ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

  Θεωρούμε δύο κύματα ίδιου πλάτους και ίδιας συχνότητας τα οποία διαδίδονται με αντίθετη φορά μέσα στο ίδιο ελαστικό μέσο. 

Δύο κύματα διαδίδονται στο ίδιο ελαστικό μέσο με αντίθετη φορά

 Τα  δύο  κύματα όταν συναντηθούν συμβάλλουν.Η κίνηση του μέσου ονομάζεται στάσιμο κύμα.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ

  Στάσιμο κύμα ονομάζεται  το  αποτέλεσμα της συμβολής δύο κυμάτων της ίδιας συχνότητας και  του  ίδιου πλάτους  που διαδίδονται  στο ίδιο μέσο προς αντίθετες κατευθύνσεις.

Στάσιμο κύμα ονομάζεται  το  αποτέλεσμα  της συμβολής δύο κυμάτων της ίδιας συχνότητας και  του  ίδιου πλάτους  που διαδίδονται  στο ίδιο μέσο προς αντίθετες κατευθύνσεις

 Ένα παράδειγμα στάσιμου κύματος είναι αυτό που δημιουργείται στις χορδές των εγχόρδων μουσικών οργάνων.Οι άκρες των χορδών είναι σταθερά στερεωμένες και δεν εκτελούν ταλάντωση,σε αντίθεση με το υπόλοιπο μέρος τους.

Δημιουργία στάσιμου κύματος στο εργαστήριο

  Λόγω της διαφορετικής διεύθυνσης της κίνησης του κύματος που προέκυψε από την αρχική διαταραχή και αυτού που ανακλάστηκε από το άκρο της,τα δυο κύματα συμβάλλουν δημιουργώντας ένα στάσιμο κύμα,του οποίου το μέγιστο πλάτος ταλάντωσης είναι διπλάσιο από αυτό των αρχικών κυμάτων που συμβάλλουν.Η δε συχνότητα του τελικού κύματος είναι σταθερή,δίνοντας μια συγκεκριμένη νότα από την κάθε χορδή.

Στάσιμο κύμα σε ένα σχοινί

 Στάσιμο κύμα μπορεί να δημιουργηθεί όταν κύμα που διαδίδεται μέσα σε ένα μέσο ανακλάται στο ένα ή και τα δυο άκρα του μέσου.Μπορεί τα άκρα να είναι και τα δυο σταθερά στερεωμένα όπως στο παράδειγμα της χορδής,ή μόνο το ένα (για παράδειγμα ένα σχοινί δεμένο σε τοίχο) ή το μέσο μπορεί να είναι "ανοικτό" και στα δυο του άκρα,όπως συμβαίνει με το φλάουτο,στο οποίο οι νότες αποτελούν το ηχητικό αποτέλεσμα των στάσιμων κυμάτων που δημιουργούνται στο εσωτερικό του.

ΔΕΣΜΟΙ ΚΑΙ ΚΟΙΛΙΕΣ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ

 Για να μελετήσουμε το στάσιμο κύμα θα εκτελέσουμε ένα απλό πείραμα. Κρατάμε την ελεύθερη άκρη ενός τεντωμένου σχοινιού και της  δίνουμε μια ώθηση.Η άλλη άκρη του σχοινιού είναι στερεωμένη σε ακλόνητο σημείο.Έτσι λοιπόν δημιουργείται ένας κυματικός παλμός ο οποίος διαδίδεται κατά μήκος του σχοινιού.Όταν η κυματική  διαταραχή φτάσει στην άκρη του σχοινιού το σχοινί ασκεί μια δύναμη στο σημείο στήριξης.Η αντίδραση σε αυτή τη δύναμη δημιουργεί έναν ανακλώμενο παλμό που κινείται στην αντίθετη κατεύθυνση.

Ο κυματικός παλμός ανακλάται στο σταθερό εμπόδιο και διαδίδεται αντίθετα

 Εξαναγκάζουμε το ελεύθερο άκρο του σχοινιού να κάνει αρμονική ταλάντωση.Παρατηρούμε ότι το αρμονικό κύμα που δημιουργείται και το όμοιο του που προκύπτει από την ανάκλαση συμβάλλουν δημιουργώντας στάσιμο κύμα.
 Φωτογραφίζουμε  το σχοινί σε  διάφορες  χρονικές στιγμές και παρατηρούμε ότι υπάρχουν σημεία στο σχοινί-οι δεσμοί-που παραμένουν  διαρκώς ακίνητα ενώ όλα τα άλλα  εκτελούν  ταλάντωση με  την ίδια συχνότητα.Το πλάτος της ταλάντωσης  δεν  είναι ίδιο για όλα τα σημεία που  ταλαντώνονται.Μέγιστο πλάτος  έχουν  τα σημεία που βρίσκονται στο μέσο της απόστασης μεταξύ δύο διαδοχικών  δεσμών-οι κοιλίες.

