| 
ΣΥΜΒΟΛΗ ΔΥΟ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΥΓΡΟΥ
.png)
με t>t1
.png)
με t>t2
y=y1+y2 ή
Με τη βοήθεια της τριγωνομετρικής ταυτότητας,
προκύπτει:
.png)
.png)
.png)
.png)
.png)
Επομένως το αποτέλεσμα της συμβολής είναι ταλάντωση που έχει πλάτος:
Το πλάτος Α' εξαρτάται από τη διαφορά των αποστάσεων του υλικού σημείου από τις πηγές και κυμαίνεται μεταξύ του μηδενός και του 2Α ανάλογα με τις αποστάσεις r1 και r2.
ΕΝΙΣΧΥΤΙΚΗ ΣΥΜΒΟΛΗ
Εφόσον στο σημείο Μ τα δύο κύματα φτάνουν έτσι ώστε να δίνουν ταυτόχρονα δύο όρη ή δύο κοιλάδες,το αποτέλεσμα της επαλληλίας θα είναι να δημιουργηθεί όρος με διπλάσιο ύψος ή κοιλάδα με διπλάσιο βάθος αντίστοιχα.
.png)
Άρα τα υλικά σημεία της επιφάνειας των οποίων οι αποστάσεις από τις πηγές διαφέρουν κατά ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος.
Για Ν=0 είναι r1=r2,συνθήκη που επαληθεύεται από τα σημεία της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος που συνδέει τις δύο πηγές.
.png)
.png)
.png)
.png)
.png)
.png)
Η τελευταία σχέση ονομάζεται συνθήκη απόσβεσης.
και
,
ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΠΗΓΕΣ
Μελετήσαμε το φαινόμενο της συμβολής που αφορούσε στη συμβολή δύο κυμάτων των οποίων οι πηγές βρίσκονται σε φάση,δηλαδή δημιουργούν ταυτόχρονα μέγιστα και ελάχιστα.Τέτοιες πηγές ονομάζονται σύγχρονες.
Σύγχρονες πηγές ονομάζονται οι δύο πηγές,στις οποίες η διαφορά φάσης των ταλαντώσεων τους ισούται με μηδέν.
Δηλαδή ισχύει:
Δφ=0 ή
(ω1t+φ0)-(ω2t+θ0)=0 ή
(ω1-ω2)t+(φ0+θ0)=0 ή
ω1=ω2 και
φ0=θ0
Συμβολή,όμως,έχουμε κάθε φορά που δύο κύματα διαδίδονται στο ίδιο μέσο.
Για παράδειγμα,οι χρονικές εξισώσεις y1=A·ημ(ω·t) και y2=A·ημ(ω·t) περιγράφουν τις απομακρύνσεις από τη θέση ισορροπίας των ταλαντώσεων δύο σύγχρονων πηγών.
ΣΥΜΦΩΝΕΣ ΠΗΓΕΣ
Σύμφωνες πηγές ονομάζονται οι δύο πηγές,στις οποίες η διαφορά φάσης των ταλαντώσεων τους είναι σταθερή και ανεξάρτητη του χρόνου.
Δηλαδή ισχύει:
Δφ=σταθ. ή
(ω1·t+φ0)-(ω2·t+θ0)=σταθ. ή
(ω1-ω2)·t+(φ0+θ0)=σταθ. ή
ω1=ω2 και
φ0-θ0=σταθ.
Για παράδειγμα,οι χρονικές εξισώσεις y1=A·ημ(ω·t+π/2) και y2=A·ημ(ω·t+π/3) περιγράφουν τις απομακρύνσεις από τη θέση ισορροπίας των ταλαντώσεων δύο σύμφωνων πηγών.
Μόνον τα αρµονικά κύµατα που προέρχονται από δυο σύµφωνες ή σύγχρονες πηγές κυµάτων παρέχουν φαινόµενα συµβολής.
.png) |
| ΣΥΜΒΟΛΗ ΔΥΟ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΥΓΡΟΥ |
ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Το παρακάτω σχήμα μας δείχνει το αποτέλεσμα της συμβολής δύο όμοιων κυμάτων στην επιφάνεια νερού.
Τα κύματα προκαλούνται στην επιφάνεια νερού από δύο πηγές.
