ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 

ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

 Κατά την μελέτη του απλού αρμονικού ταλαντωτή υποθέσαμε ότι το πλάτος της ταλάντωσης παραμένει σταθερό.

Γραφική παράσταση x-t στην απλή αρμονική ταλάντωση

 Στην πραγματικότητα κανένα σύστημα που ταλαντώνεται ελεύθερα,αφού δεχθεί μια αρχική διέγερση,δε διατηρεί σταθερό το πλάτος ταλάντωσης,γιατί η ενέργεια του λόγω τριβών συνέχεια μειώνεται,με αποτέλεσμα το πλάτος της ταλάντωσης να ελαττώνεται και τελικά να μηδενίζεται.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ 

 Ταλαντώσεις αυτού του είδους λέγονται φθίνουσες ταλαντώσεις ή αποσβεννύμενες ταλαντώσεις.

Φθίνουσα ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση στην οποία το πλάτος της ελαττώνεται και τελικά μηδενίζεται

 Φθίνουσα ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση στην οποία το πλάτος της ελαττώνεται και τελικά μηδενίζεται.

Γραφική παράσταση x-t στη φθίνουσα ταλάντωση

 Είναι φανερό ότι,σε μια φθίνουσα ταλάντωση,η ολική ενέργεια συνεχώς ελαττώνεται και αυτό οφείλεται σε απώλειες ενέργειας λόγω τριβών,αντιστάσεων κ.λ.π.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΗΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ 

 Ένα απλό παράδειγμα φθίνουσας ταλάντωσης είναι το σώμα Σ που απομακρύνεται κατά Α από τη θέση ισορροπίας και αφήνεται ελεύθερο στη θέση Ρ.Όσο μικρή και αν είναι η τριβή του με το δάπεδο,όταν ολοκληρώσει μια ταλάντωση δε θα επιστρέψει στο σημείο Ρ.

Απομακρύνουμε το σώμα Σ από τη θέση ισορροπίας Ο και το αφήνουμε ελεύθερο στο σημείο Ρ.Το σώμα όταν ολοκληρώσει μια ταλάντωση λόγω τριβών δεν επιστρέφει στο Ρ

 Χωρίς εξωτερική  επέμβαση,το σώμα θα συνεχίσει την  ταλάντωση με το πλάτος της  ταλάντωσης συνεχώς να μειώνεται και ύστερα από ορισμένο χρόνο θα σταματήσει.

H ταλάντωση του εκκρεμούς είναι μια φθίνουσα ταλάντωση 

 Άλλα παραδείγματα φθίνουσας ταλάντωσης είναι:
α) Η  ταλάντωση που κάνει ένα σώμα όταν είναι κρεμασμένο από ελατήριο και κινείται μέσα στον αέρα και 
β) Η  ταλάντωση του εκκρεμούς.
 Στην πραγματικότητα στο μακρόκοσμο όλες οι  ταλαντώσεις είναι φθίνουσες γιατί όλες οι κινήσεις εκτελούνται από τριβές και αντιστάσεις.

ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ 

 Οι δυνάμεις που προκαλούν τη μείωση του πλάτος μιας ταλάντωσης δεν μπορούν εύκολα να προσδιοριστούν.Για παράδειγμα η αντίσταση του αέρα είναι δύσκολο να προσδιοριστεί,γιατί εξαρτάται από το σχήμα,την υφή του σώματος και την ταχύτητά του.

Η ελάττωση του πλάτους οφείλεται σε δυνάμεις που αντιτίθενται στην κίνηση

  Η ελάττωση του πλάτους οφείλεται σε δυνάμεις που αντιτίθενται στην κίνηση.Οι δυνάμεις αυτές μεταφέρουν ενέργεια από το σύστημα στο περιβάλλον.Γι' αυτό η μηχανική ενέργεια του συστήματος με την πάροδο του χρόνου ελαττώνεται και το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται.

Στην φθίνουσα ταλάντωση η μηχανική ενέργεια του συστήματος με την πάροδο του χρόνου ελαττώνεται και το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται

 Απόσβεση ονομάζεται η ελάττωση του πλάτους της φθίνουσας ταλάντωσης και οφείλεται σε δυνάμεις που αντιτίθενται στην κίνηση και μετατρέπουν τη μηχανική ενέργεια σε θερμότητα.

