονα F_x και F_y,όπου η μια έχει την διεύθυνση της σανίδας και η άλλη κάθετη σε αυτήν τη στιγμή που το σώμα περνά από την θέση Ο,απέχοντας 1 m από το άκρο B. 

g=10 m/s².

ΑΣΚΗΣΗ 9

Πάνω σε μια παγωμένη λίμνη ηρεμεί μια ομογενής σανίδα μήκους 4 m.Σε μια στιγμή t=0 ένα κινούμενο υλικό σημείο Σ,συγκρούεται με τη σανίδα με αποτέλεσμα,αμέσως μετά την κρούση τα άκρα Α και Β της σανίδας να αποκτήσουν ταχύτητες υΑ=20 m/s και υΒ=40 m/s αντίστοιχα,όπως στο σχήμα (α).

α) Ποια η ταχύτητα του μέσου Ο της σανίδας.

β) Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της σανίδας,γύρω από το κέντρο μάζας της Ο.

γ) Σε πόσο χρόνο για πρώτη φορά η σανίδα θα βρεθεί στη θέση του σχήματος β;

ΑΣΚΗΣΗ 10

Στο σχήμα φαίνεται ο τροχός ενός αυτοκινήτου που κινείται με σταθερή ταχύτητα υ0=10 m/s σε οριζόντιο δρόμο.Το ανώτερο σημείο Α του τροχού έχει ταχύτητα υ1=15 m/s.

Ποιες προτάσεις είναι σωστές ή και ποιες λάθος:

α) Η μέγιστη γραμμική ταχύτητα ενός σημείου του τροχού είναι ίση με 5 m/s.

β) Μεταξύ της ταχύτητας του αυτοκινήτου υ0 και της γωνιακής ταχύτητας του τροχού ισχύει η σχέση υ0=2ω·R.

γ) To σημείο επαφής του τροχού με το έδαφος (σημείο Β) έχει μηδενική ταχύτητα.

δ) Ο τροχός του αυτοκινήτου σπινάρει.

ε) Για την ταχύτητα του σημείου Γ,που βρίσκεται στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας  ισχύει υΓ²=1,25·υ0².

στ) Δεν υπάρχει σημείο του τροχού με μηδενική ταχύτητα.

ζ) Το σημείο Α έχει μεγαλύτερη επιτάχυνση από το σημείο Β.

ΑΣΚΗΣΗ 11

H παρακάτω ράβδος ΑΓ του σχήματος είναι αβαρής  και έχει  μήκος L=1 m,την συγκρατούμε  σε οριζόντια θέση με τη βοήθεια εξωτερικών δυνάμεων.Η ράβδος μπορεί να περιστρέφετε γύρω από οριζόντιο καρφί  στη θέση Ο. 

Στο κάθε άκρο Α και Γ  της ράβδου πριτσινώνουμε δύο τροχαλίες μάζας Μ1=4 Κg και Μ2=2 Kg με ίδιες ακτίνες R1=R2=10 cm που μπορούν να περιστρέφονται χωρίς τριβές γύρω από δύο οριζόντιους άξονες και παράλληλους με τον άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο.

ΑΣΚΗΣΗ 12

Γύρω από έναν κύλινδρο ακτίνας R=0,4 m,ο οποίος ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο,τυλίγουμε ένα αβαρές νήμα,στο άκρο Α του οποίου ασκούμε σταθερή οριζόντια δύναμη F=10 Ν.Μετά από λίγο ο κύλινδρος έχει μετακινηθεί κατά x=16 m,ενώ έχει περιστραφεί κατά γωνία θ=80 rad.

Α) Πόσο είναι το έργο της δύναμης F (σαν δύναμης).

Β) Πόσο είναι το έργο της ροπής της δύναμης;

Γ) Το συνολικό έργο της δύναμης είναι:

α)160 J

β)320 J

γ)480 J

Δ)Το σημείο Α έχει μετακινηθεί κατά

α)16 m

β)32 m

γ)48 m

Ε) Να βρεθεί η μεταφορική και η περιστροφική κινητική ενέργεια του κυλίνδρου.

