ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

 Θεωρούμε έναν τροχό ποδηλάτου και έναν τροχό αυτοκινήτου που στρέφονται γύρω από σταθερό άξονα,με την ίδια γωνιακή ταχύτητα.Οι δύο αυτοί τροχοί δε σταματούν με την ίδια ευκολία.

Τροχός αυτοκινήτου

 Πρέπει να εισάγουμε ένα νέο φυσικό μέγεθος για τη μέτρηση της δυσκολίας που μεταβάλλεται η στροφική κινητική κατάσταση ενός στερεού.

Τροχός ποδηλάτου

 Το νέο φυσικό μέγεθος που θα ορίσουμε είναι η ροπή αδράνειας.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

 Θεωρούμε ένα στερεό το οποίο περιστρέφεται γύρω από το σταθερό άξονα zz',όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.Χωρίζουμε το στερεό σε στοιχειώδη τμήματα με μάζες m1,m2....

Το στερεό μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται από στοιχειώδη τμήματα

 Οι μάζες m1,m2.... κινούνται κυκλικά γύρω από τον άξονα,σε κύκλους ακτίνων r1,r2....Τα στοιχειώδη τμήματα είναι τόσο μικρά,ώστε να θεωρούνται υλικά σημεία.

Ροπή αδράνειας Ι ενός στερεού ως προς κάποιο άξονα ονομάζεται το άθροισμα  των  γινομένων των στοιχειωδών μαζών από τις οποίες αποτελείται το σώμα επί  τα τετράγωνα των αποστάσεων τους από τον άξονα περιστροφής

 Ροπή αδράνειας Ι ενός στερεού ως προς κάποιο άξονα ονομάζεται το άθροισμα  των  γινομένων των στοιχειωδών μαζών από τις οποίες αποτελείται το σώμα επί  τα τετράγωνα των αποστάσεων τους από τον άξονα περιστροφής.

                                                                                Ι=m•r1²+m•r2²+.......

όπου:
Ι η ροπή αδράνειας στερεού ως προς τον άξονα περιστροφής zz' σε kg•m².
m1,m2.... οι στοιχειώδεις μάζες που αποτελούν το στερεό σε kg. 
r1,r2.... οι αντίστοιχες αποστάσεις από τον άξονα περιστροφής zz' σε m.

Αγώνας δρόμου διάφορων σωμάτων με διαφορετική ροπή αδράνειας

 Η ροπή αδράνειας είναι μονόμετρο μέγεθος.
 Η ροπή αδράνειας στο σύστημα S.I. έχει μονάδα μέτρησης το 1 kg•m².

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

 Επίσης η ροπή αδράνειας είναι πάντα θετική ή μηδέν.
 Η φυσική της σημασία είναι ότι προσδιορίζει την αδράνεια στη στροφική κίνηση ενός στερεού.

Η φυσική σημασία της ροπής αδράνειας είναι ότι προσδιορίζει την αδράνεια στη στροφική κίνηση ενός στερεού

 H ροπή αδράνειας ενός σώματος δεν εξαρτάται μόνο από τη μάζα του σώματος αλλά και από την κατανομή της μάζας γύρω από τον άξονα περιστροφής.

H ροπή αδράνειας ενός σώματος δεν εξαρτάται μόνο από τη μάζα του σώματος αλλά και από την κατανομή της μάζας γύρω από τον άξονα περιστροφής

 Η ροπή αδράνειας έχει αντίστοιχο μέγεθος στη μεταφορική κίνηση τη μάζα.
 Σε αντίθεση με τη μάζα M που για ένα στερεό έχει μια μοναδική τιμή,η ροπή αδράνειας I ενός στερεού παίρνει διαφορετική τιμή για κάθε διαφορετικό άξονα περιστροφής του.

Η ροπή αδράνειας I ενός στερεού παίρνει διαφορετική τιμή για κάθε διαφορετικό άξονα περιστροφής του

  Ο  υπολογισμός της ροπής αδράνειας ενός σώματος είναι γενικά δύσκολος,γιατί απαιτεί τον υπολογισμό του αθροίσματος μιας άπειρης σειράς γινομένων m•r1²,που το καθένα έχει διαφορετική τιμή.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕ ΤΙΣ ΡΟΠΕΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΑ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

 Στον παραπάνω πίνακα δίνονται οι ροπές αδράνειας μερικών σωμάτων ως προς έναν από τους άπειρους άξονες που διέρχονται από το κέντρο μάζας τους.Ο συγκεκριμένος άξονας για κάθε σώμα εικονίζεται στο σχήμα.

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ

 Από τον ορισμό της ροπής αδράνειας προκύπτει ότι η ροπή αδράνειας ενός υλικού σημείου μάζας m,το οποίο κινείται κυκλικά σε κύκλο ακτίνας r,ως προς τον άξονα zz' που διέρχεται από το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και είναι κάθετος στο επίπεδο της,δίνεται από την σχέση:

                                                                                Ι=m•r²

ΘΕΩΡΗΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΑΞΟΝΩΝ

 Θέλουμε να συσχετίσουμε τη ροπή αδράνειας Icm ενός σώματος ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και της ροπής αδράνειας Ip ως προς οποιοδήποτε άλλο άξονα ρ,παράλληλο με τον πρώτο σε απόσταση d από αυτόν.

Το θεώρημα παραλλήλων αξόνων δίνει τη ροπή αδράνειας ως προς τυχαίο άξονα που απέχει απόσταση d από το κέντρο μάζας

 Αν Icm η ροπή αδράνειας ενός σώματος μάζας Μ,ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας,η ροπή αδράνειάς του ως προς ένα άξονα που είναι παράλληλος και απέχει απόσταση d από τον πρώτο είναι ίση με το άθροισμα της ροπής αδράνειας ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και του γινομένου της μάζας του σώματος επί το τετράγωνο της απόστασης d

                                                                                Ip=Icm+M•d²

όπου:
Icm η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο μάζας σε kg•m².
Ip η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς άξονα περιστροφής που απέχει απόσταση d από τον άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο μάζας και είναι παράλληλος σ' αυτόν σε kg•m².
Μ η μάζα του στερεού σε kg.
d η απόσταση μεταξύ των παραλλήλων αξόνων σε m.

Αν Icm η ροπή αδράνειας ενός σώματος μάζας Μ,ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας,η ροπή αδράνειάς του ως προς ένα άξονα που είναι παράλληλος και απέχει απόσταση d από τον πρώτο είναι ίση με το άθροισμα της ροπής αδράνειας ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και του γινομένου της μάζας του σώματος επί το τετράγωνο της απόστασης d

 Η σχέση αυτή είναι γνωστή ως το θεώρημα  παραλλήλων αξόνων ή θεώρημα Steiner (Στάινερ).

Το θεώρημα  παραλλήλων αξόνων ή θεώρημα Steiner

 Από τη σχέση φαίνεται ότι η ροπή αδράνειας ενός σώματος ως προς άξονες παράλληλους μεταξύ τους,παίρνει την ελάχιστη τιμή της για τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος.
 Δηλαδή:

                                                                                Ip(min)=Icm