Βλέπουμε ότι υπάρχουν σημεία,τα οποία σχηματίζουν γραμμές,που παραμένουν ακίνητα,ενώ άλλα ταλαντώνονται πολύ έντονα.
ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ
Θεωρούμε ότι σε δύο σημεία της ελεύθερης επιφάνειας ήρεμου υγρού υπάρχουν δύο πηγές παραγωγής εγκάρσιων αρμονικών κυμάτων Π1 και Π2,οι οποίες ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού,όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα.Θεωρούμε,επίσης,ότι οι δύο πηγές δημιουργούν κύματα ίδιου πλάτους και παράγουν ταυτόχρονα μέγιστα και ελάχιστα,δηλαδή βρίσκονται σε φάση.
Το παρακάτω σχήμα μας δείχνει το αποτέλεσμα της συμβολής δύο όμοιων κυμάτων στην επιφάνεια νερού.
.png) |
| Η συμβολή δύο κυμάτων στην επιφάνεια νερού |
.png) |
| Εικόνα συμβολής κυμάτων σε επιφάνεια υγρού |
ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ
Θεωρούμε ότι σε δύο σημεία της ελεύθερης επιφάνειας ήρεμου υγρού υπάρχουν δύο πηγές παραγωγής εγκάρσιων αρμονικών κυμάτων Π1 και Π2,οι οποίες ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού,όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα.Θεωρούμε,επίσης,ότι οι δύο πηγές δημιουργούν κύματα ίδιου πλάτους και παράγουν ταυτόχρονα μέγιστα και ελάχιστα,δηλαδή βρίσκονται σε φάση.
.png) |
| Θεωρούμε ότι σε δύο σημεία της ελεύθερης επιφάνειας ήρεμου υγρού υπάρχουν δύο πηγές παραγωγής εγκάρσιων αρμονικών κυμάτων Π1 και Π2,οι οποίες ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού.Έστω Μ ένα υλικό σημείο της επιφάνειας,το οποίο απέχει r1 από την πηγή Π1 και r2 από την πηγή Π2 |
Έστω Μ ένα υλικό σημείο της επιφάνειας, το οποίο απέχει r1 από την πηγή Π1 και r2 από την πηγή Π2.
.png) |
| Συμβολή δύο κυμάτων στη επιφάνεια υγρού |
Αν τη χρονική στιγμή t στο σημείο Μ έχουν φτάσει και οι δύο διαταραχές,η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Μ από την θέση ισορροπίας του,λόγω του κύματος που προέρχεται από την πηγή Π1,είναι:
με t>t1
Επίσης αν τη χρονική στιγμή t στο σημείο Μ έχουν φτάσει και οι δύο διαταραχές,η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Μ από την θέση ισορροπίας του,λόγω του κύματος που προέρχεται από την πηγή Π1,είναι:
με t>t2
Αν r1>r2 τότε στο σημείο Μ φτάνει πρώτο το κύμα που προέρχεται από την πηγή Π2.Στο χρονικό διάστημα μέχρι να φτάσει το πρώτο κύμα το σημείο Μ παραμένει ακίνητο μιας και κανένα κύμα δεν έχει φτάσει σε αυτό το σημείο για να το αναγκάσει να ταλαντωθεί.
.png) |
| Εικόνα συμβολής από δύο πηγές στην επιφάνεια υγρού |
Στο χρονικό διάστημα που μεσολαβεί από την στιγμή που έφτασε το πρώτο κύμα και μέχρι να φτάσει το δεύτερο κύμα το σημείο Μ αναγκάζεται να εκτελέσει ταλάντωση που οφείλεται αποκλειστικά από το πρώτο κύμα.
.png) |
| Από την στιγμή που θα φτάσουν και τα δύο κύματα και έπειτα η ταλάντωση του σημείου οφείλεται και στα δύο κύματα |
Τέλος από την στιγμή που θα φτάσουν και τα δύο κύματα και έπειτα η ταλάντωση του σημείου οφείλεται και στα δύο κύματα. Έτσι αν οι χρονικές στιγμές που φτάνουν τα δύο κύματα στο σημείο Μ είναι αντίστοιχα t1=r1/υ και t2=r2/υ θα ισχύει:
α) Όταν t≤r2/υ:
α) Όταν t≤r2/υ:
y=0
β) Όταν r2/υ≤t≤r1/υ.
