2.1 Ακριβείς σχέσεις μεταξύ φ και π
Οι 47 ακριβείς σχέσεις μεταξύ της χρυσής τομής φ και της σταθεράς π είναι:
1) φ=2∙cos(π/5)
2) φ=2∙sin(3∙π/10)
3) φ=1/2∙cos(2π/5)
4) φ=1/2∙sin(π/10)
5) φ=-2∙cos(4∙π/5)
6) φ=1-2∙cos(3∙π/5)
7) φ=(1/2)∙sec(2∙π/5)
8) φ=(1/2)∙csc(π/10)
9) φ=sin(3∙π/10)/sin(π/6)
10) φ=sin(π/6)/sin(π/10)
11) φ=sin(2∙π/5)/sin(π/5)
12) φ=sin(5π/6)/sin(π/10)
13) φ=sin(7∙π/10)/sin(π/6)
14) (3-φ)1/2=2∙sin(π/5)
15) (φ∙√5)1/2=2∙cos(π/10)
16) cos(π/1+φ)+cos(π/φ)=0
17) φ=[π+(5∙π2)1/2]/2∙π
18) (2-φ)1/2=2∙cos(2∙π/5)
19) [2-(1/φ)]1/2=2∙cos(3∙π/10)
20) [2+(1/φ)]1/2=2∙cos(π/5)
21) (2+φ)1/2=2∙cos(π/10)
22) (2-φ)1/2=2∙sin(π/10)
23) (2-φ-1)1/2=2∙sin(π/5)
24) (2+φ-1)1/2=2∙sin(3∙π/10)
25) (2+φ)1/2=2∙sin(2∙π/5)
26) [2+(2+φ)1/2]1/2=2∙cos(π/20)
27) [2+(2+φ-1)1/2]1/2=2∙cos(π/10)
28) [2+(2-φ-1)1/2]1/2=2∙cos(3∙π/20)
29) [2+(2-φ)1/2]1/2=2∙cos(π/5)
30) [2-(2-φ)1/2]1/2=2∙cos(3∙π/10)
31) [2-(2-φ-1)1/2]1/2=2∙cos(7∙π/20)
32) [2-(2+φ-1)1/2]1/2=2∙cos(2∙π/5)
33) [2-(2+φ)1/2]1/2=2∙cos(9∙π/20)
34) [2+(2+φ)1/2]1/2=2∙sin(9∙π/20)
35) [2+(2+φ-1)1/2]1/2=2∙sin(2∙π/5)
36) [2+(2-φ)1/2]1/2=2∙sin(7∙π/20)
37) [2+(2-φ)1/2]1/2=2∙sin(3∙π/10)
38) [2-(2-φ)1/2]1/2=2∙sin(π/5)
39) [2-(2-φ-1)1/2]1/2=2∙sin(3∙π/20)
40) [2-(2+φ-1)1/2]1/2=2∙sin(π/10)
41) [2-(2+φ)1/2]1/2=2∙sin(π/20)
43) φ-1+(3∙φ∙√5)1/2=4∙cos(π/15)
44) (φ∙√5)1/2=2∙cos(π/10)
45) φ+(3∙φ-1∙√5)1/2=4∙cos(2∙π/15)
46) -φ-1+(3∙φ∙√5)1/2=4∙cos(4∙π/15)
47) -φ+(3∙φ-1∙√5)1/2=4∙cos(7∙π/15)
2.2 Ακριβείς σχέσεις μεταξύ φ και e
Oι 11 ακριβείς σχέσεις μεταξύ φ και e είναι:
1) e=(2∙φ-1)2/ln(5)
2) φ=(1+eln5/2)/2
3) φ=e(1/2)ln(φ/φ-1)
4) e-[ln(φ)+ln(1-φ)]+1=0
5) φ=eln(-1)/5+e-ln(-1)/5
6) eln5/2=2∙e(1/2)ln(φ/φ-1)-1
7) eln5/2=2∙eln(-1)/5+2∙e-ln(-1)/5-1
8) e(1/2)ln(φ/φ-1)=eln(-1)/5+e-ln(-1)/5
9) φ=e[ln(φ)+ln(1-φ)]/5+e-[ln(φ)+ln(1-φ)]/5
10) e(1/2)ln(φ/φ-1)=e[ln(φ)+ln(1-φ)]/5+e-[ln(φ)+ln(1-φ)]/5
11) e[ln(φ)+ln(1-φ)]/1+φ+e-[ln(φ)+ln(1-φ)]/1+φ+e[ln(φ)+ln(1-φ)]/φ+e-[ln(φ)+ln(1-φ)]/φ=0
2.3 Ακριβείς σχέσεις μεταξύ π και e
Οι 8 ακριβείς σχέσεις μεταξύ της σταθεράς π και της σταθεράς e είναι:
1) eln5/2=4∙cos(π/5)-1
2) eln5/2=4∙sin(3∙π/10)-1
3) eln5/2=1-4∙cos(3∙π/5)
4) eln5/2=sec(2∙π/5)-1
5) eln5/2=csc(π/10)-1
