ΣΚΕΔΑΣΗ COMPTON

ΣΚΕΔΑΣΗ COMPTON

ΣΚΕΔΑΣΗ COMPTON

ΟΙ ΑΚΤΙΝΕΣ Χ

 Το 1895 ο Wilchelm Rontgen (Ρέντγκεν) ανακάλυψε ότι όταν ένα μέταλλο «βομβαρδιστεί» με ηλεκτρόνια που κινούνται με μεγάλη ταχύτητα εκπέμπει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία.Η ακτινοβολία αυτή ονομάστηκε ακτίνες Χ ή ακτίνες Rontgen.Ακτίνες Χ χρησιμοποιούνται καθημερινά σήμερα για την λήψη κοινών ακτινογραφιών.Οι ακτίνες Χ έχουν μήκη κύματος από 0,001 nm,έως 1 nm.

Ο Βίλχελμ Κόνραντ Ρέντγκεν (Wilhelm Conrad Röntgen,27 Μαρτίου 1845-10 Φεβρουαρίου 1923) ήταν Γερμανός φυσικός.Σπούδασε στο ETH Ζυρίχης.Διετέλεσε υφηγητής στο πανεπιστήμιο του Στρασβούργου το 1874,τακτικός καθηγητής της Φυσικής και διευθυντής του εργαστηρίου Φυσικής του πανεπιστημίου Γκίσεν,καθηγητής στο πανεπιστήμιο του Βίρτσμπουργκ το 1885 και τελικά καθηγητής στο πανεπιστήμιο του Μονάχου (1900-1920).Κατά το 1895,ενώ έκανε στο Βίρτσμπουργκ πειράματα για τη σπουδή της ηλεκτρικής αγωγιμότητας των αερίων,ανακάλυψε τις ακτίνες Χ (ή τις ακτίνες Ρέντγκεν, όπως λέγονται εις τιμήν του).Απέδειξε ότι οι ακτίνες Χ διαδίδονται σε ευθεία γραμμή και δεν είναι δυνατό να διαθλαστούν ή να ανακλαστούν και ότι δεν επηρεάζονται από τα ηλεκτρικά μαγνητικά πεδία.Έκανε επίσης μελέτες σχετικές με την ελαστικότητα των σωμάτων,την ειδική θερμότητα των αερίων,τη θερμική αγωγιμότητα των κρυστάλλων,την απορρόφηση των θερμικών ακτίνων από τα αέρια κλπ.Το 1896 τιμήθηκε με το μετάλλιο Ρούμφορ της Βασιλικής Εταιρείας και το 1901 με το βραβείο Νόμπελ Φυσικής

 Ο μηχανισμός παραγωγής των ακτίνων Χ είναι ακριβώς ο αντίστροφος του φωτοηλεκτρικού φαινομένου.Στο φωτοηλεκτρικό φαινόμενο μια μεταλλική επιφάνεια «βομβαρδίζεται» με ηλεκτρομαγνητικό κύμα και εκπέμπει ηλεκτρόνια.Στις ακτίνες Χ η μεταλλική επιφάνεια «βομβαρδίζεται» με ηλεκτρόνια και εκπέμπει ηλεκτρομαγνητικό κύμα.

 Όταν τα ηλεκτρόνια της δέσμης φτάνουν στην επιφάνεια του μετάλλου επιβραδύνονται απότομα.Η επιβράδυνση αυτή συνοδεύεται από εκπομπή ακτινοβολίας,το φωτόνιο της οποίας θα έχει ενέργεια μικρότερη ή ίση με την ενέργεια του ηλεκτρονίου στο οποίο οφείλεται η εκπομπή του.

 Υπάρχει και άλλη αιτία για την οποία εκπέμπεται ακτινοβολία από τη μεταλλική επιφάνεια.Καθώς τα ηλεκτρόνια συγκρούονται με τα άτομα της επιφάνειας του μετάλλου τούς μεταφέρουν ενέργεια.Τα άτομα διεγείρονται,τα ηλεκτρόνιά τους δηλαδή μεταφέρονται σε στιβάδες μεγαλύτερης ενέργειας.Όταν αποδιεγείρονται,όταν δηλαδή τα ηλεκτρόνια επανέλθουν στην αρχική τους στιβάδα,εκπέμπουν στο περιβάλλον ενέργεια υπό μορφή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας.

ΣΚΕΔΑΣΗ COMPTON(ΚΟΠΤΟΝ)

 Η ύπαρξη φωτονίων επιβεβαιώθηκε πειραματικά το 1924 από τον Αμερικανό Arthur Holly Compton.Ο Compton παρατήρησε ότι όταν ακτίνες Χ προσπίπτουν πάνω σε μια υλική επιφάνεια ένα μέρος τους εκτρέπεται από τα σωματίδια της ύλης (σκεδάζεται).

