ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

 Γνωρίζουμε ότι στην περίπτωση ενός υλικού σημείου,για να μεταβληθεί η ταχύτητά του,πρέπει να ασκηθεί σε αυτό δύναμη.Η σχέση ανάμεσα στην αιτία(δύναμη) και το αποτέλεσμα(επιτάχυνση) είναι:

 Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή ως θεμελιώδης νόμος της μηχανικής.
 Ένας αντίστοιχος νόμος ισχύει στη στροφική κίνηση των στερεών σωμάτων.

Για να μεταβληθεί η  γωνιακή ταχύτητα ενός σώματος που στρέφεται  γύρω από σταθερό άξονα πρέπει  να ασκηθεί σ' αυτό ροπή

 Σύμφωνα με αυτόν,για να μεταβληθεί η  γωνιακή ταχύτητα ενός σώματος που στρέφεται  γύρω από σταθερό άξονα πρέπει  να ασκηθεί σ' αυτό ροπή.

ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ  

 Η σχέση ανάμεσα στην αιτία (ροπή) και το αποτέλεσμα (γωνιακή επιτάχυνση) είναι:

                                                                            Στ=Ι•αγων

                                               

όπου:

Στ το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που δρουν στο στερεό ως προς το σταθερό άξονα περιστροφής σε Νm.
αγων η γωνιακή επιτάχυνση,ίδια για κάθε σημείο του στερεού,σε rad/s.
Ι η ροπή αδράνειας στερεού ως προς το σταθερό άξονα περιστροφής σε Kg•m².
 Τα διανύσματα Στ και αγων είναι ομόρροπα.

Το αλγεβρικό άθροισμα  των ροπών που δρουν πάνω σε ένα στερεό σώμα,το οποίο περιστρέφεται  γύρω από σταθερό άξονα,είναι ίσο με το  γινόμενο  της ροπής αδράνειας του σώματος ως προς  τον άξονα περιστροφής και  της  γωνιακής  επιτάχυνσης  του σώματος

 Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή ως ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης,ο οποίος διατυπώνεται ως εξής:
 Το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που δρουν πάνω σε ένα στερεό σώμα,το οποίο περιστρέφεται  γύρω από σταθερό άξονα,είναι ίσο με το  γινόμενο  της ροπής αδράνειας του σώματος ως προς  τον άξονα περιστροφής και  της  γωνιακής  επιτάχυνσης  του σώματος. 

ΦΥΣΙΚΗ ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

 Έστω Ι η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος,το οποίο περιστρέφεται γύρω από ένα συγκεκριμένο σταθερό άξονα zz'.Από τη σχέση Στ=Ι•αγων φαίνεται ότι,για μια ορισμένη τιμή του μέτρου της ροπής Στ,όσο μεγαλύτερη είναι η ροπή αδράνειας Ι του σώματος,τόσο μικρότερο είναι το μέτρο α της γωνιακής επιτάχυνσης που αποκτά το σώμα.Με άλλα λόγια,όσο μεγαλύτερη είναι η ροπή αδράνειας ενός σώματος,τόσο πιο  δύσκολα αλλάζει η περιστροφική κατάσταση του σώματος.

Το σώμα Σ,μέσω του σκοινιού,ασκεί ροπή στον άξονα περιστροφής με αποτέλεσμα η γωνιακή ταχύτητα των μαζών m να αυξάνεται

 Η ροπή αδράνειας εκφράζει στην περιστροφική κίνηση,ότι εκφράζει η μάζα στη μεταφορική κίνηση,δηλαδή  την αδράνεια  του σώματος στη στροφική κίνηση.Πιο συγκεκριμένα:
α) Η μάζα εκφράζει στη μεταφορική κίνηση την αντίδραση που προβάλλει ένα σώμα σε κάθε μεταβολή της ταχύτητας του.
β) Η ροπή αδράνειας εκφράζει στην περιστροφική κίνηση την αντίδραση που προβάλλει ένα στερεό σώμα σε κάθε μεταβολή της γωνιακής του συχνότητας.