Απόσβεση ονομάζεται η ελάττωση του πλάτους της φθίνουσας ταλάντωσης και οφείλεται σε δυνάμεις που αντιτίθενται στην κίνηση και μετατρέπουν τη μηχανική ενέργεια σε θερμότητα

 Πειραματικά μπορούμε να μελετήσουμε τη φθίνουσα ταλάντωση με τη διάταξη του παρακάτω σχήματος.Στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου εξαρτάται σώμα μάζας m,από το οποίο προσδένεται με λεπτό άκαμπτο σύρμα μια μεταλλική πλάκα αμελητέου όγκου,που είναι βυθισμένη σ' ένα υγρό.

Στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου εξαρτάται σώμα μάζας m ,από το οποίο προσδένεται με λεπτό άκαμπτο σύρμα μια μεταλλική πλάκα αμελητέου όγκου,που είναι βυθισμένη σ' ένα υγρό

 Αν τραβήξουμε το σώμα ελαφρά προς τα κάτω και στη συνέχεια το αφήσουμε ελεύθερο,τότε αυτό θα εκτελέσει φθίνουσα ταλάντωση.Ο τρόπος ελάττωσης του πλάτους της φθίνουσας ταλάντωσης εξαρτάται από τη δύναμη που αντιστέκεται στη κίνηση.Αυτή η περίπτωση έχει μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον γιατί έχει βρεθεί πειραματικά ότι η δύναμη F που μεταβάλλει την ταλάντωση σε φθίνουσα είναι ανάλογη προς την ταχύτητα υ,δηλαδή ισχύει:

                                                                                            F=-b·υ

όπου:
b ένας συντελεστής που λέγεται σταθερά απόσβεσης.

Το πλάτος είναι φθίνουσα συνάρτηση του χρόνου

 Δυνάμεις αυτής της μορφής παρατηρούνται κατά την κίνηση αντικειμένων μέσα στον αέρα ή σε υγρό.
 Αν η δύναμη που αντιτίθεται στην κίνηση είναι της μορφής F=-b·υ τότε το σύστημα εκτελεί φθίνουσα εκθετική ταλάντωση.

α) Όταν η σταθερά απόσβεσης είναι μηδέν η ταλάντωση είναι αμείωτη.
β) Φθίνουσα ταλάντωση.Η περίοδος διατηρείται σταθερή και ανεξάρτητη του πλάτους, 
γ) Όταν ο συντελεστής απόσβεσης μεγαλώνει,το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται πιο γρήγορα, 
δ) Όταν ο συντελεστής απόσβεσης είναι πολύ μεγάλος η κίνηση είναι απεριοδική

 Η  σταθερά απόσβεσης b είναι μια σταθερά που καθορίζει το ρυθμό μείωσης πλάτους και εξαρτάται από τις ιδιότητες του μέσου καθώς και από το σχήμα και το μέγεθος του αντικειμένου που κινείται.
 Ο ρυθμός με τον οποίο μειώνεται το πλάτος μιας ταλάντωσης εξαρτάται από την τιμή της σταθεράς b.
 Μονάδα μέτρησης της σταθεράς απόσβεσης στο SI είναι:

                                                                                            1 kg/s

 Στο παραπάνω σχήμα φαίνονται ταλαντώσεις με διαφορετική σταθερά απόσβεσης.Όταν η σταθερά απόσβεσης είναι μηδέν η ταλάντωση είναι αμείωτη.Στην Φθίνουσα ταλάντωση η περίοδος διατηρείται σταθερή και ανεξάρτητη του πλάτους.Όταν ο συντελεστής απόσβεσης μεγαλώνει,το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται πιο γρήγορα.

Γραφική παράσταση x-t απεριοδικής κίνησης

 Στην περίπτωση όπου ο συντελεστής απόσβεσης είναι πολύ μεγάλος η κίνηση είναι απεριοδική. 

 Από την μελέτη των παραπάνω καμπυλών προκύπτουν τα εξής συμπεράσματα:

α) Το πλάτος είναι φθίνουσα συνάρτηση του χρόνου.
β) Η περίοδος για κάθε φθίνουσα ταλάντωση είναι σταθερή,και αυξάνεται όταν αυξάνει το b.
γ) Ο ρυθμός με τον οποίο μειώνεται το πλάτος αυξάνει με την σταθερά απόσβεσης.
δ) Για μεγάλες τιμές της σταθεράς απόσβεσης η κίνηση γίνεται απεριοδική.

Οι γραφικές παραστάσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου στην περίπτωση φθίνουσας ταλάντωσης

 Ένα άλλο παράδειγμα που μπορούμε να μελετήσουμε τη φθίνουσα ταλάντωση είναι η διάταξη του παρακάτω σχήματος.Με τη χρήση μιας αεραντλίας μπορούμε να μεταβάλουμε την πίεση του αέρα στο εσωτερικό του δοχείο,μέσα στο οποίο ταλαντώνεται η σφαίρα μάζας m1.