ΑΣΚΗΣΗ 13

Μια ομογενής ράβδος μήκους ℓ=48/5π m≈3 m εκτοξεύεται από το έδαφος κατακόρυφα προς τα πάνω και φτάνει σε ύψος Η.Στο σχήμα, η πάνω θέση της ράβδου θέση (1),αντιστοιχεί στο μέγιστο ύψος,ενώ μετά από λίγο η ράβδος φτάνει στη θέση (2) έχοντας στραφεί κατά γωνία θ=π/3,έχοντας κατέλθει κατά h=0,8 m.

α) Βρείτε το χρονικό διάστημα για την μετακίνηση της ράβδου από τη θέση (1) στη θέση (2).

β) Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου;

γ) Να υπολογίστε τις ταχύτητες των άκρων Α και Β της ράβδου στις δύο παραπάνω θέσεις και να τις σχεδιάστε πάνω στο σχήμα.
Δίνεται g=10 m/s².

ΑΣΚΗΣΗ 14

Ο τροχός του σχήματος μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα χωρίς τριβές Ο τροχός αρχικά είναι ακίνητος.Ασκούμε πάνω στον τροχό σταθερή ροπή μέσω μιας δύναμης F.

Όταν ο τροχός έχει στραφεί κατά γωνία θ=12 rad έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω=20 rad/s.Ενώ ταυτόχρονα παύει να ασκείται η δύναμη,και ο τροχός συνεχίζει να στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα.Στη συνέχεια μάζα m=2 Κg πέφτει κατακόρυφα από μικρό ύψος και προσκολλάται σε απόσταση d=10 cm από τον άξονα περιστροφής.Αν η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι Ι=0,18 kg·m² να βρεθούν:

α) Η ροπή της δύναμης F.

β) Ο ρυθμός με τον οποίο η δύναμη F πρόσφερε ενέργεια στον τροχό ένα δευτερόλεπτο μετά που άρχισε να ασκείται πάνω του.

γ) Η γραμμική ταχύτητα της μάζας m μετά που κόλλησε στο τροχό.

δ) Ασκώντας στη συνέχεια την κατάλληλη δύναμη στον άξονα περιστροφής του τροχού τον μετακινούμε ώστε να γίνει οριζόντιος να υπολογίσετε το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής του συστήματος τροχού μάζας m.

ΑΣΚΗΣΗ 15

Ο τροχός ενός αυτοκινήτου έχει ακτίνα R=0,8 m.Τα αυτοκίνητο για t=0 ξεκινά από την ηρεμία με επιτάχυνση 2 m/s² ενώ ο τροχός αποκτά σταθερή γωνιακή επιτάχυνση αγων=2 rad/s².

Για τη χρονική στιγμή t=5 s,να υπολογιστούν:

Α) Η ταχύτητα του αυτοκινήτου και η μετατόπιση του κέντρου Ο του τροχού του.

Β) Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του τροχού.

Γ) Η ταχύτητα και η οριζόντια επιτάχυνση του σημείου επαφής Α του τροχού με το έδαφος.

Δ) Ο τροχός του αυτοκινήτου:

α) Κυλίεται χωρίς ολίσθηση

β) Ολισθαίνει

γ) Σπινάρει.         

Επιλέξτε την σωστή απάντηση δικαιολογώντας την άποψή σας.

ΑΣΚΗΣΗ 16

Σώμα μάζας m=5 kg είναι δεμένο στην άκρη νήματος, το οποίο τυλίγεται σε τροχαλία ακτίνας R=20 cm.Αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί.
Αν η τάση του νήματος είναι Τ=40 Ν και g=10 m/s²,να υπολογίσετε: 

α) τη γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας,

β) τη ροπή αδράνειας της τροχαλίας,

γ) πόσο μετατοπίζεται το σώμα από τη χρονική στιγμή που αφέθηκε ελεύθερο να κινηθεί μέχρι τη χρονική στιγμή t=2 s,

δ) το λόγο της κινητικής ενέργειας του σώματος προς την κινητική ενέργεια της τροχαλίας.