Ο Άρθουρ Χόλι Κόμπτον (10 Σεπτεμβρίου 1892-15 Μαρτίου 1962) ήταν Αμερικανός φυσικός στον οποίο το 1927 απονεμήθηκε το βραβείο Νόμπελ Φυσικής για την ανακάλυψη του φαινομένου που φέρει το όνομα του.Ο Κόμπτον γεννήθηκε στο Wooster της πολιτείας Οχάιο το 1892 από τον Ελάιας και την Οτέλια Κόμπτον.Ήταν μια ακαδημαϊκή οικογένεια.Ο πατέρας του ήταν πρύτανης του Πανεπιστημίου Wooster το οποίο παρακολούθησε ο Άρτουρ και επίσης έγινε μέλος της Άλφα Ωμέγα Ταυ αδελφότητας.Ο μεγαλύτερος αδελφός του Καρλ σπούδασε επίσης στο Πανεπιστήμιο Wooster,έγινε φυσικός,και αργότερα πρόεδρος του MIT.O δεύτερος αδερφός του Γουίλσον Μάρτιντεϊλ Κόμπτον σπούδασε επίσης στο Πανεπιστήμιο Wooster και έγινε διπλωμάτης και πρόεδρος του State College της Ουάσινγκτον,αργότερα Washington State University.Και τα τρία αδέρφια πήραν το Ph.D. τους από το Πανεπιστήμιο Πρίνστον

 Ο Compton διαπίστωσε ότι το σκεδαζόμενο τμήμα της ακτινοβολίας έχει μήκος κύματος μεγαλύτερο από το μήκος κύματος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας (μικρότερη συχνότητα).

Το πείραμα του Compton

 Οι μετρήσεις του Compton έδειξαν ότι η μεταβολή του μήκους κύματος ανάμεσα στην προσπίπτουσα και τη σκεδαζόμενη δέσμη εξαρτάται μόνο από τη γωνία ανάμεσα στις δύο δέσμες και μάλιστα υπακούει στη σχέση:

                                                                              λ'-λ=h/m·c·(1-συνφ)

όπου: 
λ' το μήκος κύματος της σκεδαζόμενης δέσμης, 
λ το μήκος κύματος της προσπίπτουσας δέσμης, 
m η μάζα του ηλεκτρονίου και 
φ η γωνία μεταξύ προσπίπτουσας και ανακλώμενης δέσμης.

Η σκέδαση Compton

 Σύμφωνα με την κλασική θεωρία ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα συχνότητας  f που προσπίπτει σ' ένα υλικό αναγκάζει τα ηλεκτρόνια του υλικού να ταλαντώνονται με την ίδια συχνότητα και,επακόλουθα,να παράγουν με τη σειρά τους σαν μικρές κεραίες,ηλεκτρομαγνητικό κύμα της ίδιας συχνότητας f.Η κλασική θεωρία,λοιπόν,θα περίμενε η σκεδαζόμενη δέσμη να έχει την ίδια συχνότητα και,αντίστοιχα,ίδιο μήκος κύματος με την προσπίπτουσα δέσμη.

Φωτόνιο μήκους κύματος λ έρχεται από αριστερά,σκεδάζεται σε ακίνητο στόχο και ένα νέο φωτόνιο μήκους κύματος λ’ φεύγει με γωνία θ ως προς την ευθεία που ορίζει η αρχική διεύθυνση της προσπίπτουσας δέσμης φωτονίων

 Τα πράγματα φωτίζονται αν δούμε την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία ως ρεύμα φωτονίων,δηλαδή σωματίων με μηδενική μάζα ηρεμίας που μεταφέρουν ενέργεια και ορμή.Τότε το πρόβλημα της σκέδασης της ακτινοβολίας μετατρέπεται σε πρόβλημα κρούσης ανάμεσα σ' ένα φωτόνιο και ένα ηλεκτρόνιο.

Μετά τη σκέδαση το φωτόνιο κινείται σχηματίζοντας γωνία φ με την αρχική διεύθυνση κίνησης και έχοντας χάσει τμήμα της αρχικής του ενέργειας αφού ένα μέρος της αρχικής του ενέργειας θα μεταφερθεί στο ηλεκτρόνιο                                                                

 Ας υποθέσουμε ότι ένα φωτόνιο μήκους κύματος λ συγκρούεται μ' ένα πρακτικώς ακίνητο ηλεκτρόνιο.Μετά τη σκέδαση το φωτόνιο κινείται σχηματίζοντας γωνία φ με την αρχική διεύθυνση κίνησης και έχοντας χάσει τμήμα της αρχικής του ενέργειας αφού ένα μέρος της αρχικής του ενέργειας θα μεταφερθεί στο ηλεκτρόνιο.Το σκεδαζόμενο φωτόνιο θα έχει μετατραπεί σε φωτόνιο μήκους κύματος λ’ με λ’>λ.Κατά τη διάρκεια της σκέδασης πρέπει να διατηρούνται η ενέργεια και η ορμή του συστήματος.

