ΕΡΓΟ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΡΓΟ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΡΓΟ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

    Όταν πατάμε τα πετάλια του ποδηλάτου ασκούμε δύναμη και παράγουμε έργο.Επίσης έργο παράγεται και από τη μηχανή  του αυτοκινήτου αφού στρέφει τον άξονα  των  τροχών.

Όταν πατάμε τα πετάλια του ποδηλάτου ασκούμε δύναμη και παράγουμε έργο

  Μια δύναμη που περιστρέφει ένα σώμα παράγει έργο,το οποίο μπορούμε να εκφράσουμε σε συνάρτηση με τη ροπή της ως προς τον άξονα περιστροφής του σώματος.

ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΣ ΕΡΓΟ

 Θεωρούμε ότι σε έναν τροχό ακτίνας R,ο οποίος μπορεί να στρέφεται γύρω από τον άξονα του,ασκείται δύναμη F σταθερού μέτρου,όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Θεωρούμε ότι σε έναν τροχό ακτίνας R,ο οποίος μπορεί να στρέφεται γύρω από τον άξονα του,ασκείται δύναμη F σταθερού μέτρου

  Όταν ο τροχός στρέφεται κατά την απειροστά μικρή γωνία dθ (σε ακτίνια),τότε το σημείο εφαρμογής της δύναμης F μετατοπίζεται κατά το αντίστοιχο απειροστά μικρό τόξο μήκους ds,το οποίο δίνεται από την σχέση:

                                                                                             ds=R•dθ

  Επειδή η δύναμη F και το τόξο ds,το οποίο ως απειροστά μικρό μπορούμε να θεωρήσουμε ευθύγραμμο,έχουν τον ίδιο φορέα,το στοιχειώδες έργο της δύναμης δίνεται από την σχέση:

                                                                                              dW=F•ds

   Αν η γωνία μετριέται σε ακτίνια τότε ds=R•dθ.

Με την επίδραση της δύναμης F το σώμα στρέφεται κατά γωνία dθ.Το σημείο εφαρμογής της F μετατοπίζεται κατά ds=R•dθ

        H τελευταία σχέση γράφεται:

                  

                                                                              dW=F•R•dθ

  Επειδή το  γινόμενο F•R είναι το μέτρο της ροπής τ της δύναμης F,ως προς τον άξονα περιστροφής του τροχού,η σχέση dW=F•R•dθ γράφεται: 

                                                                              dW=τ•dθ 

ΕΡΓΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ

  Όταν μια δύναμη περιστρέφει ένα σώμα κατά  γωνία θ,τότε για να υπολογίσουμε το έργο W της δύναμης,χωρίζουμε τη  γωνία σε απειροστά μικρές γωνίες dθ1,dθ2...dθν και αθροίζουμε τα αντίστοιχα στοιχειώδη έργα dW1,dW2...dWν.Δηλαδή:

                                                                                  W=dW1+dW2+...+dWν

   Η τελευταία σχέση λόγω της σχέσης dW=τ•dθ γίνεται:

                                                                                  W=τ1•dθ1+τ2•dθ2+...+τν•dθν

  Αν η ροπή της δύναμης έχει σταθερό μέτρο ίσο με τ,είναι σταθερή, όπως στην περίπτωση του σχήματος,τότε η τελευταία σχέση γράφεται:

W=τ•dθ1+τ•dθ2+...+τ•dθν     ή

W=τ•(dθ1+dθ2+...+dθν)       ή

                                                                                W=τ•θ

  Η γωνία θ μετριέται σε rad.

Το έργο W μιας ροπής μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό

  Το έργο W μιας ροπής μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό.Θετικό,όταν η ροπή τ έχει την ίδια φορά με τη φορά περιστροφής του σώματος (η ροπή τείνει να επιταχύνει το σώμα) και αρνητικό,όταν η ροπή έχει αντίθετη φορά από τη φορά περιστροφής του σώματος (η ροπή τείνει να επιβραδύνει το σώμα).

ΙΣΧΥΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

   Θεωρούμε ένα σώμα που εκτελεί στροφική κίνηση και δέχεται την επίδραση μιας εξωτερικής δύναμη F,της οποίας η ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής του σώματος έχει μέτρο τ.

Θεωρούμε ένα σώμα που εκτελεί στροφική κίνηση και δέχεται την επίδραση μιας εξωτερικής δύναμη F,της οποίας η ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής του σώματος έχει μέτρο τ

  Αν στο απειροστά μικρό χρονική στιγμή t μέχρι τη χρονική στιγμή t+dt,το σώμα στρέφεται κατά την απειροστά μικρή γωνία dθ,τότε η δύναμη F παράγει έργο dW και ισχύει:

dW=τ•dθ               ή

                                                                                            dW/dt=τ•dθ/dt

 Ο  ρυθμός παραγωγής έργου dW/dt είναι η (στιγμιαία) ισχύς Ρ  της δύναμης και το πηλίκο dθ/dt  είναι η γωνιακή  ταχύτητα ω  του σώματος τη χρονική στιγμή t.

Ο  ρυθμός παραγωγής έργου dW/dt είναι η (στιγμιαία) ισχύς Ρ  της δύναμης και το πηλίκο dθ/dt  είναι η γωνιακή  ταχύτητα ω  του σώματος τη χρονική στιγμή t

  Επομένως:

                                                                               P=τ•ω

   Στο S.I.,όπου η μονάδα της ροπής είναι το 1 Ν•m και η μονάδα της γωνιακής ταχύτητας είναι το 1 rad/s,η μονάδα της ισχύος είναι το 1 W(1 Watt).

  Στη σχέση P=τ•ω η ροπή τ και η γωνιακή ταχύτητα ω αναφέρονται στον ίδιο άξονα περιστροφής.

Αν τα μεγέθη τ και ω είναι σταθερά,τότε η ισχύς που δίνεται από τη σχέση P=τ•ω είναι σταθερή

  Αν τα μεγέθη τ και ω είναι σταθερά,τότε η ισχύς που δίνεται από τη σχέση P=τ•ω είναι σταθερή.

   Αν ένα τουλάχιστον από τα μεγέθη τ και ω μεταβάλλεται με το χρόνο,τότε η ισχύς που δίνεται από την σχέση είναι η στιγμιαία ισχύς.

ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΡΓΟΥ -ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

   Ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης είναι:

                                                                                   Στ=Ι•α

   Από τον νόμο αυτό προκύπτει ότι,όταν σε ένα σώμα που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα ασκούνται εξωτερικές ροπές με μη μηδενικό αλγεβρικό άθροισμα (Στ≠0),τότε το σώμα αποκτά γωνιακή επιτάχυνση α,με αποτέλεσμα να μεταβάλλεται η γωνιακή ταχύτητα ω και κατά συνέπεια η κινητική ενέργεια περιστροφής του σώματος,αφού είναι:

                                                                                   Κπερ=1/2•Ι•ω²

 Αποδεικνύεται ότι η ροπή μιας δύναμης μεταβάλλει την κινητική ενέργεια περιστροφής του σώματος στο οποίο ασκείται κατά ποσότητα ίση με το έργο της.

Το αλγεβρικό άθροισμα  των  έργων  των ροπών που ασκούνται σε ένα σώμα είναι ίσο με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας περιστροφής του σώματος

  Έτσι,στη περίπτωση ενός στερεού σώματος που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα,το γνωστό μας από τη μεταφορική κίνηση θεώρημα έργου-ενέργειας παίρνει τη μαθηματική μορφή:

                                                                           ΣW=1/2•Ι•ω2²-1/2•Ι•ω1²

   Το θεώρημα έργου-ενέργειας διατυπώνεται ως εξής:

  Το αλγεβρικό άθροισμα  των  έργων  των ροπών που ασκούνται σε ένα σώμα είναι ίσο με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας περιστροφής του σώματος.