PHYSIC LESSONS: ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ - ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Σε προηγούμενες τάξεις ασχοληθήκαμε με δυο περιοδικά φαινόμενα, την ομαλή κυκλική κίνηση και την απλή αρμονική ταλάντωση.

Στην ενότητα αυτή θα επεκτείνουμε την έννοια «ταλάντωση» για να συμπεριλάβουμε και τις ηλεκτρικές ταλαντώσεις.

Θα εξετάσουμε επίσης τις ταλαντώσεις των οποίων το πλάτος ελαττώνεται - τις φθίνουσες ταλαντώσεις- και τις ταλαντώσεις στις οποίες προσφέρουμε ενέργεια στο σώμα που ταλαντώνεται - τις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις.

Τέλος θα ασχοληθούμε και με την περίπτωση που το σώμα συμμετέχει σε περισσότερες από μια ταλαντώσεις (σύνθετες ταλαντώσεις).

ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Στη φύση αρκετές φορές ένα φαινόμενο επαναλαμβάνεται συνέχεια με τον ίδιο τρόπο.

Η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο ολοκληρώνεται περίπου σε 365 ημέρες και ύστερα επαναλαμβάνεται συνεχώς κατά τον ίδιο τρόπο και στον ίδιο ακριβώς χρόνο.Μία τέτοια κίνηση λέγεται περιοδική ή γενικότερα περιοδικό φαινόμενο.

Η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο επαναλαμβάνεται συνεχώς κατά τον ίδιο τρόπο και στον ίδιο ακριβώς χρόνο

Η κούνια που έχουν τα μωρά ξεκίνα από ψηλά,κατεβαίνει,ανεβαίνει πάλι ψηλά,κατεβαίνει χαμηλά,επιστρέφει πάλι ψηλά στην αρχική της θέση και συνεχίζει την κίνηση της ακριβώς με τον ίδιο τρόπο.

Η κίνηση τoυ παιχνιδιού γιο-γιο επαναλαμβάνεται σε ίσα χρονικά διαστήματα.Άρα είναι μία περιοδική κίνηση

Το γιο-γιο είναι ένα παιχνίδι για παιδιά.Το παιδί κρατάει το σχοινί από την ελεύθερη άκρη και αφήνει το δίσκο να κινηθεί.Το σχοινί τυλίγεται και ξετυλίγεται γύρω από το αυλάκι πολλές φορές με τον ίδιο ακριβώς τρόπο.Οι κινήσεις της Γης γύρω από τον Ήλιο,της κούνιας και του γιο-γιου επαναλαμβάνονται σε ίσα χρονικά διαστήματα.Αυτές οι κινήσεις ονομάζονται περιοδικές κινήσεις.

Περιοδική κίνηση ονομάζεται η κίνηση που επαναλαμβάνεται σε ίσα χρονικά διαστήματα.Άλλα παραδείγματα περιοδικών κινήσεων είναι η ομαλή κυκλική κίνηση,ο μυς της καρδιάς και το ηλεκτροκαρδιογράφημα.

Το φως του φάρου ανάβει και σβήνει σε ορισμένα χρονικά διαστήματα με κάποιο ρυθμό

Το <<φλας>> του αυτοκινήτου ανάβει και σβήνει σε ορισμένα χρονικά διαστήματα με κάποιο ρυθμό.Το ίδιο συμβαίνει και με το φως ενός φάρου.
Η εκπομπή του φωτός ,που διακόπτεται με ορισμένο ρυθμό,είναι επίσης ένα περιοδικό φαινόμενο.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΡΙΟΔΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ

Άλλα τέτοια φαινόμενα η κυκλοφορία του αίματος μας,το αναβοσβήσιμο του «φλας» ενός αυτοκινήτου,το ημερονύχτιο,το δρομολόγιο ενός λεωφορείου,η παλίρροια του Ευρίπου,η τριχόπτωση που παρατηρείται σε μερικά ζώα, τα μελτέμια του Αιγαίου κ.ά.

Περιοδικά φαινόμενα ονομάζονται τα φαινόμενα που εξελίσσονται και επαναλαμβάνονται το ίδιο σε ίσα σταθερά χρονικά διαστήματα

Περιοδικά φαινόμενα ονομάζονται τα φαινόμενα που εξελίσσονται και επαναλαμβάνονται το ίδιο σε ίσα σταθερά χρονικά διαστήματα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ

Παραδείγματα περιοδικών φαινομένων είναι:

1) Η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο.

2) Το <<φλας>> του αυτοκινήτου.

3) Η κίνηση του εκκρεμούς.

4) Το άναμμα και το σβήσιμο του φάρου.
5) Η ομαλή κυκλική κίνηση.
6) Η κίνηση του εκκρεμούς.
7) Η κίνηση της κούνιας που έχουν τα μωρά.

8) Η κίνηση του γιο-γιο.
9) Ο μυς της καρδιάς.
10) Το ηλεκτροκαρδιογράφημα.
11) Η κυκλοφορία του αίματος μας.
12) Το αναβοσβήσιμο του «φλας» ενός αυτοκινήτου.
13) Το ημερονύχτιο.
14) Το δρομολόγιο ενός λεωφορείου.
15) Η παλίρροια του Ευρίπου.
16) Η τριχόπτωση που παρατηρείται σε μερικά ζώα.

17) Τα μελτέμια του Αιγαίου.

18) Κυκλοφορία του αίματος.

19) Η περιστροφή ενός τεχνητού δορυφόρου γύρω από τη Γη.

20) Το ταξίδι ενός κομήτη κ.ά.

ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ

Κάθε περιοδικό φαινόμενο ολοκληρώνεται μέσα σ' ένα ορισμένο χρόνο που λέγεται περίοδος και αποτελεί ένα από τα βασικά χαρακτηριστικά του.Για παράδειγμα η περιστροφή της Γης γύρω από τον Ήλιο σε ένα έτος, το ημερονύχτιο σε μια μέρα, η παλίρροια σε 12 ώρες κ.λπ.
Έτσι κάθε περιοδικό φαινόμενο χαρακτηρίζεται από την περίοδο του (Τ).

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ

Περίοδος (Τ) περιοδικού φαινομένου ονομάζεται το χρονικό διάστημα που χρειάζεται για να πραγματοποιηθεί μια φορά το φαινόμενο.

Περίοδος περιοδικού φαινομένου ονομάζεται το χρονικό διάστημα που χρειάζεται το σώμα για να συμπληρώσει έναν πλήρη κύκλο της κίνησής του

Με άλλα λόγια περίοδος περιοδικού φαινομένου είναι ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών επαναλήψεων του.
Αν σε χρόνο t γίνονται Ν επαναλήψεις του φαινομένου,η περίοδος είναι ίση με το πηλίκο.

Τ=t/N

όπου:
Τ η περίοδος περιοδικού φαινομένου.

t ο χρόνος του φαινομένου του σώματος.

Ν ο αριθμός των επαναλήψεων που κάνει το σώμα.

Η περίοδος (Τ) περιοδικού φαινομένου είναι μονόμετρο μέγεθος.

ΜΟΝΑΔΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ

Μονάδα μέτρησης της περιόδου είναι το 1 sec.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΙΜΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ

ΚΙΝΗΣΗ	ΠΕΡΙΟΔΟΣ
Περίοδος περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονά της	24 ώρες
Περίοδος περιστροφής της Σελήνης γύρω από την Γη	27,321 ημέρες
Περίοδος περιστροφής της Γης γύρω από τον Ήλιο	365,256 ημέρες
Περίοδος περιστροφής του Άρη γύρω από τον Ήλιο	686,96 ημέρες

ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ

Αν μπορούσαμε να παρακολουθήσουμε για ίδιο χρονικό διάστημα, διαφορετικά περιοδικά φαινόμενα θα διαπιστώσουμε ότι ο αριθμός των επαναλήψεων διαφέρει από φαινόμενο σε φαινόμενο.
Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι επαναλήψεις περιοδικών φαινομένων σε 1 λεπτό.

Χρόνος 1 λεπτό
Περιοδικό φαινόμενο	Αριθμός επαναλήψεων
Περιστροφή ηλεκτρονίου γύρω από τον πυρήνα στο άτομο του υδρογόνου	3,9·10¹⁷
Ανεβοκατέβασμα εμβόλου μηχανής αυτοκινήτου	3·10³
«Φλας» αυτοκινήτου	2·10²
Χτύπος ανθρώπινης καρδιάς	70
Περιστροφή δίσκου πικ-απ	45
Περιστροφή δευτερολεπτοδείκτη	1

Γι' αυτό και με τη βοήθεια του αριθμού των επαναλήψεων του φαινομένου και του χρόνου μέσα στον οποίο πραγματοποιήθηκαν, ορίσαμε τη συχνότητα, ένα φυσικό μέγεθος που δείχνει πόσες φορές επαναλαμβάνεται ένα περιοδικό φαινόμενο στη μονάδα του χρόνου.

