ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΔΙΑΦΥΓΗΣ

ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΔΙΑΦΥΓΗΣ

ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΔΙΑΦΥΓΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

 Για να βγει ένα σώμα έξω από το πεδίο βαρύτητας της Γης,πρέπει να αποκτήσει μια αρχική κατακόρυφη ταχύτητα.Η ταχύτητα αυτή λέγεται ταχύτητα διαφυγής,γιατί όταν ένα σώμα αποκτήσει αυτή την ταχύτητα,απελευθερώνεται από την έλξη της Γης και μπορεί να κινηθεί ελεύθερα μέσα στο αστρικό διάστημα.Σε αυτή την περίπτωση η ελάχιστη κινητική ενέργεια που πρέπει να έχει το σώμα είναι ίση με τη δυναμική του ενέργεια λόγω της έλξης της Γης.

 To Luna 1,το οποίο ξεκίνησε το 1959,ήταν το πρώτο διαστημόπλοιο που ξεκίνησε με τη ταχύτητα διαφυγής από τη Γη  

 Με ποια ταχύτητα πρέπει να εκτοξευθεί ένα αντικείμενο μάζας m,από την επιφάνεια της Γης ώστε να διαφύγει οριστικά από το πεδίο βαρύτητας της Γης;

 Για να απλουστεύσουμε το πρόβλημα θα θεωρήσουμε ότι η Γη δεν κινείται θα αγνοήσουμε τις βαρυτικές επιδράσεις από τα άλλα ουράνια σώματα και θα αγνοήσουμε την αντίσταση του ατμοσφαιρικού αέρα.

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΔΙΑΦΥΓΗΣ

 Εφόσον το βαρυτικό πεδίο είναι διατηρητικό η μηχανική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων (Γη και σώμα) διατηρείται.Επομένως κατά την κίνηση του σώματος μεταξύ δύο θέσεων θα ισχύει:

                                                                             Κ1+U1=K2+U2 

 Εφαρμόζουμε τη σχέση αυτή για ένα σημείο πάνω στην επιφάνεια της Γης και για το άπειρο (εκεί όπου δεν υπάρχει πλέον βαρυτική επίδραση και η δυναμική ενέργεια του συστήματος σώμα–Γη είναι μηδέν U2=0).

Η ανάλυση του Ισαάκ Νεύτωνα για την ταχύτητα διαφυγής.Τα βλήματα Α και Β πέφτουν πίσω στη γη.Το C βλήμα επιτυγχάνει κυκλική τροχιά,το D  ελλειπτική και το E διαφεύγει

 Η ελάχιστη τιμή της ταχύτητας με την οποία πρέπει να εκτοξεύσουμε το σώμα είναι εκείνη για την οποία το σώμα θα φτάνει στο άπειρο με μηδενική ταχύτητα,άρα Κ2=0.

 Από την  σχέση έχουμε:

                                                                                    Κ1+U1=0+0

οπότε:

  

 Λύνοντας ως προς υδ βρίσκουμε:

 Την ταχύτητα υδ την ονομάζουμε ταχύτητα διαφυγής από την επιφάνεια της Γης.

 Στην Αστρονομία,Αστροναυτική και Κοσμογραφία ταχύτητα διαφυγής ονομάζεται η ελάχιστη αρχική ταχύτητα που θα πρέπει να αναπτύξει ένα σώμα (π.χ. ένας πύραυλος) προκειμένου να υπερνικήσει τη βαρυτική έλξη που υφίσταται αυτό στην επιφάνεια ενός ουρανίου σώματος.

