PHYSIC LESSONS: ΓΡΑΜMΙΚΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΙΔΑΝΙΚΟ ΕΛΑΤΗΡΙΟ

ΓΡΑΜΙΚΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΙΔΑΝΙΚΟ ΕΛΑΤΗΡΙΟ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Είδαμε τόσα παραδείγματα περιοδικών κινήσεων.Παρατηρούμε ότι οι περιοδικές κινήσεις δεν είναι όλες όμοιες.

Τα μόρια του βατήρα πραγματοποιούν ταλάντωση

Η τροχιά της Γης γύρω από τον Ήλιο είναι κλειστή.Δεν έχει ακραία σημεία.Αντίθετα το γιο-γιο κινείται μεταξύ δυο ακραίων σημείων.Η τροχιά του δεν είναι μια κλειστή γραμμή όπως ο κύκλος.

Η κίνηση του εκκρεμούς είναι μια ταλάντωση

Με άλλα λόγια το γιο-γιο κινείται γύρω από μια θέση σε αντίθεση με την κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο.

Ταλάντωση δύο οριζόντιων ελατηρίων

Άρα σε μερικές περιοδικές κινήσεις ένα σώμα κινείται παλινδρομικά μεταξύ δυο ακραίων θέσεων.Τέτοιες περιοδικές κινήσεις ανάμεσα σε δυο ακραία σημεία ονομάζονται ταλαντώσεις.

Ταλάντωση ονομάζεται η περιοδική κίνηση που γίνεται παλινδρομικά γύρω από μία θέση ισορροπίας

Ταλάντωση ονομάζεται η περιοδική κίνηση που γίνεται παλινδρομικά γύρω από μία θέση ισορροπίας.

Σχηματική αναπαράσταση της αδρανειακής ταλάντωσης

Η κίνηση του εκκρεμούς είναι μια ταλάντωση.Άλλα παραδείγματα ταλαντώσεων είναι η κούνια,η χορδή μιας κιθάρας,η ράβδος σ'ένα παλιό ρολόι τοίχου,η στήλη του αέρα μέσα στη φλογέρα,το έμβολο της μηχανής ενός αυτοκινήτου,όταν αυτή λειτουργεί, μια μικρή σφαίρα που αφήσαμε στο εσωτερικό ενός ημισφαιρίου,τα άκρα ενός διαπασών που διεγείραμε, ο βατήρας μιας πισίνας καταδύσεων μετά την προσπάθεια που αθλητή ,το εκκρεμές ενός ρολογιού τοίχου κ.α.

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Παρατηρούμε αρκετά σώματα που εκτελούν ταλάντωση κινούνται σε ευθεία γραμμή.Όταν η τροχιά του σώματος που κάνει ταλάντωση,είναι ευθεία γραμμή τότε έχουμε γραμμική ταλάντωση.

Η ταλάντωση ενός σώματος που είναι δεμένο στην ελεύθερη άκρη ελατηρίου εξελίσσεται πάνω σε ευθεία τροχιά.Αυτή η ταλάντωση ονομάζεται γραμμική

Γραμμική ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση που εξελίσσεται πάνω σε ευθεία τροχιά.

Τα μόρια της χορδής πραγματοποιούν γραμμική ταλάντωση

Παράδειγμα γραμμικής ταλάντωσης είναι ένα σώμα που είναι δεμένο στην ελεύθερη άκρη ελατηρίου.

Ο κύλινδρος πραγματοποιεί γραμμική ταλάντωση

Άλλα παραδείγματα γραμμικής ταλάντωσης είναι το έμβολο της μηχανής ενός αυτοκινήτου όταν αυτή λειτουργεί, ένα ξύλινος κύλινδρος που αρχικά ηρεμούσε μισοβυθισμένος σε λεκάνη με νερό αν τον βυθίσουμε λίγο περισσότερο και τον αφήσουμε, το σφαιρίδιο ενός απλού εκκρεμούς όταν η διαδρομή του είναι μικρή, τα μόρια μιας χορδής άρπας όταν τη χτυπήσουμε κ.ά.

ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ

Έχουμε ένα σώμα που είναι δεμένο στην άκρη ενός ελατηρίου.Η κίνηση του είναι μεταβαλλόμενη.Στο σώμα ασκείται το βάρος του w=mg και η δύναμη του ελατηρίου Fελ=-kx.

Τρεις θέσεις ενός σώματος.Φυσικό μήκος,θέση ισορροπίας και τυχαία θέση

Η δύναμη που ασκεί το ελατήριο κατά την διάρκεια της κίνησης μεταβάλλεται συνεχώς συναρτήσει του x,ενώ το βάρος παραμένει σταθερό με τιμή mg.

Η δύναμη που ασκεί το ελατήριο κατά την διάρκεια της κίνησης μεταβάλλεται συνεχώς συναρτήσει του x,ενώ το βάρος παραμένει σταθερό με τιμή mg

Κατά την διάρκεια της κίνησης του το σώμα περνάει από μία θέση στην οποία η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι μηδέν.Σε αυτή τη θέση έχουμε ΣF=0 ~Fελ=w.
Η θέση αυτή ονομάζεται θέση ισορροπίας του σώματος.

Στη θέση ισορροπίας του σώματος που είναι δεμένο στην άκρη ελατηρίου η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι μηδέν.Σε αυτή τη θέση έχουμε ΣF=0 ~Fελ=w.

Θέση ισορροπίας ονομάζεται η θέση όπου η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα μηδενίζεται.Όταν το σώμα απομακρύνεται από την θέση ισορροπίας, η δύναμη τείνει να το επαναφέρει προς αυτήν.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Η απλή αρμονική ταλάντωση είναι μια ειδική περίπτωση γραμμικής ταλάντωσης.

Στην απλή αρμονική ταλάντωση ένα αντικείμενο ταλαντώνεται ανάμεσα σε δύο θέσεις στον χώρο για απεριόριστο χρόνο,χωρίς απώλειες μηχανικής ενέργειας,όπως λόγω τριβών.

Κατά την κίνηση αυτή,ένα αντικείμενο ταλαντώνεται ανάμεσα σε δύο θέσεις στον χώρο για απεριόριστο χρόνο,χωρίς απώλειες μηχανικής ενέργειας,όπως λόγω τριβών.

Ένα σώμα κινείται παλινδρομικά πάνω σε ένα άξονα xOx' μεταξύ δύο ακραίων θέσεων Α και Α' γύρω από το σημείο Ο , που είναι το μέσο της τροχιάς του

Ένα σώμα κινείται παλινδρομικά πάνω σε ένα άξονα xΟx' μεταξύ δύο ακραίων θέσεων Α και Α' γύρω από το σημείο Ο , που είναι το μέσο της τροχιάς του.Η απομάκρυνση του σώματος είναι x.