Mε τη βοήθεια του αριθμού των επαναλήψεων του φαινομένου και του χρόνου μέσα στον οποίο πραγματοποιήθηκαν, ορίσαμε τη συχνότητα, ένα φυσικό μέγεθος που δείχνει πόσες φορές επαναλαμβάνεται ένα περιοδικό φαινόμενο στη μονάδα του χρόνου

Η συχνότητα αποτελεί επίσης ένα από τα βασικά χαρακτηριστικά του περιοδικού φαινομένου.
Το αντίστροφο της περιόδου είναι η συχνότητα της κίνησης.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ

Συχνότητα (f) ενός περιοδικού φαινομένου λέγεται το φυσικό μέγεθος που εκφράζεται με το πηλίκο του αριθμού Ν των επαναλήψεων του φαινομένου προς τον χρόνο t μέσα στον οποίο πραγματοποιήθηκαν.

Συχνότητα περιοδικού φαινομένου ονομάζεται ο αριθμός των επαναλήψεων που κάνει το σώμα στη μονάδα του χρόνου

Η τιμή της συχνότητας του περιοδικού φαινομένου είναι το αντίστροφο πηλίκο του αριθμού των επαναλήψεων του φαινομένου προς τον αντίστοιχο χρόνο.

   f=N/t

όπου:
f η συχνότητα περιοδικού φαινομένου.
Ν ο αριθμός των επαναλήψεων που κάνει το σώμα.
t ο χρόνος του φαινομένου του σώματος.
Η συχνότητα (f) περιοδικού φαινομένου είναι μονόμετρο μέγεθος.

ΜΟΝΑΔΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ

  Μονάδα μέτρησης της συχνότητας είναι το 1Ηz.
Το 1Ηz ισούται με 1 s^-1ή με 1 κύκλο/s.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΙΜΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ	ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ (Hz)
Συχνότητα περιστροφής δίσκου πικάπ (33 στροφών)	0,66
Συχνότητα περιστροφής CD σε συσκευή CD Player	8,33
Συχνότητα εναλλασσόμενου ρεύματος (Ευρωπαϊκά ηλεκτρικά δίκτυα)	50
Συχνότητα νότας Λα	440
Περιοχή συχνοτήτων ακουστικών σημάτων	20 - 20.000
Περιοχή συχνοτήτων ορατού φωτός	4.3×10¹⁴ − 7.5×10¹⁴

ΣΧΕΣΗ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΚΑΙ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ

Όπως αναφέραμε η περίοδος και η συχνότητα είναι αντίστροφα μεγέθη.Επειδή σε χρόνο t = Τ το σώμα κάνει μία επανάληψη,έχουμε Ν=1.Στην σχέση f=N/t με αντικατάσταση όπου t = Τ και Ν=1 προκύπτει:

f=N/t ή

f=1/Τ

ΓΩΝΙΑΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ

Στην κυκλική κίνηση ορίζεται το διανυσματικό μέγεθος γωνιακή ταχύτητα με μέτρο ω=dφ/dt.Ένα άλλο μέγεθος των περιοδικών φαινομένων είναι η γωνιακή συχνότητα ω.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΓΩΝΙΑΚΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ

Γωνιακή συχνότητα (ω) περιοδικού φαινομένου ονομάζεται το μέγεθος που αναφέρεται σε όλα τα περιοδικά φαινόμενα και εκφράζει τον αριθμό των επαναλήψεων ενός φαινομένου σε χρόνο 2π sec.

Γωνιακή συχνότητα (ω) περιοδικού φαινομένου ονομάζεται το μέγεθος που αναφέρεται σε όλα τα περιοδικά φαινόμενα και εκφράζει τον αριθμό των επαναλήψεων ενός φαινομένου σε χρόνο 2π sec

Το μέτρο της γωνιακή συχνότητας είναι:

ω=2π/Τ=2πf

όπου:
ω η γωνιακή συχνότητα του περιοδικού φαινομένου
Τ η περίοδος περιοδικού φαινομένου.
f η συχνότητα περιοδικού φαινομένου.
Η γωνιακή συχνότητα (ω) περιοδικού φαινομένου είναι μονόμετρο μέγεθος.

Το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας στην κυκλική κίνηση

Η γωνιακή συχνότητα δεν έχει άμεση φυσική σημασία.Στην ομαλή κυκλική κίνηση το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας που έχει ως κυκλική κίνηση είναι ίσο με τη γωνιακή συχνότητα που έχει ως περιοδική κίνηση.

ΜΟΝΑΔΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΚΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ

Μονάδα μέτρησης της γωνιακής συχνότητας είναι το 1 rad/s.

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Είδαμε τόσα παραδείγματα περιοδικών κινήσεων.Παρατηρούμε ότι οι περιοδικές κινήσεις δεν είναι όλες όμοιες.

Τα μόρια του βατήρα πραγματοποιούν ταλάντωση

Η τροχιά της Γης γύρω από τον Ήλιο είναι κλειστή.Δεν έχει ακραία σημεία.Αντίθετα το γιο-γιο κινείται μεταξύ δυο ακραίων σημείων.Η τροχιά του δεν είναι μια κλειστή γραμμή όπως ο κύκλος.

Η κίνηση του εκκρεμούς είναι μια ταλάντωση

Με άλλα λόγια το γιο-γιο κινείται γύρω από μια θέση σε αντίθεση με την κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο.

Ταλάντωση δύο οριζόντιων ελατηρίων

Άρα σε μερικές περιοδικές κινήσεις ένα σώμα κινείται παλινδρομικά μεταξύ δυο ακραίων θέσεων.Τέτοιες περιοδικές κινήσεις ανάμεσα σε δυο ακραία σημεία ονομάζονται ταλαντώσεις.

Ταλάντωση ονομάζεται η περιοδική κίνηση που γίνεται παλινδρομικά γύρω από μία θέση ισορροπίας

Ταλάντωση ονομάζεται η περιοδική κίνηση που γίνεται παλινδρομικά γύρω από μία θέση ισορροπίας.

Σχηματική αναπαράσταση της αδρανειακής ταλάντωσης

Η κίνηση του εκκρεμούς είναι μια ταλάντωση.Άλλα παραδείγματα ταλαντώσεων είναι η κούνια,η χορδή μιας κιθάρας,η ράβδος σ'ένα παλιό ρολόι τοίχου,η στήλη του αέρα μέσα στη φλογέρα,το έμβολο της μηχανής ενός αυτοκινήτου,όταν αυτή λειτουργεί, μια μικρή σφαίρα που αφήσαμε στο εσωτερικό ενός ημισφαιρίου,τα άκρα ενός διαπασών που διεγείραμε, ο βατήρας μιας πισίνας καταδύσεων μετά την προσπάθεια που αθλητή ,το εκκρεμές ενός ρολογιού τοίχου κ.α.

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Παρατηρούμε αρκετά σώματα που εκτελούν ταλάντωση κινούνται σε ευθεία γραμμή.Όταν η τροχιά του σώματος που κάνει ταλάντωση,είναι ευθεία γραμμή τότε έχουμε γραμμική ταλάντωση.

Η ταλάντωση ενός σώματος που είναι δεμένο στην ελεύθερη άκρη ελατηρίου εξελίσσεται πάνω σε ευθεία τροχιά.Αυτή η ταλάντωση ονομάζεται γραμμική

Γραμμική ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση που εξελίσσεται πάνω σε ευθεία τροχιά.

Τα μόρια της χορδής πραγματοποιούν γραμμική ταλάντωση

Παράδειγμα γραμμικής ταλάντωσης είναι ένα σώμα που είναι δεμένο στην ελεύθερη άκρη ελατηρίου.

Ο κύλινδρος πραγματοποιεί γραμμική ταλάντωση

Άλλα παραδείγματα γραμμικής ταλάντωσης είναι το έμβολο της μηχανής ενός αυτοκινήτου όταν αυτή λειτουργεί, ένα ξύλινος κύλινδρος που αρχικά ηρεμούσε μισοβυθισμένος σε λεκάνη με νερό αν τον βυθίσουμε λίγο περισσότερο και τον αφήσουμε, το σφαιρίδιο ενός απλού εκκρεμούς όταν η διαδρομή του είναι μικρή, τα μόρια μιας χορδής άρπας όταν τη χτυπήσουμε κ.ά.

ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ

Έχουμε ένα σώμα που είναι δεμένο στην άκρη ενός ελατηρίου.Η κίνηση του είναι μεταβαλλόμενη.Στο σώμα ασκείται το βάρος του w=mg και η δύναμη του ελατηρίου Fελ=-kx.

Τρεις θέσεις ενός σώματος.Φυσικό μήκος,θέση ισορροπίας και τυχαία θέση

Η δύναμη που ασκεί το ελατήριο κατά την διάρκεια της κίνησης μεταβάλλεται συνεχώς συναρτήσει του x,ενώ το βάρος παραμένει σταθερό με τιμή mg.

Η δύναμη που ασκεί το ελατήριο κατά την διάρκεια της κίνησης μεταβάλλεται συνεχώς συναρτήσει του x,ενώ το βάρος παραμένει σταθερό με τιμή mg

Κατά την διάρκεια της κίνησης του το σώμα περνάει από μία θέση στην οποία η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι μηδέν.Σε αυτή τη θέση έχουμε ΣF=0 ~Fελ=w.
Η θέση αυτή ονομάζεται θέση ισορροπίας του σώματος.