Η ροπή αδράνειας εκφράζει στην περιστροφική κίνηση την αντίδραση που προβάλλει ένα στερεό σώμα σε κάθε μεταβολή της γωνιακής του συχνότητας

 Πρέπει να τονίσουμε,ότι αντίθετα με τη μάζα ενός σώματος που είναι σταθερό μέγεθος,η ροπή αδράνειας δεν είναι μονοσήμαντη ιδιότητα του σώματος.Εξαρτάται κάθε φορά από τη θέση  του άξονα περιστροφής.

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ Στ=Ι•αγων

α) Θέτοντας στη σχέση αυτή Στ=0,παίρνουμε α=0.Δηλαδή,αν το αλγεβρικό άθροισμα  των  ροπών είναι μηδέν,τότε η  γωνιακή  επιτάχυνση  του σώματος είναι μηδέν και επομένως η γωνιακή του ταχύτητα διατηρείται σταθερή.Αυτό σημαίνει ότι,αν το σώμα δεν στρέφεται,δηλαδή ω=0,θα εξακολουθήσει να μην στρέφεται,ενώ αν στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω,θα εξακολουθήσει να στρέφεται με τη σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω.
 Το συμπέρασμα αυτό ονομάζεται αρχή της αδράνειας στην στροφική κίνηση.
β) Θέτοντας στη σχέση αυτή Στ=σταθ.,παίρνουμε α=σταθ.

Αν σε ένα σώμα που έχει την δυνατότητα να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής ασκείται σταθερή συνισταμένη ροπή,το σώμα στρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση

 Αυτό σημαίνει ότι,αν σε ένα σώμα που έχει την δυνατότητα να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής ασκείται σταθερή συνισταμένη ροπή,το σώμα στρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση,δηλαδή εκτελεί ομαλά μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση.

ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ

 Ως τώρα αναφερθήκαμε σε στροφικές κινήσεις γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής.Τα συμπεράσματά μας για  την κίνηση αυτή μπορούν να επεκταθούν και στις περιπτώσεις που ο άξονας περιστροφής μετατοπίζεται.Αυτό συμβαίνει στις σύνθετες κινήσεις,στις οποίες το σώμα κάνει ταυτόχρονα μεταφορική και στροφική κίνηση,όπως στην κίνηση ενός τροχού που κυλάει.

Ο θεμελιώδης  νόμος της στροφικής κίνησης ισχύει και στις περιπτώσεις που ο άξονας περιστροφής μετατοπίζεται

  Ο θεμελιώδης  νόμος της στροφικής κίνησης ισχύει και στις περιπτώσεις που ο άξονας περιστροφής μετατοπίζεται,αρκεί αυτός:
α) να διέρχεται από το κέντρο μάζας  του σώματος, 
β) να είναι άξονας συμμετρίας και 
γ) να μην αλλάζει κατεύθυνση κατά τη διάρκεια της κίνησης.

Η ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΣΧΕΣΗ Στ=Ι•αγων

 Η σχέση Στ=Ι•αγων γενικά δεν ισχύει διανυσματικά.Η διανυσματική σχέση του θεμελιώδη νόμου της στροφικής κίνησης είναι:

 Για να ισχύει διανυσματικά, πρέπει η ροπή αδράνειας Ι του σώματος να είναι σταθερή και ο άξονας περιστροφής του σώματος:
α) να έχει σταθερή θέση και σταθερή διεύθυνση ή
β) να διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και να έχει σταθερή διεύθυνση.

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΩΜΑΤΟΣ ΛΟΓΩ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

 Θεωρούμε ένα στερεό σώμα που εκτελεί μεταφορική κίνηση με ταχύτητα υ.Για να υπολογίσουμε την κινητική ενέργεια του σώματος,το χωρίζουμε σε στοιχειώδεις μάζες m1,m2,...,mν που λόγω της μεταφορικής κίνησης,έχουν όλες την ίδια ταχύτητα υ.