Απλή αρμονική ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση κατά την οποία η τροχιά είναι ευθύγραμμη και η απομάκρυνση του κινητού x από τη θέση ισορροπίας του O είναι ημιτονοειδής(αρμονική) συνάρτηση του χρόνου

x=Αημωt

Η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του κινητού x συνάρτηση του χρόνου t

Το Α είναι η μέγιστη απομάκρυνση, δηλαδή η μέγιστη απόσταση από το σημείο Ο στην οποία φτάνει το κινητό, και ονομάζεται πλάτος της ταλάντωσης.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Παραδείγματα απλής αρμονική ταλάντωση είναι:

α) Το σύστημα ιδανικού ελατηρίου - μάζας.

β) Το απλό εκκρεμές για μικρές γωνίες εκτροπής.
γ) Ένας κατακόρυφος ξύλινος κύλινδρος βυθισμένος εν μέρει σε υγρό κ.ά.

Η απλή αρμονική ταλάντωση ενός συστήματος ιδανικού ελατηρίου - μάζας

Στα παραπάνω παραδείγματα υπάρχει η προϋπόθεση ότι δεν υπάρχουν απώλειες μηχανικής ενέργειες, όπως λόγω τριβών.

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Έστω ένα υλικό σημείο το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση στον άξονα xΟx' με θέση ισορροπίας (x=0) την αρχή του άξονα. Τα χαρακτηριστικά μεγέθη αυτής της κίνησης είναι:

α) Η απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας,

β) Το πλάτος της ταλάντωσης A,

γ) Η στιγμιαία φάση,

δ) Η αρχική φάση φ0 της ταλάντωσης,

ε) Η κυκλική συχνότητα ω,

στ) Η περίοδος Τ και

ζ) Η συχνότητα f της ταλάντωσης.

ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗ x

Απομάκρυνση (x) της απλή αρμονική ταλάντωσης ονομάζεται η αλγεβρική τιμή του διανύσματος x από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης.

Η απομάκρυνση έχει μονάδα μέτρησης στο S.I. το 1 μέτρο (1 m).

ΠΛΑΤΟΣ Α

Πλάτος (Α) της απλή αρμονική ταλάντωσης ονομάζεται η απόλυτη τιμή της μέγιστης απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας.

ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΦΑΣΗ

Στιγμιαία φάση (ωt+φ0) της απλή αρμονική ταλάντωσης ονομάζεται η γωνία η οποία καθορίζει κάθε στιγμή μέσω του ημιτόνου τη στιγμιαία τιμή της απομάκρυνσης.

Η γραφική παράσταση φάσης - χρόνου

Η στιγμιαία φάση μετράται σε rad.

ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ φ0

Αρχική φάση (φ0) της απλή αρμονική ταλάντωσης ονομάζεται η τιμή της στιγμιαίας φάσης στην αρχή της μέτρησης του χρόνου, και συνεπώς καθορίζει την απομάκρυνση του κινητού εκείνη τη στιγμή.

Η αρχική φάση μπορεί να πάρει τιμές 0 ≤φ0<2π.

ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ω

Κυκλική συχνότητα (ω) της απλή αρμονική ταλάντωσης ονομάζεται ο ρυθμός μεταβολής της στιγμιαίας φάσης ως προς τον χρόνο:

ω=dω/dt

Συνδέεται με την περίοδο με τη σχέση ω=2π/Τ και με τη συχνότητα με την σχέση ω=2πf .

ΠΕΡΙΟΔΟΣ Τ

Περίοδος (T) της απλή αρμονική ταλάντωσης ονομάζεται το χρονικό διάστημα στο οποίο εκτελείται μια πλήρη ταλάντωση, δηλαδή είναι ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μεταβάσεων του κινητού από την ίδια θέση και με την ίδια φορά.

Η περίοδος Τ έχει μονάδα μέτρησης στο S.I. το ένα δευτερόλεπτο (1 s).

ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ f

Συχνότητα (f) της απλή αρμονική ταλάντωση ονομάζεται το πλήθος των επαναλήψεων που εκτελεί το κινητό στη μονάδα του χρόνου.

Η σχέση της συχνότητας f είναι:

f=N/t

όπου:

f η συχνότητα της απλή αρμονική ταλάντωση

N το πλήθος των επαναλήψεων και

t o χρόνος.

Η συχνότητα είναι μέγεθος αντίστροφο της περιόδου και έχει μονάδα μέτρησης στο S.I. το 1 Hz ή s^-1.

ΜΕΛΕΤΗ ΓΡΑΜMΙΚΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΙΔΑΝΙΚΟ ΕΛΑΤΗΡΙΟ

Για τη μελετήσουμε τη ταλάντωση που πραγματοποιεί σώμα με τη βοήθεια ελατηρίου χρειαζόμαστε ένα ιδανικό ελατήριο με σταθερά k και φυσικό μήκος l0, ένα συμπαγές σφαιρικό σώμα μάζας m,ένα χρονόμετρο Χ και μια μετροταινία Μ.

Τοποθετούμε το ελατήριο κατακόρυφα συνδέοντας το πάνω άκρο του σταθερά και σταθεροποιούμε τη μετροταινία παράλληλα με τον άξονα του.

Δένουμε το σώμα στο κάτω άκρο του ελατηρίου που λέγεται θέση φυσικού μήκους και το ακινητοποιούμε με τη βοήθεια του χεριού μας σε κάποια θέση O.

Η θέση αυτή λέγεται ισορροπίας (Θ.Ι.) διότι εκεί το σώμα ισορροπεί με την επίδραση του βάρους του Β και της δύναμης Fελ0 που δέχεται από το ελατήριο.

Από τη συνθήκη ισορροπίας έχουμε:

k·x = m·g

όπου:
x η επιμήκυνση του ελατήριου.

Απομακρύνουμε το σώμα από τη θέση Ο, το μεταφέρουμε κατακόρυφα πιο κάτω σε θέση Α και το αφήνουμε ελεύθερο.

Βλέπουμε τότε,ότι το σώμα αρχίζει να κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω, φθάνει με κάποια ταχύτητα στη θέση Ο, συνεχίζει και φθάνει σε θέση Β όπου στιγμιαία σταματά και αμέσως αρχίζει να κινείται προς τα κάτω, περνά ξανά από τη θέση Ο με κάποια ταχύτητα συνεχίζει και φθάνει στην αρχική θέση Α όπου στιγμιαία σταματά και στη συνέχεια επαναλαμβάνει διαρκώς την ίδια διαδικασία.