Στη θέση ισορροπίας του σώματος που είναι δεμένο στην άκρη ελατηρίου η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι μηδέν.Σε αυτή τη θέση έχουμε ΣF=0 ~Fελ=w.

Θέση ισορροπίας ονομάζεται η θέση όπου η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα μηδενίζεται.Όταν το σώμα απομακρύνεται από την θέση ισορροπίας, η δύναμη τείνει να το επαναφέρει προς αυτήν.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Η απλή αρμονική ταλάντωση είναι μια ειδική περίπτωση γραμμικής ταλάντωσης.

Στην απλή αρμονική ταλάντωση ένα αντικείμενο ταλαντώνεται ανάμεσα σε δύο θέσεις στον χώρο για απεριόριστο χρόνο,χωρίς απώλειες μηχανικής ενέργειας,όπως λόγω τριβών

Κατά την κίνηση αυτή,ένα αντικείμενο ταλαντώνεται ανάμεσα σε δύο θέσεις στον χώρο για απεριόριστο χρόνο,χωρίς απώλειες μηχανικής ενέργειας,όπως λόγω τριβών.

Ένα σώμα κινείται παλινδρομικά πάνω σε ένα άξονα xOx' μεταξύ δύο ακραίων θέσεων Α και Α' γύρω από το σημείο Ο , που είναι το μέσο της τροχιάς του

Ένα σώμα κινείται παλινδρομικά πάνω σε ένα άξονα xΟx' μεταξύ δύο ακραίων θέσεων Α και Α' γύρω από το σημείο Ο , που είναι το μέσο της τροχιάς του.Η απομάκρυνση του σώματος είναι x.

Απλή αρμονική ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση κατά την οποία η τροχιά είναι ευθύγραμμη και η απομάκρυνση του κινητού x από τη θέση ισορροπίας του O είναι ημιτονοειδής(αρμονική) συνάρτηση του χρόνου

x=Αημωt

Η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του κινητού x συνάρτηση του χρόνου t

Το Α είναι η μέγιστη απομάκρυνση, δηλαδή η μέγιστη απόσταση από το σημείο Ο στην οποία φτάνει το κινητό, και ονομάζεται πλάτος της ταλάντωσης.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Παραδείγματα απλής αρμονική ταλάντωση είναι:

α) Το σύστημα ιδανικού ελατηρίου - μάζας.

β) Το απλό εκκρεμές για μικρές γωνίες εκτροπής.
γ) Ένας κατακόρυφος ξύλινος κύλινδρος βυθισμένος εν μέρει σε υγρό κ.ά.

Η απλή αρμονική ταλάντωση ενός συστήματος ιδανικού ελατηρίου - μάζας

Στα παραπάνω παραδείγματα υπάρχει η προϋπόθεση ότι δεν υπάρχουν απώλειες μηχανικής ενέργειες, όπως λόγω τριβών.

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Έστω ένα υλικό σημείο το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση στον άξονα xΟx' με θέση ισορροπίας (x=0) την αρχή του άξονα. Τα χαρακτηριστικά μεγέθη αυτής της κίνησης είναι:

α) Η απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας,

β) Το πλάτος της ταλάντωσης A,

γ) Η στιγμιαία φάση,

δ) Η αρχική φάση φ0 της ταλάντωσης,

ε) Η κυκλική συχνότητα ω,

στ) Η περίοδος Τ και

ζ) Η συχνότητα f της ταλάντωσης.

ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗ x

Απομάκρυνση (x) της απλή αρμονική ταλάντωσης ονομάζεται η αλγεβρική τιμή του διανύσματος x από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης.

Η απομάκρυνση έχει μονάδα μέτρησης στο S.I. το 1 μέτρο (1 m).

ΠΛΑΤΟΣ Α

Πλάτος (Α) της απλή αρμονική ταλάντωσης ονομάζεται η απόλυτη τιμή της μέγιστης απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας.

ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΦΑΣΗ

Στιγμιαία φάση (ωt+φ0) της απλή αρμονική ταλάντωσης ονομάζεται η γωνία η οποία καθορίζει κάθε στιγμή μέσω του ημιτόνου τη στιγμιαία τιμή της απομάκρυνσης.

Η γραφική παράσταση φάσης - χρόνου

Η στιγμιαία φάση μετράται σε rad.

ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ φ0

Αρχική φάση (φ0) της απλή αρμονική ταλάντωσης ονομάζεται η τιμή της στιγμιαίας φάσης στην αρχή της μέτρησης του χρόνου, και συνεπώς καθορίζει την απομάκρυνση του κινητού εκείνη τη στιγμή.

Η αρχική φάση μπορεί να πάρει τιμές 0 ≤φ0<2π.

ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ω

Κυκλική συχνότητα (ω) της απλή αρμονική ταλάντωσης ονομάζεται ο ρυθμός μεταβολής της στιγμιαίας φάσης ως προς τον χρόνο:

ω=dω/dt

Συνδέεται με την περίοδο με τη σχέση ω=2π/Τ και με τη συχνότητα με την σχέση ω=2πf .

ΠΕΡΙΟΔΟΣ Τ

Περίοδος (T) της απλή αρμονική ταλάντωσης ονομάζεται το χρονικό διάστημα στο οποίο εκτελείται μια πλήρη ταλάντωση, δηλαδή είναι ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μεταβάσεων του κινητού από την ίδια θέση και με την ίδια φορά.

Η περίοδος Τ έχει μονάδα μέτρησης στο S.I. το ένα δευτερόλεπτο (1 s).

ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ f

Συχνότητα (f) της απλή αρμονική ταλάντωση ονομάζεται το πλήθος των επαναλήψεων που εκτελεί το κινητό στη μονάδα του χρόνου.

Η σχέση της συχνότητας f είναι:

f=N/t

όπου:

f η συχνότητα της απλή αρμονική ταλάντωση

N το πλήθος των επαναλήψεων και

t o χρόνος.

Η συχνότητα είναι μέγεθος αντίστροφο της περιόδου και έχει μονάδα μέτρησης στο S.I. το 1 Hz ή s^-1.

ΜΕΛΕΤΗ ΓΡΑΜMΙΚΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΙΔΑΝΙΚΟ ΕΛΑΤΗΡΙΟ

Για τη μελετήσουμε τη ταλάντωση που πραγματοποιεί σώμα με τη βοήθεια ελατηρίου χρειαζόμαστε ένα ιδανικό ελατήριο με σταθερά k και φυσικό μήκος l0, ένα συμπαγές σφαιρικό σώμα μάζας m,ένα χρονόμετρο Χ και μια μετροταινία Μ.

Τοποθετούμε το ελατήριο κατακόρυφα συνδέοντας το πάνω άκρο του σταθερά και σταθεροποιούμε τη μετροταινία παράλληλα με τον άξονα του.

Δένουμε το σώμα στο κάτω άκρο του ελατηρίου που λέγεται θέση φυσικού μήκους και το ακινητοποιούμε με τη βοήθεια του χεριού μας σε κάποια θέση O.

Η θέση αυτή λέγεται ισορροπίας (Θ.Ι.) διότι εκεί το σώμα ισορροπεί με την επίδραση του βάρους του Β και της δύναμης Fελ0 που δέχεται από το ελατήριο.

Από τη συνθήκη ισορροπίας έχουμε:

k·x = m·g

όπου:
x η επιμήκυνση του ελατήριου.

Απομακρύνουμε το σώμα από τη θέση Ο, το μεταφέρουμε κατακόρυφα πιο κάτω σε θέση Α και το αφήνουμε ελεύθερο.

Βλέπουμε τότε,ότι το σώμα αρχίζει να κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω, φθάνει με κάποια ταχύτητα στη θέση Ο, συνεχίζει και φθάνει σε θέση Β όπου στιγμιαία σταματά και αμέσως αρχίζει να κινείται προς τα κάτω, περνά ξανά από τη θέση Ο με κάποια ταχύτητα συνεχίζει και φθάνει στην αρχική θέση Α όπου στιγμιαία σταματά και στη συνέχεια επαναλαμβάνει διαρκώς την ίδια διαδικασία.

Η κίνηση, άρα,του σώματος είναι ταλάντωση και μάλιστα γραμμική διότι πραγματοποιείται μεταξύ δυο ακραίων θέσεων Α και Β και είναι και ευθύγραμμη.

Μετρώντας με τη μετροταινία,λαμβάνοντας ως αφετηρία τη Θ.Ι., βρίσκουμε ότι η μέγιστη τιμή OA του μέτρου της μετατόπισης του σώματος όταν αυτό κινείται κάτω από τη Θ.Ι. του είναι Α.

Βρίσκουμε επίσης ότι η μέγιστη τιμή ΟΒ του μέτρου της μετατόπισης του σώματος όταν αυτό κινείται πάνω από τη Θ.Ι. του είναι πάλι Α ισχύει δηλαδή OA = ΟΒ.

Με τη βοήθεια του χρονομέτρου βρίσκουμε την περίοδο Τ της ταλάντωσης μετρώντας το χρόνο για τη διαδρομή ΑΟΒΟΑ ή για τη διαδρομή ΟΒΟΑΟ ή για οποιονδήποτε «κύκλο» και διαπιστώνουμε ότι παραμένει σταθερή.