Στιγμιότυπα στάσιμου κύματος σε χορδή

 Η ονομασία (στάσιμο=ακίνητο) οφείλεται στο  γεγονός ότι  εδώ  δεν έχουμε να κάνουμε με ένα κύμα, δηλαδή με μια παραμόρφωση που διαδίδεται.Στο κύμα όλα τα σημεία  εκτελούν  διαδοχικά την ίδια κίνηση  ενώ στο στάσιμο  δε συμβαίνει το ίδιο.

Στο γραμμικό μέσο που συμβάλλουν τα δύο κύματα εμφανίζονται σημεία τα οποία είναι ακίνητα και ονομάζονται δεσμοί

 Στο γραμμικό μέσο που συμβάλλουν τα δύο κύματα εμφανίζονται σημεία τα οποία είναι ακίνητα και ονομάζονται δεσμοί.

Δεσμός και κοιλία σε ένα στάσιμο κύμα

 Όλα τα υπόλοιπα σημεία του μέσου ταλαντώνονται με τη συχνότητα των κυμάτων. 

Δύο διαδοχικοί δεσμοί απέχουν σταθερή απόσταση μεταξύ τους,ενώ στο μέσο αυτής της απόστασης βρίσκονται σημεία που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος,διπλάσιο από αυτό των κυμάτων και ονομάζονται κοιλίες

 Δύο διαδοχικοί δεσμοί απέχουν σταθερή απόσταση μεταξύ τους,ενώ στο μέσο αυτής της απόστασης βρίσκονται σημεία που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος,διπλάσιο από αυτό των κυμάτων και ονομάζονται κοιλίες.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ

 Θεωρούμε ότι σε γραμμικό ελαστικό μέσο,που ταυτίζεται με τον άξονα x'Ox,διαδίδονται προς αντίθετες κατευθύνσεις δύο τρέχοντα αρμονικά κύματα με το ίδιο πλάτος και ίδια συχνότητα.Για το σημείο Ο(x=0),οι απομακρύνσεις εξαιτίας κάθε κύματος χωριστά δίνονται από την εξίσωση y=A·ημ(ω·t).

Θεωρούμε ότι σε γραμμικό ελαστικό μέσο,που ταυτίζεται με τον άξονα x'Ox,διαδίδονται προς αντίθετες κατευθύνσεις δύο τρέχοντα αρμονικά κύματα με το ίδιο πλάτος και ίδια συχνότητα

  Το κύμα που διαδίδεται προς τη θετική φορά του άξονα περιγράφεται από την εξίσωση:

ενώ το κύμα που διαδίδεται προς την αρνητική φορά του άξονα περιγράφεται από την εξίσωση:

 Η συμβολή των δύο αρμονικών κυμάτων δημιουργεί στο ελαστικό μέσο στάσιμο κύμα,το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση:

 Το πλάτος ταλάντωσης κάθε υλικού σημείου του μέσου δίνεται από την σχέση:

 Παρατηρούμε ότι το πλάτος εξαρτάται μόνο από τη θέση x κάθε υλικού σημείου του μέσου και παραμένει σταθερό με το χρόνο.

Στάσιμα κύματα σε χορδές

 Επομένως:
 Κάθε σημείο του μέσου εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.Το πλάτος της ταλάντωσης |Α΄| δεν είναι ίδιο για όλα τα σημεία αλλά εξαρτάται από τη θέση του κάθε σημείο  του μέσου εκτελεί απλή αρμονική  ταλάντωση.Το πλάτος  της ταλάντωσης  δεν είναι ίδιο  για όλα  τα σημεία αλλά εξαρτάται από  τη θέση  του.