Η κίνηση, άρα,του σώματος είναι ταλάντωση και μάλιστα γραμμική διότι πραγματοποιείται μεταξύ δυο ακραίων θέσεων Α και Β και είναι και ευθύγραμμη.

Μετρώντας με τη μετροταινία,λαμβάνοντας ως αφετηρία τη Θ.Ι., βρίσκουμε ότι η μέγιστη τιμή OA του μέτρου της μετατόπισης του σώματος όταν αυτό κινείται κάτω από τη Θ.Ι. του είναι Α.

Βρίσκουμε επίσης ότι η μέγιστη τιμή ΟΒ του μέτρου της μετατόπισης του σώματος όταν αυτό κινείται πάνω από τη Θ.Ι. του είναι πάλι Α ισχύει δηλαδή OA = ΟΒ.

Με τη βοήθεια του χρονομέτρου βρίσκουμε την περίοδο Τ της ταλάντωσης μετρώντας το χρόνο για τη διαδρομή ΑΟΒΟΑ ή για τη διαδρομή ΟΒΟΑΟ ή για οποιονδήποτε «κύκλο» και διαπιστώνουμε ότι παραμένει σταθερή.

Μπορούμε επίσης να μετρήσουμε τους χρόνους για τις διαδρομές AO, ΟΒ, ΒΟ και OA και να διαπιστώσουμε ότι είναι ίσοι μεταξύ τους (άρα ο καθένας είναι ίσος με Τ/4).

Με τη βοήθεια των μετρήσεων που μέχρι τώρα έχουμε κάνει μπορούμε να συμπληρώσουμε ένα πίνακα τιμών της απομάκρυνσης ψ σε συνάρτηση με το χρόνο κίνησης t (για απλούστευση θεωρούμε μηδέν τη χρονική στιγμή που το σώμα περνά από τη Θ.Ι.) και να σχεδιάσουμε με τη βοήθεια του την καμπύλη x = f(t) .

Όμως τόσο ο πίνακας όσο και το διάγραμμα,μας δίνουν πολύ λίγες πληροφορίες.

Αν θέλουμε οι πληροφορίες αυτές να είναι πολύ περισσότερες, μπορούμε, αν φυσικά έχουμε τη δυνατότητα, να χρησιμοποιήσουμε χρονοφωτογραφία όπου το σώμα στη διάρκεια μιας περιόδου έχει φωτογραφηθεί πολλές φορές σε διάφορες θέσεις.

Αυτές οι θέσεις απέχουν χρονικά μεταξύ τους όσο ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών φωτογραφίσεων (η απομάκρυνση μετριέται με την μετροταινία που επίσης φαίνεται στις φωτογραφίες).

Έτσι ο πίνακας τιμών x t είναι αρκετά πλήρης ώστε η καμπύλη ψ = f(t) που με τη βοήθεια του κατασκευάζουμε να μπορεί να σχεδιασθεί συνεχής και να θεωρείται ότι βρίσκεται πολύ κοντά στην πραγματική.

Αυτή η καμπύλη έχει ημιτονοειδή μορφή πράγμα που είναι και το χαρακτηριστικό της γραμμικής αρμονικής ταλάντωσης.

Την καμπύλη x = f(t) που προηγουμένως κατασκευάσαμε μπορούμε να δούμε άμεσα αν τροποποιήσουμε το πείραμα που εκτελέσαμε προσαρτώντας μια γραφίδα στο σώμα,η άκρη της οποίας μόλις ακουμπά στο χαρτί μιλλιμετρέ με το οποίο είναι καλυμένη η παράπλευρη επιφάνεια κυλίνδρου που περιστρέφεται με σταθερό ρυθμό γύρω από τον άξονα του.

Πειραματική διάταξη για την απευθείας λήψη του διαγράμματος της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο

Μπορούμε μάλιστα να μετρήσουμε με τη βοήθεια της καμπύλης την απομάκρυνση για διάφορες χρονικές στιγμές και να κατασκευάσουμε τον πίνακα τιμών x-t.

Είναι προφανές ότι για να μην αποτυγχάνει αυτό το τροποιημένο πείραμα πρέπει η περίοδος περιστροφής του κυλίνδρου να είναι μεγαλύτερη από την περίοδο του σώματος και το πλάτος της ταλάντωσης μικρότερο από το μισό του ύψους του κυλίνδρου.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗΣ

Όπως προαναφέραμε από τον ορισμό της απλής αρμονικής ταλάντωσης,η απομάκρυνση ενός κινητού x από τη θέση ισορροπίας του O είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου.

Στο διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης χρόνου (x-t) στην απλή αρμονική ταλάντωση

Άρα η απομάκρυνση του κινητού δίνεται από την σχέση:

x=Αημωt

όπου:

x η απομάκρυνση του κινητού από τη θέση ισορροπίας του O

Α το πλάτος της ταλάντωσης

ω η κυκλική συχνότητα

t χρoνική στιγμή του κινητού

ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

Διαθέτοντας τώρα τον πίνακα τιμών x-t μπορούμε να βρίσκουμε τη μεταβολή Δx δυο διαδοχικών τιμών της απομάκρυνσης και διαιρώντας την με το χρονικό διάστημα Δt που μεσολάβησε μεταξύ των δυο προηγούμενων τιμών να βρίσκουμε την τιμή της μέσης ταχύτητας υμ=Δx/Δt γι' αυτό το χρονικό διάστημα (που είναι ίσο,στην περίπτωση της χρονοφωτογραφίας, με το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί ανάμεσα σε δυο διαδοχικές φωτογραφίσεις ενώ στην περίπτωση του στρεφόμενου κυλίνδρου είναι επιλογής του πειραματιστή).

Αν, μάλιστα φροντίσουμε,αυτό το χρονικό διάστημα να είναι ικανοποιητικά μικρό, μπορούμε να δεχθούμε,με καλή προσέγγιση, ότι οι τιμές της μέσης ταχύτητας που βρήκαμε, είναι ίσες με τις τιμές της στιγμιαίας ταχύτητας του σώματος.

Έτσι έχουμε τη δυνατότητα να συμπληρώσουμε ένα πίνακα τιμών u-t,της ταχύτητας του σώματος σε συνάρτηση με τον χρόνο κίνησης.

(Αυτόν τον πίνακα μπορούμε να τον φτιάξουμε και με τη βοήθεια της καμπύλης ψ = f(t) που, επίσης,διαθέτουμε αν βρούμε την κλίση της σε αρκετά σημεία).

