ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΔΥΟ ΣΦΑΙΡΩΝ

ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΔΥΟ ΣΦΑΙΡΩΝ 

ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΔΥΟ ΣΦΑΙΡΩΝ 

 Δύο σφαίρες Σ1 και Σ2 με μάζες m1 και m2 κινούνται με ταχύτητες υ1 και υ2.Οι σφαίρες συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά και μετά την κρούση έχουν ταχύτητες υ1 και υ2'.Εάν γνωρίζουμε τις ταχύτητες των σφαιρών πριν την κρούση και τις μάζες τους μπορούμε  να υπολογίσουμε τις  ταχύτητές τους μετά την κρούση.

Δύο σφαίρες Σ1 και Σ2 με μάζες m1 και m2 κινούνται με ταχύτητες υ1 και υ2

 Για την κρούση  ισχύουν : 

m1υ1+m2υ2=m1υ1'+m2υ2'                        

( διατήρηση της ορμής)

1/2m1υ1²+1/2m2υ2²=1/2m1υ1'²+1/2m2υ2'² 

(διατήρηση της κινητικής ενέργειας) 

η m1υ1+m2υ2=m1υ1'+m2υ2' γράφεται και 

m1(υ1-υ1')=m2(υ2'-υ2)

ενώ η 1/2m1υ1²+1/2m2υ2²=1/2m1υ1'²+1/2m2υ2'² γράφεται:

m1( υ1² -υ1'²)=m2(υ2'²-υ2²)

Διαιρούμε τις m1( υ1²-υ1'²)=m2(υ2'²-υ2²) και m1(υ1-υ1')=m2(υ2'-υ2) κατά μέλη και βρίσκουμε:

                                                                            υ1+υ2=υ1'+υ2'

   

Επιλύοντας το  σύστημα των m1υ1+m2υ2=m1υ1'+m2υ2' και υ1+υ2=υ1'+υ2' ως προς υ1' και υ2 ' βρίσκουμε:

Σημείωση:Κατά τον  υπολογισμό των  ταχυτήτων των σφαιρών  υποθέσαμε ότι οι σφαίρες μετά την κρούση συνεχίζουν να κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση.Αν μετά τις πράξεις προκύψει αρνητική τιμή για  την υ1 θα συμπεράνουμε ότι η Σ1 άλλαξε φορά κίνησης μετά την κρούση.

 Στην  περίπτωση όπου m1=m2 

οι 

υ1'=2m2/m1+m2 υ2+m1-m2/m1+m2 υ1 και 

υ2'=2m2/m1+m2 υ1+m1-m2/m1+m2 υ2 

γίνονται: 

                                                                            υ1=υ2 

                                                                            υ2'=υ1

 Δηλαδή οι σφαίρες ανταλλάσσουν  ταχύτητες.

 Στην  περίπτωση  που η Σ2 ήταν ακίνητη πριν  την κρούση (υ2=0) οι 

υ1'=2m2/m1+m2 υ2+m1-m2/m1+m2 υ1             και 

υ2'=2m2/m1+m2 υ1+m1-m2/m1+m2 υ2 

γίνονται:

ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 

ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 

  Η  ταχύτητα και η επιτάχυνση των σωμάτων,καθώς και τα μεγέθη που ορίζονται με βάση αυτά, όπως η κινητική ενέργεια και η ορμή, ανήκουν στην κατηγορία των μεγεθών που  δεν έχουν μια μόνο τιμή.Η τιμή τους εξαρτάται από το πού βρίσκεται εκείνος που τα μετράει.Έτσι,ο επιβάτης του τρένου  νομίζει ότι ο συνεπιβάτης του είναι ακίνητος,όμως ένας παρατηρητής στην αποβάθρα του σταθμού τον βλέπει να κινείται με την ταχύτητα του τρένου.Όταν αναφερόμαστε στα μεγέθη αυτά, χωρίς άλλη διευκρίνηση,θα εννοούμε τις τιμές που βρίσκει ένας παρατηρητής ακίνητος πάνω στη Γη.

O επιβάτης του τρένου  νομίζει ότι ο συνεπιβάτης του είναι ακίνητος,όμως ένας παρατηρητής στην αποβάθρα του σταθμού τον βλέπει να κινείται με την ταχύτητα του τρένου

 Οι παρατηρητές,που περιγράφουν με διαφορετικό τρόπο την κίνηση των σωμάτων,πρέπει να συνεννοούνται μεταξύ τους.Σ' αυτή την ανάγκη ανταποκρίθηκε ο Γαλιλαίος με τους μετασχηματισμούς του,που επιτρέπουν να μετατρέψουμε τα δεδομένα της κίνησης σε ένα σύστημα αναφοράς σε δεδομένα για ένα άλλο σύστημα αναφοράς που κινείται με σταθερή ταχύτητα ως προς το πρώτο (αδρανειακό σύστημα).

 Στη μελέτη των προβλημάτων μας μπορούμε  να επιλέξουμε το σύστημα αναφοράς της κίνησης,με στόχο να κάνουμε τους υπολογισμούς μας όσο γίνεται απλούστερους. Συχνά, ως σύστημα αναφοράς παίρνουμε αυτό που συνδέεται με το κέντρο μάζας του συστήματος.Ένα τέτοιο σύστημα αναφοράς,λ.χ,θα διευκόλυνε τη μελέτη της κίνησης των πυραύλων, που χωρίς αυτούς οι γνώσεις μας για το ηλιακό σύστημα θα ήταν πολύ φτωχότερες.

 Τέλος,όχι μόνο η ταχύτητα των σωμάτων αλλά και η ταχύτητα των κυμάτων εξαρτάται από τη σχετική κίνηση πηγής-παρατηρητή.Αυτό σημαίνει ότι διαφορετικοί παρατηρητές αντιλαμβάνονται με διαφορετικό τρόπο το ίδιο κύμα. Το φαινόμενο Doppler,όπως είναι γνωστό, το αξιοποιούν για τη μέτρηση της ταχύτητας των αυτοκινήτων ή των αεροπλάνων με το ραντάρ, οι αστρονόμοι για να παρακολουθήσουν την κίνηση πολύ μακρινών ουράνιων σωμάτων,αλλά και οι γιατροί για να παρακολουθήσουν τη ροή του αίματος.