ΑΣΚΗΣΗ 17

Ομογενής ράβδος ΟΑ, μήκους L,περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο και είναι κάθετος στη ράβδο.Αρχικά η ράβδος είναι ακίνητη και τη χρονική στιγμή t=0 ξεκινά να περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση μέτρου αγων(1)=8 rad/s².Τη χρονική στιγμή t1=12 s η ράβδος αποκτά σταθερή γωνιακή επιβράδυνση μέτρου αγων(2)=16 rad/s².
α) Να υπολογίσετε πόσες περιστροφές κάνει η ράβδος μέχρι να σταματήσει
β) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις ω=f(t) και αγων=f(t)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Η γωνιακή ταχύτητα ενός τροχού που στρέφεται μεταβάλλεται με το χρόνο,όπως φαίνεται στο διάγραμμα του παρακάτω σχήματος. 

Ποια είναι η γωνιακή επιτάχυνση του τροχού;
Ποια χρονική στιγμή η γωνιακή ταχύτητα του τροχού θα έχει τιμή 20 rad/s;

ΛΥΣΗ

0,25 rad/s, 
72 s

ΑΣΚΗΣΗ 2

Ένα όχημα κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα 20 m/s.Οι τροχοί του έχουν ακτίνα 40 cm.
Υπολογίστε τη γωνιακή ταχύτητα με την οποία  τρέφονται.

ΛΥΣΗ

50 rad/s

ΑΣΚΗΣΗ 3

Ένα όχημα, οι τροχοί του οποίου έχουν ακτίνα r=40 cm,κινείται με επιτάχυνση 2 m/s².
Με ποιο ρυθμό αυξάνεται η γωνιακή ταχύτητα των τροχών του; 

ΛΥΣΗ

5 rad/s²

ΑΣΚΗΣΗ 4

Ένας δίσκος ακτίνας 8 cm κυλίεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο.Η ταχύτητα του κέντρου του δίσκου είναι 5 m/s.
Υπολογίστε:
α) την ταχύτητα με την οποία κινείται το ανώτερο σημείο του δίσκου.
β) τη συχνότητα με την οποία στρέφεται.

ΛΥΣΗ

α) 10 m/s, 
β) 9,9 Hz 

ΑΣΚΗΣΗ 5

Τη χρονική στιγμή μηδέν το κέντρο ενός τροχού, ακτίνας R=20 cm,που κυλίεται,έχει ταχύτητα υο=8 m/s.Η ταχύτητα του τροχού μηδενίζεται αφού διανύσει απόσταση x=20 m.
Ποια είναι η γωνιακή επιβράδυνση του,αν θεωρήσουμε ότι είναι σταθερή στη διάρκεια της κίνησης; 

ΛΥΣΗ

8 rad/s²

ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ 6

Ένας εργάτης,για να σφίξει μια βίδα, χρησιμοποιεί κλειδί μήκους 20 cm.Η μέγιστη δύναμη που μπορεί να ασκήσει ο εργάτης είναι 200 Ν.
Ποια είναι η μέγιστη ροπή που μπορεί να ασκήσει;
Πώς πρέπει να ασκηθεί η δύναμη ώστε η ροπή να είναι μέγιστη; 

ΛΥΣΗ

40 Ν·m

ΑΣΚΗΣΗ 7

Ο τροχός του παρακάτω σχήματος έχει ακτίνα R=0,5 m και μπορεί να στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Ο και είναι κάθετος στο επίπεδο του.Στον τροχό ασκούνται εφαπτομενικά οι δυνάμεις F1=20 N και F2=30 N. 