y=y1
γ) Όταν t≥r1/υ,σύμφωνα με την αρχή της επαλληλία,η απομάκρυνση y του σημείου Μ από τη θέση ισορροπίας του τη χρονική στιγμή t,μετά την έναρξη της συμβολής των δύο κυμάτων στο σημείο αυτό,θα είναι:
γ) Όταν t≥r1/υ,σύμφωνα με την αρχή της επαλληλία,η απομάκρυνση y του σημείου Μ από τη θέση ισορροπίας του τη χρονική στιγμή t,μετά την έναρξη της συμβολής των δύο κυμάτων στο σημείο αυτό,θα είναι:
y=y1+y2 ή
Με τη βοήθεια της τριγωνομετρικής ταυτότητας,
προκύπτει:
Άρα γενικά ισχύει:
Παρατηρούμε από την εξίσωση ότι το τυχαίο σημείο Μ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση της ίδιας συχνότητας με τις δύο πηγές αλλά με διαφορετικό πλάτος.
.png) |
| Ένα τυχαίο σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση της ίδιας συχνότητας με τις δύο πηγές αλλά με δια |
και φάση:
ΕΝΙΣΧΥΤΙΚΗ ΣΥΜΒΟΛΗ
Εφόσον στο σημείο Μ τα δύο κύματα φτάνουν έτσι ώστε να δίνουν ταυτόχρονα δύο όρη ή δύο κοιλάδες,το αποτέλεσμα της επαλληλίας θα είναι να δημιουργηθεί όρος με διπλάσιο ύψος ή κοιλάδα με διπλάσιο βάθος αντίστοιχα.
.png) |
| Ενισχυτική συμβολή |
Λέμε τότε ότι τα κύματα συμβάλουν ενισχυτικά ή ότι το Μ είναι σημείο ενισχυτικής συμβολής.
Στην εξίσωση της συμβολής παρατηρούμε ότι το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Μ είναι μέγιστο και ίσο με 2·Α ,δηλαδή είναι σημείο ενίσχυσης αν:
.png)
.png)
.png)
.png)
Άρα τα υλικά σημεία της επιφάνειας των οποίων οι αποστάσεις από τις πηγές διαφέρουν κατά ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος.
.jpg) |
| Στα σημεία Φ0,Φ1,Φ2,... για τα οποία οι αποστάσεις από τις δύο πηγές διαφέρουν ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος έχουμε ενίσχυση |
ΑΚΥΡΩΤΙΚΗ ΣΥΜΒΟΛΗ
Εφόσον στο σημείο Μ τα κύματα συναντώνται έτσι ώστε το ένα να δίνει όρος και το άλλο κοιλάδα,τότε συνεχώς οι επιμέρους απομακρύνσεις που προκαλούν θα είναι αντίθετες.Συνεπώς η συνισταμένη απομάκρυνση του M θα είναι μηδενική,δηλαδή το σημείο θα παραμένει ακίνητο.
.png) |
| Ακυρωτική συμβολή |
Λέμε τότε ότι έχουμε απόσβεση και το M είναι σημείο αποσβεστικής (ή αναιρετικής ή ακυρωτικής) συμβολής.Στην εξίσωση της συμβολής το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου M είναι μηδενικό.
Δηλαδή:
Δηλαδή:
όπου:
ή ισοδύναμα:
Η τελευταία σχέση ονομάζεται συνθήκη απόσβεσης.
.jpg) |
| Στα σημεία Σ1,Σ2,... για τα οποία οι αποστάσεις από τις δύο πηγές διαφέρουν περιττό πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος έχουμε απόσβεση |
Άρα τα υλικά σημεία της επιφάνειας των οποίων οι αποστάσεις από τις πηγές διαφέρουν κατά περιττό πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος παραμένουν ακίνητα.
Αν,
και ,
τότε το πλάτος της ταλάντωσης Α' του σημείου της επιφάνειας είναι:
ΥΠΕΡΒΟΛΕΣ ΕΝΙΣΧΥΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΣΒΕΣΗΣ
Από τα μαθηματικά γνωρίζουμε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων των οποίων η διαφορά των αποστάσεών τους από δύο σημεία είναι σταθερός αριθμός ονομάζεται υπερβολή.Έτσι,λοιπόν,ο γεωμετρικός τόπος των σημείων για τα οποία ισχύει |r1-r2|=σταθερή είναι υπερβολή.Άρα τα σημεία στα οποία έχουμε ενισχυτική συμβολή και τα σημεία στα οποία έχουμε απόσβεση βρίσκονται πάνω σε υπερβολές με εστίες τις πηγές Α και Β,για τους διάφορους ακεραίους Ν,όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα.