Μπορούμε επίσης να μετρήσουμε τους χρόνους για τις διαδρομές AO, ΟΒ, ΒΟ και OA και να διαπιστώσουμε ότι είναι ίσοι μεταξύ τους (άρα ο καθένας είναι ίσος με Τ/4).

Με τη βοήθεια των μετρήσεων που μέχρι τώρα έχουμε κάνει μπορούμε να συμπληρώσουμε ένα πίνακα τιμών της απομάκρυνσης ψ σε συνάρτηση με το χρόνο κίνησης t (για απλούστευση θεωρούμε μηδέν τη χρονική στιγμή που το σώμα περνά από τη Θ.Ι.) και να σχεδιάσουμε με τη βοήθεια του την καμπύλη x = f(t) .

Όμως τόσο ο πίνακας όσο και το διάγραμμα,μας δίνουν πολύ λίγες πληροφορίες.

Αν θέλουμε οι πληροφορίες αυτές να είναι πολύ περισσότερες, μπορούμε, αν φυσικά έχουμε τη δυνατότητα, να χρησιμοποιήσουμε χρονοφωτογραφία όπου το σώμα στη διάρκεια μιας περιόδου έχει φωτογραφηθεί πολλές φορές σε διάφορες θέσεις.

Αυτές οι θέσεις απέχουν χρονικά μεταξύ τους όσο ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών φωτογραφίσεων (η απομάκρυνση μετριέται με την μετροταινία που επίσης φαίνεται στις φωτογραφίες).

Έτσι ο πίνακας τιμών x t είναι αρκετά πλήρης ώστε η καμπύλη ψ = f(t) που με τη βοήθεια του κατασκευάζουμε να μπορεί να σχεδιασθεί συνεχής και να θεωρείται ότι βρίσκεται πολύ κοντά στην πραγματική.

Αυτή η καμπύλη έχει ημιτονοειδή μορφή πράγμα που είναι και το χαρακτηριστικό της γραμμικής αρμονικής ταλάντωσης.

Την καμπύλη x = f(t) που προηγουμένως κατασκευάσαμε μπορούμε να δούμε άμεσα αν τροποποιήσουμε το πείραμα που εκτελέσαμε προσαρτώντας μια γραφίδα στο σώμα,η άκρη της οποίας μόλις ακουμπά στο χαρτί μιλλιμετρέ με το οποίο είναι καλυμένη η παράπλευρη επιφάνεια κυλίνδρου που περιστρέφεται με σταθερό ρυθμό γύρω από τον άξονα του.

Πειραματική διάταξη για την απευθείας λήψη του διαγράμματος της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο

Μπορούμε μάλιστα να μετρήσουμε με τη βοήθεια της καμπύλης την απομάκρυνση για διάφορες χρονικές στιγμές και να κατασκευάσουμε τον πίνακα τιμών x-t.

Είναι προφανές ότι για να μην αποτυγχάνει αυτό το τροποιημένο πείραμα πρέπει η περίοδος περιστροφής του κυλίνδρου να είναι μεγαλύτερη από την περίοδο του σώματος και το πλάτος της ταλάντωσης μικρότερο από το μισό του ύψους του κυλίνδρου.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗΣ

Όπως προαναφέραμε από τον ορισμό της απλής αρμονικής ταλάντωσης,η απομάκρυνση ενός κινητού x από τη θέση ισορροπίας του O είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου.

Στο διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης χρόνου (x-t) στην απλή αρμονική ταλάντωση

Άρα η απομάκρυνση του κινητού δίνεται από την σχέση:

x=Αημωt

όπου:

x η απομάκρυνση του κινητού από τη θέση ισορροπίας του O

Α το πλάτος της ταλάντωσης

ω η κυκλική συχνότητα

t χρoνική στιγμή του κινητού

ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

Διαθέτοντας τώρα τον πίνακα τιμών x-t μπορούμε να βρίσκουμε τη μεταβολή Δx δυο διαδοχικών τιμών της απομάκρυνσης και διαιρώντας την με το χρονικό διάστημα Δt που μεσολάβησε μεταξύ των δυο προηγούμενων τιμών να βρίσκουμε την τιμή της μέσης ταχύτητας υμ=Δx/Δt γι' αυτό το χρονικό διάστημα (που είναι ίσο,στην περίπτωση της χρονοφωτογραφίας, με το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί ανάμεσα σε δυο διαδοχικές φωτογραφίσεις ενώ στην περίπτωση του στρεφόμενου κυλίνδρου είναι επιλογής του πειραματιστή).

Αν, μάλιστα φροντίσουμε,αυτό το χρονικό διάστημα να είναι ικανοποιητικά μικρό, μπορούμε να δεχθούμε,με καλή προσέγγιση, ότι οι τιμές της μέσης ταχύτητας που βρήκαμε, είναι ίσες με τις τιμές της στιγμιαίας ταχύτητας του σώματος.

Έτσι έχουμε τη δυνατότητα να συμπληρώσουμε ένα πίνακα τιμών u-t,της ταχύτητας του σώματος σε συνάρτηση με τον χρόνο κίνησης.

(Αυτόν τον πίνακα μπορούμε να τον φτιάξουμε και με τη βοήθεια της καμπύλης ψ = f(t) που, επίσης,διαθέτουμε αν βρούμε την κλίση της σε αρκετά σημεία).

Η ταχύτητα είναι συνημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου

Αν με τη βοήθεια του προηγούμενου πίνακα χαράξουμε την καμπύλη υ = f(t) διαπιστώνουμε (θεωρώντας, επίσης, μηδέν τη χρονική στιγμή που το σώμα περνά από τη Θ.Ι. του) ότι η μορφή της είναι συνημιτοειδής και επομένως η εξίσωση της ταχύτητας του κινητού που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση κάθε στιγμή δίνεται από την σχέση:

υ=υmaxσυνωt

όπου:

υ η ταχύτητα του κινητού την χρονική στιγμή t

ω η κυκλική συχνότητα

t χρoνική στιγμή του κινητού

υmax η μέγιστη τιμή της ταχύτητας.

Το σώμα έχει μέγιστη ταχύτητα όταν περνά από τη θέση 0 ( x = 0).Για τη μέγιστη ταχύτητα και τη μέγιστη επιτάχυνση ισχύει:

υmax=ωΑ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ

Με ανάλογη διαδικασία, βρίσκοντας από τον πίνακα υ-t τη μεταβολή Δυ της ταχύτητας και διαιρώντας την με το αντίστοιχο χρονικό διάστημα Δt (ή βρίσκοντας την κλίση της καμπύλης υ = f(t) για διάφορες χρονικές στιγμές), θεωρώντας ότι η μέση επιτάχυνση α_μ = Δυ/Δt είναι, με καλή προσέγγιση, ίση με την στιγμιαία, συμπληρώνουμε πίνακα τιμών α-t.

Η επιτάχυνση είναι μετατοπισμένη κατά Τ/2 ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου

Με τη βοήθεια του προηγούμενου πίνακα χαράζουμε την καμπύλη α = f(t) και διαπιστώνουμε (θεωρώντας και εδώ μηδέν τη χρονική στιγμή που το σώμα περνά από τη Θ.Ι. του) ότι η μορφή της είναι μετατοπισμένη κατά Τ/2 ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου και επομένως η εξίσωση της επιτάχυνσης του κινητού που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση κάθε στιγμή δίνεται από την σχέση:

α=-αmaxημωt

υ η ταχύτητα του κινητού την χρονική στιγμή t

ω η κυκλική συχνότητα

t η χρoνική στιγμή του κινητού

αmαx η μέγιστη τιμή της επιτάχυνσης του σώματος.

Το σώμα έχει μέγιστη επιτάχυνση όταν περνάει από τα ακραία σημεία Ρ και Ρ' ( x = Α και x = - Α αντίστοιχα).Για τη μέγιστη επιτάχυνση ισχύει:

αmax=ω²Α

Ο πίνακας τιμών της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε χαρακτηριστικές χρονικές στιγμές είναι:

t	x	υ	α
0	0	υ_o	0
T/4	A	0	-α_o
T/2	0	-υ_o	0
3·T/4	-A	0	α_o
T	0	υ_o	0

Παρατηρώντας, τέλος, τις τιμές που παίρνουν τα μεγέθη x, υ και α για ορισμένες χαρακτηριστικές χρονικές στιγμές διαπιστώνουμε ότι:

α) όταν το σώμα περνά από τη Θ.I. του, οπότε η απομάκρυνσή του είναι ίση με μηδέν, η ταχύτητά του είναι μεγίστη (κατ' απόλυτη τιμή) και η επιτάχυνσή του ίση με μηδέν.

β) όταν το σώμα περνά από τις ακραίες θέσεις του, οπότε η απομάκρυνσή του είναι μεγίστη (κατ' απόλυτη τιμή), η ταχύτητά του είναι ίση με μηδέν και η επιτάχυνσή του μεγίστη (κατ' απόλυτη τιμή)

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ

Στα παρακάτω διαγράμματα φαίνεται πώς μεταβάλλεται με το χρόνο η απομάκρυνση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση ενός σώματος που κάνει γραμμική αρμονική ταλάντωση.