Ποια είναι η συνολική ροπή που δέχεται ο τροχός; 

ΛΥΣΗ

5 Ν·m 

ΑΣΚΗΣΗ 8

Η ράβδος του παρακάτω σχήματος έχει αμελητέο βάρος και μπορεί να στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο και είναι κάθετος σ' αυτή.Στη ράβδο ασκούνται οι δυνάμεις F1=20 N,F2=2 N και F3=10 Ν. 

Να υπολογίσετε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων που ασκούνται στη ράβδο ως προς το σημείο Ο.
Δίνονται: x=2 m και φ=30°

ΛΥΣΗ

16 N·m                      

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΑΣΚΗΣΗ 9

Το βαρούλκο ενός πηγαδιού αποτελείται από τύμπανο ακτίνας R1=20 cm,στο οποίο είναι προσαρμοσμένη χειρολαβή, μήκους R2=0,5 m.Όταν στρέφεται η χειρολαβή,το σκοινί τυλίγεται στο τύμπανο και έλκει φορτίο (κουβάς με νερό) βάρους 150 Ν.
Να υπολογίσετε την ελάχιστη δύναμη που πρέπει να ασκηθεί στη χειρολαβή ώστε να ανεβαίνει το φορτίο. 

ΛΥΣΗ

60 Ν

ΑΣΚΗΣΗ 10

Από τα άκρα Α και Β αβαρούς ράβδου,μήκους l=2 m,κρέμονται με σκοινιά δύο βάρη w1=200 Ν και w2=300 Ν. 

Σε ποιο σημείο πρέπει να στηριχτεί η ράβδος για να ισορροπεί οριζόντια; 

ΛΥΣΗ

1,2 m από το άκρο Α 

ΑΣΚΗΣΗ 11

Ο ελαιοχρωματιστής του παρακάτω σχήματος στέκεται πάνω σε δοκό μήκους l=4 m και βάρους w1=150 Ν.Η δοκός στηρίζεται στα σημεία Α και Β που απέχουν το καθένα 1 m,από τα άκρα της.Το βάρος του ελαιοχρωματιστή είναι w2=700 Ν. 

Σε πόση απόσταση από τις άκρες μπορεί να σταθεί ο ελαιοχρωματιστής χωρίς να ανατραπεί η δοκός; 

ΛΥΣΗ

79 cm

ΑΣΚΗΣΗ 12

Ομογενής δοκός ΑΓ με μήκος l και βάρος w1=100 Ν ισορροπεί οριζόντια.Το άκρο Α της δοκού συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο.Το άλλο άκρο της Γ συνδέεται με τον τοίχο με σκοινί που σχηματίζει γωνία φ=30° με τη δοκό.Στο άκρο Γ κρέμεται με σκοινί σώμα βάρους w2=40 Ν. 

Υπολογίστε την τάση του σκοινιού και τη δύναμη που δέχεται η δοκός από τον τοίχο. 

ΛΥΣΗ

Τ=180 Ν, 
F=163,7 Ν, 
εφθ=0,32

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ 13

Καθένα από τα τέσσερα πτερύγια του έλικα του ελικοπτέρου μπορεί να θεωρηθεί ομογενής ράβδος.Το μήκος κάθε πτερυγίου είναι 6m και η μάζα του 100 kg. 

Υπολογίστε τη ροπή αδράνειας των τεσσάρων πτερυγίων ως προς τον άξονα περιστροφής τους.
Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας ομογενούς ράβδου μήκους L,ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σ' αυτή,είναι I =1/12·M·L².

ΛΥΣΗ

4800 kg·m² 

ΑΣΚΗΣΗ 14

Στην περιφέρεια ενός τροχού, μάζας Μ=2 kg και ακτίνας R=0,5 m,που στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω=100 rad/s γύρω από τον άξονά του ασκείται σταθερή δύναμη F,εφαπτομενική στον τροχό.Ο τροχός σταματάει μετά από 5s.
Να υπολογίσετε:
α) τη γωνιακή επιτάχυνση (επιβράδυνση) του τροχού, 
β) το μέτρο της δύναμης F. 
Η ροπή αδράνειας του τροχού είναι I=1/2·M·L².