Στην Αστρονομία,Αστροναυτική και Κοσμογραφία ταχύτητα διαφυγής ονομάζεται η ελάχιστη αρχική ταχύτητα που θα πρέπει να αναπτύξει ένα σώμα (π.χ. ένας πύραυλος) προκειμένου να υπερνικήσει τη βαρυτική έλξη που υφίσταται αυτό στην επιφάνεια ενός ουρανίου σώματος

Προς το παρόν είναι αδύνατο να προσδώσουμε σε ένα σώμα αρχική κατακόρυφη ταχύτητα ίση με 11,2 Km/s.Μπορούμε όμως με έναν πύραυλο να προσδώσουμε στο σώμα σταθερή επιτάχυνση α λίγο μεγαλύτερη από την επιτάχυνση g της βαρύτητας.Έτσι,η κατακόρυφη ταχύτητα του σώματος συνεχώς αυξάνεται,μέχρις ότου το σώμα αποκτήσει την ταχύτητα διαφυγής.Τότε καταργείται η προωστική δύναμη του πυραύλου και το σώμα κινείται στο αστρικό διάστημα με την ταχύτητα διαφυγής,σύμφωνα με την αρχή της αδράνειας.Το σώμα ελευθερώθηκε από την έλξη της Γης, αλλά κινείται μέσα στο πεδίο βαρύτητας του Ήλιου και των άλλων πλανητών.Έτσι,η τροχιά του δε θα είναι ευθύγραμμη.

Τεχνητοί δορυφόροι

Υπολογίζεται ότι για να ελευθερωθεί ένα σώμα εντελώς από την έλξη των πλανητών και του Ήλιου,πρέπει η ταχύτητα διαφυγής του να φτάσει στα 16,7 Km/s. 
 Για να διαφύγει από τη βαρύτητα ενός ουράνιου σώματος ένας πύραυλος πρέπει να έχει κινητική ενέργεια που να ξεπερνά την δυναμική του ενέργεια στο βαρυτικό πεδίο του ουράνιου σώματος.

ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΔΙΑΦΥΓΗΣ ΣΕ ΥΨΟΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΤΗΣ ΓΗΣ

 Εάν το σημείο εκτόξευσης βρίσκεται σε ύψος h από την επιφάνεια της Γης με τον ίδιο τρόπο προκύπτει ότι η ταχύτητα διαφυγής δίνεται από τη σχέση:

  

 Ο επόμενος πίνακας δίνει την ταχύτητα διαφυγής σε διάφορα ύψη από την επιφάνεια της Γης:

ΥΨΟΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΔΙΑΦΥΓΗΣ 0 km 11,18 km/s 200 km 11,01 km/s 400 km 10,85 km/s 600 km 10,69 km/s 800 km 10,54 km/s 1000 km 10,40 km/s

 Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία μπορούμε να βρούμε την ταχύτητα διαφυγής από την επιφάνεια άλλων ουράνιων σωμάτων.Έτσι για παράδειγμα για τη Σελήνη βρίσκουμε 2,37 km/s,για τον Άρη 4,97 km/s,για το Δία 59,1 km/s και για τον Ήλιο 618 km/s.

ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΔΙΑΦΥΓΗΣ

 Η ικανότητα ενός ουράνιου σώματος να διατηρεί ατμόσφαιρα εξαρτάται από την ταχύτητα διαφυγής.Κατά τον Jeans,αν η μέση τετραγωνική ταχύτητα είναι το 1/3 της ταχύτητας διαφυγής,το μισό της ατμόσφαιρας θα διαφύγει σε λίγες εβδομάδες, αν είναι το 1/4,τότε θα διαφύγει σε μερικές χιλιάδες χρόνια,και,αν είναι το 1/5,η διαφυγή θα γίνει σε εκατοντάδες εκατομμύρια χρόνια.

 Είναι φανερό,ότι αν η θερμοκρασία είναι πάντοτε 0 °C,το υδρογόνο θα παραμείνει στη Γη πρακτικά για απεριόριστο χρόνο και αντίθετα στη Σελήνη ακαριαία θα διαφύγουν το υδρογόνο και το ήλιο.Με κάπως βραδύτερο ρυθμό,αλλά σε σύντομο σχετικά διάστημα, θα διαφύγουν οι υδρατμοί.Το ίδιο θα συμβεί,με το οξυγόνο και το άζωτο.Επειδή παλαιότερα η θερμοκρασία της Γης ήταν υψηλή,το υδρογόνο και το ήλιο διέφυγαν κυρίως στο διάστημα, παρέμειναν όμως τα υπόλοιπα αέρια.Στη Σελήνη όμως μόνο τα βαριά «ευγενή» αέρια είναι δυνατό να παρέμειναν.Με βάση την ταχύτητα διαφυγής μπορούμε να έχουμε ενδείξεις και για τη σύσταση της ατμόσφαιρας των άλλων πλανητών.

ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΔΙΑΦΥΓΗΣ ΣΤΙΣ ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ

 Ας δούμε τώρα το πρόβλημα της ταχύτητας διαφυγής με άλλο τρόπο.Αντί να ψάξουμε να βρούμε με ποια ταχύτητα πρέπει να εκτοξευθεί ένα σώμα από την επιφάνεια ενός ουράνιου σώματος μάζας Μ και ακτίνας R ώστε να διαφύγει από τη βαρυτική του έλξη θα βρούμε τι ακτίνα πρέπει να έχει ένα ουράνιο σώμα μάζας Μ ώστε να μην επιτρέπει σε τίποτα να διαφύγει από την επιφάνειά του.

 Η μεγαλύτερη ταχύτητα στη φύση είναι η ταχύτητα του φωτός c=3x10⁸  m/s.

 Αν στη σχέση:

που δίνει την ταχύτητα διαφυγής θέσουμε όπου υδ=c και λύσουμε ως προς R βρίσκουμε:

                                                                                    Rc=2·G·M/c²

 Η ακτίνα αυτή είναι γνωστή ως ακτίνα Schwarzschild. 
 Ένα ουράνιο σώμα μάζας Μ με ακτίνα μικρότερη από αυτή την ακτίνα δεν επιτρέπει σε τίποτε,ούτε καν στο φως,να διαφύγει από το πεδίο βαρύτητάς του.Ένα τέτοιο σώμα δεν είναι άμεσα παρατηρήσιμο κάνει όμως αντιληπτή την παρουσία του από τις ισχυρότατες βαρυτικές έλξεις που ασκεί στον περίγυρό του.Τέτοια σώματα στη σύγχρονη φυσική χαρακτηρίζονται μαύρες τρύπες.

Προσομοίωση μαύρης τρύπας σε υπολογιστή.Η ύλη έλκεται από μια μαύρη τρύπα σχηματίζοντας γύρω της ένα περιστρεφόμενο δίσκο.Τα άτομα των αερίων που σχηματίζουν το δίσκο επιταχυνόμενα αποκτούν τόση ενέργεια ώστε μετατρέπονται σε ισχυρότατες πηγές ακτίνων Χ.Σε περιοχές του σύμπαντος όπου ανιχνεύουμε ασυνήθιστα μεγάλης έντασης εκπομπή ακτινοβολίας Χ υποπτευόμαστε την ύπαρξη μιας μαύρης τρύπας

 Οι συνθήκες που επικρατούν στην περιοχή μιας μαύρης τρύπας και οι ταχύτητες διαφυγής για τις οποίες μιλάμε  είναι πολύ μακριά από αυτό που ο καθένας μας αντιλαμβάνεται σαν πραγματικότητα και δεν περιγράφονται από τους νόμους της νευτώνειας μηχανικής.Η σχέση που δίνει την ακτίνα Schwarzschild παράγεται λαμβάνοντας υπόψη τις διορθώσεις που επέφερε η θεωρία της σχετικότητας στην κλασική μηχανική.Το γεγονός όμως ότι συμπίπτει με τη σχέση που βρήκαμε για την ταχύτητα διαφυγής χρησιμοποιώντας το νόμο διατήρησης της μηχανικής ενέργειας μας επιτρέπει μια πρώτη προσέγγιση στο φαινόμενο.

 Για να αποκτήσουμε ένα μέτρο της πυκνότητας στην οποία βρίσκεται η ύλη σε μια  μαύρη τρύπα αναφέρουμε ότι για να περιπέσει σε  κατάσταση μαύρης τρύπας ο Ήλιος πρέπει να συμπιεσθεί σε μια σφαίρα ακτίνας 3 km,από 6,96x10⁵  km που είναι σήμερα.Όσο για τη Γη θα έπρεπε να συμπιεσθεί σε μια σφαίρα ακτίνας 9 mm.Δηλαδή όλη η μάζα της θα έπρεπε να συγκεντρωθεί σ΄ ένα μπαλάκι μεγέθους ίσου με αυτό του πινγκ πονγκ.