Η ταχύτητα είναι συνημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου

Αν με τη βοήθεια του προηγούμενου πίνακα χαράξουμε την καμπύλη υ = f(t) διαπιστώνουμε (θεωρώντας, επίσης, μηδέν τη χρονική στιγμή που το σώμα περνά από τη Θ.Ι. του) ότι η μορφή της είναι συνημιτοειδής και επομένως η εξίσωση της ταχύτητας του κινητού που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση κάθε στιγμή δίνεται από την σχέση:

υ=υmaxσυνωt

όπου:

υ η ταχύτητα του κινητού την χρονική στιγμή t

ω η κυκλική συχνότητα

t χρoνική στιγμή του κινητού

υmax η μέγιστη τιμή της ταχύτητας.

Το σώμα έχει μέγιστη ταχύτητα όταν περνά από τη θέση 0 ( x = 0).Για τη μέγιστη ταχύτητα και τη μέγιστη επιτάχυνση ισχύει:

υmax=ωΑ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ

Με ανάλογη διαδικασία, βρίσκοντας από τον πίνακα υ-t τη μεταβολή Δυ της ταχύτητας και διαιρώντας την με το αντίστοιχο χρονικό διάστημα Δt (ή βρίσκοντας την κλίση της καμπύλης υ = f(t) για διάφορες χρονικές στιγμές), θεωρώντας ότι η μέση επιτάχυνση α_μ = Δυ/Δt είναι, με καλή προσέγγιση, ίση με την στιγμιαία, συμπληρώνουμε πίνακα τιμών α-t.

Η επιτάχυνση είναι μετατοπισμένη κατά Τ/2 ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου

Με τη βοήθεια του προηγούμενου πίνακα χαράζουμε την καμπύλη α = f(t) και διαπιστώνουμε (θεωρώντας και εδώ μηδέν τη χρονική στιγμή που το σώμα περνά από τη Θ.Ι. του) ότι η μορφή της είναι μετατοπισμένη κατά Τ/2 ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου και επομένως η εξίσωση της επιτάχυνσης του κινητού που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση κάθε στιγμή δίνεται από την σχέση:

α=-αmaxημωt

υ η ταχύτητα του κινητού την χρονική στιγμή t

ω η κυκλική συχνότητα

t η χρoνική στιγμή του κινητού

αmαx η μέγιστη τιμή της επιτάχυνσης του σώματος.

Το σώμα έχει μέγιστη επιτάχυνση όταν περνάει από τα ακραία σημεία Ρ και Ρ' ( x = Α και x = - Α αντίστοιχα).Για τη μέγιστη επιτάχυνση ισχύει:

αmax=ω²Α

Ο πίνακας τιμών της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε χαρακτηριστικές χρονικές στιγμές είναι:

t	x	υ	α
0	0	υ_o	0
T/4	A	0	-α_o
T/2	0	-υ_o	0
3·T/4	-A	0	α_o
T	0	υ_o	0

Παρατηρώντας, τέλος, τις τιμές που παίρνουν τα μεγέθη x, υ και α για ορισμένες χαρακτηριστικές χρονικές στιγμές διαπιστώνουμε ότι:

α) όταν το σώμα περνά από τη Θ.I. του, οπότε η απομάκρυνσή του είναι ίση με μηδέν, η ταχύτητά του είναι μεγίστη (κατ' απόλυτη τιμή) και η επιτάχυνσή του ίση με μηδέν.

β) όταν το σώμα περνά από τις ακραίες θέσεις του, οπότε η απομάκρυνσή του είναι μεγίστη (κατ' απόλυτη τιμή), η ταχύτητά του είναι ίση με μηδέν και η επιτάχυνσή του μεγίστη (κατ' απόλυτη τιμή)

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ

Στα παρακάτω διαγράμματα φαίνεται πώς μεταβάλλεται με το χρόνο η απομάκρυνση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση ενός σώματος που κάνει γραμμική αρμονική ταλάντωση.

Στα διαγράμματα φαίνεται πώς μεταβάλλεται με το χρόνο η απομάκρυνση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση ενός σώματος που κάνει γραμμική αρμονική ταλάντωση

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΜΕ ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ

Οι σχέσεις x=Αημωt ,υ=υmaxσυνωt και α=-αmaxημωt ισχύουν σε κάθε απλή αρμονική ταλάντωση, με την προϋπόθεση ότι τη χρονική στιγμή μηδέν το κινητό βρίσκεται στο σημείο Ο και κινείται κατά τη θετική φορά.

Τα διαγράμματα της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε μια ταλάντωση με αρχική φάση.

Αν τη χρονική στιγμή μηδέν το κινητό περνά από κάποιο άλλο σημείο,έστω το Γ, που βρίσκεται σε απόσταση d από το 0.

Oι σχέσεις x=Αημωt ,υ=υmaxσυνωt και α=-αmaxημωt διαφοροποιούνται και γίνονται :

x=Αημ(ωt+φ0)

υ=υmaxσυν(ωt+φ0)

α=-αmaxημ(ωt+φ0)

Η γωνία φ βρίσκεται από την x=Αημ(ωt+φ) αν λάβουμε υπόψη ότι τη χρονική στιγμή μηδέν το κινητό βρίσκεται στο Γ.Για t = 0 είναι x = d και η σχέση x=Αημ(ωt+φ) γίνεται d=Αημφ επομένως ημφ=d/Α.

Η γωνία φ0 ονομάζεται αρχική φάση.Μια τέτοια ταλάντωση λέμε ότι έχει αρχική φάση.

Η γωνία (ωt+φ0) ονομάζεται φάση της ταλάντωσης.

ΣΧΕΣΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗΣ

Για την απομάκρυνση x έχουμε:

x=Aημωt $\Rightarrow$

ημωt=x/Α (1)

Για την ταχύτητα υ έχουμε:

υ=ωΑσυνωt $\Rightarrow$

συνωt=υ/ωΑ (2)

Όμως ισχύει:

ημω²t+συνω²t=1 (3)

Από τις εξισώσεις (1) και (2) με απλή αντικατάσταση στην τελευταία σχέση (3) προκύπτει:

ημω²t+συνω²t=1   $\Rightarrow$

(x/Α)²+(υ/ωΑ)²=1   $\Rightarrow$

x²/Α²+υ²/ω²Α²=1   $\Rightarrow$

ω²x²/ω²Α²+υ²/ω²Α²=1   $\Rightarrow$

ω²x²+υ²/ω²Α²=1   $\Rightarrow$

ω²x²+υ²=ω²Α²   $\Rightarrow$

υ²=ω²Α² - ω²x² $\Rightarrow$

υ²=ω²(Α² - x²) $\Rightarrow$

υ=±ω²(Α² - x²)^1/2

^{Το διπλό πρόσημο (}±^{) στην τελευταία σχέση δηλώνει ότι σε κάθε θέση x η ταχύτητα υ μπορεί να είναι θετική (υ>0) ή αρνητική (υ<0)}

Το διπλό πρόσημο (±) στην τελευταία σχέση δηλώνει ότι σε κάθε θέση x η ταχύτητα υ μπορεί να είναι θετική (υ>0) ή αρνητική(υ<0),ανάλογα με τη φορά κίνησης του σώματος.

ΔΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ

Λέμε ότι δύο μεγέθη παρουσιάζουν διαφορά φάσης Δφ,όταν μεσολαβεί κάποιος χρόνος Δt ανάμεσα σε μία τιμή του ενός (π.χ. τη μέγιστη) και στην αντίστοιχη τιμή του άλλου.

Η διαφορά φάσης αναφέρεται σε δύο μεγέθη που μεταβάλλονται περιοδικά και βρίσκεται από τη διαφορά φάσης των δύο μεγεθών.
Στην περίπτωση της ταχύτητας και της επιτάχυνσης στην απλή αρμονική ταλάντωση έχουμε:

Για την απομάκρυνση x έχουμε:

x=Aημωt (1)

Για την ταχύτητα υ έχουμε:

υ=ωΑσυνωt (2)

Θα χρησιμοποιήσουμε δύο γνωστές βασικές τριγωνομετρικές σχέσεις:

συνθ=ημ(π/2-θ) και

ημθ=ημ(π-θ)

Άρα έχουμε:

(2) $\Rightarrow$ υ=ωΑσυνωt $\Rightarrow$

υ=ωΑημ(π/2 - ωt) $\Rightarrow$

υ=ωΑημ[π-(π/2 - ωt)] $\Rightarrow$

υ=ωΑημ(ωt+π/2) (3)

Συνεπώς η διαφορά φάσης με την βοήθεια των σχέσεων (1) και (3) είναι:

Δφ=φυ-φx $\Rightarrow$

Δφ=(ωt+π/2)-ωt $\Rightarrow$

Δφ=π/2

και προηγείται η ταχύτητα.

Η φυσική σημασία αυτής της διαφοράς είναι ότι όταν κάποια χρονική στιγμή η ταχύτητα έχει ορισμένη τιμή(π.χ. τη μέγιστη θετική υ=+ωΑ),τότε η απομάκρυνση θα πάρει την αντίστοιχη τιμή (x=+Α) μετά από χρόνο Δt που αντιστοιχεί στη γωνία Δφ=π/2,δηλαδή μετά από χρόνο που δίνεται από την σχέση:

Δφ=2πΔt/Τ $\Rightarrow$

Δt=ΤΔφ/2π $\Rightarrow$

Δt=Τ/2π π/2 $\Rightarrow$

Δt=Τ/4

ΣΧΕΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗΣ

Για την απομάκρυνση x έχουμε:

x=Aημωt (1)

Για την επιτάχυνση α έχουμε:

α=-ω²Αημωt $\Rightarrow$

α=-ω²(Αημωt) $\Rightarrow$

α=-ω²x

Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι η επιτάχυνση α και η απομάκρυνση x έχουν πάντοτε αντίθετο πρόσημο(x>0 α<0 και x<0 α>0)

Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι η επιτάχυνση α και η απομάκρυνση x έχουν πάντοτε αντίθετο πρόσημο(x>0 α<0 και x<0 α>0).Με άλλα λόγια η επιτάχυνση έχει πάντοτε φορά προς την θέση ισορροπίας.
Η σχέση α=-ω²x είναι μία εξίσωση ευθείας.Η γραφική παράσταση της σχέσης α=-ω²x φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Η γραφική παράσταση της σχέσης α=-ω²x

Από την γραφική παράσταση μπορούμε να υπολογίσουμε το ω²από την κλίση της ευθείας με την εφαπτόμενη της γωνίας θ.

ΣΧΕΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

Για την ταχύτητα υ έχουμε:

υ=ωΑσυνωt   $\Rightarrow$

συνωt=υ/ωΑ (1)

Για την επιτάχυνση α έχουμε:

α=-ω²Αημωt $\Rightarrow$

ημωt=-α/ω²Α (2)

Όμως ισχύει:

ημω²t+συνω²t=1 (3)

Από τις εξισώσεις (1) και (2) με απλή αντικατάσταση στην τελευταία σχέση (3) προκύπτει:

ημω²t+συνω²t=1   $\Rightarrow$

(-α/ω²Α)²+(υ/ωΑ)²=1   $\Rightarrow$

α²/ω⁴Α²+υ²/ω²Α²=1   $\Rightarrow$

α²/ω⁴Α²+ω²υ²/ω⁴Α²=1   $\Rightarrow$

α²+ω²υ²/ω⁴Α²=1   $\Rightarrow$

α²+ω²υ²=ω⁴Α²   $\Rightarrow$

α²=ω⁴Α²-ω²υ²   $\Rightarrow$

α²=ω²(ω²Α²-υ²)   $\Rightarrow$

α=±ω(ω²Α²-υ²)^1/2

^{Το διπλό πρόσημο (}±^{) στην τελευταία σχέση δηλώνει ότι σε κάθε τιμή υ του μέτρου της ταχύτητας η επιτάχυνση μπορεί να είναι θετική (α>0) ή αρνητική (α<0),ανάλογα με τον ημιάξονα όπου βρίσκεται το σώμα}

Το διπλό πρόσημο (±) στην τελευταία σχέση δηλώνει ότι σε κάθε τιμή υ του μέτρου της ταχύτητας η επιτάχυνση μπορεί να είναι θετική (α>0) ή αρνητική (α<0),ανάλογα με τον ημιάξονα όπου βρίσκεται το σώμα.

^{ΔΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ ΜΕΤΑΞΥ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗΣ}
Για την απομάκρυνση x έχουμε:

x=Aημωt (1)

Για την επιτάχυνση α έχουμε:

α=-ω²Αημωt (2)

Θα χρησιμοποιήσουμε δύο γνωστές βασικές τριγωνομετρικές σχέσεις:

-ημθ=ημ(-θ) και

ημθ=ημ(π-θ)

Άρα έχουμε:

(2) $\Rightarrow$ α=-ω²Αημωt $\Rightarrow$

α=ω²Αημ(-ωt) $\Rightarrow$

α=ω²Αημ[π-(-ωt)] $\Rightarrow$

α=ω²Αημ(π+ωt) (3)

Συνεπώς η διαφορά φάσης με την βοήθεια των σχέσεων (1) και (3) είναι:

Δφ=φα-φx $\Rightarrow$

Δφ=(ωt+π)-ωt $\Rightarrow$

Δφ=π

και προηγείται η επιτάχυνση.