ΘΕΣΕΙΣ ΚΟΙΛΙΩΝ ΚΑΙ ΔΕΣΜΩΝ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ

 Κοιλιές του στάσιμου κύματος ονομάζονται τα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος,δηλαδή με:

                                                                      |Α'|=2Α

 Οι θέσεις τους στον άξονα x'Ox  δίνονται από την σχέση:

 με 

Δεσμοί και κοιλίες σε ένα στάσιμο κύμα

 Δεσμοί στάσιμου κύματος ονομάζονται τα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου που παραμένουν διαρκώς ακίνητα,δηλαδή:

                                                                    |Α'|=0

 Οι θέσεις τους στον άξονα x'Ox  δίνονται από την σχέση:

 με



   Για k<0  προκύπτουν οι δεσμοί και οι κοιλίες του αρνητικού ημιάξονα. 

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΔΥΟ ΔΙΑΔΟΧΙΚΩΝ ΚΟΙΛΙΩΝ

 Οι θέσεις δύο διαδοχικών κοιλιών θα είναι: 

 και 

 

όπου:

k'=k+1 

 Άρα η απόσταση μεταξύ τους θα ισούται με: 

                                         ή 

                                    ή 

                            ή 

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΔΥΟ ΔΙΑΔΟΧΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ

 Οι θέσεις δύο διαδοχικών δεσμών είναι: 

 και 

 

όπου:

k'=k+1 

 Η μεταξύ τους απόσταση θα είναι: 

                                             ή 

                  ή 

          ή 



ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΚΟΙΛΙΑΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΠΛΗΣΙΕΣΤΕΡΟ ΔΕΣΜΟ

 Για τον ίδιο ακέραιο k η θέση της κοιλίας θα είναι: 

 

και του δεσμού: 

. 

 Άρα η απόσταση μεταξύ τους θα είναι: 

            ή






ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

 Επειδή στο στάσιμο κύμα υπάρχουν σημεία που παραμένουν διαρκώς ακίνητα,δεν μεταφέρεται ενέργεια από το ένα σημείο του μέσου στο άλλο.Η ενέργεια των δύο τρέχοντων κυμάτων,των οποίων η συμβολή έδωσε το στάσιμο κύμα,εγκλωβίζεται ανάμεσα στους δεσμούς.

Στιγμιότυπα στάσιμου κύματος σε χορδή.Τη στιγμή μηδέν η χορδή είναι ακίνητη, οπότε Κ=0,όλη η ενέργεια είναι δυναμική, U,λόγω της παραμόρφωσης της χορδής.Τη στιγμή t=Τ/8, η χορδή κινείται.Έχει και κινητική και δυναμική ενέργεια.Τη στιγμή t=Τ/4,η χορδή δεν είναι παραμορφωμένη (U= 0),συνεπώς όλη η ενέργεια έχει μετατραπεί σε κινητική.Τα βέλη δείχνουν τις ταχύτητες των διαφόρων σημείων της χορδής

 Σε μια ελαστική χορδή στην οποία έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα η ενέργεια μετατρέπεται συνεχώς από δυναμική,όταν η χορδή είναι στιγμιαία ακίνητη,σε κινητική,όταν η χορδή διέρχεται από την θέση ισορροπίας της.Σε όλες τις ενδιάμεσες θέσεις τα υλικά σημεία από τα οποία αποτελείται η χορδή έχουν δυναμική και κινητική ενέργεια.

Στις χορδές της κιθάρας σχηματίζονται στάσιμα κύματα.Τα άκρα κάθε χορδής είναι δεσμοί

 Η διαταραχή δεν αποτελεί κύμα,αφού η ενέργεια δεν διαδίδεται αλλά παραμένει εντοπισμένη μεταξύ των δεσμών.Για το λόγο αυτό έχει δοθεί στη διαταραχή αυτή το όνομα "στάσιμο κύμα".Επίσης,τα υλικά σημεία του μέσου δεν εκτελούν διαδοχικά την ίδια κίνηση όπως σε ένα οδεύον κύμα,αλλά ταλαντώνονται (με εξαίρεση τους δεσμούς) με την ίδια συχνότητα και διαφορετικό πλάτος.Δύο σημεία του μέσου μπορεί να βρίσκονται είτε σε συμφωνία φάσης (Δφ=0) είτε σε αντίθεση φάσης (Δφ=π rad).