ΛΥΣΗ

α) 20 rad/s², 
β) 10 N

ΑΣΚΗΣΗ 15

Οριζόντια ομογενής ράβδος, μήκους L=1 m,μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. 

Ποια είναι η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου,τη στιγμή που,από την οριζόντια θέση,αφήνεται ελεύθερη;
Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι I=1/3 ML² και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s²

ΛΥΣΗ

15 rad/s²

ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ-ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ 16

Δύο σφαίρες, που η καθεμιά έχει μάζα m=100 g συνδέονται μεταξύ τους με αβαρή ράβδο, όπως στο παρακάτω σχήμα.Το σύστημα περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο με γωνιακή ταχύτητα ω=16 rad/s,γύρω από τον κατακόρυφο άξονα z'z. 

Να υπολογίσετε τη στροφορμή του συστήματος.
Δίνεται l=0,8m

ΛΥΣΗ

5,12 kg·m²/s 

ΑΣΚΗΣΗ 17

Υπολογίστε τη στροφορμή ενός τροχού μάζας Μ=2 kg και ακτίνας R=0,4 m,που στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω=10 rad/s γύρω από τον άξονά του.
Θεωρήστε ότι η μάζα του τροχού βρίσκεται συγκεντρωμένη στην περιφέρειά του.

ΛΥΣΗ

3,2 kg·m²/s

ΑΣΚΗΣΗ 18

Οριζόντιος δίσκος ακτίνας 20 cm και μάζας 1 kg στρέφεται με συχνότητα 2 Hz γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνάει από το κέντρο του.Από κάποιο ύψος αφήνεται ένα κομμάτι λάσπη μάζας 100gr,που κολλάει στο δίσκο σε απόσταση 10 cm από τον άξονα περιστροφής.
Να υπολογίσετε τη νέα συχνότητα περιστροφής. 
Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι I=1/2·M·L².

ΛΥΣΗ

1,9 Hz

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ-ΕΡΓΟ 

ΑΣΚΗΣΗ 19                                        

Ομογενής ράβδος μάζας Μ=3 kg και μήκους 1=40 cm στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω=10 rad/s γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της και είναι κάθετος σ' αυτήν. Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια της ράβδου.
Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος στη ράβδο είναι I=1/12·M·L².

ΛΥΣΗ

8 J

ΑΣΚΗΣΗ 20

Ομογενής δίσκος μάζας Μ=8 kg και ακτίνας R κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο.Το κέντρο του δίσκου κινείται με ταχύτητα υ=5 m/s.
Να βρεθεί η κινητική ενέργεια του δίσκου.
Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα που περνάει από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδο του είναι I=1/2·M·R².

ΛΥΣΗ

150 J

ΑΣΚΗΣΗ 21

Ένας κινητήρας ασκεί ροπή 4 N·m και στρέφεται με συχνότητα 50 Hz.
Ποια είναι η ισχύς του;

ΛΥΣΗ

400π W   

ΑΣΚΗΣΗ 22

Ομογενής δίσκος μάζας m=40 kg και ακτίνας R=20 cm,στρέφεται με συχνότητα 5 Hz γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος σ' αυτόν. 
α) Πόσο έργο απαιτείται για να ακινητοποιηθεί ο δίσκος; 
β) Υπολογίστε τη μέση ισχύ της ροπής που πρέπει να ασκηθεί στο δίσκο για να ακινητοποιηθεί σε 5 s.
Δίνεται I=1/2·M·R² και π²≈10.

ΛΥΣΗ

α) 400 J, 
β) 80 W 

ΑΣΚΗΣΗ 23

Η ράβδος του παρακάτω σχήματος που έχει μήκος L=2 m και μάζα Μ= 3 kg,είναι οριζόντια και στρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο.Στο άλλο άκρο Α της ράβδου ασκείται οριζόντια δύναμη μέτρου F=10 Ν που είναι διαρκώς κάθετη στη διεύθυνση της ράβδου.Η ράβδος αρχικά ήταν ακίνητη και με την επίδραση της δύναμης F αρχίζει να στρέφεται. 