Στα διαγράμματα φαίνεται πώς μεταβάλλεται με το χρόνο η απομάκρυνση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση ενός σώματος που κάνει γραμμική αρμονική ταλάντωση

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΜΕ ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ

Οι σχέσεις x=Αημωt ,υ=υmaxσυνωt και α=-αmaxημωt ισχύουν σε κάθε απλή αρμονική ταλάντωση, με την προϋπόθεση ότι τη χρονική στιγμή μηδέν το κινητό βρίσκεται στο σημείο Ο και κινείται κατά τη θετική φορά.

Τα διαγράμματα της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε μια ταλάντωση με αρχική φάση.

Αν τη χρονική στιγμή μηδέν το κινητό περνά από κάποιο άλλο σημείο,έστω το Γ, που βρίσκεται σε απόσταση d από το 0.

Oι σχέσεις x=Αημωt ,υ=υmaxσυνωt και α=-αmaxημωt διαφοροποιούνται και γίνονται :

x=Αημ(ωt+φ0)

υ=υmaxσυν(ωt+φ0)

α=-αmaxημ(ωt+φ0)

Η γωνία φ βρίσκεται από την x=Αημ(ωt+φ) αν λάβουμε υπόψη ότι τη χρονική στιγμή μηδέν το κινητό βρίσκεται στο Γ.Για t = 0 είναι x = d και η σχέση x=Αημ(ωt+φ) γίνεται d=Αημφ επομένως ημφ=d/Α.

Η γωνία φ0 ονομάζεται αρχική φάση.Μια τέτοια ταλάντωση λέμε ότι έχει αρχική φάση.

Η γωνία (ωt+φ0) ονομάζεται φάση της ταλάντωσης.

ΣΧΕΣΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗΣ

Για την απομάκρυνση x έχουμε:

x=Aημωt $\Rightarrow$

ημωt=x/Α (1)

Για την ταχύτητα υ έχουμε:

υ=ωΑσυνωt $\Rightarrow$

συνωt=υ/ωΑ (2)

Όμως ισχύει:

ημω²t+συνω²t=1 (3)

Από τις εξισώσεις (1) και (2) με απλή αντικατάσταση στην τελευταία σχέση (3) προκύπτει:

ημω²t+συνω²t=1   $\Rightarrow$

(x/Α)²+(υ/ωΑ)²=1   $\Rightarrow$

x²/Α²+υ²/ω²Α²=1   $\Rightarrow$

ω²x²/ω²Α²+υ²/ω²Α²=1   $\Rightarrow$

ω²x²+υ²/ω²Α²=1   $\Rightarrow$

ω²x²+υ²=ω²Α²   $\Rightarrow$

υ²=ω²Α² - ω²x² $\Rightarrow$

υ²=ω²(Α² - x²) $\Rightarrow$

υ=±ω²(Α² - x²)^1/2

^{Το διπλό πρόσημο (}±^{) στην τελευταία σχέση δηλώνει ότι σε κάθε θέση x η ταχύτητα υ μπορεί να είναι θετική (υ>0) ή αρνητική (υ<0)}

Το διπλό πρόσημο (±) στην τελευταία σχέση δηλώνει ότι σε κάθε θέση x η ταχύτητα υ μπορεί να είναι θετική (υ>0) ή αρνητική(υ<0),ανάλογα με τη φορά κίνησης του σώματος.

ΔΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ

Λέμε ότι δύο μεγέθη παρουσιάζουν διαφορά φάσης Δφ,όταν μεσολαβεί κάποιος χρόνος Δt ανάμεσα σε μία τιμή του ενός (π.χ. τη μέγιστη) και στην αντίστοιχη τιμή του άλλου.

Η διαφορά φάσης αναφέρεται σε δύο μεγέθη που μεταβάλλονται περιοδικά και βρίσκεται από τη διαφορά φάσης των δύο μεγεθών.
Στην περίπτωση της ταχύτητας και της επιτάχυνσης στην απλή αρμονική ταλάντωση έχουμε:

Για την απομάκρυνση x έχουμε:

x=Aημωt (1)

Για την ταχύτητα υ έχουμε:

υ=ωΑσυνωt (2)

Θα χρησιμοποιήσουμε δύο γνωστές βασικές τριγωνομετρικές σχέσεις:

συνθ=ημ(π/2-θ) και

ημθ=ημ(π-θ)

Άρα έχουμε:

(2) $\Rightarrow$ υ=ωΑσυνωt $\Rightarrow$

υ=ωΑημ(π/2 - ωt) $\Rightarrow$

υ=ωΑημ[π-(π/2 - ωt)] $\Rightarrow$

υ=ωΑημ(ωt+π/2) (3)

Συνεπώς η διαφορά φάσης με την βοήθεια των σχέσεων (1) και (3) είναι:

Δφ=φυ-φx $\Rightarrow$

Δφ=(ωt+π/2)-ωt $\Rightarrow$

Δφ=π/2

και προηγείται η ταχύτητα.

Η φυσική σημασία αυτής της διαφοράς είναι ότι όταν κάποια χρονική στιγμή η ταχύτητα έχει ορισμένη τιμή(π.χ. τη μέγιστη θετική υ=+ωΑ),τότε η απομάκρυνση θα πάρει την αντίστοιχη τιμή (x=+Α) μετά από χρόνο Δt που αντιστοιχεί στη γωνία Δφ=π/2,δηλαδή μετά από χρόνο που δίνεται από την σχέση:

Δφ=2πΔt/Τ $\Rightarrow$

Δt=ΤΔφ/2π $\Rightarrow$

Δt=Τ/2π π/2 $\Rightarrow$

Δt=Τ/4

ΣΧΕΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗΣ

Για την απομάκρυνση x έχουμε:

x=Aημωt (1)

Για την επιτάχυνση α έχουμε:

α=-ω²Αημωt $\Rightarrow$

α=-ω²(Αημωt) $\Rightarrow$

α=-ω²x

Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι η επιτάχυνση α και η απομάκρυνση x έχουν πάντοτε αντίθετο πρόσημο(x>0 α<0 και x<0 α>0)

Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι η επιτάχυνση α και η απομάκρυνση x έχουν πάντοτε αντίθετο πρόσημο(x>0 α<0 και x<0 α>0).Με άλλα λόγια η επιτάχυνση έχει πάντοτε φορά προς την θέση ισορροπίας.
Η σχέση α=-ω²x είναι μία εξίσωση ευθείας.Η γραφική παράσταση της σχέσης α=-ω²x φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Η γραφική παράσταση της σχέσης α=-ω²x

Από την γραφική παράσταση μπορούμε να υπολογίσουμε το ω²από την κλίση της ευθείας με την εφαπτόμενη της γωνίας θ.

ΣΧΕΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

Για την ταχύτητα υ έχουμε:

υ=ωΑσυνωt   $\Rightarrow$

συνωt=υ/ωΑ (1)

Για την επιτάχυνση α έχουμε:

α=-ω²Αημωt $\Rightarrow$

ημωt=-α/ω²Α (2)

Όμως ισχύει:

ημω²t+συνω²t=1 (3)

Από τις εξισώσεις (1) και (2) με απλή αντικατάσταση στην τελευταία σχέση (3) προκύπτει:

ημω²t+συνω²t=1   $\Rightarrow$

(-α/ω²Α)²+(υ/ωΑ)²=1   $\Rightarrow$

α²/ω⁴Α²+υ²/ω²Α²=1   $\Rightarrow$

α²/ω⁴Α²+ω²υ²/ω⁴Α²=1   $\Rightarrow$

α²+ω²υ²/ω⁴Α²=1   $\Rightarrow$

α²+ω²υ²=ω⁴Α²   $\Rightarrow$

α²=ω⁴Α²-ω²υ²   $\Rightarrow$

α²=ω²(ω²Α²-υ²)   $\Rightarrow$

α=±ω(ω²Α²-υ²)^1/2

^{Το διπλό πρόσημο (}±^{) στην τελευταία σχέση δηλώνει ότι σε κάθε τιμή υ του μέτρου της ταχύτητας η επιτάχυνση μπορεί να είναι θετική (α>0) ή αρνητική (α<0),ανάλογα με τον ημιάξονα όπου βρίσκεται το σώμα}

Το διπλό πρόσημο (±) στην τελευταία σχέση δηλώνει ότι σε κάθε τιμή υ του μέτρου της ταχύτητας η επιτάχυνση μπορεί να είναι θετική (α>0) ή αρνητική (α<0),ανάλογα με τον ημιάξονα όπου βρίσκεται το σώμα.

^{ΔΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ ΜΕΤΑΞΥ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗΣ}
Για την απομάκρυνση x έχουμε:

x=Aημωt (1)

Για την επιτάχυνση α έχουμε:

α=-ω²Αημωt (2)

Θα χρησιμοποιήσουμε δύο γνωστές βασικές τριγωνομετρικές σχέσεις:

-ημθ=ημ(-θ) και

ημθ=ημ(π-θ)

Άρα έχουμε:

(2) $\Rightarrow$ α=-ω²Αημωt $\Rightarrow$

α=ω²Αημ(-ωt) $\Rightarrow$

α=ω²Αημ[π-(-ωt)] $\Rightarrow$

α=ω²Αημ(π+ωt) (3)

Συνεπώς η διαφορά φάσης με την βοήθεια των σχέσεων (1) και (3) είναι:

Δφ=φα-φx $\Rightarrow$

Δφ=(ωt+π)-ωt $\Rightarrow$

Δφ=π

και προηγείται η επιτάχυνση.

Η φυσική σημασία αυτής της διαφοράς είναι ότι όταν κάποια χρονική στιγμή η επιτάχυνση έχει ορισμένη τιμή(π.χ. τη τιμή α=+ω²Α/2),τότε η απομάκρυνση θα πάρει την αντίστοιχη τιμή (x=+Α/2) μετά από χρόνο Δt που αντιστοιχεί στη γωνία Δφ=π,δηλαδή μετά από χρόνο που δίνεται από την σχέση:

Δφ=2πΔt/Τ $\Rightarrow$

Δt=ΤΔφ/2π $\Rightarrow$

Δt=Τ/2π π $\Rightarrow$

Δt=Τ/2

ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΤΗΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Προσπαθούμε τώρα να βρούμε από τι εξαρτάται η περίοδος της ταλάντωσης του σώματος .

Για το σκοπό αυτό:

α) Αλλάζουμε το πλάτος της ταλάντωσης και διαπιστώνουμε,με τη βοήθεια του χρονομέτρου,ότι η περίοδος δεν αλλάζει.

β) Αλλάζουμε τη μάζα του σώματος (τοποθετώντας άλλο στη θέση του αρχικού) και διαπιστώνουμε ότι η περίοδος αλλάζει.Μεγαλώνει όταν η μάζα του σώματος μεγαλώνει και μικραίνει όταν μάζα μικραίνει.

Με προσεκτικές, μάλιστα, μετρήσεις είναι δυνατόν να βρούμε ότι όταν η μάζα μεγαλώνει (ή μικραίνει) 4 , 9 , 16 . .. φορές, η περίοδος μεγαλώνει (ή μικραίνει) 2, 3 ,4 ... φορές.

γ) Αλλάζουμε το ελατήριο και διαπιστώνουμε ότι η περίοδος αλλάζει. Μικραίνει όταν η σταθερά τ ου ελατηρίου μεγαλώνει και μεγαλώνει όταν η σταθερά μικραίνει.

Η περίοδος σώματος δεμένου στο άκρο ελατηρίου εξαρτάται από τη μάζα του σώματος και το είδος του ελατηρίου και μάλιστα είναι ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα της μάζας του σώματος και αντίστροφα ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα της σταθεράς του ελατηρίου

Με προσεκτικές,μάλιστα, μετρήσεις, είναι δυνατόν να βρούμε ότι όταν η σταθερά του ελατηρίου μεγαλώνει (ή μικραίνει) 4, 9, 16 ... φορές,η περίοδος μικραίνει (ή μεγαλώνει) 2, 3, 4 ... φορές.

Επομένως η περίοδος σώματος δεμένου στο άκρο ελατηρίου εξαρτάται από τη μάζα του σώματος και το είδος του ελατηρίου και μάλιστα:

α) είναι ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα της μάζας του σώματος και

β) αντίστροφα ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα της σταθεράς του ελατηρίου

Αποδεικνύεται θεωρητικά ότι η περίοδος δίνεται από τη σχέση:

T = 2·π·√mk

που επιβεβαιώνει τα συμπεράσματα που πειραματικά προέκυψαν.

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ

Όπως είπαμε η επιτάχυνση του κινητού που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση κάθε στιγμή δίνεται από την σχέση:

α=-αmaxημωt όπου αmax=ω²Α

Η γραφική παράσταση της συνολικής συνισταμένης των δυνάμεων που ασκούνται σ' ένα σώμα μάζας m,όταν αυτό εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με το χρόνο t

Η συνολική συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σ' ένα σώμα μάζας m,όταν αυτό εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση,δίνεται από τον νόμο της Μηχανικής

F=mα $\Rightarrow$

F=m(-αmaxημωt) $\Rightarrow$

F=-mω²Αημωt $\Rightarrow$

F=-F0ημωt

όπου:
F η δύναμη μία χρονική στιγμή t.
F0=-mω²Α το πλάτος της δύναμης.

ΣΧΕΣΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗΣ

Γνωρίζουμε ότι σ΄ένα σώμα που ηρεμεί,ασκηθούν μια ή περισσότερες σταθερές δυνάμεις,αυτό θα κινηθεί κατά την διεύθυνση της συνισταμένης,κάνοντας ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση.Πρέπει τώρα να μελετήσουμε τα χαρακτηριστικά που έχει η δύναμη ή η συνισταμένη των δυνάμεων σ' ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

Η φορά της δύναμης στην απλή αρμονική ταλάντωση.Το σώμα όταν περνά από τη θέση ισορροπίας η συνολική δύναμη που δέχεται ισούται με μηδέν

Όπως έχουμε αναφέρει αν ένα κινητό μάζας m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε μια τυχαία θέση έχει επιτάχυνση α,ανεξάρτητη από τη φορά της ταχύτητας.Από τον νόμο του Νεύτωνα η συνολική δύναμη που δέχεται το σώμα και είναι υπεύθυνη για την επιτάχυνσή του είναι:

F=mα

Η σχέση F=mα γίνεται από την α=-αmaxημωt

F=mα $\Rightarrow$

F=-mαmaxημωt $\Rightarrow$

F=-mω²Αημωt

Όμως γνωρίζουμε ότι απομάκρυνση x στην απλή αρμονική ταλάντωση έχει εξίσωση x=Αημωt.Άρα η τελευταία σχέση F=-mω²Αημωt γίνεται:

F=-mω²Αημωt $\Rightarrow$

F=-mω²x

Αν το σταθερό γινόμενο mω²το συμβολίσουμε με D η παραπάνω σχέση F=-mω²x γράφεται:

F=-mω²x $\Rightarrow$

F=-Dx

Από τη σχέση αυτή συμπεραίνουμε ότι για να εκτελέσει ένα σώμα απλή αρμονική ταλάντωση πρέπει η δύναμη ή η συνισταμένη των δυνάμεων κατά τη διεύθυνση της κίνησής του να είναι ανάλογη με την απομάκρυνση του σώματος από το μέσο Ο της τροχιάς του και να έχει αντίθετη φορά από αυτήν. Όταν το σώμα περνά από το σημείο Ο η συνολική δύναμη που δέχεται ισούται με μηδέν.Για το λόγο αυτό,το σημείο Ο ονομάζεται θέση ισορροπίας της ταλάντωσης.

Όταν το σώμα περνά από το σημείο Ο η συνολική δύναμη που δέχεται ισούται με μηδέν

Η σχέση F=-Dx είναι η συνθήκη για την παραγωγή απλής αρμονικής ταλάντωσης.
Η δύναμη F που περιγράφει αυτή η σχέση ονομάζεται δύναμη επαναφοράς γιατί ασκείται στο σώμα έτσι ώστε να το επιταχύνει πάντα προς την κατεύθυνση της θέσης ισορροπίας.

Σύμφωνα με τη σχέση F=-Dx για να εκτελεί ένα σώμα απλή αρμονική ταλάντωση πρέπει η συνισταμένη των δυνάμεων F που ασκούνται σ' αυτό να έχει τέτοια φορά,ώστε να τείνει πάντοτε να επαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροπίας (x>0 $\Rightarrow$ F<0 , x<0 $\Rightarrow$ F>0)

Η σχέση F=-Dx είναι η αναγκαία και ικανή συνθήκη για να εκτελεί ένα σώμα απλή αρμονική ταλάντωση.Σύμφωνα με τη σχέση αυτή,για να εκτελεί ένα σώμα απλή αρμονική ταλάντωση πρέπει η συνισταμένη των δυνάμεων F που ασκούνται σ' αυτό:

α) Να έχει ως σταθερό φορέα την ευθεία κίνησης του κέντρου μάζας του σώματος.
β) Να έχει τέτοια φορά,ώστε να τείνει πάντοτε να επαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροπίας (x>0 $\Rightarrow$ F<0,x<0 $\Rightarrow$ F>0).Γι' αυτό όπως είπαμε,είναι γνωστή ως δύναμη επαναφοράς.
γ) Να έχει μέτρο ανάλογο με το μέτρο της απομάκρυνσης του σώματος.
Η γραφική παράσταση της σχέσης F=-Dx φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Γραφική παράσταση της δύναμης επαναφοράς F με την απομάκρυνση x

Η σταθερά αναλογίας D ονομάζεται σταθερά επαναφοράς.Η τιμή της εξαρτάται από τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

Η σταθερά αναλογίας D ονομάζεται σταθερά επαναφοράς.Η τιμή της εξαρτάται από τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση

Το αρνητικό πρόσημο στη σχέση εκφράζει το γεγονός ότι η δύναμη επαναφοράς και η απομάκρυνση έχουν πάντα αντίθετη φορά.

Η σταθερά επαναφοράς επηρεάζει την περίοδο του συστήματος.Αν σε κάποια ταλάντωση είναι γνωστή η σταθερά επαναφοράς, μπορούμε να υπολογίσουμε την περίοδο της.