Η φυσική σημασία αυτής της διαφοράς είναι ότι όταν κάποια χρονική στιγμή η επιτάχυνση έχει ορισμένη τιμή(π.χ. τη τιμή α=+ω²Α/2),τότε η απομάκρυνση θα πάρει την αντίστοιχη τιμή (x=+Α/2) μετά από χρόνο Δt που αντιστοιχεί στη γωνία Δφ=π,δηλαδή μετά από χρόνο που δίνεται από την σχέση:

Δφ=2πΔt/Τ $\Rightarrow$

Δt=ΤΔφ/2π $\Rightarrow$

Δt=Τ/2π π $\Rightarrow$

Δt=Τ/2

ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΤΗΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Προσπαθούμε τώρα να βρούμε από τι εξαρτάται η περίοδος της ταλάντωσης του σώματος .

Για το σκοπό αυτό:

α) Αλλάζουμε το πλάτος της ταλάντωσης και διαπιστώνουμε,με τη βοήθεια του χρονομέτρου,ότι η περίοδος δεν αλλάζει.

β) Αλλάζουμε τη μάζα του σώματος (τοποθετώντας άλλο στη θέση του αρχικού) και διαπιστώνουμε ότι η περίοδος αλλάζει.Μεγαλώνει όταν η μάζα του σώματος μεγαλώνει και μικραίνει όταν μάζα μικραίνει.

Με προσεκτικές, μάλιστα, μετρήσεις είναι δυνατόν να βρούμε ότι όταν η μάζα μεγαλώνει (ή μικραίνει) 4 , 9 , 16 . .. φορές, η περίοδος μεγαλώνει (ή μικραίνει) 2, 3 ,4 ... φορές.

γ) Αλλάζουμε το ελατήριο και διαπιστώνουμε ότι η περίοδος αλλάζει. Μικραίνει όταν η σταθερά τ ου ελατηρίου μεγαλώνει και μεγαλώνει όταν η σταθερά μικραίνει.

Η περίοδος σώματος δεμένου στο άκρο ελατηρίου εξαρτάται από τη μάζα του σώματος και το είδος του ελατηρίου και μάλιστα είναι ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα της μάζας του σώματος και αντίστροφα ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα της σταθεράς του ελατηρίου

Με προσεκτικές,μάλιστα, μετρήσεις, είναι δυνατόν να βρούμε ότι όταν η σταθερά του ελατηρίου μεγαλώνει (ή μικραίνει) 4, 9, 16 ... φορές,η περίοδος μικραίνει (ή μεγαλώνει) 2, 3, 4 ... φορές.

Επομένως η περίοδος σώματος δεμένου στο άκρο ελατηρίου εξαρτάται από τη μάζα του σώματος και το είδος του ελατηρίου και μάλιστα:

α) είναι ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα της μάζας του σώματος και

β) αντίστροφα ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα της σταθεράς του ελατηρίου

Αποδεικνύεται θεωρητικά ότι η περίοδος δίνεται από τη σχέση:

T = 2·π·√mk

που επιβεβαιώνει τα συμπεράσματα που πειραματικά προέκυψαν.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ

Όπως είπαμε η επιτάχυνση του κινητού που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση κάθε στιγμή δίνεται από την σχέση:

α=-αmaxημωt όπου αmax=ω²Α

Η γραφική παράσταση της συνολικής συνισταμένης των δυνάμεων που ασκούνται σ' ένα σώμα μάζας m,όταν αυτό εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με το χρόνο t

Η συνολική συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σ' ένα σώμα μάζας m,όταν αυτό εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση,δίνεται από τον νόμο της Μηχανικής

F=mα $\Rightarrow$

F=m(-αmaxημωt) $\Rightarrow$

F=-mω²Αημωt $\Rightarrow$

F=-F0ημωt

όπου:
F η δύναμη μία χρονική στιγμή t.
F0=-mω²Α το πλάτος της δύναμης.

ΣΧΕΣΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗΣ

Γνωρίζουμε ότι σ΄ένα σώμα που ηρεμεί,ασκηθούν μια ή περισσότερες σταθερές δυνάμεις,αυτό θα κινηθεί κατά την διεύθυνση της συνισταμένης,κάνοντας ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση.Πρέπει τώρα να μελετήσουμε τα χαρακτηριστικά που έχει η δύναμη ή η συνισταμένη των δυνάμεων σ' ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

Η φορά της δύναμης στην απλή αρμονική ταλάντωση.Το σώμα όταν περνά από τη θέση ισορροπίας η συνολική δύναμη που δέχεται ισούται με μηδέν

Όπως έχουμε αναφέρει αν ένα κινητό μάζας m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε μια τυχαία θέση έχει επιτάχυνση α,ανεξάρτητη από τη φορά της ταχύτητας.Από τον νόμο του Νεύτωνα η συνολική δύναμη που δέχεται το σώμα και είναι υπεύθυνη για την επιτάχυνσή του είναι:

F=mα

Η σχέση F=mα γίνεται από την α=-αmaxημωt

F=mα $\Rightarrow$

F=-mαmaxημωt $\Rightarrow$

F=-mω²Αημωt

Όμως γνωρίζουμε ότι απομάκρυνση x στην απλή αρμονική ταλάντωση έχει εξίσωση x=Αημωt.Άρα η τελευταία σχέση F=-mω²Αημωt γίνεται:

F=-mω²Αημωt $\Rightarrow$

F=-mω²x

Αν το σταθερό γινόμενο mω²το συμβολίσουμε με D η παραπάνω σχέση F=-mω²x γράφεται:

F=-mω²x $\Rightarrow$

F=-Dx

Από τη σχέση αυτή συμπεραίνουμε ότι για να εκτελέσει ένα σώμα απλή αρμονική ταλάντωση πρέπει η δύναμη ή η συνισταμένη των δυνάμεων κατά τη διεύθυνση της κίνησής του να είναι ανάλογη με την απομάκρυνση του σώματος από το μέσο Ο της τροχιάς του και να έχει αντίθετη φορά από αυτήν. Όταν το σώμα περνά από το σημείο Ο η συνολική δύναμη που δέχεται ισούται με μηδέν.Για το λόγο αυτό,το σημείο Ο ονομάζεται θέση ισορροπίας της ταλάντωσης.

Όταν το σώμα περνά από το σημείο Ο η συνολική δύναμη που δέχεται ισούται με μηδέν

Η σχέση F=-Dx είναι η συνθήκη για την παραγωγή απλής αρμονικής ταλάντωσης.
Η δύναμη F που περιγράφει αυτή η σχέση ονομάζεται δύναμη επαναφοράς γιατί ασκείται στο σώμα έτσι ώστε να το επιταχύνει πάντα προς την κατεύθυνση της θέσης ισορροπίας.

