ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΩΜΑΤΟΣ ΛΟΓΩ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

 Θεωρούμε ένα στερεό σώμα που εκτελεί μεταφορική κίνηση με ταχύτητα υ.Για να υπολογίσουμε την κινητική ενέργεια του σώματος,το χωρίζουμε σε στοιχειώδεις μάζες m1,m2,...,mν που λόγω της μεταφορικής κίνησης,έχουν όλες την ίδια ταχύτητα υ.

Θεωρούμε ένα στερεό σώμα που εκτελεί μεταφορική κίνηση με ταχύτητα υ

 Η κινητική ενέργεια του σώματος είναι ίση με το άθροισμα των επιμέρους κινητικών ενεργειών των μαζών από τα οποία αποτελείται.
 Δηλαδή:

Κ=Κ1+Κ2+...+Κν                                               ή

Κ=1/2•m1•υ²+1/2•m2•υ²+...+1/2•mν•υ²        ή

Κ=1/2•(m1+m2+...+mν)•υ²                             ή

 Όμως ισχύει:

m1+m2+...+mν=Μ

 Άρα η τελευταία σχέση γράφεται:

                                                                                       Κ=1/2•Μ•υ²

όπου:
Μ η μάζα του στερεού σώματος,
υ η ταχύτητα του στερεού σώματος.

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΩΜΑΤΟΣ ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ

 Θεωρούμε ένα σώμα που στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω,γύρω από τον άξονα z'z,όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.Για να υπολογίσουμε την κινητική ενέργεια του σώματος,το χωρίζουμε σε στοιχειώδεις μάζες m1,m2...mν,οι οποίες απέχουν αποστάσεις r1,r2,...rν,αντίστοιχα,από τον άξονα περιστροφής.

Η κινητική ενέργεια του σώματος είναι το άθροισμα των ενεργειών των στοιχειωδών μαζών από τις οποίες αποτελείται

 Οι μάζες αυτές έχουν  την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω και γραμμικές ταχύτητες που δίνονται από τις σχέσεις:

υ1=ω•r1,υ2=ω•r2,...,υν=ω•rν

 Η κινητική ενέργεια του σώματος είναι ίση με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των μαζών από τις οποίες αποτελείται.
 Δηλαδή:

Κ=Κ1+Κ2+...+Κν                                                         ή

K=1/2•m1•υ1²+1/2•m2•υ2²+...1/2•mν•υν²                       ή

K=1/2•m1•ω²•r1²+1/2•m2•ω²•r2²+...1/2•mν•ω²•rν²       ή

Κ=1/2•(m1•r1²+m2•r2²+...mν•rν²)•ω²

 Όμως ισχύει:

m1•r1²+m2•r2²+...mν•rν²=Ι 

 Επομένως:

                                                                           Κ=1/2•Ι•ω²

όπου:
Ι η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς άξονα zz',
ω η γωνιακή ταχύτητα του σώματος ως προς άξονα z'z.
 Η σχέση αυτή αποτελεί τη μαθηματική έκφραση της κινητικής ενέργειας ενός στερεού σώματος που στρέφεται.

H μαθηματική έκφραση της κινητικής ενέργειας ενός στερεού σώματος που στρέφεται

 Πρέπει  να τονίσουμε ότι η ενέργεια αυτή δεν είναι μια  νέα μορφή ενέργειας.Τα μεγέθη Ι και ω της στροφικής κίνησης αντιστοιχούν στα μεγέθη Μ και υ,και ο τύπος Κ=1/2•Ι•ω² της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής αντιστοιχεί στον τύπο Κ=1/2•Μ•υ² της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφοράς.

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

 Αν το σώμα  εκτελεί  ταυτόχρονα μεταφορική κίνηση με ταχύτητα υcm και στροφική κίνηση με γωνιακή ταχύτητα ω,όπως ο τροχός του σχήματος,η κινητική του ενέργεια είναι ίση με το άθροισμα της κινητικής  ενέργειας λόγω μεταφορικής και  της κινητικής  ενέργειας λόγω στροφικής κίνησης.

Ο τροχός έχει κινητική ενέργεια λόγω μεταφορικής και λόγω περιστροφικής κίνησης

 Δηλαδή:

                                                                    Κ=1/2•Μ•υ²cm+1/2•I•ω²

όπου: 
Μ η μάζα  του  σώματος,
υcm η  ταχύτητα  του κέντρου μάζας του σώματος,
Ι η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του,
ω η γωνιακή ταχύτητα του σώματος.

Ένα ελεύθερο στερεό σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση

 Η ροπή αδράνειας του σώματος έχει την ίδια διεύθυνση με την γωνιακή ταχύτητα.

Σύνθετη κίνηση

 Η παραπάνω σχέση δεν εκφράζει νέα μορφή ενέργειας.Είναι,απλά,χρήσιμη έκφραση της κινητικής ενέργειας του στερεού.