Να υπολογίσετε:
α) Το έργο της δύναμης F,σε μία περιστροφή της ράβδου.
β) Τη γωνιακή ταχύτητα που θα έχει αποκτήσει η ράβδος τη στιγμή κατά την οποία θα έχει ολοκληρώσει μια περιστροφή.
γ)  Το ρυθμό με τον οποίο η δύναμη μεταφέρει ενέργεια στη ράβδο (ισχύς της δύναμης) την ίδια στιγμή.
Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι I=1/3·M·L².

ΛΥΣΗ

α) W=40π J, 
β) ω=7,9 rad/s, 
γ) P=158 W

ΑΣΚΗΣΗ 24

Η ομογενής ράβδος ΑΓ,μήκους l=30 cm και μάζας m,είναι κατακόρυφη και μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α.Η ράβδος αφήνεται από την κατακόρυφη θέση. 

Να υπολογίσετε την ταχύτητα που έχει το σημείο Γ,τη στιγμή που φτάνει στο έδαφος.
Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα κάθετο στο μέσον της είναι I=1/12·M·l² και η επιτάχυνση της βαρύτητας  επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s².

ΛΥΣΗ

3 m/s

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Ομογενής δοκός ΑΓ μήκους l και βάρους w=100 Ν ισορροπεί όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. 

Να υπολογίσετε τις δυνάμεις που δέχεται η δοκός από το σκοινί και από την άρθρωση Α.
Δίνεται φ=60°. 

ΛΥΣΗ

T=50 N,F = 50  N,εφθ=2/3

ΑΣΚΗΣΗ 2

Το εμπόδιο έχει ύψος h και ο τροχός ακτίνα R και βάρος w.Για ποιες τιμές της οριζόντιας δύναμης F ο τροχός θα υπερπηδήσει το εμπόδιο.

ΑΣΚΗΣΗ 3

Ομογενής σκάλα μπορεί να ισορροπήσει στηριζόμενη στο έδαφος και στον τοίχο μόνο όταν η γωνία φ που σχηματίζει με το έδαφος είναι μεγαλύτερη των 30°. 

Να υπολογίσετε το συντελεστή οριακής στατικής τριβής της σκάλας με το οριζόντιο επίπεδο.
Θεωρήστε αμελητέα την τριβή ανάμεσα στη σκάλα και τον τοίχο. 

ΛΥΣΗ

√ 3/2

ΑΣΚΗΣΗ 4

Ο πίσω τροχός ενός ποδηλάτου έχει ακτίνα R=0,30 m και μάζα 1 kg.Ο τροχός στρέφεται με συχνότητα 100 στροφές ανά λεπτό-χωρίς να έρχεται σε επαφή με το έδαφος.Χρησιμοποιώντας το φρένο ακινητοποιούμε τον τροχό σε 5 s.Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης στην επαφή τροχού-φρένου,είναι π/5.
Να υπολογίσετε την κάθετη δύναμη που ασκεί το φρένο στον τροχό.
(Θεωρήστε ότι το φρένο έρχεται σε επαφή με τον τροχό μόνο από τη μια του πλευρά και ότι η μάζα του τροχού είναι συγκεντρωμένη στην περιφέρεια του).

ΛΥΣΗ

1 Ν                          

ΑΣΚΗΣΗ 5

Η ράβδος του παρακάτω σχήματος είναι οριζόντια και μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το μέσον της.Το μήκος της ράβδου είναι L=1 m και η μάζα της Μ=0,6 kg.Σε απόσταση r=0,2 m από τον άξονα περιστροφής βρίσκονται δύο μεταλλικοί δακτύλιοι μάζας m=0,1 kg ο καθένας,που συνδέονται μεταξύ τους με ένα νήμα.Το σύστημα στρέφεται γύρω από τον άξονα με συχνότητα f1=10 Hz.Κάποια στιγμή το νήμα σπάει και οι δακτύλιοι,λόγω αδράνειας ωθούνται στα άκρα της ράβδου. 

Υπολογίστε τη νέα συχνότητα με την οποία θα στρέφεται το σύστημα.Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της είναι I=1/12·M·L².

ΛΥΣΗ

5,8 Hz

ΑΣΚΗΣΗ 6

Η ταχύτητα του κέντρου μάζας μιας σφαίρας που κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο είναι 5 m/s.Η σφαίρα στην πορεία της συναντά πλάγιο επίπεδο γωνίας κλίσης 30° και συνεχίζει πάνω σ' αυτό την κίνηση της.Η κίνηση της σφαίρας γίνεται χωρίς ολίσθηση.
Να υπολογίσετε το διάστημα που διανύει η σφαίρα στο πλάγιο επίπεδο μέχρι να σταματήσει.
Η ροπή αδράνειας της σφαίρας,ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της,είναι m·R².
Δίνεται g=10m/s².

ΛΥΣΗ

3,5 m

ΑΣΚΗΣΗ 7

Συμπαγής σφαίρα κατεβαίνει χωρίς ολίσθηση σε πλάγιο επίπεδο με κλίση 30°.Η ροπή αδράνειας της σφαίρας,ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της,είναι m·R² και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s².
Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου της σφαίρας.

ΛΥΣΗ

25/7 m/s²

ΑΣΚΗΣΗ 8

Η τροχαλία του παρακάτω σχήματος είναι ομογενής με μάζα m=2 kg και ακτίνα R.Τα σώματα Σ1 και Σ2 έχουν μάζες m1=3 kg και m2=1 kg. 

Να υπολογίσετε με ποια επιτάχυνση θα κινηθούν τα σώματα αν αφεθούν ελεύθερα.
Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονά της είναι I=1/2·M·R² και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s².
Το βάρος  του νήματος θεωρείται αμελητέο.
Σημείωση: Η τριβή ανάμεσα στην τροχαλία και στο σκοινί είναι αρκετά μεγάλη ώστε να μην παρατηρείται ολίσθηση.

ΛΥΣΗ

α=4 m/s²

ΑΣΚΗΣΗ 9

Το σφαιρίδιο Σ του παρακάτω σχήματος έχει μάζα 200 g και διαγράφει κύκλο ακτίνας 30 cm με γωνιακή ταχύτητα 40 rad/s.Το σκοινί στο οποίο είναι δεμένο το σφαιρίδιο περνάει από κατακόρυφο σωλήνα ΚΑ. 

Ποιο είναι το έργο της δύναμης F που πρέπει να ασκήσουμε στην ελεύθερη άκρη του σκοινιού μέχρις ότου η ακτίνα περιστροφής του σφαιριδίου Σ γίνει 15 cm.
(Θα θεωρήσετε ότι σ' όλη τη διάρκεια του φαινομένου το σκοινί είναι οριζόντιο και ότι δεν υπάρχουν τριβές μεταξύ του σκοινιού και του σωλήνα).

ΛΥΣΗ

43,2 J

ΑΣΚΗΣΗ 10

Ο τροχός του παρακάτω σχήματος έχει ροπή αδράνειας,ως προς τον άξονά του,0,18 kg·m² και στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω=25 rad/s γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του.Ασκώντας στο σημείο Α του άξονα περιστροφής την κατάλληλη δύναμη τον μετακινούμε ώστε να γίνει κατακόρυφος. 

Υπολογίστε το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής του τροχού.