Σύμφωνα με τη σχέση F=-Dx για να εκτελεί ένα σώμα απλή αρμονική ταλάντωση πρέπει η συνισταμένη των δυνάμεων F που ασκούνται σ' αυτό να έχει τέτοια φορά,ώστε να τείνει πάντοτε να επαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροπίας (x>0 $\Rightarrow$ F<0 , x<0 $\Rightarrow$ F>0)

Η σχέση F=-Dx είναι η αναγκαία και ικανή συνθήκη για να εκτελεί ένα σώμα απλή αρμονική ταλάντωση.Σύμφωνα με τη σχέση αυτή,για να εκτελεί ένα σώμα απλή αρμονική ταλάντωση πρέπει η συνισταμένη των δυνάμεων F που ασκούνται σ' αυτό:

α) Να έχει ως σταθερό φορέα την ευθεία κίνησης του κέντρου μάζας του σώματος.
β) Να έχει τέτοια φορά,ώστε να τείνει πάντοτε να επαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροπίας (x>0 $\Rightarrow$ F<0,x<0 $\Rightarrow$ F>0).Γι' αυτό όπως είπαμε,είναι γνωστή ως δύναμη επαναφοράς.
γ) Να έχει μέτρο ανάλογο με το μέτρο της απομάκρυνσης του σώματος.
Η γραφική παράσταση της σχέσης F=-Dx φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Γραφική παράσταση της δύναμης επαναφοράς F με την απομάκρυνση x

Η σταθερά αναλογίας D ονομάζεται σταθερά επαναφοράς.Η τιμή της εξαρτάται από τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

Η σταθερά αναλογίας D ονομάζεται σταθερά επαναφοράς.Η τιμή της εξαρτάται από τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση

Το αρνητικό πρόσημο στη σχέση εκφράζει το γεγονός ότι η δύναμη επαναφοράς και η απομάκρυνση έχουν πάντα αντίθετη φορά.

Η σταθερά επαναφοράς επηρεάζει την περίοδο του συστήματος.Αν σε κάποια ταλάντωση είναι γνωστή η σταθερά επαναφοράς, μπορούμε να υπολογίσουμε την περίοδο της.

Από τη σχέση D=mω² έχουμε:

D=mω² $\Rightarrow$

D=(2π/Τ)² $\Rightarrow$

D=m4π²/Τ² $\Rightarrow$

____
Τ=2π√m/D

ΟΛΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

Τώρα θα πρέπει να μελετήσουμε την ενέργεια ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση καθώς και τις μεταβολές της.Για να αποφύγουμε τα προβλήματα που είναι δυνατόν να προκύψουν κατά την εξέταση πολύπλοκων συστημάτων,θα εξετάσουμε το απλούστερο,που όπως είναι γνωστό είναι το πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτή.

Θεωρούμε τον απλό αρμονικό ταλαντωτή,όπου το ελατήριο έχει σταθερά K και το σώμα έχει μάζα m

Θεωρούμε τον απλό αρμονικό ταλαντωτή του παραπάνω σχήματος,όπου το ελατήριο έχει σταθερά K και το σώμα έχει μάζα m.Στην θέση ισορροπίας το σώμα είναι ακίνητο,ενώ το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος L0.

Ασκούμε στο σώμα δύναμη F παράλληλη προς τον άξονα x και το απομακρύνουμε από τη θέση ισορροπίας του κατά x,δηλαδή το φέρνουμε στη θέση L0-x

Ασκούμε στο σώμα δύναμη F παράλληλη προς τον άξονα x και το απομακρύνουμε από τη θέση ισορροπίας του κατά x,δηλαδή το φέρνουμε στη θέση L0-x.

Ένας απλός αρμονικός ταλαντωτής

Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας παίρνουμε:

ΣW=K(τελ)-Κ(αρχ) $\Rightarrow$

WF+WF=0-0 $\Rightarrow$

WF-1/2 Κ Α²=0 $\Rightarrow$

WF=1/2 Κ Α²

Άρα από την τελευταία σχέση βλέπουμε ότι επειδή η μάζα m είναι πρακτικά ασυμπίεστη,όλη η ενέργεια που μεταφέρθηκε στο σύστημα μέσω του έργου της δύναμης ,αποθηκεύεται στο ελατήριο με την μορφή δυναμικής ενέργειας.Την ενέργεια αυτή ονομάζουμε ενέργεια της ταλάντωσης και δίνεται από την σχέση:

Εολ=1/2 Κ Α²

Γενικότερα,όταν η σταθερά επαναφοράς είναι D,η σχέση Εολ=1/2 Κ Α²έχει τη μορφή:

Εολ=1/2 D Α²

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

Αν αφήσουμε το σώμα ελεύθερο,αυτό θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α.Αν πάρουμε σαν αρχή των αξόνων (t=0) την χρονική στιγμή που το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας Ο,τότε η απομάκρυνση και η ταχύτητα του δίνονται από τις σχέσεις:

  x=Aημωt    (1)

  υ=ωΑσυνωt   (2)

  Η κινητική ενέργεια του σώματος στην τυχαία θέση της τροχιάς ,στην οποία έχει στιγμιαία ταχύτητα υ,δίνεται από την σχέση:

     Κ=1/2 mυ²

και ονομάζεται κινητική ενέργεια της ταλάντωσης.

Στις ακραίες θέσεις της τροχιάς του το σώμα έχει ταχύτητα υ=0 και αντίστοιχη κινητική ενέργεια Κ=0.Στη θέση ισορροπίας Ο το σώμα έχει τη μέγιστη ταχύτητα του υ=υmax=±ωΑ και άρα και μέγιστη κινητική ενέργεια Κ=Κ(max)

Το σώμα,σε μια τυχαία θέση,έχει κινητική ενέργεια:

Κ=1/2mυ²=1/2mυmax²συν²ωt=1/2mω²Α²συν²ωt

Στις ακραίες θέσεις Α και Α' της τροχιάς του το σώμα έχει ταχύτητα υ=0 και αντίστοιχη κινητική ενέργεια Κ=0.

Στη θέση ισορροπίας Ο το σώμα έχει τη μέγιστη ταχύτητα του υ=υmax=±ωΑ και άρα και μέγιστη κινητική ενέργεια Κ=Κ(max).
Άρα στη θέση ισορροπίας το σώμα έχει κινητική ενέργεια:

Κ=1/2mυ²=1/2mυmax²=1/2m(±ωΑ)²=1/2mω²Α²

Όμως γνωρίζουμε ότι mω²=D και στην περίπτωση του πρότυπου απλού αρμονικού ταλαντωτή D=Κ.