6) 2∙sin(π/5)=[3-(1+eln5/2)/2)]½
7) cos[π/1+(1+eln5/2)/2)]+cos[2∙π/(1+eln5/2)]=0
8) eln5/2={[π+(5∙π2)1/2]/π}-1
2.4 Ακριβείς σχέσεις μεταξύ π και i
Οι 3 ακριβείς σχέσεις της σταθεράς π και της φανταστικής μονάδας i είναι:
1) π=2∙lni/i
2) π=2∙i∙log(1-i/1+i)
3) π=-i∙ln(-1)
2.5 Ακριβείς σχέσεις μεταξύ φ και i
Οι 12 ακριβείς σχέσεις μεταξύ της χρυσής τομής φ και της φανταστικής μονάδας i είναι:
1) φ1/2+i∙φ-1/2=(1+2∙i)1/2
2) φ3/2+i∙φ-3/2=2∙[1+(i/2)]1/2
3) 2∙sin(i∙lnφ)=i
4) sin2(i∙lnφ)=-1/4
5) φ=[ln(cosφ+i∙sinφ)]/i
6) 2∙sin(i∙lnφ)=e-lnφ-elnφ/i
7) 2∙sin(i∙lnφ)=-i∙[(1/φ)-φ]
8) φ=2∙cos(2∙lni/5∙i)
9) φ=2∙sin(3∙lni/5∙i)
10) φ=1-2∙cos(6∙lni/5∙i)
11) φ=(1/2)∙sec(4∙lni/5∙i)
12) φ=(1/2)∙csc(lni/5∙i)
13) 2∙sin(2∙lni/5∙i)=(3-φ)1/2
14) cos(2∙lni/i∙(1+φ)+cos(2∙lni/i∙φ)=0
2.6 Ακριβείς σχέσεις μεταξύ e και i
Οι 11 ακριβείς σχέσεις μεταξύ της της σταθεράς e και της φανταστικής μονάδας i είναι:
1) cosi=(e+1)/2∙e
2) sini=(e-1)∙i/2∙e
3) e2-1=2∙i∙e∙sini
4) sini=e-1-e/2∙i
5) e-1-e=2∙i∙sini
6) eln5/2=4∙cos(2∙lni/5∙i)-1
7) eln5/2=4∙sin(3∙lni/5∙i)-1
8) eln5/2=1-4∙cos(6∙lni/5∙i)
9) eln5/2=sec(4∙lni/5∙i)-1
10) eln5/2=csc(lni/5∙i)-1
11) 2∙sin(2∙lni/5∙i)=[3-(1+eln5/2)/2]1/2
2.7 Ακριβείς σχέσεις π,φ και i
Οι 4 ακριβείς σχέσεις μεταξύ της σταθεράς π,της χρυσής τομής φ και της της φανταστικής μονάδας i είναι:
1) sin[(π/2)-i∙lnφ]=√5/2
2) i∙π=ln(φ)+ln(1-φ)
3) π=-5∙i∙log{(1/2)∙[φ+i∙(4-φ2)1/2]}
4) φ=(2∙φ-1)2iπ/5ln(5)+(2∙φ-1)-2iπ/5ln(5)
2.8 Ακριβείς σχέσεις μεταξύ φ,e και i
Οι 3 ακριβείς σχέσεις μεταξύ της χρυσής τομής φ,της σταθεράς e και της της φανταστικής μονάδας i είναι:
1) eiφ=cosφ+i∙sinφ
2) φ=e2lni/5+e-2lni/5
3) eiφ=cos(e2lni/5+e-2lni/5)+i∙sin(e2lni/5+e-2lni/5)
2.9 Ακριβείς σχέσεις φ,π και e
Οι 3 ακριβείς σχέσεις μεταξύ της σταθεράς π,της χρυσής τομής φ και της σταθεράς e είναι:
1) 2∙cos(π/5)=e(1/2)ln(φ/φ-1)
2) 2∙cos(π/5)=e[ln(φ)+ln(1-φ)]/5+e-[ln(φ)+ln(1-φ)]/5
3) φ=e{ln[2cos(π/5)]+ln(2φ-1)}/5+e-iπ{ln[2cos(π/5)]+ln(φ-1)}/5
3.Προσεγγιστικές σχέσεις μαθηματικών σταθερών
3.1 Προσεγγιστικές σχέσεις μεταξύ φ και π
Οι 25 προσεγγιστικές σχέσεις μεταξύ της χρυσής τομής φ και της σταθεράς π είναι:
1) π≃φ(π+φ)/2=3,14..........