Με τη χρήση μιας αεραντλίας μπορούμε να μεταβάλουμε την πίεση του αέρα στο εσωτερικό του δοχείο,μέσα στο οποίο ταλαντώνεται η σφαίρα μάζας m1

 Η μεταβολή της πίεσης μέσα στο δοχείο μεταβάλλει τη σταθερά απόσβεσης b.Στην περίπτωση που το ελατήριο είναι ιδανικό,αν αφαιρούσαμε όλο τον αέρα  η σταθερά απόσβεσης θα ήταν μηδέν και η ταλάντωση αμείωτη.Όταν αυξάνεται η πίεση αυξάνεται η τιμή της σταθεράς b και η απόσβεση είναι ταχύτερη.

ΜΕΙΩΣΗ ΤΟΥ ΠΛΑΤΟΥΣ

 Ας θεωρήσουμε πάλι την φθίνουσα ταλάντωση της διάταξης του παρακάτω σχήματος.

Στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου εξαρτάται σώμα μάζας m ,από το οποίο προσδένεται με λεπτό άκαμπτο σύρμα μια μεταλλική πλάκα αμελητέου όγκου,που είναι βυθισμένη σ' ένα υγρό

 Στην περίπτωση αυτή,αποδεικνύεται ότι τα διαδοχικά πλάτη A0,A1,A3,Α4 ......αποτελούν φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο,δηλαδή ο λόγος κ δύο πλατών με χρονική διαφορά μιας περιόδου είναι σταθερός:

                                                                                            κ=A0/A1=A1/A2=A2/A3=......=σταθ.

και ονομάζεται λόγος απόσβεσης.

Ο λόγος δύο διαδοχικών μεγίστων απομακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυνση διατηρείται σταθερός

 Για αμείωτη ταλάντωση είναι κ=1.
 Αποδεικνύεται ότι μετά από χρόνο t=n·T,όπου n=1,2,3,4,....από την στιγμή που το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α0,το πλάτος της ταλάντωσης Αt της φθίνουσας ταλάντωσης δίνεται από την σχέση:

                                                                                            Αt=Α0·e^-Λt

όπου:
Λ μια σταθερά  που εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης b και 
m η μάζα του σώματος που εκτελεί την ταλάντωση.

Τα διαδοχικά πλάτη A0,A1,A3,Α4 ......αποτελούν φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο

 Στη φθίνουσα εκθετική ταλάντωση ο όρος Αt=Α0·e^-Λt δεν ισούται ακριβώς με το πλάτος ταλάντωσης.Κατά συνέπεια,ονομάζεται "πλάτος" ταλάντωσης μόνο κατά προσέγγιση.
 Από πειράματα αποδεικνύεται ότι:

                                                                                            Λ=b/2·m

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

 Ο ρυθμός με τον οποίο φθίνουν οι ταλαντώσεις παρουσιάζει μεγάλο τεχνικό ενδιαφέρον.Σε συστήματα όπως εκκρεμή,μηχανικά ρολόγια,κ.τ.λ. επιδιώκουμε να είναι ο μικρότερος δυνατός,ενώ στα συστήματα απόσβεσης κραδασμών π.χ. σύστημα ανάρτησης αυτοκινήτων,ο μέγιστος δυνατός.

Στα μηχανικά ρολόγια επιδιώκουμε να είναι ο μικρότερος δυνατός ρυθμός με τον οποίο φθίνουν οι ταλαντώσεις

 Το σύστημα ανάρτησης  του αυτοκινήτου είναι ένα σύστημα αποσβεννύμενων ταλαντώσεων.Τα αμορτισέρ εξασφαλίζουν δύναμη απόσβεσης,η οποία  εξαρτάται από  την  ταχύτητα,τέτοια,ώστε όταν το αυτοκίνητο περνά από ένα εξόγκωμα του δρόμου,να μη συνεχίζει να ταλαντώνεται για πολύ χρόνο.Καθώς τα αμορτισέρ παλιώνουν και φθείρονται,η τιμή του b ελαττώνεται και η ταλάντωση διαρκεί περισσότερο.Η φθορά αυτή μειώνει την ασφάλεια,επειδή οι ρόδες έχουν λιγότερη επαφή με το  έδαφος.