ΛΥΣΗ

4,5 kg m²/s

ΑΣΚΗΣΗ 11

Στην περιφέρεια μιας ακίνητης τροχαλίας,ακτίνας 20 cm,είναι τυλιγμένο σκοινί.Ασκώντας στο σκοινί οριζόντια δύναμη 20π Ν περιστρέφουμε την τροχαλία.Βρέθηκε ότι όταν η τροχαλία έχει κάνει τέσσερις περιστροφές έχει γωνιακή ταχύτητα ω=8π rad/s. 

Να υπολογιστεί η μάζα της.
Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι I=1/2·m·R².

ΛΥΣΗ

 50 kg

ΑΣΚΗΣΗ 12

Ένας τροχός αφήνεται να κινηθεί σε πλάγιο επίπεδο που σχηματίζει με το οριζόντιο γωνία φ.
Για ποιες τιμές του συντελεστή οριακής στατικής τριβής η κίνησή του γίνεται χωρίς ολίσθηση;
Δίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα γύρω από τον οποίο στρέφεται I=1/2·m·R².

ΛΥΣΗ

μs>εφφ/3

ΑΣΚΗΣΗ 13

Το γιο-γιο του σχήματος αποτελείται από κύλινδρο με μάζα m=120 g και ακτίνα R=1,5 cm,γύρω από τον οποίο έχει τυλιχτεί πολλές φορές νήμα.Κρατώντας το ελεύθερο άκρο του νήματος, αφήνουμε τον κύλινδρο να κατεβαίνει. 

Να υπολογίσετε:
α) το ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται η στροφορμή του κυλίνδρου καθώς κατεβαίνει,και
β) την ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου τη στιγμή που έχει ξετυλιχτεί σκοινί μήκους 30 cm.
Θεωρήστε το νήμα κατακόρυφο.
Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του είναι I =1/2·m·R².
Δίνεται g=10 m/s².

ΛΥΣΗ

α) 6x10^-3 kg·m²/s 
β) 2 m/s

ΑΣΚΗΣΗ 14

Μια μικρή σφαίρα μάζας m και ακτίνας r αφήνεται από το σημείο Α,πάνω σε οδηγό,όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. 

Αν η κίνηση της σφαίρας γίνεται χωρίς ολίσθηση,ποιο είναι το μικρότερο ύψος h από το οποίο πρέπει να αφεθεί η σφαίρα για να κάνει ανακύκλωση;
Δίνεται R=20 cm.
Η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της είναι I=2/5·m·r².
Η ακτίνα της σφαίρας είναι πολύ μικρή σε σχέση με την ακτίνα R.

ΛΥΣΗ

54 cm

ΑΣΚΗΣΗ 15

Οι άξονες δύο ομοίων κυλίνδρων Κ1 και Κ2 είναι παράλληλοι,βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και σε απόσταση d.Αφήνουμε μία ισοπαχή ομογενή σανίδα Σ πάνω στους κυλίνδρους έτσι ώστε το μέσον της να βρίσκεται πάνω από το μέσον της απόστασης Κ1Κ2 και με κατάλληλο μηχανισμό βάζουμε τους κυλίνδρους σε περιστροφή,όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα. Μετατοπίζουμε λίγο τη σανίδα από τη θέση ισορροπίας της και την αφήνουμε ελεύθερη. 

Να βρείτε την περίοδο της ταλάντωσης που θα εκτελέσει.Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης της σανίδας με τους κυλίνδρους είναι μκ και η επιτάχυνση της βαρύτητας g.

ΛΥΣΗ

2π·√d/2μκ·g

ΑΣΚΗΣΗ 16

Ένα ηλεκτρικό τρενάκι μάζας m=2 kg μπορεί να κινείται πάνω σε ένα μεγάλο οριζόντιο τροχό.Ο τροχός μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του.Αρχικά και ο τροχός και το τρενάκι είναι ακίνητα.Κάποια στιγμή το τρενάκι αρχίζει να κινείται με ταχύτητα υ=8,4 m/s. 

Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα με την οποία θα στρέφεται ο τροχός.
Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονά του είναι περιστροφής R=1,2 m.

ΛΥΣΗ

1,75 rad/s