2) φ≃2∙(logφπ)-π=1,61.........
3) π≃4/√φ=3,14..........
με ακρίβεια σφάλματος 0,01%.
4) π≃6∙φ5/(2∙φ5-1)=3,141.........
5) φ≃(π/2π-6)1/5=1,618...........
6) π≃3∙(φ-3+5)/5=3,141.........
7) π≃6∙φ2/5=3,141.........
με ακρίβεια σφάλματος 0,0001%.
8) φ≃(5∙π/6)1/2=1,6180........
με ακρίβεια σφάλματος 1,2×10-5.
9) (12/7)∙logπ-2∙logφ≃1=0,99997044..........
10) [2∙φ-2-φ-3]-[(√2-1)∙4/π]≃0=0,000470957..........
11) π≃(6/5)∙log2+(24/5)∙logφ=3,14159.........
12) π≃(48∙φ-37)/8∙φ=3,141592.........
13) φ≃37/(48-8∙π)=1,6180339..........
14) π≃[(802∙φ-801)/(602∙φ-601)]4=3,1415926.........
με ακρίβεια σφάλματος 0,0000001%.
15) π≃(27∙52∙4.463/9.181∙φ)1/6=3,1415926.........
16) φ≃27∙52∙4.463/9.181∙π6=1,6180339..........
17) π≃(9.764.064φ+4.867.832/944.055φ+566.433)1/2=3,141592653.............
18) φ≃4.867.832-566.433∙π2/944.055∙π2-9.764.064=1,618033988........
19) φ≃ln(3∙π∙223/35)/ln[(111∙π2/8)+(2/21)]=1,61803398874...........
20) φ≃(355/113∙π)4/565∙93492/35=1,61803398874...........
21) π≃(35/3∙223)·[360·φ-2-2·φ-3+(3∙φ)-5]φ=3,141592653.............
22) π≃(14.212.169/126)-φ=3,1415926535897..............
23) φ≃(14.212.169/126)-π=1,6180339887498...........
24) φ≃151.837.964∙π/294.810.267=1,6180339887498948482...........
25) φ≃11∙(40∙π2+23∙π-70)/(502∙π2-659∙π-185)
φ=1,6180339887498948482...........
3.2 Προσεγγιστικές σχέσεις μεταξύ π και e
Οι 45 προσεγγιστικές σχέσεις μεταξύ της σταθεράς π και της σταθεράς e είναι:
1) π≃2∙e/√3=3,1..........
2) π≃128/15∙e=3,1..........
3) π≃7∙ecos(5/2)=3,14..........
4) π≃(163)1/2/(e)1/3-6=3,14.........
5) Π≃(4∙e-1)1/2=3,14..........
με ακρίβεια σφάλματος 0,01%.
6) e≃9-2∙π=2,71.........
με ακρίβεια σφάλματος 0,01%
7) π≃e+tan(2/5)=3,141.........
8) π≃3/sin(3∙e)=3,141...........
9) π≃(2∙e3+e8)1/7=3,141.........
με ακρίβεια σφάλματος 0,001%
10) π≃[e/(π-e)3/2]1/2=3,141.........
με ακρίβεια σφάλματος 0,00006%
11) e≃(π+1)/π1/e=2,718...........
12) Π9/e8≃10=9,999838798..........
με ακρίβεια σφάλματος 0,002%
13) eπ-π≃20=19,999099979..........
με ακρίβεια σφάλματος 0,005%
14) 3(π+e)/4≃5=4,999973083............
με ακρίβεια σφάλματος 0,000538%
15) e6-Π4-Π5≃0=0,000017673.........
με ακρίβεια σφάλματος 0,000005%
16) (π+e+163)1/2≃13=12,994609439...........
17) eπ-π1-e≃23=23,00081238..........
18) eπ-2∙(4∙π-1)≃0=0,007951404.........