Φαινόμενο Compton

 Το φωτόνιο έχει πριν τη σκέδαση ενέργεια Ε=h·f=h·c/λ και μετά τη σκέδαση Ε'=h·c/λ'.
 Θα πρέπει λοιπόν να ισχύει

                                                                               hc/λ=h·c/λ'+Ke

όπου: 
Ke η κινητική ενέργεια του ανακρουσμένου ηλεκτρονίου.

H ένταση του σκεδασμένου φωτός συναρτήσει του μήκους κύματος λ' για τις αναγραφόμενες τιμές της γωνίας σκέδασης.H προσπίπτουσα δέσμη έχει μήκος κύματος λ

 Επειδή το ηλεκτρόνιο μετά την κρούση μπορεί να κινείται με ταχύτητα που πλησιάζει την ταχύτητα του φωτός καλό είναι να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση:

                

Κ=m·c²/(1-υ²/c²)^1/2-m·c²  

για την κινητική ενέργεια οπότε:

                          

h·c/λ=h·c/λ'+m·c²/(1-υ²/c²)^1/2-m·c² 

             

 Η ορμή του φωτονίου πριν είναι p=E/c=h/λ και η ορμή του φωτονίου μετά είναι p'=h/λ'.

Η ορμή του φωτονίου πριν είναι p=E/c=h/λ και η ορμή του φωτονίου μετά είναι p'=h/λ'

 Η ορμή του ηλεκτρονίου θα είναι σύμφωνα με τη σχέση: 

               

pe=m·υ/(1-υ²/c²)^1/2

 Η διατήρηση της ορμής σε διανυσματική μορφή δίνει:

                                                        
p=p'+pe 

οπότε:

pe=p-p'

 Χρησιμοποιώντας τον νόμο του συνημίτονου στο διανυσματικό διάγραμμα του παρακάτω σχήματος προκύπτει:

pe²=p²+p'²-2pp'συνφ

 Δηλαδή:

m²·υ²/1-υ²/ c²=h²/λ²+h²/λ'²-2·h²/λλ'·συνφ

 Από τις τελευταίες σχέσεις,αν απαλείψουμε το υ,προκύπτει η σχέση:

                                                                              λ'-λ=h/m·c·(1-συνφ)

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΩΤΟΣΥΝΘΕΣΗ

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΩΤΟΣΥΝΘΕΣΗ

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΩΤΟΣΥΝΘΕΣΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

 Πώς μπορούν τα φυτά να αξιοποιούν το 95% της λιακάδας που απορροφούν στα φύλλα τους,ενώ τα φωτοβολταϊκά συστήματα περιορίζονται γύρω στο 20%;Νέα μελέτη στο Science προσφέρει στήριξη σε μια φαινομενικά τρελή ιδέα,σύμφωνα με την οποία η φωτοσύνθεση αξιοποιεί κβαντικά φαινόμενα.

Η λειτουργία της φωτοσύνθεσης επιτρέπει στα φυτά να χρησιμοποιούν ηλιακή ενέργεια για να διασπούν μόρια νερού σε υδρογόνο και οξυγόνο

 Η λειτουργία της φωτοσύνθεσης επιτρέπει στα φυτά να χρησιμοποιούν ηλιακή ενέργεια για να διασπούν μόρια νερού σε υδρογόνο και οξυγόνο.Σε επόμενη φάση,το υδρογόνο που προκύπτει συνδυάζεται με διοξείδιο του άνθρακα για να παραχθούν τελικά σάκχαρα,τα οποία περιέχουν χημική ενέργεια.Η τελευταία μελέτη εστιάζεται στα λεγόμενα κέντρα αντίδρασης των φυτών:συμπλέγματα που περιέχουν χλωροφύλλη και πρωτεΐνες και αναλαμβάνουν να συλλέγουν την ηλιακή ενέργεια.

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΣΥΝΟΧΗ

 Προηγούμενες έρευνες (όπως για παράδειγμα αυτή) είχαν δώσει ενδείξεις ότι οι πρωτεΐνες που συλλέγουν το φως εκδηλώνουν ένα φαινόμενο που ονομάζεται «κβαντική συνοχή».

 Αυτό σημαίνει ότι η ενέργεια του φωτός δεν ακολουθεί μια προδιαγεγραμμένη πορεία όταν περνά μέσα από τις φωτοευαίσθητες πρωτεΐνες.Αντίθετα,δείχνει να ακολουθεί όλες τις δυνατές διαδρομές ταυτόχρονα και να «διαλέγει» τελικά την πιο αποδοτική.