Τα σημεία μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών βρίσκονται σε συμφωνία φάσης, άρα περνούν ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας κινούμενα προς την ίδια κατεύθυνση και ταυτόχρονα φτάνουν στις ακραίες θέσεις προς την ίδια κατεύθυνση

 Τα σημεία μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών (άτρακτος) βρίσκονται σε συμφωνία φάσης,άρα περνούν ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας κινούμενα προς την ίδια κατεύθυνση και ταυτόχρονα φτάνουν στις ακραίες θέσεις προς την ίδια κατεύθυνση.Αντίστοιχα,τα σημεία εκατέρωθεν ενός δεσμού και σε διαδοχικές ατράκτους βρίσκονται σε αντίθεση φάσης, άρα περνούν ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας κινούμενα προς αντίθετη κατεύθυνση και φτάνουν ταυτόχρονα στις ακραίες θέσεις προς την αντίθετη κατεύθυνση.Προφανώς,ανά Δt=T/2 όλα τα σημεία διέρχονται από τη θέση ισορροπίας και η χορδή ευθυγραμμίζεται.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ 

 Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας,η απομάκρυνση y ενός υλικού σημείου του ελαστικού μέσου είναι ίση με τη συνισταμένη των απομακρύνσεων που οφείλονται στα επιμέρους κύματα.

Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας,η απομάκρυνση y ενός υλικού σημείου του ελαστικού μέσου είναι ίση με τη συνισταμένη των απομακρύνσεων που οφείλονται στα επιμέρους κύματα

 Δηλαδή η απομάκρυνση ενός σημείου του μέσου τη χρονική στιγμή t,θα είναι:

y = y₁ + y₂

  Άρα έχουμε:

 Με τη βοήθεια της τριγωνομετρικής ταυτότητας,




προκύπτει η εξίσωση:

 Η εξίσωση αυτή ονομάζεται εξίσωση στάσιμου κύματος.
 Η εξίσωση παριστάνει αρμονική ταλάντωση συχνότητας ίσης με αυτή των οδεύοντων κυμάτων και πλάτους:

το οποίο εξαρτάται από τη θέση των σημείων.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΘΕΣΕΩΝ ΚΟΙΛΙΩΝ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ

 Οι κοιλίες του στάσιμου κύματος είναι υλικά σημεία του ελαστικού μέσου τα οποία ταλαντώνονται με πλάτος διπλάσιο από το πλάτος των δύο τρέχοντων αρμονικών κυμάτων που συμβάλλουν για να δημιουργήσουν το στάσιμο κύμα.Αυτό είναι και το μέγιστο πλάτος ταλάντωσης των υλικών σημείων του μέσου.

Οι κοιλίες του στάσιμου κύματος είναι υλικά σημεία του ελαστικού μέσου τα οποία ταλαντώνονται με πλάτος διπλάσιο από το πλάτος των δύο τρέχοντων αρμονικών κυμάτων που συμβάλλουν για να δημιουργήσουν το στάσιμο κύμα

  Επομένως για τις κοιλιές ισχύει:

                   ή 

          ή 

 με



ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΘΕΣΕΩΝ ΔΕΣΜΩΝ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ

 Οι δεσμοί του στάσιμου κύματος είναι υλικά σημεία του ελαστικού μέσου τα οποία παραμένουν διαρκώς ακίνητα,δηλαδή το πλάτος ταλάντωσης τους ισούται με μηδέν.

Οι δεσμοί του στάσιμου κύματος είναι υλικά σημεία του ελαστικού μέσου τα οποία παραμένουν διαρκώς ακίνητα,δηλαδή το πλάτος ταλάντωσης τους ισούται με μηδέν

 Επομένως για τους δεσμούς ισχύει:

                     ή 

            ή 

 με

ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

 Αναφέραμε ότι στο στάσιμο κύμα υπάρχουν σημεία που παραμένουν πάντα ακίνητα.Άρα δε μεταφέρεται  ενέργεια από το ένα σημείο του μέσου στο άλλο.Αυτός είναι ένας σημαντικός λόγος που διαφοροποιεί την κατάσταση του στάσιμου κύματος από αυτό που ορίσαμε ως κύμα.

Η ενέργεια που είχαν τα αρχικά κύματα,η συμβολή των οποίων έδωσε το στάσιμο κύμα,εγκλωβίζεται ανάμεσα στους δεσμούς

 Η ενέργεια που είχαν τα αρχικά κύματα,η συμβολή των οποίων έδωσε το στάσιμο κύμα,εγκλωβίζεται ανάμεσα στους δεσμούς.Σε μια χορδή,στην οποία έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα,η ενέργεια μετατρέπεται συνεχώς από ελαστική δυναμική ενέργεια,όταν η χορδή είναι στιγμιαία ακίνητη,σε κινητική όταν η χορδή διέρχεται από τη θέση ισορροπίας.Στις ενδιάμεσες θέσεις τα μόρια της χορδής,έχουν και κινητική και δυναμική ενέργεια.