Συνεπώς η τελευταία σχέση Κ=1/2mω²Α²γίνεται:

Κ=1/2mω²Α² $\Rightarrow$

Κ(max)=1/2 Κ Α² $\Rightarrow$

Κ(max)=Εολ

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗ

Όπως είναι γνωστό σε μία απλή αρμονική ταλάντωση η ταχύτητα υ και η απομάκρυνση x συνδέονται με τη σχέση:

____

υ=±ω√Α² - x²

Όμως mω²=D και στην περίπτωση του πρότυπου απλού αρμονικού ταλαντωτή D=Κ.

Η γραφική παράσταση της σχέσης Κ=f(x)

Άρα η κινητική ενέργεια του σώματος δίνεται από την σχέση:

Κ=1/2mυ² $\Rightarrow$

Κ=1/2mω²(Α² - x²) $\Rightarrow$

Κ=1/2mω²Α² - 1/2mω²x² $\Rightarrow$

Κ=1/2ΚΑ² - 1/2Κx²

Γενικότερα,όταν η σταθερά επαναφοράς είναι D,η σχέση Κ=1/2ΚΑ² - 1/2Κx²γράφεται :

Κ=1/2DΑ² - 1/2Dx²

Η γραφική παράσταση της σχέσης Κ=f(x) φαίνεται στο παραπάνω σχήμα με το μπλε χρώμα:

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΣ

Η κινητική ενέργεια,την τυχαία χρονική στιγμή t,δίνεται από την σχέση:

Κ=1/2mυ² $\Rightarrow$

Κ=1/2m(υmaxσυνωt)² $\Rightarrow$

Κ=1/2mυ²συν²ωt $\Rightarrow$

Κ=1/2mω²Α²συν²ωt

Όμως γνωρίζουμε ότι mω²=D.
Άρα η τελευταία σχέση γίνεται:

Κ=1/2mω²Α²συν²ωt $\Rightarrow$

Κ=1/2DΑ²συν²ωt $\Rightarrow$

Κ=Εολσυν²ωt

Η γραφική παράσταση της σχέσης Κ=f(t)

Η γραφική παράσταση της σχέσης Κ=f(t) φαίνεται στο παραπάνω σχήμα με το μπλε χρώμα:

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

Θεωρούμε ότι στη θέση Ο το σώμα έχει δυναμική ενέργεια μηδέν.Σε κάθε άλλη θέση θα έχει δυναμική ενέργεια.

Αν υποθέσουμε ότι το σώμα είναι ακίνητο και βρίσκεται στο σημείο Ο,για να μετακινηθεί στη θέση Δ, που απέχει απόσταση x από τη θέση ισορροπίας,πρέπει να του ασκηθεί δύναμη F' τέτοια ώστε να εξουδετερώνει τη δύναμη επαναφοράς F. Το μέτρο αυτής της δύναμης, σε κάθε θέση, θα είναι:

F'=Dx

Το έργο της δύναμης F' υπολογίζεται από τη γραφική παράσταση F'=f(x),και είναι W=1/2Dx².

Για να μετατοπιστεί κατά x, στο σώμα ασκούμε δύναμη F'=Dx. Το εμβαδόν της επιφάνειας μεταξύ του διαγράμματος και του άξονα των x είναι αριθμητικά ίσο με το έργο που απαιτήθηκε για τη μετατόπιση

Το έργο της δύναμης F' αποθηκεύεται ως δυναμική ενέργεια στο σύστημα, επομένως:

U=1/2Dx²

Άρα η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου στην τυχαία θέση της τροχιάς του σώματος δίνεται από την σχέση:

U=1/2Kx²

και ονομάζεται δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης.

Στο διάγραμμα παριστάνονται η κινητική, η δυναμική και η συνολική ενέργεια της ταλάντωσης, σε συνάρτηση με την απομάκρυνση

Γενικότερα,όταν η σταθερά επαναφοράς είναι D,η σχέση U=1/2Kx²γράφεται:

U=1/2Dx²

Στη θέση ισορροπίας Ο,η απομάκρυνση είναι x=0 και η αντίστοιχη δυναμική ενέργεια είναι U=0.

Η κινητική και η δυναμική ενέργεια στην απλή αρμονική ταλάντωση μεταβάλλονται περιοδικά με το χρόνο

Στις ακραίες θέσεις Α και Α' της τροχιάς του,το σώμα έχει τη μέγιστη απομάκρυνση του x=±x0 και η δυναμική ενέργεια είναι:

U=1/2Kx² $\Rightarrow$

U(max)=1/2KΑ² $\Rightarrow$

U(max)=Εολ

Από τις σχέσεις Κ(max)=Εολ και U(max)=Εολ συμπεραίνουμε ότι:

Εολ=Κ(max)=U(max)

Όμως γνωρίζουμε ότι D=mω²και x=Αημωt οπότε η σχέση U=1/2Dx² γίνεται:

U=1/2mω²Α²ημ²ωt

Από τις σχέσεις Κ=1/2mΑ²ω²συν²ωt και U=1/2mω²Α²ημ²ωt προκύπτει ότι η κινητική και η δυναμική ενέργεια στην απλή αρμονική ταλάντωση μεταβάλλονται περιοδικά με το χρόνο.

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Η ενέργεια ταλάντωσης του συστήματος σε μια τυχαία θέση δίνεται από τη σχέση:

Ε=Κ+U

η οποία από τις Κ=1/2mω²Α²συν²ωt και U=1/2mω²Α²ημ²ωt γίνεται:

Ε=Κ+U=

1/2mω²Α²συν²ωt +1/2mω²Α²ημ²ωt=

1/2mω²Α²(συν²ωt+ημ²ωt)=

1/2mω²Α²=1/2DΑ²

Ε=1/2DΑ²=1/2mω²Α²=1/2mυmax²

Στο διάγραμμα παριστάνονται η κινητική, η δυναμική και η συνολική ενέργεια της ταλάντωσης, σε συνάρτηση με το χρόνο

Συνεπώς η ενέργεια στην απλή αρμονική ταλάντωση είναι σταθερή και ανάλογη με το τετράγωνο του πλάτους.

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΣ

Η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου,την τυχούσα χρονική στιγμή t,δίνεται από την σχέση:

U=1/2Kx² $\Rightarrow$

U=1/2K(Αημωt)² $\Rightarrow$

U=1/2KΑ²ημ²ωt $\Rightarrow$

U=Εολημ²ωt

Η γραφική παράσταση της σχέσης U=f(t)

Η γραφική παράσταση της σχέσης U=f(t) φαίνεται στο παραπάνω σχήμα με το πορτοκαλί χρώμα.

ΓΡΑΜMΙΚΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΙΔΑΝΙΚΟ ΕΛΑΤΗΡΙΟ

ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