ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

 Θεωρούμε ένα κύκλωμα που αποτελείται από έναν πυκνωτή με χωρητικότητα C,ένα πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L και ένα διακόπτη δ.Το πηνίο και οι αγωγοί δεν έχουν αντίσταση.

Το κύκλωμα αποτελείται από έναν πυκνωτή με χωρητικότητα C,ένα πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L και ένα διακόπτη δ

 Όταν ο διακόπτης είναι ανοικτός,φορτίζουμε τον πυκνωτή με φορτίο Q,ενώ το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα είναι μηδέν,αφού ο διακόπτης είναι ανοικτός.

ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΤΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

 Στο κύκλωμα του Σχήματος 1 ο πυκνωτής είναι φορτισμένος με φορτίο Q.Όταν κλείσουμε το διακόπτη δ,το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα και ο πυκνωτής εκφορτίζεται (Σχήμα 2).Ταυτόχρονα το πηνίο,λόγω του φαινομένου της αυτεπαγωγής, συμπεριφέρεται σαν πηγή ΗΕΔ.Έτσι,όταν το φορτίο του πυκνωτή είναι μηδέν (Σχήμα 3),το φαινόμενο εξελίσσεται και ο πυκνωτής αρχίζει να φορτίζεται αντίθετα (Σχήμα 4) μέχρι να αποκτήσει φορτίο –Q (Σχήμα 5).

Το φαινόμενο της ηλεκτρικής ταλάντωσης

 Στη συνέχεια το φαινόμενο εξελίσσεται ακριβώς αντίστροφα με αποτέλεσμα το κύκλωμα να επανέλθει στην αρχική του κατάσταση.Το φαινόμενο είναι περιοδικό και ονομάζεται ηλεκτρική ταλάντωση.Συνέπεια του φαινομένου αυτού είναι η περιοδική μεταβολή φυσικών ποσοτήτων όπως το ηλεκτρικό φορτίο q του πυκνωτή,η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος i,η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου UE του πυκνωτή και η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου UB του πηνίου.Σε ένα κύκλωμα πηνίου–πυκνωτή LC χωρίς ωμική αντίσταση (ιδανικό κύκλωμα) μπορεί να δημιουργηθεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση.
 Το γεγονός ότι ο πυκνωτής δεν εκφορτίζεται αμέσως,όπως επίσης και το ότι το ρεύμα στο κύκλωμα δε γίνεται μέγιστο αμέσως,οφείλεται στο φαινόμενο της αυτεπαγωγής.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

 Στην ιδανική περίπτωση που δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας η διαδικασία επαναλαμβάνεται συνέχεια. 

Η ηλεκτρική ταλάντωση

 Το φαινόμενο ονομάζεται ηλεκτρική ταλάντωση.

Η φορά του ρεύματος στην ηλεκτρική ταλάντωση

 Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το κύκλωμα LC εκτελεί ηλεκτρομαγνητικές ταλαντώσεις που βρίσκονται σε πλήρη αναλογία με τις μηχανικές ταλαντώσεις που εκτελεί το σύστημα μάζα-ελατήριο.

ΧΡΟΝΙΚH ΕΞΙΣΩΣH q=f(t) ΣΤΟ ΚΥΚΛΩΜΑ LC

 Πράγματι,αποδεικνύεται ότι το φορτίο στον πυκνωτή που διαρρέει το κύκλωμα δίνεται από την σχέση:

                                                                                  q=Q·ημ(ω·t+φ0)

 Επειδή τη χρονική στιγμή t=0 είναι q=Q,η σχέση q=Q·ημ(ω·t+φ) γράφεται:

q=Q·ημ(ω·t+φ0)                          

Q=Q·ημφ0                                                                 

ημφ0=1                                        

ημφ0=ημπ/2                                

φ0=2κπ+π/2

 Επειδή όμως 0≤φ0<2π στη τελευταία σχέση φ0=2κπ+π/2 έχουμε κ=0.
 Άρα:

                                                                                  φ0=π/2

 Συνεπώς η σχέση q=Q·ημ(ω·t+φ0) παίρνει τη μορφή:

q=Q·ημ(ω·t+φ0)                            

q=Q·ημ(ω·t+π/2)                          

                                                                                  q=Q·συνω·t

 Η σχέση q=Q·συνω·t είναι η χρονική εξίσωση q=f(t) στο κύκλωμα LC.
 Πρέπει να θυμηθούμε ότι:

                                                                                  C=q/V

όπου: 
V η τάση μεταξύ των οπλισμών του πυκνωτή.

ΧΡΟΝΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ i=f(t) ΣΤΟ ΚΥΚΛΩΜΑ LC

 Επίσης αποδεικνύεται ότι η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα δίνεται από την σχέση:

                                                                                  i=I·συν(ω·t+φ0)

 Η σχέση I=I0·συν(ω·t+φ0) παίρνει τη μορφή:

I=I0·συν(ω·t+φ0)                         

I=I0·συν(ω·t+π/2)                      

                                                                                  i=-I·ημω·t

όπου:

                                                                                  Ι=Q·ω

 Δηλαδή το πλάτος της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα είναι ανάλογο με το πλάτος του φορτίου του πυκνωτή.
 Η σχέση i=-I·ημω·t είναι η χρονική εξίσωση i=f(t) στο κύκλωμα LC.

Οι γραφικές παραστάσεις του φορτίου στον πυκνωτή και του ρεύματος σε συνάρτηση με το χρόνο, σε κύκλωμα LC

 Στις σχέσεις αυτές,χρονική στιγμή μηδέν θεωρείται η στιγμή που κλείνουμε το  διακόπτη.
 Θετική θεωρείται η φορά  του ρεύματος όταν αυτό κατευθύνεται προς τον οπλισμό  του  πυκνωτή που  για t = 0 ήταν θετικά φορτισμένος.

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ q=f(t) KAI i=f(t) ΣΤΟ ΚΥΚΛΩΜΑ LC

 Όπως είπαμε η σχέση q=Q·συνω·t είναι η χρονική εξίσωση q=f(t) στο κύκλωμα LC.

Η γραφική παράσταση του φορτίου στον πυκνωτή σε συνάρτηση με το χρόνο

 Η γραφική παράσταση του φορτίου στον πυκνωτή σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται στο παραπάνω σχήμα.
 Επίσης είπαμε ότι η σχέση i=-I·ημω·t είναι η χρονική εξίσωση i=f(t) στο κύκλωμα LC.

Η γραφική παράσταση του ρεύματος σε συνάρτηση με το χρόνο

 Η γραφική παράσταση του ρεύματος σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται στο παραπάνω σχήμα.
 Ο παρακάτω πίνακας μας δείχνει τα πρόσημα του φορτίου του οπλισμού και της έντασης του ρεύματος.

φορτίο οπλισμού	ένταση ρεύματος	κατάσταση
+	-	εκφόρτιση
-	-	φόρτιση
-	+	εκφόρτιση
+	+	φόρτιση

ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

 Η περίοδος Τ ενός τέτοιου  ιδανικού  κυκλώματος είναι:
                                                                                            __
                                                                                   T=2π·√L·C

 Από την τελευταία σχέση βλέπουμε ότι η περίοδος εξαρτάται μόνο από τη  χωρητικότητα και την αυτεπαγωγή του κυκλώματος.

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΟ ΚΥΚΛΩΜΑ LC

 Ένας απλός τρόπος για να φορτίσουμε το πυκνωτή είναι να φέρουμε σε επαφή τους οπλισμούς του με  τους πόλους πηγής συνεχούς  τάσης.

Tο κύκλωμα LC εκτελεί ηλεκτρομαγνητικές ταλαντώσεις

 Αυτή τη χρονική στιγμή αποθηκεύεται στον πυκνωτή ηλεκτρική ενέργεια:

                                                                                  Εηλ=1/2·q²/C

ενώ η ενέργεια στο πηνίο είναι μηδέν.

ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΟ ΚΥΚΛΩΜΑ LC

 Αν τη χρονική στιγμή t=0 κλείσουμε το διακόπτη,ο πυκνωτής αρχίζει να εκφορτίζεται μέσα από το πηνίο και το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα.Όσο χρόνο διαρκεί η εκφόρτιση του πυκνωτή η ηλεκτρική ενέργεια που είναι αποθηκευμένη σ' αυτόν ελαττώνεται και μετατρέπεται σε ενέργεια μαγνητικού πεδίου που δημιουργείται στο πηνίο λόγω του αναπτυσσόμενου ρεύματος.

Αν τη χρονική στιγμή t=0 κλείσουμε το διακόπτη,ο πυκνωτής αρχίζει να εκφορτίζεται μέσα από το πηνίο και το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα.Όσο χρόνο διαρκεί η εκφόρτιση του πυκνωτή η ηλεκτρική ενέργεια που είναι αποθηκευμένη σ' αυτόν ελαττώνεται και μετατρέπεται σε ενέργεια μαγνητικού πεδίου που δημιουργείται στο πηνίο λόγω του αναπτυσσόμενου ρεύματος

 Όταν τελικά ο πυκνωτής εκφορτιστεί,το ρεύμα που διέρχεται από το πηνίο έχει ένταση I και η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου στο πηνίο είναι:

                                                                                  Εμαγ=1/2·L·i²

 Στη συνέχεια αυτή η διαδικασία γίνεται αντίστροφα,μειώνεται η ενέργεια στο πηνίο και αυξάνεται στον πυκνωτή,μέχρι την πλήρη φόρτιση του οπότε το κύκλωμα  επανέρχεται ενεργειακά στην αρχική του κατάσταση.Η όλη διαδικασία επαναλαμβάνεται.

ΟΛΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

 Στην ιδανική περίπτωση που θεωρούμε ότι η ωμική αντίσταση του κυκλώματος είναι αμελητέα,θα ισχύει:

                                                                                  Εολ=1/2·Q²/C=1/2·L·I²

 Στη συνέχεια,όλη η ενέργεια μεταφέρεται από το πηνίο πάλι στον πυκνωτή,ο οποίος τελικά αποκτά το ίδιο φορτίο Q με αντίθετη πολικότητα,δηλαδή η φόρτιση είναι αντίθετη.Δηλαδή η διαδικασία γίνεται αντίστροφα, μειώνεται η ενέργεια στο πηνίο και αυξάνεται στον πυκνωτή,μέχρι την πλήρη φόρτιση του οπότε το κύκλωμα  επανέρχεται ενεργειακά στην αρχική του κατάσταση.Η όλη διαδικασία επαναλαμβάνεται.

Στη συνέχεια,όλη η ενέργεια μεταφέρεται από το πηνίο πάλι στον πυκνωτή,ο οποίος τελικά αποκτά το ίδιο φορτίο Q με αντίθετη πολικότητα,δηλαδή η φόρτιση είναι αντίθετη.Ο πυκνωτής θα αρχίσει να εκφορτίζεται πάλι και το φαινόμενο της περιοδικής μετατροπής της ηλεκτρικής ενέργειας σε ενέργεια μαγνητικού πεδίου και αντίστροφα θα επαναλαμβάνεται

 Ο πυκνωτής θα αρχίσει να εκφορτίζεται πάλι και το φαινόμενο της περιοδικής μετατροπής της ηλεκτρικής ενέργειας σε ενέργεια μαγνητικού πεδίου και αντίστροφα θα επαναλαμβάνεται.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΤΟ ΚΥΚΛΩΜΑ LC

 Σύμφωνα με την σχέση q=Q·συνω·t,τη χρονική στιγμή t η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή είναι:

Εηλ=1/2·q²/C                                     

Εηλ=1/2·(Q·συνω·t)²/C                       

Εηλ=1/2·Q²·συν²ω·t/C                          

                                                                                  Εηλ=Εολ·συν²ω·t

 Η σχέση Εηλ=Εολ·συν²ω·t είναι η χρονική εξίσωση Εηλ=f(t) στο κύκλωμα LC.
 Τώρα σύμφωνα με την σχέση i=-I·ημω·t,τη χρονική στιγμή t η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου είναι :                                          

Εμαγ=1/2·L·i²                                      

Εμαγ=1/2·L(-I·ημω·t)²                           

Εμαγ=1/2·L·I²ημ²ω·t                            

                                                                                  Εμαγ=Εολ·ημ²ω·t


 Η σχέση Εμαγ=Εολ·ημ²ω·t είναι η χρονική εξίσωση Εμαγ=f(t) στο κύκλωμα LC.

 Από τις σχέσεις Εηλ και  Εμαγ φαίνεται ότι η ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή μετατρέπεται περιοδικά σε ενέργεια μαγνητικού πεδίου στο πηνίο και αντίστροφα.
 Ακόμα παρατηρούμε η ενέργεια στον πυκνωτή και στο πηνίο μεταβάλλεται περιοδικά μεταξύ της τιμής μηδέν και μιας μέγιστης τιμής,ενώ σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ενέργειας και με την προϋπόθεση ότι το κύκλωμα δεν έχει ωμική αντίσταση,το άθροισμα Εηλ και  Εμαγ μένει πάντα σταθερό.

Οι γραφικές παραστάσεις της ενέργειας ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή και της ενέργειας μαγνητικού πεδίου του πηνίου με τον χρόνο.H ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή μετατρέπεται περιοδικά σε ενέργεια μαγνητικού πεδίου στο πηνίο και αντίστροφα

 Μελετήσαμε την ηλεκτρική  ταλάντωση με  την προϋπόθεση ότι η ενέργεια  του συστήματος διατηρείται.Όμως η κατάσταση αυτή είναι ιδανική.Στην πραγματικότητα  υπάρχουν δυο λόγοι για  τους οποίους η ενέργεια  του συστήματος μειώνεται.

α) Οι αγωγοί του συστήματος έχουν αντίσταση κι συνεπώς ένα μέρος της ενέργειας μετατρέπεται σε θερμότητα.

β) Τα κυκλώματα ηλεκτρικών ταλαντώσεων εκπέμπουν ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία, δηλαδή  χάνουν ενέργεια.