Τα αμορτισέρ εξασφαλίζουν δύναμη απόσβεσης,η οποία εξαρτάται από την ταχύτητα,τέτοια,ώστε όταν το αυτοκίνητο περνά από ένα εξόγκωμα του δρόμου,να μη συνεχίζει να ταλαντώνεται για πολύ χρόνο

 Στις μεγάλες τεχνικές κατασκευές,όπως ψηλά κτίρια ή κρεμαστές γέφυρες,η απόσβεση οφείλεται στις τριβές που αναπτύσσονται ανάμεσα στα διάφορα τμήματα τους καθώς και στο τρόπο κατασκευής τους.

Για να προστατευτούν κρεμαστές γέφυρες από τις σεισμικές δονήσεις και τις ταλαντώσεις που προκαλούν οι ισχυροί άνεμοι,επιδιώκεται ώστε η απόσβεση να είναι μέγιστη

 Για να προστατευτούν κρεμαστές γέφυρες από τις σεισμικές δονήσεις και τις ταλαντώσεις που προκαλούν οι ισχυροί άνεμοι,επιδιώκεται ώστε η απόσβεση να είναι μέγιστη.       

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ  ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

 Κατά ανάλογο τρόπο σε ένα κύκλωμα LC για να είναι η ηλεκτρική ταλάντωση αμείωτη  δεν πρέπει  να υπάρχει απώλεια ενέργειας.Όμως αυτό είναι πρακτικά αδύνατο.

Το κύκλωμα RLC είναι κύκλωμα φθινουσών ηλεκτρικών ταλαντώσεων

 Στην πραγματικότητα οι ηλεκτρικές  ταλαντώσεις είναι φθίνουσες.Το μέγιστο φορτίο στον πυκνωτή και το πλάτος του ρεύματος μικραίνουν με αποτέλεσμα το κύκλωμα παύει να  ταλαντώνεται.

ΜΕΛΕΤΗ ΦΘΙΝΟΥΣΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

 Στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις,ο κύριος λόγος της απόσβεσης είναι η ωμική αντίσταση,η αύξηση της οποίας συνεπάγεται πιο γρήγορη απόσβεση της ταλάντωσης και μικρή αύξηση της περιόδου της.Όταν η R αυξάνεται,το πλάτος φορτίου μειώνεται πιο γρήγορα. 

Στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις,ο κύριος λόγος της απόσβεσης είναι η ωμική αντίσταση

 Μόλις κλείσουµε τον διακόπτη,ο πυκνωτής αρχίζει να εκφορτίζεται και το κύκλωµα διαρρέεται από ϱευµα.Η ωµική αντίσταση µετατρέπει βαθµιαία την ηλεκτρική ενέργεια σε θερµότητα Joule,µε αποτέλεσµα η ολική ενέργεια και κατα συνέπεια το µέγιστο ϕορτίο του πυκνωτη διαρκώς να µειώνεται και τελικά να µηδενίζεται.Μεταβάλλοντας την ωµική αντίσταση R,µπορούµε να λάβουµε τις γραφικές παραστάσεις του ϕορτιου q του πυκνωτή σε συνάρτηση µε τον χρονο t για µηδενική,µικρή,µεσαία και πολύ µεγάλη ωµική αντίσταση.

Η γραφική παράσταση του φορτίου του πυκνωτή σε συνάρτηση με τον χρόνο

 Τα κυκλώματα LC που χρησιμοποιούνται στην πράξη παρουσιάζουν μικρή αντίσταση και η αύξηση της περιόδου μπορεί  να  θεωρηθεί αμελητέα.

Η γραφική παράσταση της έντασης του ρεύματος σε συνάρτηση με τον χρόνο

 Στις φθίνουσες ηλεκτρικές ταλαντώσεις,το πλάτος του φορτίου μειώνεται εκθετικά με το χρόνο:

                                                                                            Q=Q0·e^-Λt

 Η σταθερά Λ εξαρτάται από την ωμική αντίσταση R του κυκλώματος και από το συντελεστή αυτεπαγωγής L του πηνίου. 

α) Αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση,

β) και 
γ) Φθίνουσες ηλεκτρικές ταλαντώσεις, 

δ) Όταν η αντίσταση είναι πολύ μεγάλη το φαινόμενο δεν είναι περιοδικό

  Μονάδα μέτρησης της σταθεράς Λ στο SI είναι το:

                                                                                            1 s^-1
                                           
  Ο λόγος δύο διαδοχικών πλατών φορτίου διατηρείται σταθερός:

                                                                                             Q0/Q1=Q1/Q2=.....=QN/QN+1=e^ΝΤ=σταθ.

 Για ορισμένη τιμή της αντίστασης,η περίοδος είναι σταθερή και ανεξάρτητη από το πλάτος φορτίου. 
 Αν η τιμή της αντίστασης υπερβεί κάποιο όριο η ταλάντωση γίνεται απεριοδική.