Οι πρωτεΐνες που συλλέγουν το φως εκδηλώνουν ένα φαινόμενο που ονομάζεται «κβαντική συνοχή»

 Αυτή είναι όμως μια θεωρία που δεν έχει αποδειχθεί στα φυτά,δεδομένα ότι κβαντικά φαινόμενα τέτοιου είδους παρατηρούνται συνήθως σε συνθήκες εργαστηρίου και σε συνθήκες χαμηλής πίεσης και θερμοκρασίας.Αυτή τη φορά,οι ερευνητές παρουσιάζουν τις σαφέστερες ως σήμερα ενδείξεις για την εμφάνιση πραγματικής κβαντικής συνοχής σε ζωντανούς οργανισμούς-κυανοβακτήρια που φωτοσυνθέτουν όπως τα φυτά.

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΩΤΟΣΥΝΘΕΣΗ

 Η ομάδα του Νικ βαν Χουλστ στο Ινστιτούτο Φωτονικών Επιστημών της Ισπανίας βομβάρδισε πρωτεΐνες των κέντρων αντίδρασης με παλμούς ακτινοβολίας λέιζερ.Δεδομένου ότι η διαδικασία μεταφοράς ενέργειας σε αυτές τις πρωτεΐνες είναι εξαιρετικά γρήγορη,το λέιζερ του πειράματος έπρεπε να είναι αντίστοιχα γρήγορο:κάθε παλμός διαρκούσε λίγα femtosecond.Ένα femtosecond ισούται με ένα τετράκις εκατομμυριοστό του δευτερολέπτου,το χρόνο που χρειάζεται το φως για να διανύσει απόσταση ενός χιλιοστού του χιλιοστού.

Κβαντομηχανική φωτοσύνθεση

 Στέλνοντας συνεχώς τέτοιους παλμούς,οι ερευνητές κατάφεραν να απαθανατίσουν «στιγμιότυπα» από τη διαδικασία μεταφοράς ενέργειας,τα οποία δείχνουν ότι η κβαντική συνοχή αξιοποιείται κατά τη μεταφορά της ηλιακής ενέργειας κατά μήκος των φωτοευαίσθητων μορίων.Το φαινόμενο της συνοχής σχετίζεται με τη λεγόμενη «υπέρθεση»,την ιδιότητα των φωτονίων ή άλλων σωματιδίων να ακολουθούν πολλές διαδρομές ταυτόχρονα ή να βρίσκονται σε δύο σημεία ταυτόχρονα.

 Στην κβαντική φυσική,το φωτόνιο και οποιοδήποτε άλλο σωματίδιο συμπεριφέρεται ταυτόχρονα ως σωματίδιο και ως κύμα.Κάθε φωτόνιο που πέφτει στις φωτοευαίσθητες πρωτεΐνες μπορεί έτσι να θεωρηθεί ως κύμα (ή,ακριβέστερα,ως κυματοσυνάρτηση) που ακολουθεί ταυτόχρονα όλες τις πιθανές διαδρομές,και τελικά διαλέγει μία από αυτές-την πιο αποδοτική.

 Το εντυπωσιακό εύρημα του πειράματος είναι ότι η ενέργεια των φωτονίων δεν διαλέγει πάντα την ίδια τελική διαδρομή.Αντίθετα,βρέθηκε να ακολουθεί διαφορετικό μονοπάτι ακόμα και σε μόρια πρωτεϊνών με πανομοιότυπη χημική σύσταση.Επιπλέον,τα μονοπάτια των φωτονίων βρέθηκαν να αλλάζουν όταν αλλάζουν και οι περιβαλλοντικές συνθήκες (θερμοκρασία κλπ),εξασφαλίζοντας πάντα τη μέγιστη δυνατή απόδοση.

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΒΙΟΛΟΓΙΑ

 Οι ερευνητές προτείνουν μάλιστα την υπόθεση ότι το κβαντικό φαινόμενο της συνοχής αξιοποιείται από τα φυτά προκειμένου να προσαρμόζεται η φωτοσύνθεση στις απότομες μεταβολές του περιβάλλοντος.

Η κβαντική βιολογία

 Είναι μια θεωρία που μένει να αποδειχτεί,σίγουρα όμως η μελέτη ενισχύει την άποψη ότι τα βιολογικά συστήματα γνωρίζουν από κβαντομηχανική-μια ιδέα που τα τελευταία χρόνια αποκαλείται «κβαντική βιολογία».

ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

 Είδαμε ότι τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα συμπεριφέρονται άλλοτε σαν κύματα και άλλοτε σαν δέσμες σωματίων.Επίσης δέσμες κλασικών σωματιδίων,όπως τα ηλεκτρόνια,έχουν και κυματική συμπεριφορά.Μπορούμε να πούμε ότι η ύλη,με την ευρύτερη έννοια (συμπεριλαμβάνοντας και την ενέργεια),έχει διπλή οντότητα-σωματιδιακή και κυματική.Πρόκειται για ένα συμπέρασμα πολύ καλά θεμελιωμένο πειραματικά.

Ο Βέρνερ Χάιζενμπεργκ (Werner Heisenberg,Βύρτσμπουργκ 5 Δεκεμβρίου 1901–Μόναχο 1 Φεβρουαρίου 1976),ήταν Γερμανός φυσικός,με σπουδαία συμβολή στη θεμελίωση της Κβαντομηχανικής,για την οποία τιμήθηκε με το Βραβείο Νόμπελ Φυσικής του 1932.Μετά τον πόλεμο ο Χάιζενμπεργκ συνέβαλε σημαντικά στην επιστημονική ανόρθωση της Γερμανίας,της οποίας τα πανεπιστημιακά εργαστήρια είχαν υποστεί καταστροφές και είχαν αποψιλωθεί από τεράστιο αριθμό επιστημόνων στο εξωτερικό.Πέθανε σε ηλικία 75 ετών και άφησε επτά παιδιά

 Κάτω από μια τέτοια θεώρηση προκύπτει ένα σημαντικό πρόβλημα.Ένα σωματίδιο,όπως το αντιλαμβάνονται οι κλασικοί φυσικοί,είναι κάτι του οποίου η θέση στο χώρο ήταν αυστηρά προσδιορισμένη.Αντίθετα,ένα κύμα εκτείνεται στο χώρο.Ένα σωματίδιο με κυματική συμπεριφορά πού βρίσκεται;Η απάντηση της κβαντικής θεωρίας,όσο κι αν μας σοκάρει,είναι:"δεν μπορούμε να γνωρίζουμε πού ακριβώς βρίσκεται."

ΚΥΜΑΤΟΠΑΚΕΤΑ

 Ας θεωρήσουμε ένα σωματίδιο που έχει κάποια συγκεκριμένη χρονική στιγμή ορμή ρ παράλληλη στον άξονα των x.Σύμφωνα με την υπόθεση de Broglie και τη σχέση λ=h/p,εάν γνωρίζουμε επακριβώς την ορμή του σωματιδίου αυτό θα συνδέεται και με ένα κύμα με επακριβώς ορισμένο μήκος κύματος λ.Η εξίσωση που περιγράφει το στιγμιότυπο ενός τέτοιου κύματος στο χώρο τη χρονική στιγμή t=0 είναι ψ=Α·ημ(2π·x/λ) και η γραφική της παράσταση είναι αυτή του σχήματος:

Η αβεβαιότητα της θέσης,Δx,είναι άπειρη                                   

 Το στιγμιότυπο εκτείνεται από το στο .Πού βρίσκεται το σωματίδιο που είναι συνδεδεμένο με αυτό το κύμα;Μπορεί να βρίσκεται οπουδήποτε.Για να μη καταστρέψουμε εντελώς τη σωματιδιακή εικόνα χρειαζόμαστε κύματα περιορισμένα στο χώρο.
  Θα ονομάζουμε αυτά τα κύματα κυματοπακέτα.

ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ

 Μπορούμε να φτιάξουμε και να περιγράψουμε μαθηματικά οποιαδήποτε κυματομορφή με τη μέθοδο της υπέρθεσης συνδυάζοντας κατάλληλα διάφορα κύματα με επιλεγμένα μήκη κύματος πλάτη και φάσεις.Υπάρχει όμως κάποιος περιορισμός.Όσο πιο εντοπισμένο στο χώρο (πιο σωματιδιακό) θέλουμε να είναι το κυματοπακέτο τόσο περισσότερα και πιο διασκορπισμένα μήκη κύματος πρέπει να χρησιμοποιήσουμε.Πληρώνουμε δηλαδή τον εντοπισμό της θέσης του σωματιδίου-κύματος με απροσδιοριστία στο μήκος κύματος που του αντιστοιχίζουμε και-κατ' επέκταση-στην ορμή του (λ=h/p).

α) Οι κόκκινες και οι μαύρες γραμμές δείχνουν κύματα με πολύ μικρή διαφορά στο μήκος κύματος τους.Η υπέρθεσή τους δίνει το κύμα 
β) (διακρότημα).Με την υπέρθεση μεγάλου αριθμού κυμάτων μπορούμε να συνθέσουμε ένα κυματοπακέτο,όπως αυτό του σχήματος 
γ) με περιορισμένη αβεβαιότητα Δ ως προς τη θέση του στο χώρο

 Η αδυναμία μας να προσδιορίσουμε επακριβώς ταυτόχρονα τη θέση και την ορμή ενός σωματιδίου δεν οφείλεται σε πειραματικές ατέλειες.Είναι σύμφυτη με την ίδια την κβαντική δομή της ύλης.