ΣΧΕΣΗ ΠΛΑΤΟΥΣ ΕΝΤΑΣΗΣ-ΠΛΑΤΟΥΣ ΦΟΡΤΙΟΥ

 Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας έχουμε:

1/2·Q²/C=1/2·L·I²

Q²/C=L·I²

Q²/L·C=I²

                                                                                  I=ω·Q

ΣΧΕΣΗ ΕΝΤΑΣΗΣ-ΦΟΡΤΙΟΥ

 Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας έχουμε:

E=UE+UB

1/2·Q²/C=1/2·L·i²+1/2·q²/C

                                                                                  i=±(Q²-q)^1/2

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Εηλ=f(t) KAI Eμαγ=f(t)

 Όπως είπαμε η σχέση Εηλ=Εολσυν²ωt είναι η χρονική εξίσωση Εηλ=f(t) στο κύκλωμα LC.

Η γραφική παράσταση της ενέργειας ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή με τον χρόνο

 Η γραφική παράσταση της ενέργειας ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή με τον χρόνο φαίνεται στο παραπάνω σχήμα.
 Η σχέση Εμαγ=Εολ·ημ²ω·t είναι η χρονική εξίσωση Εμαγ=f(t) στο κύκλωμα LC.

Η γραφική παράσταση της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου του πηνίου με τον χρόνο

  Η γραφική παράσταση της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου του πηνίου με τον χρόνο φαίνεται στο παραπάνω σχήμα.

Η κοινή γραφική παράσταση Εηλ-q και Εμαγ-q

 Στο παραπάνω σχήμα φαίνεται η κοινή γραφική παράσταση Εηλ-q και Εμαγ-q.

ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

 Μελετήσαμε την ηλεκτρική  ταλάντωση ενός τέτοιου κυκλώματος και παρατηρούμε ότι παρουσιάζει αναλογίες με  την απλή αρμονική ταλάντωση που εκτελεί σώμα μάζας m σε ιδανικό ελατήριο σταθεράς Κ.

H ηλεκτρική  ταλάντωση παρουσιάζει αναλογίες με  την απλή αρμονική ταλάντωση που εκτελεί σώμα μάζας m σε ιδανικό ελατήριο σταθεράς Κ

 Συγκρίνοντας το ηλεκτρικό κύκλωμα LC και το σύστημα μάζας-ελατηρίου συμπεραίνουμε ότι:
α) Μπορούμε να αντιστοιχίσουμε την ηλεκτρική ενέργεια του πυκνωτή στη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου,γιατί η ενέργεια αποθηκεύεται μόνο στον πυκνωτή και στο ελατήριο.
β) Μπορούμε να αντιστοιχίσουμε την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου στην κινητική ενέργεια της μάζας,γιατί οι δύο αυτές μορφές ενέργειας σχετίζονται με την κίνηση του φορτίου στο κύκλωμα LC και της μάζας στο σύστημα μάζας - ελατηρίου.

Μπορούμε να αντιστοιχίσουμε την ηλεκτρική ενέργεια του πυκνωτή στη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου

 Το σώμα απομακρύνεται από τη θέση ισορροπίας και αφήνεται ελεύθερο  να κινηθεί χωρίς τριβές.Αυτό θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.Αν ως χρονική στιγμή μηδέν θεωρηθεί η στιγμή κατά την οποία αφέθηκε ελεύθερο,η ταλάντωση θα έχει αρχική φάση π/2.

 Οι σχέσεις που περιγράφουν την απομάκρυνση και  την  ταχύτητα  του σώματος κάθε στιγμή είναι:

                                                                                  x=Α·ημ(ω·t+π/2)=Α·συνω·t

                                                                                  υ=υmax·συν(ω·t+π/2)=-υmax·ημω·t

 Στην ηλεκτρική  ταλάντωση το φορτίο στον πυκνωτή και το ρεύμα στο κύκλωμα μεταβάλλονται όπως η απομάκρυνση και η ταχύτητα στη μηχανική ταλάντωση που περιγράψαμε.

Η ενέργεια στον πυκνωτή και στο πηνίο μεταβάλλεται περιοδικά μεταξύ της τιμής μηδέν και μιας μέγιστης τιμής

 Στο μηχανικό σύστημα,η αρχική δυναμική ενέργεια μετατρέπεται 1/2·Κ·Α² περιοδικά σε κινητική,ενώ η συνολική ενέργεια-μηχανική ενέργεια-διατηρείται.

Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ενέργειας το άθροισμα Εηλ και  Εμαγ μένει πάντα σταθερό

 Αντίστοιχα στο κύκλωμα LC,η αρχική ενέργεια Ε=1/2·Q²/C,που είναι η ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου μετατρέπεται περιοδικά σε ενέργεια μαγνητικού πεδίου,ενώ η συνολική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή.