ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ, ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ, ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ, ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Να υπολογίσετε την εξίσωση τροχιάς της οριζόντιας βολής.

ΛΥΣΗ

Η εξίσωση τροχιάς σε μια βολή είναι μια σχέση μεταξύ των συντεταγμένων θέσης x και y η οποία δεν περιλαμβάνει το χρόνο.
Η εξίσωση αυτή μας δίνει το είδος της τροχιάς του σώματος.Άρα για να βρούμε την εξίσωση τροχιάς,αρκεί να βρούμε ποιες σχέσεις συνδέουν τα x και y με το χρόνο και στη συνέχεια να κάνουμε απαλοιφή του χρόνου.

Στην οριζόντια βολή ισχύουν:

x=υo·t                          (1)       

και

y=1/2·g·t²                     (2)

Από την σχέση (1) έχουμε: 

t=x/υ0

Άρα η (2) γράφεται:

y=1/2·g·t²                     ή

y=1/2·g(x/υ0)²            ή

y=1/2·g·x²/υ²0         (Εξίσωση τροχιάς στην οριζόντια βολή)

Η τελευταία εξίσωση ονομάζεται εξίσωση τροχιάς στην οριζόντια βολή.

Η τροχιά του σώματος στην οριζόντια βολή είναι παραβολική

 Η εξίσωση αυτή στα μαθηματικά είναι εξίσωση παραβολής,γι' αυτό η τροχιά του σώματος στην οριζόντια βολή είναι παραβολική.

ΑΣΚΗΣΗ 2

Ένα μικρό σώμα βάλλεται οριζόντια από ύψος h=20 m πάνω από το έδαφος με αρχική ταχύτητα υ0=10 m/s.
Να βρείτε:
α) τον χρόνο που χρειάζεται το σώμα για να φτάσει στο έδαφος,
β) την οριζόντια απόσταση που διανύει το σώμα μέχρι να φτάσει στο έδαφος,
γ) την οριζόντια μετατόπιση του σώματος όταν θα έχει διανύσει τη μισή κατακόρυφη απόσταση.
Δίνεται g=10 m/s².
Η αντίσταση του αέρα δεν λαμβάνεται υπόψη.

ΛΥΣΗ

α) Από την θεωρία γνωρίζουμε ότι ο χρόνος κίνησης του σώματος της οριζόντιας βολής είναι:

t = √2·hg        ή

Με απλή αντικατάσταση έχουμε:


t = √2·hg        ή


t = √2·2010      ή

t = 2 s

Άρα ο χρόνος που χρειάζεται το σώμα να φτάσει στο έδαφος είναι t=2 s. 
β) Επίσης από την θεωρία γνωρίζουμε ότι η οριζόντια απόσταση του σώματος της οριζόντιας βολής,δηλαδή το βεληνεκές της οριζόντιας βολής είναι:

xmax=υo·t  

Με απλή αντικατάσταση έχουμε:

xmax=υo·t         ή

xmax=10·2        ή

xmax=20 m

Άρα το βεληνεκές της οριζόντιας βολής είναι xmax=20 m.

γ) Το σώμα διανύει κατακόρυφη απόσταση ίση με y=h/2 σε χρόνο:

t = √2·h/2g    ή

t = √hg          ή

t = √2010        ή

t =√2 s

Στον χρόνο αυτό το σώμα μετατοπίζεται οριζόντια κατά:

x1=υ0·t             ή

x1=10√2 m

Άρα η οριζόντια μετατόπιση του σώματος όταν θα έχει διανύσει τη μισή κατακόρυφη απόσταση είναι x1=10√2 m.

ΑΣΚΗΣΗ 3

Ένα σώμα ρίχνεται οριζόντια από ύψος h=320 m από το έδαφος με ταχύτητα υ0=60 m/s.
Να βρείτε για το σώμα:

α) τον ολικό χρόνο κίνησης του,

β) το βεληνεκές του,

γ) την ταχύτητα με την οποία χτύπα στο έδαφος.

Δίνεται g=10 m/s².

Η αντίσταση του αέρα δεν λαμβάνεται υπόψη.

ΛΥΣΗ

α) Από την θεωρία γνωρίζουμε ότι ο χρόνος κίνησης του σώματος της οριζόντιας βολής είναι:

t=√2·hg        ή

Με απλή αντικατάσταση έχουμε:

t=√2·hg        ή

t=√2·32010    ή

t=8 s

Άρα ο χρόνος που χρειάζεται το σώμα να φτάσει στο έδαφος είναι t=8 s. 

β) Επίσης από την θεωρία γνωρίζουμε ότι η οριζόντια απόσταση του σώματος της οριζόντιας βολής,δηλαδή το βεληνεκές της οριζόντιας βολής είναι:

xmax=υo·t  

Με απλή αντικατάσταση έχουμε:

xmax=υo·t         ή

xmax=60·8        ή

xmax=480 m

Άρα το βεληνεκές της οριζόντιας βολής είναι xmax=480 m.

γ) Για να υπολογίσουμε το μέτρο της ταχύτητας με την οποία το σώμα φτάνει στο έδαφος θα πρέπει να βρούμε το μέτρο των συνιστωσών της ταχύτητας υ→ ,δηλαδή το μέτρο των ταχυτήτων  υ→_x και  υ→_y.

Έτσι το μέτρο της ταχύτητας  υ→_x είναι:

υx=υο                    ή

υx=60m/s

Επίσης το μέτρο της ταχύτητας  υ→_y είναι:

υy=g·t               ή

υy=10·8            ή

υy=80 m/s

Άρα έχουμε:

υ→=υ→_x+ υ→y  

υ=(υ²x+υ²y)^1/2

υ=(60²+80²)^1/2

υ=(10⁴)^1/2

υ=100 m/s

Αν θεωρήσουμε θ την γωνία του διανύσματος της ταχύτητας με τον οριζόντιο άξονα,θα έχουμε:

εφφ=υy/υ0                  ή

εφφ=80/60            ή

εφφ=4/3                ή

φ=53°

Άρα τη στιγμή που φθάνει στο έδαφος το σώμα έχει ταχύτητα μέτρου υ=100 m/s και το διανύσματος της ταχύτητας σχηματίζει γωνία με τον οριζόντιο άξονα φ=53°.

ΑΣΚΗΣΗ 4

Μια σφαίρα βάλλεται οριζόντια από ύψος h=405 m και με αρχική ταχύτητα υ0=36 m/s.Να βρεθεί σε πόσο χρόνο θα φθάσει η σφαίρα στο οριζόντιο έδαφος,πόσο θα απέχει τότε από το σημείο βολής της και ποια ταχύτητα θα έχει τη στιγμή που φθάνει στο έδαφος.
Δίνεται g=10 m/s².
Η αντίσταση του αέρα δεν λαμβάνεται υπόψη.

ΛΥΣΗ

Όταν η σφαίρα,μετά από χρόνο t,φθάσει στο οριζόντιο έδαφος θα έχει καταπέσει κατακόρυφα κατά h και συγχρόνως θα έχει μετατοπιστεί κατά s.Συνεπώς η σφαίρα εκτελεί σύνθετη κίνηση για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:

h=1/2·g·t²     (1)   και

s=υ0·t           (2)

Από την σχέση (1) παίρνουμε:

t=(2h/g)^1/2

t=(2·405/10)^1/2

t=9 s

Άρα η σφαίρα στο οριζόντιο έδαφος θα φθάσει σε χρόνο t=9 s.
Από τον τύπο (1) έχουμε:

s=υ0·t 

s=36 m/s·9 s

s=324 m

Για να βρούμε πόσο θα απέχει από το σημείο βολής της θα χρησιμοποιήσουμε το πυθαγόρειο θεώρημα:

d=(h²+s²)^1/2

d=(405²+324²)^1/2

d=518,65 m

Άρα η σφαίρα όταν θα φθάσει στο οριζόντιο έδαφος,θα απέχει από το σημείο βολής της απόσταση d=518,65 m.
Όμως η ταχύτητα της σφαίρας σε αυτή την θέση είναι η συνισταμένη της υ0 και υy.
H υy  αποκτάται στην κατακόρυφη πτώση και έχει μέτρο:

υy=(2·g·h)^1/2

H ταχύτητα τη στιγμή που φθάνει στο έδαφος θα έχει μέτρο:

υ=(υ0²+υy²)^1/2

υ=(υ0²+2·g·h)^1/2

υ=(36²+2·10·405)^1/2

υ=96,93 m/s

Αν θεωρήσουμε φ την γωνία του διανύσματος της ταχύτητας με τον οριζόντιο άξονα,θα έχουμε:

εφφ=υy/υ0=(2·g·h)^1/2/υ0

εφφ=90/36

εφφ=2,5

φ=68°

Άρα τη στιγμή που φθάνει στο έδαφος η σφαίρα έχει ταχύτητα μέτρου υ=96,93 m/s και το διανύσματος της ταχύτητας σχηματίζει γωνία με την κατακόρυφο φ=68°.

ΑΣΚΗΣΗ 5

Σώμα εκτοξεύεται από ύψος h=45 m πάνω από το έδαφος με οριζόντια ταχύτητα υ0=30 m/s.
Αν g=10 m/s²,να υπολογίσετε:

α) Το χρόνο που χρειάζεται ώστε το σώμα να φτάσει στο έδαφος, καθώς και το βεληνεκές της οριζόντιας βολής.

β) το μέτρο της ταχύτητας με την οποία το σώμα φτάνει στο έδαφος.

γ) τις τιμές της οριζόντιας και κατακόρυφης μετατόπισης του σώματος ύστερα από χρόνο t=2 s.

δ) τη δυναμική ενέργεια του σώματος τη χρονική στιγμή t=1s,αν η μάζα του είναι 2 kg.

ΛΥΣΗ

α) Από την θεωρία γνωρίζουμε ότι ο χρόνος κίνησης του σώματος της οριζόντιας βολής είναι:

t=√2·hg                    ή

Με απλή αντικατάσταση έχουμε:


t=√2·hg                   ή


t=√2·4510





                 ή

t=3 s

Άρα ο χρόνος που χρειάζεται το σώμα να φτάσει στο έδαφος είναι t=3 s.
Επίσης από την θεωρία γνωρίζουμε ότι η οριζόντια απόσταση του σώματος της οριζόντιας βολής,δηλαδή το βεληνεκές της οριζόντιας βολής είναι:

xmax=υo·t  

Με απλή αντικατάσταση έχουμε:

xmax=υo·t                  ή

xmax=30·3                 ή

xmax=90 m

Άρα το βεληνεκές της οριζόντιας βολής είναι xmax=90 m.

β)  Για να υπολογίσουμε το μέτρο της ταχύτητας με την οποία το σώμα φτάνει στο έδαφος θα πρέπει να βρούμε το μέτρο των συνιστωσών της ταχύτητας υ→ ,δηλαδή το μέτρο των ταχυτήτων  υ→_x και  υ→_y.

Έτσι το μέτρο της ταχύτητας  υ→_x είναι:

υx=υο                               ή
 υx=30 m/s

Επίσης το μέτρο της ταχύτητας  υ→_y είναι:

υy=g·t                       ή

υy=10·3                    ή

υy=30 m/s

Άρα έχουμε:

υ→=υ→_x+υ→_y

υ=(υ²x+υ²y)^1/2

υ=(30²+30²)^1/2

υ=30·√2 m/s

Άρα το μέτρο της ταχύτητας με την οποία το σώμα φτάνει στο έδαφος είναι υ=30·√2 m/s.
γ) Για να υπολογίσουμε τις τιμές της οριζόντιας και κατακόρυφης μετατόπισης του σώματος ύστερα από χρόνο t=2 s θα χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις τις οριζόντιας βολής:

υx=υ0
                                                    (Εξισώσεις οριζόντιας βολής στον άξονα Ox)

x = υ0·t

και 

υy=g·t

                                (Εξισώσεις οριζόντιας βολής στον άξονα Oy)

y=1/2·g·t²

Άρα με απλή αντικατάσταση έχουμε:

x=υo·t                  ή

x=30·2                 ή

x=60m

Άρα η οριζόντια μετατόπιση του σώματος ύστερα από χρόνο t=2s είναι x=60m.
Επίσης με απλή αντικατάσταση έχουμε:

y=1/2·g·t²            ή

y=1/2·10·2²

y=20 m 

Άρα η κατακόρυφη μετατόπιση του σώματος ύστερα από χρόνο t=2s είναι y=20 m.

δ) Η κατακόρυφη μετατόπιση του σώματος ύστερα από χρόνο t=1s είναι:

y=1/2·g·t²           ή

y=1/2·10·1²

y=5 m

Όμως ύστερα από χρόνο t=1s το σώμα θα βρίσκεται σε ύψος h'=h-y από την επιφάνεια του εδάφους
Άρα έχουμε:

h'=h-y                ή

h'=45-5              ή

h'=40 m

Συνεπώς η δυναμική ενέργεια του σώματος τη χρονική στιγμή t=1 s ισούται:

U=m·g·h'            ή

U=2·10·40          ή

U=800J

Άρα η δυναμική ενέργεια του σώματος τη χρονική στιγμή t=1s είναι U=800 J.

ΑΣΚΗΣΗ 6

Ας θεωρήσουμε ένα βομβαρδιστικό αεροπλάνο που κινείται σε ύψος hαπό το έδαφος με ταχύτητα υ₀.Η βόμβα βρίσκεται στο αεροπλάνο άρα τη στιγμή που αφήνεται να πέσει έχει την ίδια ταχύτητα με το αεροπλάνο. 

Ποιους παράγοντες πρέπει να λάβει υπόψη ο πιλότος ώστε η βόμβα να χτυπήσει το στόχο;Υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει αντίσταση του αέρα.

ΛΥΣΗ

Είναι προφανές ότι, οι παράγοντες που θα παίξουν καθοριστικό ρόλο,είναι το ύψος στο οποίο το αεροπλάνο πετά,η ταχύτητά του και η οριζόντια απόστασή του από το στόχο τη στιγμή που απελευθερώνει τη βόμβα.
Η κίνηση της βόμβας στον κατακόρυφο άξονα είναι ελεύθερη πτώση (υ=υ₀) και άρα ισχύει:

h=1/2·g·t²

Στην εξίσωση αυτή ο μόνος άγνωστος είναι ο χρόνος κατά τον οποίο κινείται η βόμβα.Επομένως μπορεί να προσδιοριστεί.Επιπλέον η βόμβα κινείται οριζόντια με κίνηση ευθύγραμμη ομαλή επί χρόνο t,όσο δηλαδή διαρκεί η ελεύθερη πτώση της.

Το οριζόντιο διάστημα που θα διανύσει η βόμβα,προσδιορίζεται από τη σχέση:

s=υ₀·t

όπου:

υ₀ η οριζόντια ταχύτητα της βόμβας,που είναι ίση με την ταχύτητα του αεροπλάνου τη στιγμή που αυτή απελευθερώνεται.

Άρα,για να συναντήσει η βόμβα το στόχο,το αεροπλάνο πρέπει να την απελευθερώσει,όταν απέχει απ' αυτόν οριζόντια απόσταση s=υ₀·t.

Τη χρονική στιγμή που η βόμβα βρίσκει το στόχο το αεροπλάνο βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφη (αεροπλάνο και βόμβα έχουν ίδια οριζόντια ταχύτητα άρα μετατοπίζονται το ίδιο στην οριζόντια διεύθυνση στον ίδιο χρόνο).

ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Ένας δίσκος ακτίνας R=20 cm περιστρέφεται ομαλά γύρω από τον κατακόρυφο άξονα zz',όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Αν η χρονική διάρκεια των 20 στροφών του δίσκου είναι 40 s,να βρείτε:
α) τη συχνότητα περιστροφής του δίσκου,
β) την περίοδο περιστροφής του δίσκου,
γ) τη γραμμική ταχύτητα των σημείων της περιφέρειας του δίσκου,
δ) τη κεντρομόλο επιτάχυνση των σημείων της περιφέρειας του δίσκου,
ε) τη γωνιακή ταχύτητα των σημείων του δίσκου.

ΛΥΣΗ

α) Η συχνότητα περιστροφής του δίσκου δίνεται από τον τύπο:

f=N/t

όπου Ν ο αριθμός των περιστροφών στον χρόνο t.
Όμως για χρόνο t=40 s έχουμε Ν=20 περιστροφές.
Άρα:

f=N/t               ή

f=20/40           ή

f=0,5 Hz   

Άρα η συχνότητα περιστροφής του δίσκου είναι f=0,5 Hz.
β) Η περίοδος Τ είναι ο χρόνος μίας περιόδου και συνδέεται με την συχνότητα με την σχέση:

Τ=1/f

Οπότε έχουμε:

Τ=1/f               ή

Τ=1/0,5           ή

Τ=2 s

Άρα η περίοδος περιστροφής του δίσκου είναι Τ=2 s.
γ) Το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας των σημείων της περιφέρειας του δίσκου δίνεται από τον τύπο:

υ=2·π·R/T

Οπότε έχουμε:

υ=2·π·R/Τ        ή

υ=2·π·0,2/2     ή

υ=π/5 m/s

Η διεύθυνση της είναι συνεχώς εφαπτόμενη στην τροχιά.
Άρα το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας των σημείων της περιφέρειας του δίσκου είναι υ=π/5 m/s με διεύθυνση συνεχώς εφαπτόμενη στην τροχιά.
δ) Η κεντρομόλος επιτάχυνση των σημείων της περιφέρειας του δίσκου δίνεται από τον τύπο:

ακ=υ²/R

Οπότε έχουμε:

ακ=υ²/R

ακ=(π/5)²/0,2

ακ=π²/5 m/s²

Η διεύθυνση της είναι η διεύθυνση της ακτίνας ενώ η φορά της προς το κέντρο του δίσκου.
Άρα η κεντρομόλο επιτάχυνση των σημείων της περιφέρειας του δίσκου έχει μέτρο ακ=π²/5 m/s² με διεύθυνση τη διεύθυνση της ακτίνας και φορά προς το κέντρο του δίσκου.
ε) Όλα τα σημεία του δίσκου,είτε βρίσκονται στην περιφέρεια του δίσκου είτε στο εσωτερικό του,έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω→.
Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ω→ είναι:

ω=2·π/Τ=2·π·f

Οπότε έχουμε:

ω=2·π·f

ω=2·π·0,5

ω=π rad/s

Άρα το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας  ω→    των σημείων του δίσκου είναι ω=π rad/s.

ΑΣΚΗΣΗ 2

Ένας αθλητής τρέχει με ταχύτητα σταθερού μέτρου σε κυκλικό στίβο με μήκος περιφέρειας 800m.Ο αθλητής κάνει μια περιφορά σε χρόνο 100 s.
Να βρείτε:
α) την περίοδο της κυκλικής του κίνησης,
β) την συχνότητα της κυκλικής του κίνησης,
γ) το σταθερό μέτρο της γραμμικής του ταχύτητας.

ΛΥΣΗ

α) Αφού ο αθλητής κάνει μια περιφορά σε χρόνο 120 s,η περίοδος του είναι Τ=100 s.
Άρα η περίοδος της κυκλικής κίνησης του αθλητή είναι Τ=100 s.
β) Η περίοδος Τ συνδέεται με την συχνότητα f με την σχέση:

Τ=1/f

Οπότε έχουμε:

Τ=1/f                      ή

f=1/T                      ή

f=1/100                  ή

f=0,01 Hz

Άρα η συχνότητα της κυκλικής κίνησης του αθλητή είναι f=0,01 Hz.
γ) Ο αθλητής εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση και σε χρόνο t=100s διανύει όλη την περιφέρεια του κυκλικού στίβου.Άρα διανύει διάστημα s=800m.
Ο τύπος του μέτρου της γραμμικής ταχύτητας είναι:

υ=s/t

Οπότε έχουμε:

υ=s/t                     ή

υ=800/100             ή

υ=8 m/s

Άρα το σταθερό μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του αθλητή είναι υ=8 m/s.

ΑΣΚΗΣΗ 3

Το άκρο (Α) του πτερυγίου ενός ανεμιστήρα στρέφεται με γραμμική ταχύτητα, 15m/s και η ακτίνα του έχει μήκος 60cm.

α) Να υπολογιστούν:η περίοδος,η συχνότητα και η γωνιακή ταχύτητα.

β) Να υπολογισθεί επίσης ποιο μήκος τόξου s θα έχει διανυθεί σε χρόνο ενός εκατοστού του δευτερολέπτου.

ΛΥΣΗ

α) Από τη σχέση:

υ=2·π·R/T

επιλύοντας ως προς την περίοδο Τ βρίσκουμε:

T=2·π·R/υ          ή

T=0,25s

Άρα η περίοδος της ομαλής κυκλικής κίνησης είναι T=0,25s.

Η σχέση μεταξύ συχνότητας και περιόδου είναι:

f=1/Τ

Αντικαθιστώντας την περίοδο Τ με την τιμή της,βρίσκουμε την τιμή της συχνότητας.

f =1/0,25

f=4 Hz

Άρα η συχνότητα της ομαλής κυκλικής κίνησης είναι f=4 Hz.

Η γωνιακή ταχύτητα υπολογίζεται από τη σχέση: 

ω=2·π·f 

από την οποία με αντικατάσταση έχουμε:

ω=6,28·4 rad/s           ή     

ω=25,12 rad/s

Άρα η γωνιακή ταχύτητα της ομαλής κυκλικής κίνησης είναι ω=25,12 rad/s.

β) Το μήκος του τόξου που θα διανυθεί σε χρόνο t=0,01 s θα υπολογιστεί από τη σχέση: 

s=υ·t

Με αντικατάσταση έχουμε:

s=15·0,01 m              ή     

s=0,15 m

Άρα το μήκος τόξου που θα έχει διανυθεί σε χρόνο ενός εκατοστού του δευτερολέπτου είναι s=0,15m.

ΚΕΝΤΡΟΜΟΛΟΣ ΔΥΝΑΜΗ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Ένα σώμα μάζας 1kg διαγράφει κατακόρυφο κύκλο δεμένο στο άκρο νήματος μήκους 1m.Τη στιγμή που περνάει από το χαμηλότερο σημείο της τροχιάς του, έχει ταχύτητα μέτρου 10m/s. 

Να περιγράψετε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα στη θέση αυτή και να υπολογίστε τα μέτρα τους.

Δίνεται g=10 m/s².

ΛΥΣΗ

Οι δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα είναι το βάρος και η τάση του νήµατος.

Το βάρος του σώματος ισούται:

Β=m·g=1·10 N=10 N

Άρα το βάρος του σώματος είναι Β=10 N.

Επειδή το σώµα εκτελεί κυκλική κίνηση ισχύει:

ΣF=Fκ=m·υ²/R         ή

Τ-Β=m·υ²/R             ή        

Τ=mg+m·υ²/R         ή

Τ=10+1·10²/1         ή

Τ=110 Ν

Άρα η τάση του νήματος είναι Τ=110 Ν.

ΑΣΚΗΣΗ 2

Μια μικρή σφαίρα εκτελεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο ομαλή κυκλική κίνηση ακτίνας R=20cm,δεμένη στο ελεύθερο άκρο ενός δυναμόμετρου.Η σφαίρα εκτελεί 8 κύκλους σε χρόνο 16 s και το δυναμόμετρο δείχνει διαρκώς 5 Ν.

Να υπολογίσετε:

α) τη συχνότητα περιφοράς f,

β) τη γραμμική ταχύτητα  υ της σφαίρας,

γ) τη μάζα m της σφαίρας.

ΛΥΣΗ

α) Η σφαίρα κάνει 8 κύκλους σε χρόνο 16 s.

Άρα η συχνότητα περιφοράς της είναι:

f =N/t 

Με απλή αντικατάσταση έχουμε:

 f=N/t                ή

f=8/16               ή

f=0,5 Hz

Άρα η συχνότητα περιφοράς της σφαίρας είναι f=0,5 Hz.
β) Στην ομαλή κυκλική κίνηση ισχύουν οι σχέσεις:

υ=ω·R                

και

ω =2·π/T 

Άρα έχουμε:

υ=2·π·R·f              ή

υ=2·π·0,2·0,5        ή  

υ=0,2π m/s

Άρα η γραμμική ταχύτητα της σφαίρας είναι υ=0,2π m/s.
γ)Η σφαίρα εκτελεί κυκλική κίνηση και στη διεύθυνση της ακτίνας της κυκλικής τροχιάς ασκείται σε αυτή μόνο η δύναμη   F από το δυναμόμετρο,που το μέτρο της είναι η ένδειξη του δυναμομέτρου.

Άρα έχουμε:

ΣF=F

Η ΣF αποτελεί την απαραίτητη κεντρομόλο δύναμη.
Άρα:

ΣF=Fκ=m·υ²/R

m=F·R/υ²

m=5·0,2/(0,2·π)²

m=25/π² kg

Άρα η μάζα της σφαίρας είναι m=25/π² kg.

ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΕΝΤΡΟΜΟΛΟΥ ΔΥΝΑΜΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Ένα I.Χ. αυτοκίνητο που μαζί με το φορτίο του έχει μάζα 1.800 kg κινείται στην εθνική οδό.Ξαφνικά ο οδηγός αντιλαμβάνεται ότι ο δρόμος έχει κλείσει από σταματημένα αυτοκίνητα και εφαρμόζει τα φρένα, με αποτέλεσμα οι τροχοί να μην περιστρέφονται.Τη στιγμή που ενεργοποιούνται,η απόσταση του αυτοκινήτου από το εμπόδιο είναι 150 m.O συντελεστής τριβής μεταξύ των τροχών και του εδάφους είναι 0,2.Av τη στιγμή που ο οδηγός εφαρμόζει τα φρένα η ταχύτητα του οχήματος είναι: 

α) 144 km/h 

β) 108 km/h 

γ) 72 km/h, 

να βρεθεί σε κάθε περίπτωση αν το όχημα θα πέσει επάνω στα σταματημένα αυτοκίνητα.

ΛΥΣΗ

Κατά τον κατακόρυφο άξονα ασκείται η αντίδραση N που είναι δύναμη από επαφή. Στο αυτοκίνητο ασκείται και το βάρος B που είναι δύναμη από απόσταση.

H μόνη δύναμη που ασκείται στη διεύθυνση της κίνησης και επιβραδύνει το όχημα είναι η τριβή Τ.

Σύμφωνα με το θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής έχουμε:

T=m·α

Επειδή

T=μ·N     

και     

N=B

προκύπτει ότι:

μ·m·g=m·α                             ή

α=g·μ

Από τη σχέση αυτή φαίνεται ότι η επιβράδυνση είναι σταθερή επειδή ο συντελεστής τριβής είναι σταθερός.

Θα ισχύουν οι σχέσεις της ομαλά επιβραδυνόμενης κίνησης,δηλαδή:

x=υ₀·t-1/2·α·t²                         (1)

υ=υ₀-α·t                               (2)

Όταν το όχημα σταματήσει (υ=0) τότε από τη σχέση (2) έχουμε:

υ₀=α·t                                   ή     

t=υ₀/α

Με αντικατάσταση του χρόνου αυτού στη σχέση (1) προκύπτει το μέγιστο διάστημα x_max.

x_max=υ₀²/2g·μ

Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι η ζητούμενη απόσταση είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας τη στιγμή που ο οδηγός εφαρμόζει τα φρένα και αντιστρόφως ανάλογη του συντελεστή τριβής ολίσθησης.
α)Για υ₀ = 144 km/h= 40 m/s.

Με αντικατάσταση προκύπτει:

x_max=(40²/2)·10·0,2 m         ή     

x_max=400 m

Άρα επειδή τα σταματημένα οχήματα είναι σε απόσταση 150m το I.Χ. αυτοκίνητο θα πέσει επάνω τους,και δεν μπορεί να αποφύγει τη σύγκρουση. 
β) Για υ₀=108 km/h=30 m/s το απαιτούμενο διάστημα για να σταματήσει το I.Χ. αυτοκίνητο είναι:

x_max=225 m

Άρα και στην περίπτωση αυτή δε θα αποφευχθεί η σύγκρουση.
γ) υ₀=72 km/h=20 m/s. 

Με αντικατάσταση προκύπτει: 

x_max=(400/2)·10·0,2=100 m

Στην περίπτωση αυτή το I.Χ. αυτοκίνητο θα σταματήσει 50m από τα σταματημένα οχήματα.
Από τις περιπτώσεις α και γ προκύπτει ότι,όταν η ταχύτητα είναι διπλάσια (από 72 km/h έγινε 144 km/h) το αντίστοιχο διάστημα που απαιτείται για να σταματήσει το όχημα είναι τετραπλάσιο.

ΑΣΚΗΣΗ 2

Ένα I.Χ. αυτοκίνητο μάζας 1.800 kg,πρόκειται να πάρει στροφή ακτίνας 100m σε οριζόντιο δρόμο. 

Πόση πρέπει να είναι η μέγιστη ταχύτητά του για να περάσει τη στροφή με ασφάλεια;
Δίνεται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μ=0,2.

ΛΥΣΗ

Στην προκειμένη περίπτωση, αν το όχημα γλιστρήσει θα φύγει προς τα έξω.
Συνεπώς η τριβή ως δύναμη που αντιστέκεται στην κίνηση θα έχει φορά προς το μέσα μέρος της στροφής.
Άρα θα ενεργεί ως κεντρομόλος δύναμη και θα ισχύει:

T=F_κ                                             ή

μ·m·g=m·υ²/R                               ή

υ²=μ·g·R                                       ή

υ=√μ·g·R

Αντικαθιστώντας τις τιμές των μ,g,R έχουμε:

υ=√0,2·10·100 m/s                        ή

υ=10√2 m/s                                  ή

υ=14,1 m/s                                   ή

υ=50,8 km/h.

Άρα η μέγιστη ταχύτητά του αυτοκινήτου για να περάσει τη στροφή με ασφάλεια θα πρέπει να είναι υ=50,8 km/h. 
Tι θα συμβεί αν ο οδηγός θελήσει να περάσει τη στροφή με ταχύτητα μεγαλύτερη από την ευρεθείσα;
Είναι προφανές,ότι η απαιτούμενη κεντρομόλος δύναμη για να πάρει τη στροφή το όχημα θα είναι μεγαλύτερη.Συνεπώς θα απαιτηθεί μεγαλύτερη τριβή από την T=μ·m·g.Επειδή αυτό δεν συμβαίνει,το αυτοκίνητο θα φύγει προς τα έξω στη στροφή.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΗ

ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Ένα σώμα βρίσκεται σε ύψος h πάνω από το έδαφος και βάλλεται οριζόντια με ταχύτητα υ0=80 m/s.Αν το σώμα φτάνει στο έδαφος σε χρόνο t=6 s,να βρείτε:

α) το ύψος h.

β) το μέτρο της ταχύτητας με την οποία το σώμα φτάνει στο έδαφος.

γ) τη γωνιακή εκτροπή του σώματος τη χρονική στιγμή t=4 s.

δ) την οριζόντια μετατόπιση του σώματος,όταν η κατακόρυφη μετατόπιση είναι y=20 m.

Δίνεται g=10 m/s².

ΛΥΣΗ

α) 180 m, 

β) 100 m/s, 

γ) εφφ=1/2,

δ) 160 m.

ΑΣΚΗΣΗ 2

Σώμα μάζας 4 kg εκτελεί οριζόντια βολή από ύψος h με αρχική ταχύτητα υ0=9 m/s και φτάνει στο έδαφος με ταχύτητα υεδ=15 m/s.
Αν g=10 m/s²,να υπολογίσετε:

α) το χρόνο κίνησης μέχρι το έδαφος.

β) το ύψος h.

γ) το βεληνεκές της βολής.

δ) τη μηχανική ενέργεια του σώματος στο σημείο βολής.

ΛΥΣΗ

α) 1,2 s, 

β) 7,2 m, 

γ) 10,8 m, 

δ) 450 J.

ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Σώμα κινείται σε περιφέρεια κύκλου με σταθερή κατά μέτρο ταχύτητα υ=12 m/s,για χρόνο t=4 s.Αν η συχνότητα περιστροφής του είναι f=2/π Hz,να υπολογιστούν:

α) η περίοδος της κίνησης.

β) η ακτίνα της κίνησης.

γ) η γωνία περιστροφής και το μήκος τόξου που διένυσε το σώμα στο χρόνο των 4s.

ΛΥΣΗ

α) π/2 s

β) 3 m 

γ) 16 rad,48 m

ΑΣΚΗΣΗ 2

Ένα σώμα εκτελεί Ομαλή Κυκλική κίνηση,με γωνιακή ταχύτητα ω=10π rad/s (όπου π=3,14) και ακτίνα R=0,5 m. 

Να βρεθούν:

α) η περίοδος και η συχνότητα της κίνησης.

β) η γραμμική ταχύτητα περιστροφής.

γ) η γωνία περιστροφής όταν το μήκος τόξου που διένυσε το σώμα στο είναι 3m.

ΛΥΣΗ

α) 0,2 s, 5 Hz 

β) 5π m/s 

γ) 6π rad

ΑΣΚΗΣΗ 3

Σώμα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση με ταχύτητα 8π m/s (όπου π=3,14), διαγράφοντας 12 περιστροφές σε χρόνο 3 s.
Να βρεθούν:

α) η συχνότητα και η περίοδος της ομαλής κυκλικής κίνησης.

β) η ακτίνα της ομαλής κυκλικής κίνησης.

γ) η γωνία περιστροφής σε χρόνο t=2,5 s.

δ) ο αριθμός των περιστροφών που εκτελεί σε χρόνο 1min.

ΛΥΣΗ

α) 4 Hz,0,25 s 

β)  1 m 

γ) 20π rad 

δ) 240

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Από σημείο Ο,που βρίσκεται σε ύψος Η=160 m από το έδαφος,ρίχνεται οριζόντια σώμα με αρχική ταχύτητα υ0=15 m/s.Η εκτόξευση γίνεται τη χρονική στιγμή t=0,ενώ τη χρονική στιγμή t το σώμα περνάει από το σημείο Α που βρίσκεται σε ύψος h=80 m από το έδαφος.
Να βρείτε:

α) τη χρονική στιγμή t.
β) την απόσταση του σημείου Α από το σημείο βολής ΟΗ αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα και g=10 m/s².

ΑΣΚΗΣΗ 2

Ένα παιδί πετά οριζόντια μια μπάλα με ταχύτητα υ0=10 m/s από ύψος h=1,8 m.Σε ποιο σημείο θα χτυπήσει η μπάλα στον τοίχο,αν η απόστασή του από το παιδί είναι d=4 m;

ΑΣΚΗΣΗ 3

Σώμα ρίχνεται με οριζόντια ταχύτητα υ0=20 m/s από ύψος h=180 m από το έδαφος.
Να βρείτε:
α) σε πόσο χρόνο θα φτάσει το σώμα στο έδαφος.
β) ποια είναι η μέγιστη οριζόντια μετατόπισή του.
γ) την ταχύτητα με την οποία φτάνει. 

ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Δύο σώματα (1) και (2) εκτελούν ομαλή κυκλική κίνηση σε κυκλικές τροχιές που εφάπτονται και έχουν ακτίνες R1=0,2 m και R2=0,1 m αντίστοιχα. 

Αν γραμμικές ταχύτητες των σωμάτων είναι υ1=5 m/s και υ2=2 m/s αντίστοιχα,να βρείτε:

α) πόσες περιστροφές έχει εκτελέσει καθένα από τα δύο σώματα στο χρόνο μεταξύ δύο διαδοχικών συναντήσεων τους.
β) το χρόνο μεταξύ δύο διαδοχικών συναντήσεων των σωμάτων.

ΑΣΚΗΣΗ 2

Σώμα μάζας m=2 kg εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, δεμένο στο άκρο νήματος μήκους d=1 m,το άλλο άκρο του  οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο, όπως φαίνεται στο σχήμα, και σχηματίζει γωνία φ=60º με την κατακόρυφο.

α) Να βρείτε την περίοδο της κυκλικής κίνησης.

β) Να βρείτε την ακτίνα R της κυκλικής τροχιάς.

γ) Ποιο είναι το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας;

ΑΣΚΗΣΗ 3

Σώμα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση και τη χρονική στιγμή t=0 διέρχεται από ένα σημείο Α της τροχιάς του.Αν τη χρονική στιγμή t1=4π s διέρχεται από ένα σημείο Β της τροχιάς του έχοντας για πρώτη φορά αντίθετη γραμμική ταχύτητα από αυτή που είχε στο σημείο Α και το μήκος του τόξου που διένυσε είναι S=4π m,να βρείτε:

α) την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς.

β) το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του σώματος.

γ) την περίοδο της κυκλικής κίνησης.

δ) το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του σώματος.

ΑΣΚΗΣΗ 4

Η ράβδος περιστρέφεται γύρω από άξονα κάθετο στη ράβδο και που διέρχεται από το σημείο Γ,με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. 

Να συγκρίνεται την γραμμική ταχύτητα και την γωνιακή ταχύτητα των σημείων Α και Β.

ΑΣΚΗΣΗ 5

Τα γρανάζια Α και Β είναι συζευγμένα,η ακτίνα του Α είναι ίση με τα 3/5 της ακτίνας του Β. 

α) Να συγκρίνεται τις γωνιακές τους ταχύτητες.Αν η ακτίνα του Α είναι 18 cm και η γωνιακή ταχύτητα του ταχύτητα 2 rad/s

β)  Ποια η γωνιακή ταχύτητα του Β.

γ) Πόση είναι η ταχύτητα των σημείων που βρίσκονται στην περιφέρεια των γραναζιών.

ΑΣΚΗΣΗ 6

Σώμα κινείται σε κυκλική τροχιά,η επίκεντρη γωνιά του σώματος αλλάζει όπως δείχνει η γραφική παράσταση.

α) να υπολογίσετε την γωνιακή ταχύτητα του σώματος 

β) να σχεδιάσετε το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας.

ΑΣΚΗΣΗ 7

Ένα σώμα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση και έχει γραμμική ταχύτητα υ=4π m/s, σε περιφέρεια κύκλου ακτίνας R=2 m.Τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα βρίσκεται στο σημείο Α και μεταβαίνει στο σημείο Γ,αφού έχει διαγράψει τόξο γωνίας φ=π/6 rad.Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή που θα βρεθεί το σώμα στο σημείο Δ,στο οποίο η γραμμική του ταχύτητα είναι αντίθετη από αυτή που έχει στο σημείο Γ.

ΑΣΚΗΣΗ 8

Ένα σώμα μάζας m=1 kg είναι δεμένο στο άκρο νήματος μήκους l=0,8 m και περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, εκτελώντας ομαλή κυκλική κίνηση με γραμμική ταχύτητα μέτρου υ=4 m/s.
Να υπολογίσετε:

α) την τάση του νήματος, όταν το σώμα βρίσκεται στο ανώτατο σημείο της τροχιάς του.

β) την τάση του νήματος, όταν το σώμα βρίσκεται στο κατώτερο σημείο της τροχιάς του.

Δίνεται g=10 m/s².

ΑΣΚΗΣΗ 9

Δύο σώματα εκτελούν ομαλή κυκλική κίνηση σε κυκλικές τροχιές που εφάπτονται και έχουν ακτίνες R1=0,2 m και R2=0,1 m αντίστοιχα.Αν γραμμικές ταχύτητες των σωμάτων είναι υ1=5 m/s και υ2=2 m/s αντίστοιχα,να βρείτε:

α) πόσες περιστροφές έχει εκτελέσει καθένα από τα δύο σώματα στο χρόνο μεταξύ δύο διαδοχικών συναντήσεων τους.

β) το χρόνο μεταξύ δύο διαδοχικών συναντήσεων των σωμάτων.

ΑΣΚΗΣΗ 10

Ένα σώμα μάζας m=2kg εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση,δεμένο στο άκρο νήματος μήκους l=1m,το άλλο άκρο του  οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο και σχηματίζει γωνία φ=60º με την κατακόρυφο.

α) Να βρείτε την περίοδο της κυκλικής κίνησης.

β) Να βρείτε την ακτίνα R της κυκλικής τροχιάς.

γ) Ποιο είναι το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας;

ΑΣΚΗΣΗ 11

Ένα σώμα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε περιφέρεια κύκλου ακτίνας R.Αν η γραμμική ταχύτητα του σώματος είναι υ=2π m/s και σε χρόνο Δt=1/12s το σώμα έχει διαγράψει επίκεντρη γωνία 30º,να βρείτε:

α) το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του σώματος.

β) την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς.

ΑΣΚΗΣΗ 12

Ένα σώμα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση και τη χρονική στιγμή t=0 διέρχεται από ένα σημείο Α της τροχιάς του.Αν τη χρονική στιγμή t1=4s διέρχεται από ένα σημείο Β της τροχιάς του έχοντας για πρώτη φορά αντίθετη γραμμική ταχύτητα από αυτή που είχε στο σημείο Α και το μήκος του τόξου που διένυσε είναι S=0,2m,να βρείτε:

α) την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς.

β) το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του σώματος.

γ) την περίοδο της κυκλικής κίνησης.

δ) το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του σώματος.

ΑΣΚΗΣΗ 13

Σώμα μάζας m=1 kg είναι δεμένο στο άκρο νήματος μήκους r=80cm και περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο,εκτελώντας ομαλή κυκλική κίνηση με ταχύτητα μέτρου υ=4 m/s.

Να υπολογίσετε:

α) την τάση του νήματος,όταν το σώμα βρίσκεται στο ανώτατο σημείο της τροχιάς του.

β) την τάση του νήματος,όταν το σώμα βρίσκεται στο κατώτερο σημείο της τροχιάς του.

Δίνεται g=10 m/s².

ΑΣΚΗΣΗ 14

Σώμα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση με γραμμική ταχύτητα υ=2π m/s,σε περιφέρεια κύκλου ακτίνας R=1 m.Τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα βρίσκεται στο σημείο Α και μεταβαίνει στο σημείο Γ,αφού διαγράψει τόξο γωνίας φ=π/6 rad.
Ποια χρονική στιγμή θα βρεθεί το σώμα στο σημείο Δ,στο οποίο η γραμμική του ταχύτητα είναι αντίθετη από αυτή που έχει στο σημείο Γ;

ΑΣΚΗΣΗ 15

Σώμα μάζας m=1 kg είναι δεμένο στο άκρο νήματος μήκους r=80cm και περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, εκτελώντας ομαλή κυκλική κίνηση με ταχύτητα μέτρου υ=4 m/s.
Να υπολογίσετε:

α) την τάση του νήματος, όταν το σώμα βρίσκεται στο ανώτατο σημείο της τροχιάς του.

β) την τάση του νήματος, όταν το σώμα βρίσκεται στο κατώτερο σημείο της τροχιάς του.
Δίνεται g=10 m/s².

ΑΣΚΗΣΗ 16

Σώμα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε περιφέρεια κύκλου ακτίνας R.Αν η γραμμική ταχύτητα του σώματος είναι υ=2π m/s και σε χρόνο Δt=1/12 s το σώμα έχει διαγράψει επίκεντρη γωνία 30°,να βρείτε:

α) το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του σώματος.

β) την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς.

ΑΣΚΗΣΗ 17

Σώμα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση και τη χρονική στιγμή t=0 διέρχεται από ένα σημείο Α της τροχιάς του.Αν τη χρονική στιγμή t1=4 s διέρχεται από ένα σημείο Β της τροχιάς του έχοντας για πρώτη φορά αντίθετη γραμμική ταχύτητα από αυτή που είχε στο σημείο Α και το μήκος του τόξου που διένυσε είναι S=0,2 m,να βρείτε:

α) την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς.

β) το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του σώματος(γ) την περίοδο της κυκλικής κίνησης.

γ) το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του σώματος.

ΑΣΚΗΣΗ 18

Κινητό κινείται σε περιφέρεια κύκλου ακτίνας 40 m με ταχύτητα μέτρου 4 m/s. 

α) Ποια είναι η περίοδος και ποια η συχνότητά του; 

β) Πόσο είναι το μήκος του τόξου που διαγράφει σε 20 s και πόση είναι η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία σε rad και σε μοίρες;

ΑΣΚΗΣΗ 19

Ένα σώμα κάνει ομαλή κυκλική κίνηση ακτίνας R=1 m με ταχύτητα υ=2π m/s. Συμπληρώστε τα κενά.Η περίοδος περιστροφής του σώματος είναι ……………… Η γωνιακή ταχύτητα του είναι ……………………………

ΑΣΚΗΣΗ 20

Από ένα σημείο Α ενός κύκλου ξεκινούν ταυτόχρονα δύο κινητά που κινούνται δεξιόστροφα, διαγράφοντας το πρώτο 45° το δευτερόλεπτο και το δεύτερο 30° το δευτερόλεπτο.
α) Ποιες οι γωνιακές ταχύτητες των κινητών;
β) Πότε θα ξανασυναντηθούν τα δύο σώματα;
γ) Πόση γωνία θα έχει διαγράψει στο μεταξύ, κάθε κινητό;

ΑΣΚΗΣΗ 21 

Δρομέας μάζας m=60 kg κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας R=30 m με ταχύτητα σταθερού μέτρου υ=2 m/s.
Να υπολογιστούν:
α) Η κεντρομόλος δύναμη που δέχεται.
β) Η περίοδος της κυκλικής τροχιάς.
γ) Η κεντρομόλος επιτάχυνση.
δ) Η γωνιακή ταχύτητα.

ΑΣΚΗΣΗ 22

Σώμα μάζας m=1 kg είναι δεμένο σε σχοινί μήκους l=1 m και διαγράφει κατακόρυφο κύκλο με σταθερή κατά μέτρο γωνιακή ταχύτητα ω=10 rad/s.

α) Πόση είναι η γραμμική ταχύτητα του σώματος;                

β) Πόση είναι η τάση του νήματος όταν το σώμα περνάει από :

1) Το κατώτερο σημείο της τροχιάς.                                     

2) Από το ανώτερο σημείο της τροχιάς.                               

3) Από εκείνο το σημείο στο οποίο το νήμα είναι οριζόντιο. 

Δίνεται g=10m/s². 

ΑΣΚΗΣΗ 23

Ένα κινητό κάνει ομαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας R=10 m.Το κινητό για να κάνει μια περιστροφή χρειάζεται χρόνο t=5 s.
Να βρεθούν: 

α) Η περίοδος Τ, 

β) Η συχνότητα f, 

γ) Η γραμμική ταχύτητα υ, 

δ) Η γωνιακή συχνότητα ω.

ΑΣΚΗΣΗ 24

Ένα κινητό κάνει ομαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας R=20 m και σε χρόνο 120sec κάνει 600 περιστροφές.
Να βρεθούν: 

α) Η περίοδος Τ, 

β) Η συχνότητα f, 
γ) Η γραμμική ταχύτητα υ, 
δ) Η γωνιακή συχνότητα ω.

ΑΣΚΗΣΗ 25

Ένα κινητό κάνει ομαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας R=5 m.Αν ω=31,4 rad/sec,να βρεθούν:

α) Η περίοδος Τ, 
β) Η συχνότητα f, 
γ) Η γραμμική ταχύτητα υ, 

ΑΣΚΗΣΗ 26

Eνα κινητό κάνει ομαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας R=5 m.Αν υ=157 m/sec,να βρεθούν: 

α) Η περίοδος Τ, 

β) Η συχνότητα f, 

γ) Η γωνιακή συχνότητα ω.

ΑΣΚΗΣΗ 27

Ένα κινητό κάνει ομαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας R.Αν ω=31,4 rad/sec και υ=157 m/s,να βρεθούν:R,f,Τ.

α) Η περίοδος Τ, 
β) Η συχνότητα f, 
γ) Η ακτίνα R.

ΑΣΚΗΣΗ 28

Ένα κινητό κάνει ομαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας R=5 cm.Το κινητό κάνει το 1/4 μιας περιστροφής σε χρόνο t=1 sec.

Να βρεθούν: 

α) Η περίοδος Τ, 
β) Η συχνότητα f, 
γ) Η γραμμική ταχύτητα υ, 
δ) Η γωνιακή συχνότητα ω.

ΑΣΚΗΣΗ 29

Από σημείο Α περιφέρειας κύκλου ακτίνας R=2m ξεκινoύν ταυτόχρονα δυο κινητά,που αρχίζουν να κάνουν ομαλή κυκλική κίνηση με ταχύτητες υ1=2,5 m/sec και υ2=1 m/sec.

Να βρείτε σε πόσο χρόνο θα συναντηθούν αν:

α) κινούνται προς την ίδια φορά και 

β) κινούνται αντίθετα.

ΑΣΚΗΣΗ 30

Σώμα μάζας m=2 Kg εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας R=0,2 m και σε χρόνο t=2π s εκτελεί δύο περιστροφές.
Να βρείτε: 

α) τη συχνότητα της κίνησης 

β) την περίοδο της κίνησης 

γ) τη γραμμική ταχύτητα

δ) τη γωνιακή ταχύτητα 

ε) την κεντρομόλο επιτάχυνση 

ζ) την κεντρομόλο δύναμη

ΑΣΚΗΣΗ 31

Σώμα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας R=0,4 m και σε χρόνο t=4π s εκτελεί τέσσερις περιστροφές.
Να βρείτε: 

α) την περίοδο της κίνησης, 

β) τη γραμμική ταχύτητα, 

γ) τη γωνιακή ταχύτητα, 

δ) την κεντρομόλο επιτάχυνση, 

ε) την επιτάχυνση ενός άλλου κινητού το οποίο είναι αρχικά ακίνητο σε σημείο Α της περιφέρειας του κύκλου και το οποίο κινούμενο πάνω στη διάμετρο ΑΒ του κύκλου και με την επίδραση σταθερής δύναμης,συναντιέται με το κινητό που κινείται κυκλικά στο σημείο Β της διαμέτρου,όταν αυτό (το κινούμενο κυκλικά),περνάει από το σημείο Β για τρίτη φορά.

ΑΣΚΗΣΗ 32

Σώμα μάζας m=2 Kg εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας R=2 m με γωνιακή ταχύτητα ω=2 rad/s.
Να βρείτε: 

α) την συχνότητα της κίνησης και την περίοδο της κίνησης 

β) τη γραμμική ταχύτητα.

γ) την κεντρομόλο επιτάχυνση. 

δ) την κεντρομόλο δύναμη. 

ε) τη γωνία που διαγράφει η επιβατική ακτίνα σε χρόνο t1=4π s.

ζ) τον αριθμό των περιστροφών του κινητού όταν το κινητό έχει διαγράψει γωνία θ=10π rad.

ΑΣΚΗΣΗ 33

Σώμα μάζας m=1 Kg εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας R=2m με γραμμική ταχύτητα υ=4 m/s.
Να βρείτε: 

α) την συχνότητα της κίνησης και την περίοδο της κίνησης 

β) τη γωνιακή ταχύτητα

γ) την κεντρομόλο επιτάχυνση 

δ) την κεντρομόλο δύναμη 

ε) τη γωνία που διαγράφει η επιβατική ακτίνα σε χρόνο t1=8π s

ζ) τον αριθμό των περιστροφών του κινητού όταν το κινητό έχει διαγράψει γωνία θ=20π rad

ΑΣΚΗΣΗ 34

Ένα κινητό κάνει ομαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας R=10 m.Το κινητό για να κάνει μια περιστροφή χρειάζεται χρόνο t=5 sec.
Να βρεθούν:
α) η περίοδο της κίνησης,
β) η συχνότητα της κίνησης,
γ) η γραμμική ταχύτητα.
δ) η γωνιακή ταχύτητα.

ΑΣΚΗΣΗ 35

Ένα κινητό κάνει ομαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας R=20 m και σε χρόνο 120 sec κάνει 600 περιστροφές.
Να βρεθούν:
α) η περίοδο της κίνησης,
β) η συχνότητα της κίνησης,
γ) η γραμμική ταχύτητα.
δ) η γωνιακή ταχύτητα.

ΑΣΚΗΣΗ 36

Ένα κινητό κάνει ομαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας R=5 m.Αν ω=31,4 rad/sec,να βρεθούν:
α) η περίοδο της κίνησης,
β) η συχνότητα της κίνησης,
γ) η γραμμική ταχύτητα.

ΑΣΚΗΣΗ 37

Ένα κινητό κάνει ομαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας R=5 m.Αν υ=157 m/sec, να βρεθούν:
α) η περίοδο της κίνησης,
β) η συχνότητα της κίνησης,
γ) η γωνιακή ταχύτητα

ΑΣΚΗΣΗ 38

Ένα κινητό κάνει ομαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας R.Αν ω=31,4 rad/sec και υ=157 m/sec,να βρεθούν:
α) η περίοδο της κίνησης,
β) η συχνότητα της κίνησης,
γ) η ακτίνα του κύκλου.

ΑΣΚΗΣΗ 39

Ένα κινητό κάνε ομαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας R=5 cm.Το κινητό κάνει το 1/4 μιας περιστροφής σε χρόνο t=1 s.
Να βρεθούν:
α) η περίοδο της κίνησης,
β) η συχνότητα της κίνησης,
γ) η γραμμική ταχύτητα.
δ) η γωνιακή ταχύτητα.

ΑΣΚΗΣΗ 40

Από σημείο Α περιφέρειας κύκλου ακτίνας R=2 m ξεκινoύν ταυτόχρονα δυο κινητά,που αρχίζουν να κάνουν ομαλή κυκλική κίνηση με ταχύτητες υ1=2,5 m/sec και υ2=1 m/s.
Να βρείτε σε πόσο χρόνο θα συναντηθούν αν:
α) κινούνται προς την ίδια φορά και
β) κινούνται αντίθετα.

ΑΣΚΗΣΗ 41

Σώμα μάζας m=2 Kg εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας R=0,2 m και σε χρόνο t=2π s εκτελεί δύο περιστροφές.
Να βρείτε:
α) τη συχνότητα της κίνησης,
β) την περίοδο της κίνησης,
γ) τη γραμμική ταχύτητα
δ) τη γωνιακή ταχύτητα,
ε) την κεντρομόλο επιτάχυνση,
ζ) την κεντρομόλο δύναμη.

ΑΣΚΗΣΗ 42

Σώμα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας R=0,4 m και σε χρόνο t=4π s εκτελεί τέσσερις περιστροφές.
Να βρείτε:
α) την περίοδο της κίνησης,
β) τη γραμμική ταχύτητα,
γ) τη γωνιακή ταχύτητα,
δ) την κεντρομόλο επιτάχυνση,
ε) την επιτάχυνση ενός άλλου κινητού το οποίο είναι αρχικά ακίνητο σε σημείο Α της περιφέρειας του κύκλου και το οποίο κινούμενο πάνω στη διάμετρο ΑΒ του κύκλου και με την επίδραση σταθερής δύναμης,συναντιέται με το κινητό που κινείται κυκλικά στο σημείο Β της διαμέτρου,όταν αυτό (το κινούμενο κυκλικά), περνάει από το σημείο Β για τρίτη φορά.

ΑΣΚΗΣΗ 43

Σώμα μάζας m=2 Kg εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας R=2m με γωνιακή ταχύτητα ω=2 rad/s.
Να βρείτε:
α) την συχνότητα της κίνησης και την περίοδο της κίνησης,
β) τη γραμμική ταχύτητα,
γ) την κεντρομόλο επιτάχυνση,
δ) την κεντρομόλο δύναμη,
ε) τη γωνία που διαγράφει η επιβατική ακτίνα σε χρόνο t1=4π s,
στ)  τον αριθμό των περιστροφών του κινητού όταν το κινητό έχει διαγράψει γωνία θ=10π rad.

ΑΣΚΗΣΗ 44

Σώμα μάζας m=1 Kg εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας R=2 m με γραμμική ταχύτητα υ=4 m/s.
Να βρείτε:
α) την συχνότητα της κίνησης και την περίοδο της κίνησης,
β) τη γωνιακή ταχύτητα,
γ) την κεντρομόλο επιτάχυνση,
δ) την κεντρομόλο δύναμη,
ε) τη γωνία που διαγράφει η επιβατική ακτίνα σε χρόνο t1 = 8π s,
στ) τον αριθμό των περιστροφών του κινητού όταν το κινητό έχει διαγράψει γωνία θ=20π rad.

ΑΣΚΗΣΗ 45

Σώμα μάζας m=2 Kg εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας R=2 m και σε χρόνο t=2π s εκτελεί δύο περιστροφές.
Να βρείτε:
α) την συχνότητα της κίνησης και την περίοδο της κίνησης,
β) τη γραμμική ταχύτητα,
γ) τη γωνιακή ταχύτητα,
δ) την κεντρομόλο επιτάχυνση,
ε) την κεντρομόλο δύναμη,
στ) τη γωνία που διαγράφει η επιβατική ακτίνα σε χρόνο t1=10π s,
ζ)  τον αριθμό των περιστροφών του κινητού όταν το κινητό έχει διαγράψει γωνία θ=10π rad.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Ένας αστροναύτης βρίσκεται στη Σελήνη,και αφήνει ένα σώμα από ύψος 7,2 m που φτάνει στο έδαφος μετά από 3 s.

α) Πόση είναι η επιτάχυνση βαρύτητας στη Σελήνη;

β) Αν ο αστροναύτης πετάξει το σώμα οριζόντια με ταχύτητα 12 m/s από το ίδιο ύψος,

i) Πόσος χρόνος χρειάζεται μέχρι να φτάσει το σώμα στο έδαφος;

ii) Πόση οριζόντια απόσταση θα διανύσει μέχρι να φτάσει στο έδαφος;

ΑΣΚΗΣΗ 2

Ένα αεροπλάνο πετά οριζόντια σε ύψος h=500 m με ταχύτητα 150 m/s και αφήνει μία βόμβα.

α) Να γράψετε τις εξισώσεις για την ταχύτητα και τη μετατόπιση που περιγράφουν την κίνηση της βόμβας.

β) Αν ο χρόνος πτώσης της βόμβας είναι 10 s,να υπολογίσετε την επιτάχυνση της βαρύτητας.

γ) Να βρείτε το σημείο που βρίσκεται το αεροπλάνο όταν η βόμβα φτάνει στο έδαφος.

ΑΣΚΗΣΗ 3

Ένα όχημα έχει λάστιχα διαμέτρου 0,8 m.
Βρείτε τη ταχύτητα και την κεντρομόλο επιτάχυνση ενός σημείου στο πέλμα του ελαστικού όταν το αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 35 m/s.

ΑΣΚΗΣΗ 4

Υπολογίστε την ταχύτητα και την κεντρομόλο επιτάχυνση που οφείλεται στην περιστροφή της Γης,ενός αντικειμένου που βρίσκεται στον Ισημερινό της Γης.
Δίνεται ότι η ακτίνα του Ισημερινού είναι 6.380 km.
Η περίοδος περιστροφής της Γης είναι T=24 h.

ΑΣΚΗΣΗ 5

Ένα pulsar (ταχέως περιστρεφόμενο αστέρι νετρονίων) έχει διάμετρο 13,8 km και περιστρέφεται με συχνότητα 8,5 Ηz.
Υπολογίστε την ταχύτητα και την κεντρομόλο επιτάχυνση ενός σημείου που βρίσκεται στον Ισημερινό του αστεριού.

ΑΣΚΗΣΗ 6

Ένας περιστρεφόμενος κάδος στεγνωτήρα λειτουργεί εκτελώντας 780 περιστροφές το λεπτό.Ο κάδος έχει διάμετρο 0,66 m.
Υπολογίστε:

α) Την ταχύτητα ενός σημείου που βρίσκεται πάνω στο τοίχωμα του κάδου.

β) Την κεντρομόλο επιτάχυνση ενός σημείου του τοιχώματος.

ΑΣΚΗΣΗ 7

Ένα αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα, γύρω από μία κυκλική πλατεία διαμέτρου 135,2 m.Στην κίνηση αυτή η τριβή μεταξύ των τροχών και του οδοστρώματος,η οποία εμποδίζει την πλευρική ολίσθηση του αυτοκινήτου,λειτουργεί ως κεντρομόλος δύναμη.Εάν αυτή η τριβή δεν πρέπει να υπερβαίνει το 25% του βάρους του αυτοκινήτου,υπολογίστε τη μεγίστη ταχύτητα με την οποία μπορεί να κινείται το αυτοκίνητο χωρίς να ολισθαίνει.

Δίνεται g=10 m/s².

ΑΣΚΗΣΗ 8

Να βρεθούν η περίοδος του ωροδείκτη και η περίοδος του λεπτοδείκτη ενός ρολογιού.Κάποια στιγμή το ρολόι δείχνει 12 το μεσημέρι.Μετά από πόση ώρα οι δείκτες σχηματίζουν γωνία π/3 για πρώτη φορά;

ΑΣΚΗΣΗ 9

Τη στιγμή που το βλήμα που φαίνεται στην εικόνα απέχει απόσταση d=2 m από το σημείο Α του δίσκου έχει ταχύτητα υ=400 m/s.Ο δίσκος περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω.Τη στιγμή που το βλήμα κτυπά στο δίσκο,το σημείο Α έχει περιστραφεί κατά γωνία φ=45°.

Να βρείτε τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δίσκου.

ΑΣΚΗΣΗ 10

Δορυφόρος εκτελεί κυκλική κίνηση σε ύψος h=6.400 km από την επιφάνεια της Γης και έχει περίοδο 4h.Αν η ακτίνα της Γης είναι R=6.400 km,να υπολογιστούν:

α) Η ταχύτητα περιστροφής του δορυφόρου.

β) Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δορυφόρου.