 Ο Heisemberg το 1927 κωδικοποίησε τα παραπάνω διατυπώνοντας την αρχή της αβεβαιότητας (ή απροσδιοριστίας) με τη σχέση:

                                                                                          Δpx·Δx≥h/2π

 Δεν είναι δυνατόν να μετρήσουμε ταυτόχρονα και τη θέση και την ορμή ενός σωματιδίου με απεριόριστη ακρίβεια.

 Εδώ πρέπει να σημειώσουμε ότι τα σύμβολα Δx και Δpx δε σημαίνουν τη μεταβολή των μεγεθών αλλά το εύρος της αβεβαιότητας με την οποία γνωρίζουμε τα μεγέθη. Ανάλογες σχέσεις ισχύουν και για τις άλλες διευθύνσεις (Δpy·Δy ≥h/2π,Δpz·Δz≥h/2π).

 Μία άλλη διατύπωση της αρχής της αβεβαιότητας του Heisemberg είναι η:

                                                                                          ΔΕ·Δt≥h/2π

 Η αβεβαιότητα στη μέτρηση της ενέργειας μιας κατάστασης ενός συστήματος είναι αντίστροφα ανάλογη με τον χρόνο που το σύστημα παραμένει σ'αυτή την κατάσταση.

 Δηλαδή όλες οι μετρήσεις ενέργειας περιέχουν μια αβεβαιότητα,εκτός αν διαθέτουμε για τη μέτρηση άπειρο χρόνο.

 Σε ένα διεγερμένο άτομο ένα ή περισσότερα ηλεκτρόνια δε βρίσκονται στη θεμελιώδη τους κατάσταση,αλλά σε κατάσταση μεγαλύτερης ενέργειας.Όταν ένα τέτοιο ηλεκτρόνιο μεταπηδήσει στη θεμελιώδη του κατάσταση, εκπέμπει ένα φωτόνιο ενέργειας h·f,ίσης με τη διαφορά ενέργειας των δύο καταστάσεων στις οποίες βρέθηκε.

Η εξέλιξη μιας κυματοσυνάρτησης ενός ελεύθερου σωματιδίου σε δισδιάστατο χώρο

 Ένα διεγερμένο άτομο εκπέμπει ακτινοβολία όταν ένα ή περισσότερα ηλεκτρόνια που δεν βρίσκονται στη θεμελιώδη κατάσταση επιστρέψουν σ' αυτή.Σε κάθε τέτοιο "κβαντικό άλμα" εκπέμπεται ένα φωτόνιο.Η μελέτη των φασμάτων εκπομπής δείχνει ότι οι φασματικές γραμμές δεν είναι αυστηρά καθορισμένες αλλά η κάθε μια εμφανίζει ένα φυσικό εύρος.Το εύρος των φασματικών γραμμών μπορεί να εξηγηθεί με την αρχή της αβεβαιότητας.

 Ένα διεγερμένο άτομο μπορεί να εκπέμψει ένα φωτόνιο οποιαδήποτε στιγμή στο χρονικό διάστημα από μηδέν μέχρι άπειρο.Ο μέσος χρόνος στον οποίο ένας μεγάλος αριθμός διεγερμένων ατόμων εκπέμπει ακτινοβολία είναι της τάξης του 10^-8 s.

 Από τη σχέση ΔE·Δt≥h/2π και επειδή ΔE=h·Δf προκύπτει:

                                                                                           h·Δf ≥h/2π·Δt 

                                                                                           Δf ≥1/2π·Δt  

θέτοντας όπου Δt=10^-8 s έχουμε:

                                                                                          Δf ≥1,6x10⁷ Hz

όπου: 
1,6x10 ⁷ Hz είναι το ελάχιστο εύρος της φασματικής γραμμής.

ΣΩΜΑΤΙΔΙΟ ΠΑΓΙΔΕΥΜΕΝΟ ΣΕ ΠΗΓΑΔΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΣΩΜΑΤΙΔΙΟ ΠΑΓΙΔΕΥΜΕΝΟ ΣΕ ΠΗΓΑΔΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΣΩΜΑΤΙΔΙΟ ΠΑΓΙΔΕΥΜΕΝΟ ΣΕ ΠΗΓΑΔΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

  Σωματίδιο παγιδευμένο σε πηγάδι δυναμικού είναι ένα σωματίδιο που λόγω εξωτερικών δυνάμεων είναι παγιδευμένο σε μία περιοχή του χώρου.