19) (163/e)+(e/163)+(π/163)-60=0,000299061.........
20) eπ≃π2∙[3+(4+√5)1/2])1/2=23,140406827........
21) eπ/πe+πe/eπ≃2=2,000893….......
22) π≃2∙7/(5-e/5)=3,1415.........
23) π≃ln[(7-e2)/2]=3,14159.........
24) e≃(5/931/π)6=2,71828.............
25) π≃[(2+ee)1/2/e]e=3,14159..........
26) π≃(e2/3)+(19/28)=3,14159..........
27) π≃(69/163)+e=3,14159..........
28) π≃(920/157)-e=3,14159........
29) π≃ln[e∙ln(4.979)]=3,141592........
30) π≃[lnln(97+7/5)]e=3,141592.........
31) π≃e75.709/66.137=3,1415926..........
32) π≃2+e709/5.354=3,1415926........
33) e≃42∙π∙[(π/2)-ln(3∙π/2)]=2,71828182..........
με ακρίβεια σφάλματος 0,00000003%
34) e≃2.100∙(10/629)1/2/Π4=2,71828182..........
35) π≃10∙tanh(28∙π/15)-(Π9/e8)≃0=0,0000000006005..........
36) eπ-ln3-(159/5)∙ln2≃0=0,00000000023..........
37) e≃(1,000924472)∙[2∙(4/π)8](π/4)4=2,718281828............
38) (3.730∙π5/e)-(879∙e3/π4)-419.736≃0=0,0000000001622...........
39) e-π/9+e-4π/9+e-9π/9+e-16π/9+e-25π/9+e-36π/9+e-49π/9+e-64π/9-1≃0=0,0000000000010504.....
40) eπ-7∙π-1-(-e2+28∙e+189/634∙e)≃0,000000000000377311.......
41) eπ-7∙π-(365.455/317.913)≃0=0,00000000000002805671.......
42) eπ-{20+π+1/[1.111+1/(11+1/√2)]}≃0=0,000000000000063..........
43) eπ-[17+√3+(172))1/4+ln(ln9)]≃0=0,000000000000025...........
44) e≃[π-(12/ln889)2]-1/4=2,7182818284590...........
με ακρίβεια σφάλματος 2×10-19.
45) π≃(12/ln889)2+e-4=3,14159265358979............
με ακρίβεια σφάλματος 2×10-19. Αυτές οι σχετικά απλές σχέσεις παρατηρούμε ότι έχουν καταπληκτική ακρίβεια.
3.3 Προσεγγιστικές σχέσεις μεταξύ φ και e
Οι 11 προσεγγιστικές σχέσεις μεταξύ της χρυσής τομής φ και της σταθεράς e είναι:
1) φ≃(5∙e+4)/4∙e=1,61..........
2) e≃4/(4∙φ-5)=2,71...........
3) e≃φ2+φ-5+φ-10+φ-13=2,7182.........
4) e≃φ4/(φ+1)∙21/(φ+1)=2,7182.........
5) φ≃(26/e-4)-1=1,6180.............
6) e≃6⋅7⋅φ/52=2,7182........
7) φ≃52∙e/6⋅7=1,6180.............
8) 1/e+1/φ+1/71≃1=0,999997937...........
9) 1/√e+1/φ2+1/87≃1=0,999990924............
10) φ≃[√63∙(3-e)+1]/2=1,61803.........
11) φ≃(711∙e2-906∙e-487)/(175∙e2-56∙e+283)=1,6180339887498948482.......
3.4 Προσεγγιστικές σχέσεις μεταξύ π και i
Η 1 προσεγγιστική σχέση μεταξύ της σταθεράς π και της φανταστικής μονάδας i είναι:
3.5 Προσεγγιστικές σχέσεις μεταξύ φ,π και e
Οι 28 προσεγγιστικές σχέσεις μεταξύ της σταθεράς π,της χρυσής τομής φ και της σταθεράς e είναι:
1) e≃(φ/eπ-Πe)π/e=2,71........
με ακρίβεια σφάλματος 0,07%
2) φ≃357∙π-412∙e=1,61.........
3) e≃3∙φ-π+1=2,71.........
4) (φ2+e2)/π2-(3/2)12/27≃0=0,000286948..........
5) φ≃e-(π)1/12=1,618..........
6) e≃π+φ+(1-π∙φ)/2=2,718........
7) π≃[(6∙e∙φ3)/7]1/2=3,141..........
8) π≃[φ2+e2-(1/e)2]1/2=3,141.......