Θεωρούμε ένα στερεό σώμα που εκτελεί μεταφορική κίνηση με ταχύτητα υ

 Η κινητική ενέργεια του σώματος είναι ίση με το άθροισμα των επιμέρους κινητικών ενεργειών των μαζών από τα οποία αποτελείται.
 Δηλαδή:

Κ=Κ1+Κ2+...+Κν                                               ή

Κ=1/2•m1•υ²+1/2•m2•υ²+...+1/2•mν•υ²        ή

Κ=1/2•(m1+m2+...+mν)•υ²                             ή

 Όμως ισχύει:

m1+m2+...+mν=Μ

 Άρα η τελευταία σχέση γράφεται:

                                                                                       Κ=1/2•Μ•υ²

όπου:
Μ η μάζα του στερεού σώματος,
υ η ταχύτητα του στερεού σώματος.

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΩΜΑΤΟΣ ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ

 Θεωρούμε ένα σώμα που στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω,γύρω από τον άξονα z'z,όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.Για να υπολογίσουμε την κινητική ενέργεια του σώματος,το χωρίζουμε σε στοιχειώδεις μάζες m1,m2...mν,οι οποίες απέχουν αποστάσεις r1,r2,...rν,αντίστοιχα,από τον άξονα περιστροφής.

Η κινητική ενέργεια του σώματος είναι το άθροισμα των ενεργειών των στοιχειωδών μαζών από τις οποίες αποτελείται

 Οι μάζες αυτές έχουν  την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω και γραμμικές ταχύτητες που δίνονται από τις σχέσεις:

υ1=ω•r1,υ2=ω•r2,...,υν=ω•rν

 Η κινητική ενέργεια του σώματος είναι ίση με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των μαζών από τις οποίες αποτελείται.
 Δηλαδή:

Κ=Κ1+Κ2+...+Κν                                                         ή

K=1/2•m1•υ1²+1/2•m2•υ2²+...1/2•mν•υν²                       ή

K=1/2•m1•ω²•r1²+1/2•m2•ω²•r2²+...1/2•mν•ω²•rν²       ή

Κ=1/2•(m1•r1²+m2•r2²+...mν•rν²)•ω²

 Όμως ισχύει:

m1•r1²+m2•r2²+...mν•rν²=Ι 

 Επομένως:

                                                                           Κ=1/2•Ι•ω²

όπου:
Ι η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς άξονα zz',
ω η γωνιακή ταχύτητα του σώματος ως προς άξονα z'z.
 Η σχέση αυτή αποτελεί τη μαθηματική έκφραση της κινητικής ενέργειας ενός στερεού σώματος που στρέφεται.

H μαθηματική έκφραση της κινητικής ενέργειας ενός στερεού σώματος που στρέφεται

 Πρέπει  να τονίσουμε ότι η ενέργεια αυτή δεν είναι μια  νέα μορφή ενέργειας.Τα μεγέθη Ι και ω της στροφικής κίνησης αντιστοιχούν στα μεγέθη Μ και υ,και ο τύπος Κ=1/2•Ι•ω² της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής αντιστοιχεί στον τύπο Κ=1/2•Μ•υ² της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφοράς.

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

 Αν το σώμα  εκτελεί  ταυτόχρονα μεταφορική κίνηση με ταχύτητα υcm και στροφική κίνηση με γωνιακή ταχύτητα ω,όπως ο τροχός του σχήματος,η κινητική του ενέργεια είναι ίση με το άθροισμα της κινητικής  ενέργειας λόγω μεταφορικής και  της κινητικής  ενέργειας λόγω στροφικής κίνησης.