α) Η διάταξη αυτή περιορίζει τα ελεύθερα ηλεκτρόνια του αγωγού σ' ένα μήκος L πάνω στον άξονα των x.β)Το πηγάδι δυναμικού που δημιουργεί η διάταξή μας.Τα ελεύθερα ηλεκτρόνια που βρίσκονται στα όρια του L έχουν δυναμική ενέργεια, U=0 ενώ έξω από τα όρια του L δυναμική ενέργεια U≠0.Για να βγει ένα ηλεκτρόνιο από το πηγάδι πρέπει να έχει κινητική ενέργεια μεγαλύτερη από το βάθος του πηγαδιού U₀.Στην πράξη το πηγάδι δυναμικού που δημιουργεί η διάταξή μας έχει στρογγυλεμένα χείλη και τοιχώματα που γέρνουν ελαφρά προς τα έξω

 Αν θεωρήσουμε για παράδειγμα σαν σωμάτιο ένα ηλεκτρόνιο, τέτοιου είδους παγίδες είναι τα άτομα.Η διάταξη του παραπάνω σχήματος μας δίνει μια πιο χειροπιαστή εικόνα του τι είναι ένα πηγάδι δυναμικού.

ΠΗΓΑΔΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΑΠΕΙΡΟΥ ΒΑΘΟΥΣ

 Έστω ότι έχουμε ένα ηλεκτρόνιο που κινείται μόνο κατά τη διεύθυνση των x και είναι παγιδευμένο σ' ένα πηγάδι δυναμικού άπειρου βάθους όπως στο σχήμα.Αυτό σημαίνει ότι εάν το ηλεκτρόνιο βρίσκεται στο διάστημα  έχει δυναμική ενέργεια U=0 ενώ αν   x <0 ή x>L η δυναμική ενέργεια απειρίζεται.

Έστω ότι έχουμε ένα ηλεκτρόνιο που κινείται μόνο κατά τη διεύθυνση των x και είναι παγιδευμένο σ' ένα πηγάδι δυναμικού άπειρου βάθους.Αυτό σημαίνει ότι εάν το ηλεκτρόνιο βρίσκεται στο διάστημα  έχει δυναμική ενέργεια U=0 ενώ αν   x<0 ή x>L η δυναμική ενέργεια απειρίζεται

  Με τους παραπάνω περιορισμούς η λύση της εξίσωσης  είναι:

Ψ(x)=0                    αν x<0 ή x>L                   και

Ψ(x)=Αημnπx/L      για 0≤ x ≤ L                  όπου n=1,2,3....

   Η Ψ(x) είναι η κυματοσυνάρτηση που περιγράφει το ηλεκτρόνιο μας για κάποια δεδομένη χρονική στιγμή.

 Το μήκος κύματος της ημιτονοειδούς αυτής μορφής μπορεί να πάρει τις τιμές:

                                        λ=2L/n    (n=1,2,3....).

  Αν θέσουμε τις τιμές του λ που βρήκαμε στη σχέση p=h/λ προκύπτει:

                                  

  Βλέπουμε ότι η ορμή του ηλεκτρονίου δεν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή αλλά τιμές που είναι ακέραια πολλαπλάσια της ποσότητας h/2L. Δηλαδή η ορμή είναι κβαντισμένη.

  Κάτι αντίστοιχο συμβαίνει και με την ενέργεια του ηλεκτρονίου που μπορεί να είναι μόνο κινητική. 

E=K=p²/2me

  Αντικαθιστώντας στη σχέση αυτή την ορμή από την  βρίσκουμε:

                    

  Η ενέργεια του ηλεκτρονίου μας είναι υποχρεωτικά κβαντισμένη.

  Ας δούμε τώρα αν μπορούμε να εντοπίσουμε τη θέση του ηλεκτρονίου.

α) Γραφικές παραστάσεις της Ψ(x) για τους τρεις πρώτους κβαντικούς αριθμούς.β)Οι αντίστοιχες παραστάσεις για το |Ψ(x)|².Η τιμή του |Ψ(x)|² για κάθε σημείο δείχνει την πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο σ' ένα στοιχειώδες dx γύρω από το σημείο αυτό.γ)Οι αντίστοιχες ενεργειακές στάθμες του ηλεκτρονίου.Η απόσταση ανάμεσα σε δύο διαδοχικές στάθμες δεν είναι σταθερή,μεγαλώνει όσο αυξάνει το n

  Είδαμε ότι, σύμφωνα με την παραδοχή του Born,το τετράγωνο του μέτρου της κυματοσυνάρτησης είναι η πιθανότητα θέσης ανά μονάδα όγκου.Στο πρόβλημα που μελετάμε το ηλεκτρόνιο κινείται μόνο στη διεύθυνση του άξονα των x.

  Άρα το |Ψ(x)|² θα είναι η πιθανότητα θέσης ανά μονάδα μήκους για τη δεδομένη στιγμή που εξετάζουμε.