Από τη σχέση D=mω² έχουμε:

D=mω² $\Rightarrow$

D=(2π/Τ)² $\Rightarrow$

D=m4π²/Τ² $\Rightarrow$

____
Τ=2π√m/D

ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

ΟΛΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

Τώρα θα πρέπει να μελετήσουμε την ενέργεια ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση καθώς και τις μεταβολές της.Για να αποφύγουμε τα προβλήματα που είναι δυνατόν να προκύψουν κατά την εξέταση πολύπλοκων συστημάτων,θα εξετάσουμε το απλούστερο,που όπως είναι γνωστό είναι το πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτή.

Θεωρούμε τον απλό αρμονικό ταλαντωτή,όπου το ελατήριο έχει σταθερά K και το σώμα έχει μάζα m

Θεωρούμε τον απλό αρμονικό ταλαντωτή του παραπάνω σχήματος,όπου το ελατήριο έχει σταθερά K και το σώμα έχει μάζα m.Στην θέση ισορροπίας το σώμα είναι ακίνητο,ενώ το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος L0.

Ασκούμε στο σώμα δύναμη F παράλληλη προς τον άξονα x και το απομακρύνουμε από τη θέση ισορροπίας του κατά x,δηλαδή το φέρνουμε στη θέση L0-x

Ασκούμε στο σώμα δύναμη F παράλληλη προς τον άξονα x και το απομακρύνουμε από τη θέση ισορροπίας του κατά x,δηλαδή το φέρνουμε στη θέση L0-x.

Ένας απλός αρμονικός ταλαντωτής

Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας παίρνουμε:

ΣW=K(τελ)-Κ(αρχ) $\Rightarrow$

WF+WF=0-0 $\Rightarrow$

WF-1/2 Κ Α²=0 $\Rightarrow$

WF=1/2 Κ Α²

Άρα από την τελευταία σχέση βλέπουμε ότι επειδή η μάζα m είναι πρακτικά ασυμπίεστη,όλη η ενέργεια που μεταφέρθηκε στο σύστημα μέσω του έργου της δύναμης ,αποθηκεύεται στο ελατήριο με την μορφή δυναμικής ενέργειας.Την ενέργεια αυτή ονομάζουμε ενέργεια της ταλάντωσης και δίνεται από την σχέση:

Εολ=1/2 Κ Α²

Γενικότερα,όταν η σταθερά επαναφοράς είναι D,η σχέση Εολ=1/2 Κ Α²έχει τη μορφή:

Εολ=1/2 D Α²

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

Αν αφήσουμε το σώμα ελεύθερο,αυτό θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α.Αν πάρουμε σαν αρχή των αξόνων (t=0) την χρονική στιγμή που το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας Ο,τότε η απομάκρυνση και η ταχύτητα του δίνονται από τις σχέσεις:

  x=Aημωt    (1)

  υ=ωΑσυνωt   (2)

  Η κινητική ενέργεια του σώματος στην τυχαία θέση της τροχιάς ,στην οποία έχει στιγμιαία ταχύτητα υ,δίνεται από την σχέση:

     Κ=1/2 mυ²

και ονομάζεται κινητική ενέργεια της ταλάντωσης.

Στις ακραίες θέσεις της τροχιάς του το σώμα έχει ταχύτητα υ=0 και αντίστοιχη κινητική ενέργεια Κ=0.Στη θέση ισορροπίας Ο το σώμα έχει τη μέγιστη ταχύτητα του υ=υmax=±ωΑ και άρα και μέγιστη κινητική ενέργεια Κ=Κ(max)

Το σώμα,σε μια τυχαία θέση,έχει κινητική ενέργεια:

Κ=1/2mυ²=1/2mυmax²συν²ωt=1/2mω²Α²συν²ωt

Στις ακραίες θέσεις Α και Α' της τροχιάς του το σώμα έχει ταχύτητα υ=0 και αντίστοιχη κινητική ενέργεια Κ=0.

Στη θέση ισορροπίας Ο το σώμα έχει τη μέγιστη ταχύτητα του υ=υmax=±ωΑ και άρα και μέγιστη κινητική ενέργεια Κ=Κ(max).
Άρα στη θέση ισορροπίας το σώμα έχει κινητική ενέργεια:

Κ=1/2mυ²=1/2mυmax²=1/2m(±ωΑ)²=1/2mω²Α²

Όμως γνωρίζουμε ότι mω²=D και στην περίπτωση του πρότυπου απλού αρμονικού ταλαντωτή D=Κ.

Συνεπώς η τελευταία σχέση Κ=1/2mω²Α²γίνεται:

Κ=1/2mω²Α² $\Rightarrow$

Κ(max)=1/2 Κ Α² $\Rightarrow$

Κ(max)=Εολ

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗ

Όπως είναι γνωστό σε μία απλή αρμονική ταλάντωση η ταχύτητα υ και η απομάκρυνση x συνδέονται με τη σχέση:

____

υ=±ω√Α² - x²

Όμως mω²=D και στην περίπτωση του πρότυπου απλού αρμονικού ταλαντωτή D=Κ.

Η γραφική παράσταση της σχέσης Κ=f(x)

Άρα η κινητική ενέργεια του σώματος δίνεται από την σχέση:

Κ=1/2mυ² $\Rightarrow$

Κ=1/2mω²(Α² - x²) $\Rightarrow$

Κ=1/2mω²Α² - 1/2mω²x² $\Rightarrow$

Κ=1/2ΚΑ² - 1/2Κx²

Γενικότερα,όταν η σταθερά επαναφοράς είναι D,η σχέση Κ=1/2ΚΑ² - 1/2Κx²γράφεται :

Κ=1/2DΑ² - 1/2Dx²

Η γραφική παράσταση της σχέσης Κ=f(x) φαίνεται στο παραπάνω σχήμα με το μπλε χρώμα:

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΣ

Η κινητική ενέργεια,την τυχαία χρονική στιγμή t,δίνεται από την σχέση:

Κ=1/2mυ² $\Rightarrow$

Κ=1/2m(υmaxσυνωt)² $\Rightarrow$

Κ=1/2mυ²συν²ωt $\Rightarrow$

Κ=1/2mω²Α²συν²ωt

Όμως γνωρίζουμε ότι mω²=D.
Άρα η τελευταία σχέση γίνεται:

Κ=1/2mω²Α²συν²ωt $\Rightarrow$

Κ=1/2DΑ²συν²ωt $\Rightarrow$

Κ=Εολσυν²ωt

Η γραφική παράσταση της σχέσης Κ=f(t)

Η γραφική παράσταση της σχέσης Κ=f(t) φαίνεται στο παραπάνω σχήμα με το μπλε χρώμα:

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

Θεωρούμε ότι στη θέση Ο το σώμα έχει δυναμική ενέργεια μηδέν.Σε κάθε άλλη θέση θα έχει δυναμική ενέργεια.

Αν υποθέσουμε ότι το σώμα είναι ακίνητο και βρίσκεται στο σημείο Ο,για να μετακινηθεί στη θέση Δ, που απέχει απόσταση x από τη θέση ισορροπίας,πρέπει να του ασκηθεί δύναμη F' τέτοια ώστε να εξουδετερώνει τη δύναμη επαναφοράς F. Το μέτρο αυτής της δύναμης, σε κάθε θέση, θα είναι:

F'=Dx

Το έργο της δύναμης F' υπολογίζεται από τη γραφική παράσταση F'=f(x),και είναι W=1/2Dx².

Για να μετατοπιστεί κατά x, στο σώμα ασκούμε δύναμη F'=Dx. Το εμβαδόν της επιφάνειας μεταξύ του διαγράμματος και του άξονα των x είναι αριθμητικά ίσο με το έργο που απαιτήθηκε για τη μετατόπιση

Το έργο της δύναμης F' αποθηκεύεται ως δυναμική ενέργεια στο σύστημα, επομένως:

U=1/2Dx²

Άρα η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου στην τυχαία θέση της τροχιάς του σώματος δίνεται από την σχέση:

U=1/2Kx²

και ονομάζεται δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης.

Στο διάγραμμα παριστάνονται η κινητική, η δυναμική και η συνολική ενέργεια της ταλάντωσης, σε συνάρτηση με την απομάκρυνση

Γενικότερα,όταν η σταθερά επαναφοράς είναι D,η σχέση U=1/2Kx²γράφεται:

U=1/2Dx²

Στη θέση ισορροπίας Ο,η απομάκρυνση είναι x=0 και η αντίστοιχη δυναμική ενέργεια είναι U=0.

Η κινητική και η δυναμική ενέργεια στην απλή αρμονική ταλάντωση μεταβάλλονται περιοδικά με το χρόνο

Στις ακραίες θέσεις Α και Α' της τροχιάς του,το σώμα έχει τη μέγιστη απομάκρυνση του x=±x0 και η δυναμική ενέργεια είναι:

U=1/2Kx² $\Rightarrow$

U(max)=1/2KΑ² $\Rightarrow$

U(max)=Εολ

Από τις σχέσεις Κ(max)=Εολ και U(max)=Εολ συμπεραίνουμε ότι:

Εολ=Κ(max)=U(max)

Όμως γνωρίζουμε ότι D=mω²και x=Αημωt οπότε η σχέση U=1/2Dx² γίνεται:

U=1/2mω²Α²ημ²ωt

Από τις σχέσεις Κ=1/2mΑ²ω²συν²ωt και U=1/2mω²Α²ημ²ωt προκύπτει ότι η κινητική και η δυναμική ενέργεια στην απλή αρμονική ταλάντωση μεταβάλλονται περιοδικά με το χρόνο.