Ο τροχός έχει κινητική ενέργεια λόγω μεταφορικής και λόγω περιστροφικής κίνησης

 Δηλαδή:

                                                                    Κ=1/2•Μ•υ²cm+1/2•I•ω²

όπου: 
Μ η μάζα  του  σώματος,
υcm η  ταχύτητα  του κέντρου μάζας του σώματος,
Ι η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του,
ω η γωνιακή ταχύτητα του σώματος.

Ένα ελεύθερο στερεό σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση

 Η ροπή αδράνειας του σώματος έχει την ίδια διεύθυνση με την γωνιακή ταχύτητα.

Σύνθετη κίνηση

 Η παραπάνω σχέση δεν εκφράζει νέα μορφή ενέργειας.Είναι,απλά,χρήσιμη έκφραση της κινητικής ενέργειας του στερεού.

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

 Θεωρούμε έναν τροχό ποδηλάτου και έναν τροχό αυτοκινήτου που στρέφονται γύρω από σταθερό άξονα,με την ίδια γωνιακή ταχύτητα.Οι δύο αυτοί τροχοί δε σταματούν με την ίδια ευκολία.

Τροχός αυτοκινήτου

 Πρέπει να εισάγουμε ένα νέο φυσικό μέγεθος για τη μέτρηση της δυσκολίας που μεταβάλλεται η στροφική κινητική κατάσταση ενός στερεού.

Τροχός ποδηλάτου

 Το νέο φυσικό μέγεθος που θα ορίσουμε είναι η ροπή αδράνειας.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

 Θεωρούμε ένα στερεό το οποίο περιστρέφεται γύρω από το σταθερό άξονα zz',όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.Χωρίζουμε το στερεό σε στοιχειώδη τμήματα με μάζες m1,m2....

Το στερεό μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται από στοιχειώδη τμήματα

 Οι μάζες m1,m2.... κινούνται κυκλικά γύρω από τον άξονα,σε κύκλους ακτίνων r1,r2....Τα στοιχειώδη τμήματα είναι τόσο μικρά,ώστε να θεωρούνται υλικά σημεία.

Ροπή αδράνειας Ι ενός στερεού ως προς κάποιο άξονα ονομάζεται το άθροισμα  των  γινομένων των στοιχειωδών μαζών από τις οποίες αποτελείται το σώμα επί  τα τετράγωνα των αποστάσεων τους από τον άξονα περιστροφής

 Ροπή αδράνειας Ι ενός στερεού ως προς κάποιο άξονα ονομάζεται το άθροισμα  των  γινομένων των στοιχειωδών μαζών από τις οποίες αποτελείται το σώμα επί  τα τετράγωνα των αποστάσεων τους από τον άξονα περιστροφής.

                                                                                Ι=m•r1²+m•r2²+.......

όπου:
Ι η ροπή αδράνειας στερεού ως προς τον άξονα περιστροφής zz' σε kg•m².
m1,m2.... οι στοιχειώδεις μάζες που αποτελούν το στερεό σε kg. 
r1,r2.... οι αντίστοιχες αποστάσεις από τον άξονα περιστροφής zz' σε m.

Αγώνας δρόμου διάφορων σωμάτων με διαφορετική ροπή αδράνειας

 Η ροπή αδράνειας είναι μονόμετρο μέγεθος.
 Η ροπή αδράνειας στο σύστημα S.I. έχει μονάδα μέτρησης το 1 kg•m².

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

 Επίσης η ροπή αδράνειας είναι πάντα θετική ή μηδέν.
 Η φυσική της σημασία είναι ότι προσδιορίζει την αδράνεια στη στροφική κίνηση ενός στερεού.

Η φυσική σημασία της ροπής αδράνειας είναι ότι προσδιορίζει την αδράνεια στη στροφική κίνηση ενός στερεού

 H ροπή αδράνειας ενός σώματος δεν εξαρτάται μόνο από τη μάζα του σώματος αλλά και από την κατανομή της μάζας γύρω από τον άξονα περιστροφής.