ΠΗΓΑΔΙ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΒΑΘΟΥΣ

  Έστω ότι το ηλεκτρόνιο της προηγούμενης παραγράφου είναι εγκλωβισμένο σ' ένα πηγάδι πεπερασμένου βάθους.

Έστω ότι το ηλεκτρόνιο της προηγούμενης παραγράφου είναι εγκλωβισμένο σ' ένα πηγάδι πεπερασμένου βάθους

 Τώρα, αν το ηλεκτρόνιο βρίσκεται στο διάστημα [0-L,] έχει δυναμική ενέργεια U=0,αν βρίσκεται έξω από το διάστημα [0-L,] έχει δυναμική ενέργεια  U0.Το ηλεκτρόνιο που εξετάζουμε έχει ενέργεια μικρότερη από U0.Με αυτές τις οριακές συνθήκες,η προηγούμενη σχέση, για 0≤x≤L έχει μια ημιτονοειδή λύση ανάλογη με αυτή που βρήκαμε στο πηγάδι άπειρου βάθους.Για x<0 και  x>L όμως,δεν προκύπτει Ψ(x)=0,όπως πριν,αλλά μία εκθετικά φθίνουσα συνάρτηση του x.Τελικά η κυματοσυνάρτηση έχει μία μορφή σαν αυτήν του παρακάτω σχήματος .

Για x<0 και  x>L  όμως, δεν προκύπτει Ψ(x) = 0, όπως πριν, αλλά μία εκθετικά φθίνουσα συνάρτηση του x

  Και στην περίπτωση του πηγαδιού πεπερασμένου βάθους οι καταστάσεις στις οποίες μπορεί να βρεθεί το ηλεκτρόνιο είναι διακριτές (κβαντισμένες).Εκεί που μας περιμένει μία κβαντική έκπληξη είναι στη γραφική παράσταση του |Ψ(x)|² συναρτήσει του x.Βλέπουμε ότι το |Ψ(x)|² δε μηδενίζεται αμέσως για κινητική ενέργεια για να βγει από το πηγάδι,σύμφωνα με τις προβλέψεις της κλασικής θεωρίας, υπάρχει κάποια πιθανότητα να βρεθεί έξω απ' αυτό.

α) Γραφικές παραστάσεις της Ψ (x) για τους τρεις πρώτους κβαντικούς αριθμούς, β) Οι αντίστοιχες ενεργειακές στάθμες ταυ ηλεκτρονίου, γ) Οι αντίστοιχες παραστάσεις για το |Ψ(x)|².Η τιμή του |Ψ(x)|² για κάθε σημείο δείχνει την πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο σ' ένα στοιχειώδες dx γύρω από το σημείο αυτό. Βλέπουμε ότι οι καμπύλες εκτείνονται και έξω από τα όρια του πηγαδιού.

  Ας συνοψίσουμε όσα έχουμε μάθει μέχρι τώρα:            

α) Το ηλεκτρόνιο-αντίθετα με ότι προβλέπει η κλασική θεωρία–δε μπορεί να έχει οποιαδήποτε τιμή ενέργειας ή ορμής όταν βρίσκεται μέσα στο πηγάδι.

β) Το ηλεκτρόνιο δεν ηρεμεί μέσα στην παγίδα του.Η χαμηλότερη στάθμη κινητικής ενέργειας στην οποία μπορεί να βρεθεί αντιστοιχεί σε n=1 και είναι διάφορη του μηδενός.Είναι κάτι που έρχεται σε αντίθεση με την κλασική θεωρία.

γ) Το ηλεκτρόνιο είναι πιθανότερο να βρεθεί σε ορισμένα τμήματα της παγίδας απ' ότι σε άλλα.Αν βρίσκεται στη θεμελιώδη κατάσταση (n=1) (αναφέρεται και σαν εδαφική κατάσταση) είναι πολύ πιθανότερο να βρεθεί γύρω από το μέσον της παγίδας παρά κοντά στα άκρα της.Μόνο για ψηλές ενεργειακές στάθμες η πιθανότητα να βρίσκεται σε κάποια θέση κατανέμεται πιο ομοιόμορφα και συγκλίνει στην άποψη της κλασικής θεωρίας που θεωρεί όλες τις θέσεις εξίσου πιθανές.
δ) Το ηλεκτρόνιο μπορεί να διαφύγει από την παγίδα του.Εάν το πηγάδι του δυναμικού δεν έχει άπειρο βάθος το ηλεκτρόνιο έχει κάποια πιθανότητα (μικρή αλλά όχι μηδενική) να βρεθεί έξω από το πηγάδι κι ας μην έχει την θεωρητικά απαιτούμενη ενέργεια για να συμβεί αυτό.Η πιθανότητα αυτή μεγαλώνει όσο το ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε ψηλότερη ενεργειακή στάθμη.