.png) |
| Τα σημεία στα οποία έχουμε ενισχυτική συμβολή και τα σημεία στα οποία έχουμε απόσβεση βρίσκονται πάνω σε υπερβολές με εστίες τις πηγές Α και Β,για τους διάφορους ακεραίους Ν |
Το σύνολο των υπερβολών αυτών ονομάζονται κροσσοί συµβολής.
Παρατηρούμε ότι μεταξύ των πηγών παρεμβάλλεται περιττό πλήθος υπερβολών ενίσχυσης και άρτιο πλήθος υπερβολών απόσβεσης..png) |
| Οι πηγές Π1,Π2 πάλλονται και δημιουργούν αρμονικά κύματα στην επιφάνεια υγρού |
Κάθε υπερβολή ενισχυτικής συµβολής (συνεχείς γραμμές χαρακτηρίζεται από μια μοναδική τιµή Ν στην συνθήκη ενίσχυσης.Τα σωματίδια που ϐρίσκονται πάνω σε αυτές τις υπερβολές ταλαντώνονται µε μέγιστο πλάτος (Α΄=2Α).Κάθε υπερβολή αποσβεστικής συµβολής (διακεκομμένες γραμμές) χαρακτηρίζεται επίσης από μια τηµή του Ν.
Τα υλικά σημεία που βρίσκονται πάνω σε αυτές τις υπερβολές παραμένουν συνεχώς ακίνητα (Α΄=0).Τα υλικά σημεία της επιφάνειας του υγρού που δεν ϐρίσκονται πάνω σε κάποια υπερβολή, έχουν πλάτος ταλάντωσης που παίρνει τιμές 0<A0<2·A.
Μελετήσαμε το φαινόμενο της συμβολής που αφορούσε στη συμβολή δύο κυμάτων των οποίων οι πηγές βρίσκονται σε φάση,δηλαδή δημιουργούν ταυτόχρονα μέγιστα και ελάχιστα.Τέτοιες πηγές ονομάζονται σύγχρονες.
.png) |
| Σύγχρονες πηγές ονομάζονται οι δύο πηγές,στις οποίες η διαφορά φάσης των ταλαντώσεων τους ισούται με μηδέν |
Δηλαδή ισχύει:
Δφ=0 ή
(ω1t+φ0)-(ω2t+θ0)=0 ή
(ω1-ω2)t+(φ0+θ0)=0 ή
ω1=ω2 και
φ0=θ0
Συμβολή,όμως,έχουμε κάθε φορά που δύο κύματα διαδίδονται στο ίδιο μέσο.
Για παράδειγμα,οι χρονικές εξισώσεις y1=A·ημ(ω·t) και y2=A·ημ(ω·t) περιγράφουν τις απομακρύνσεις από τη θέση ισορροπίας των ταλαντώσεων δύο σύγχρονων πηγών.
ΣΥΜΦΩΝΕΣ ΠΗΓΕΣ
Σύμφωνες πηγές ονομάζονται οι δύο πηγές,στις οποίες η διαφορά φάσης των ταλαντώσεων τους είναι σταθερή και ανεξάρτητη του χρόνου.
.png) |
| Σύμφωνες πηγές ονομάζονται οι δύο πηγές,στις οποίες η διαφορά φάσης των ταλαντώσεων τους είναι σταθερή και ανεξάρτητη του χρόνου |
Δφ=σταθ. ή
(ω1·t+φ0)-(ω2·t+θ0)=σταθ. ή
(ω1-ω2)·t+(φ0+θ0)=σταθ. ή
ω1=ω2 και
φ0-θ0=σταθ.
Για παράδειγμα,οι χρονικές εξισώσεις y1=A·ημ(ω·t+π/2) και y2=A·ημ(ω·t+π/3) περιγράφουν τις απομακρύνσεις από τη θέση ισορροπίας των ταλαντώσεων δύο σύμφωνων πηγών.
Μόνον τα αρµονικά κύµατα που προέρχονται από δυο σύµφωνες ή σύγχρονες πηγές κυµάτων παρέχουν φαινόµενα συµβολής.