H ροπή αδράνειας ενός σώματος δεν εξαρτάται μόνο από τη μάζα του σώματος αλλά και από την κατανομή της μάζας γύρω από τον άξονα περιστροφής

 Η ροπή αδράνειας έχει αντίστοιχο μέγεθος στη μεταφορική κίνηση τη μάζα.
 Σε αντίθεση με τη μάζα M που για ένα στερεό έχει μια μοναδική τιμή,η ροπή αδράνειας I ενός στερεού παίρνει διαφορετική τιμή για κάθε διαφορετικό άξονα περιστροφής του.

Η ροπή αδράνειας I ενός στερεού παίρνει διαφορετική τιμή για κάθε διαφορετικό άξονα περιστροφής του

  Ο  υπολογισμός της ροπής αδράνειας ενός σώματος είναι γενικά δύσκολος,γιατί απαιτεί τον υπολογισμό του αθροίσματος μιας άπειρης σειράς γινομένων m•r1²,που το καθένα έχει διαφορετική τιμή.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕ ΤΙΣ ΡΟΠΕΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΑ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

 Στον παραπάνω πίνακα δίνονται οι ροπές αδράνειας μερικών σωμάτων ως προς έναν από τους άπειρους άξονες που διέρχονται από το κέντρο μάζας τους.Ο συγκεκριμένος άξονας για κάθε σώμα εικονίζεται στο σχήμα.

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ

 Από τον ορισμό της ροπής αδράνειας προκύπτει ότι η ροπή αδράνειας ενός υλικού σημείου μάζας m,το οποίο κινείται κυκλικά σε κύκλο ακτίνας r,ως προς τον άξονα zz' που διέρχεται από το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και είναι κάθετος στο επίπεδο της,δίνεται από την σχέση:

                                                                                Ι=m•r²

ΘΕΩΡΗΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΑΞΟΝΩΝ

 Θέλουμε να συσχετίσουμε τη ροπή αδράνειας Icm ενός σώματος ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και της ροπής αδράνειας Ip ως προς οποιοδήποτε άλλο άξονα ρ,παράλληλο με τον πρώτο σε απόσταση d από αυτόν.

Το θεώρημα παραλλήλων αξόνων δίνει τη ροπή αδράνειας ως προς τυχαίο άξονα που απέχει απόσταση d από το κέντρο μάζας

 Αν Icm η ροπή αδράνειας ενός σώματος μάζας Μ,ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας,η ροπή αδράνειάς του ως προς ένα άξονα που είναι παράλληλος και απέχει απόσταση d από τον πρώτο είναι ίση με το άθροισμα της ροπής αδράνειας ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και του γινομένου της μάζας του σώματος επί το τετράγωνο της απόστασης d

                                                                                Ip=Icm+M•d²

όπου:
Icm η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο μάζας σε kg•m².
Ip η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς άξονα περιστροφής που απέχει απόσταση d από τον άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο μάζας και είναι παράλληλος σ' αυτόν σε kg•m².
Μ η μάζα του στερεού σε kg.
d η απόσταση μεταξύ των παραλλήλων αξόνων σε m.

Αν Icm η ροπή αδράνειας ενός σώματος μάζας Μ,ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας,η ροπή αδράνειάς του ως προς ένα άξονα που είναι παράλληλος και απέχει απόσταση d από τον πρώτο είναι ίση με το άθροισμα της ροπής αδράνειας ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και του γινομένου της μάζας του σώματος επί το τετράγωνο της απόστασης d

 Η σχέση αυτή είναι γνωστή ως το θεώρημα  παραλλήλων αξόνων ή θεώρημα Steiner (Στάινερ).

Το θεώρημα  παραλλήλων αξόνων ή θεώρημα Steiner

 Από τη σχέση φαίνεται ότι η ροπή αδράνειας ενός σώματος ως προς άξονες παράλληλους μεταξύ τους,παίρνει την ελάχιστη τιμή της για τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος.
 Δηλαδή:

                                                                                Ip(min)=Icm