με ακρίβεια σφάλματος 0,02%
9) π≃5∙φ∙e/7=3,141.......
με ακρίβεια σφάλματος 1,5×10-5
10) e≃π12/7/φ2=2,7182........
11) e≃[(2∙π2+2∙π-φ-1)/3]-π∙φ=2,7182..........
12) e≃7∙π2/6∙φ3=2,7182...........
13) φ≃[7∙π2/6∙e]1/3=1,6180........
14) φ≃7∙π/5∙e=1,6180.......
με ακρίβεια σφάλματος 1,5×10-5
15) e≃7∙π/5∙φ=2,7182........
με ακρίβεια σφάλματος 1,5×10-5
16) e≃(6∙φ-2∙π+2∙π∙φ)/5=2,71828........
17) φ≃[5∙(1+π)/e]-6=1,6180339........
με ακρίβεια σφάλματος 1×10-6
18) π≃[e∙(φ+6)/5]-1=3,1415926.........
19) φ≃14∙(e19/102∙π22)1/5=1,6180339.........
20) π≃(2∙e/(e-1)-[(2∙φ-1)/(100-36/10−5)]=3,1415926535.........
με ακρίβεια σφάλματος 1×10-9
21) φ≃14∙(e19/102∙π22)1/5∙(10∙e8/π9)1/531=1,6180339887..........
22) (φ+e)314.393.388.446.503/π402.909.889.100.000≃1,0000000000000018..........
23) (φ+e))314.393.388.446.503/402.909.889.100.000≃π=3,14159265358979.........
24) φ≃(1.967.981∙π-314.270∙e)/3.293.083=1,618033988749894...........
με ακρίβεια σφάλματος 2×10-16
25) e≃1.400∙φ-2.410∙π+1.082/906∙φ-1.016∙π+172=2,71828182845904523..........
26) φ≃-π2+2∙π-3∙e-13+√2-log2-log3/-3∙π3-π-e+7∙√2+7∙√3-3∙log2
Με αριθμητική τιμή για την χρυσή αναλογία φ=1,618033988749894848...........
27) φ≃(1/42)∙[22∙π2-56∙e2+50∙π-34∙e-5∙(1+e2)1/2+7∙(1+e)1/2+20∙(1+π2)1/2-24∙(1+π)1/2-1]
Με αριθμητική τιμή για την χρυσή αναλογία φ=1,6180339887498948482...........
28) e≃(45.483∙φ-2.961∙π-18.765)/16.748
Αυτή η προσεγγιστική σχέση έχει την μεγαλύτερη ακρίβεια με αριθμητική τιμή για την σταθερά e=2,718281828459045235360........
3.6 Προσεγγιστική σχέση μεταξύ i,π και e
Η 1 προσεγγιστική σχέση που συνδέει την χρυσή τομή φ,την σταθερά π,την σταθερά e και την φανταστική μονάδα i είναι:
1) πie-1≃2=1,99977658867.............
3.7 Προσεγγιστική σχέση μεταξύ φ,i,π και e
Η 1 προσεγγιστική σχέση που συνδέει την χρυσή τομή φ,την σταθερά π,την σταθερά e και την φανταστική μονάδα i είναι:
φ2+e2+(i/e)]2≃π2
με ακρίβεια σφάλματος 0,02%
[4] www.mathworld.wolfram.com/
[5] www.numberempire.com/
[6] http://www.contestcen.com/pi.htm
[7] https://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/p/p303.htm
[8] https://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/e/e001.htm
[9] https://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_050.htm
[10] Panagiotis Stefanides http://www.stefanides.gr/Html/pi.html
[11] Frank Michael Jackson Extending Euler's identity to include Phi, the golden ratio
www.researchgate.net/publication/292983417_Extending_Euler's_identity_to_include_Phi_the_golden_ratio
[12] Binh Ho On the Approximate Relationship between Pi, Euler’s Number, and the Golden Ratio Constant
DOI: 10.13140/RG.2.2.17490.91843
[13] William H. Press Seemingly Remarkable Mathematical Coincidences Are Easy to Generate
https://web.archive.org/web/20120312092311/http://www.nr.com/whp/NumericalCoincidences.pdf
[14] Michele Nardelli,Antonio Nardelli On the Ramanujan’s Fundamental Formula for obtain a highly precise Golden Ratio: mathematical connections with Black Holes Entropies and Like-Particle Solutions https://vixra.org/pdf/1909.0456v1.pdf
| 
.gif)
.gif)