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Η ενέργεια ταλάντωσης του συστήματος σε μια τυχαία θέση δίνεται από τη σχέση:

Ε=Κ+U

η οποία από τις Κ=1/2mω²Α²συν²ωt και U=1/2mω²Α²ημ²ωt γίνεται:

Ε=Κ+U=

1/2mω²Α²συν²ωt +1/2mω²Α²ημ²ωt=

1/2mω²Α²(συν²ωt+ημ²ωt)=

1/2mω²Α²=1/2DΑ²

Ε=1/2DΑ²=1/2mω²Α²=1/2mυmax²

Στο διάγραμμα παριστάνονται η κινητική, η δυναμική και η συνολική ενέργεια της ταλάντωσης, σε συνάρτηση με το χρόνο

Συνεπώς η ενέργεια στην απλή αρμονική ταλάντωση είναι σταθερή και ανάλογη με το τετράγωνο του πλάτους.

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΣ

Η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου,την τυχούσα χρονική στιγμή t,δίνεται από την σχέση:

U=1/2Kx² $\Rightarrow$

U=1/2K(Αημωt)² $\Rightarrow$

U=1/2KΑ²ημ²ωt $\Rightarrow$

U=Εολημ²ωt

Η γραφική παράσταση της σχέσης U=f(t)

Η γραφική παράσταση της σχέσης U=f(t) φαίνεται στο παραπάνω σχήμα με το πορτοκαλί χρώμα.

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Θεωρούμε ένα κύκλωμα που αποτελείται από έναν πυκνωτή με χωρητικότητα C,ένα πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L και ένα διακόπτη δ.Το πηνίο και οι αγωγοί δεν έχουν αντίσταση.

Το κύκλωμα αποτελείται από έναν πυκνωτή με χωρητικότητα C,ένα πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L και ένα διακόπτη δ

Όταν ο διακόπτης είναι ανοικτός,φορτίζουμε τον πυκνωτή με φορτίο Q,ενώ το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα είναι μηδέν,αφού ο διακόπτης είναι ανοικτός.

ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΤΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Στο κύκλωμα του Σχήματος 1 ο πυκνωτής είναι φορτισμένος με φορτίο Q. Όταν κλείσουμε το διακόπτη δ,το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα και ο πυκνωτής εκφορτίζεται (Σχήμα 2).Ταυτόχρονα το πηνίο, λόγω του φαινομένου της αυτεπαγωγής, συμπεριφέρεται σαν πηγή ΗΕΔ. Έτσι, όταν το φορτίο του πυκνωτή είναι μηδέν (Σχήμα 3),το φαινόμενο εξελίσσεται και ο πυκνωτής αρχίζει να φορτίζεται αντίθετα (Σχήμα 4) μέχρι να αποκτήσει φορτίο –Q (Σχήμα 5).

Το φαινόμενο της ηλεκτρικής ταλάντωσης

Στη συνέχεια το φαινόμενο εξελίσσεται ακριβώς αντίστροφα με αποτέλεσμα το κύκλωμα να επανέλθει στην αρχική του κατάσταση. Το φαινόμενο είναι περιοδικό και ονομάζεται ηλεκτρική ταλάντωση. Συνέπεια του φαινομένου αυτού είναι η περιοδική μεταβολή φυσικών ποσοτήτων όπως το ηλεκτρικό φορτίο q του πυκνωτή, η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος i, η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου

του πυκνωτή και η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου

του πηνίου. Σε ένα κύκλωμα πηνίου – πυκνωτή

χωρίς ωμική αντίσταση (ιδανικό κύκλωμα) μπορεί να δημιουργηθεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση.
Το γεγονός ότι ο πυκνωτής δεν εκφορτίζεται αμέσως, όπως επίσης και το ότι το ρεύμα στο κύκλωμα δε γίνεται μέγιστο αμέσως, οφείλεται στο φαινόμενο της αυτεπαγωγής.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Στην ιδανική περίπτωση που δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας η διαδικασία επαναλαμβάνεται συνέχεια.

Η ηλεκτρική ταλάντωση

Το φαινόμενο ονομάζεται ηλεκτρική ταλάντωση.

Η φορά του ρεύματος στην ηλεκτρική ταλάντωση

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το κύκλωμα LC εκτελεί ηλεκτρομαγνητικές ταλαντώσεις που βρίσκονται σε πλήρη αναλογία με τις μηχανικές ταλαντώσεις που εκτελεί το σύστημα μάζα-ελατήριο.

ΧΡΟΝΙΚH ΕΞΙΣΩΣH q=f(t) ΣΤΟ ΚΥΚΛΩΜΑ LC

Πράγματι,αποδεικνύεται ότι το φορτίο στον πυκνωτή που διαρρέει το κύκλωμα δίνεται από την σχέση:

q=Qημ(ωt+φ0)

Επειδή τη χρονική στιγμή t=0 είναι q=Q,η σχέση q=Qημ(ωt+φ) γράφεται:

q=Qημ(ωt+φ0) $\Rightarrow$

Q=Qημφ0 $\Rightarrow$

ημφ0=1 $\Rightarrow$

ημφ0=ημπ/2 $\Rightarrow$

φ0=2κπ+π/2

Επειδή όμως 0≤ φ0 <2π στη τελευταία σχέση φ0=2κπ+π/2 έχουμε κ=0.Άρα:

φ0=π/2

  Συνεπώς η σχέση q=Qημ(ωt+φ0) παίρνει τη μορφή:

q=Qημ(ωt+φ0) $\Rightarrow$

q=Qημ(ωt+π/2) $\Rightarrow$

   q=Qσυνωt

  Η σχέση q=Qσυνωt είναι η χρονική εξίσωση q=f(t) στο κύκλωμα LC.
  Πρέπει να θυμηθούμε ότι:

όπου:
V η τάση μεταξύ των οπλισμών του πυκνωτή.

ΧΡΟΝΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ i=f(t) ΣΤΟ ΚΥΚΛΩΜΑ LC

Επίσης αποδεικνύεται ότι η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα δίνεται από την σχέση:

i=Iσυν(ωt+φ0)

Η σχέση I=I0συν(ωt+φ0) παίρνει τη μορφή:

I=I0συν(ωt+φ0) $\Rightarrow$

I=I0συν(ωt+π/2) $\Rightarrow$

i=-Iημωt

όπου:

Ι=Qω

Δηλαδή το πλάτος της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα είναι ανάλογο με το πλάτος του φορτίου του πυκνωτή.
Η σχέση i=-Iημωt είναι η χρονική εξίσωση i=f(t) στο κύκλωμα LC.

Οι γραφικές παραστάσεις του φορτίου στον πυκνωτή και του ρεύματος σε συνάρτηση με το χρόνο, σε κύκλωμα LC

Στις σχέσεις αυτές,χρονική στιγμή μηδέν θεωρείται η στιγμή που κλείνουμε το διακόπτη.
Θετική θεωρείται η φορά του ρεύματος όταν αυτό κατευθύνεται προς τον οπλισμό του πυκνωτή που για t = 0 ήταν θετικά φορτισμένος.

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ q=f(t) KAI i=f(t) ΣΤΟ ΚΥΚΛΩΜΑ LC

Όπως είπαμε η σχέση q=Qσυνωt είναι η χρονική εξίσωση q=f(t) στο κύκλωμα LC.

Η γραφική παράσταση του φορτίου στον πυκνωτή σε συνάρτηση με το χρόνο

Η γραφική παράσταση του φορτίου στον πυκνωτή σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται στο παραπάνω σχήμα.
Επίσης είπαμε ότι η σχέση i=-Iημωt είναι η χρονική εξίσωση i=f(t) στο κύκλωμα LC.

Η γραφική παράσταση του ρεύματος σε συνάρτηση με το χρόνο

Η γραφική παράσταση του ρεύματος σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται στο παραπάνω σχήμα.
Ο παρακάτω πίνακας μας δείχνει τα πρόσημα του φορτίου του οπλισμού και της έντασης του ρεύματος.

φορτίο οπλισμού	ένταση ρεύματος	κατάσταση
+	-	εκφόρτιση
-	-	φόρτιση
-	+	εκφόρτιση
+	+	φόρτιση

ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Η περίοδος Τ ενός τέτοιου ιδανικού κυκλώματος είναι:
__
T=2π√LC

Από την τελευταία σχέση βλέπουμε ότι η περίοδος εξαρτάται μόνο από τη χωρητικότητα και την αυτεπαγωγή του κυκλώματος.

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΟ ΚΥΚΛΩΜΑ LC

Ένας απλός τρόπος για να φορτίσουμε το πυκνωτή είναι να φέρουμε σε επαφή τους οπλισμούς του με τους πόλους πηγής συνεχούς τάσης.

Tο κύκλωμα LC εκτελεί ηλεκτρομαγνητικές ταλαντώσεις

Αυτή τη χρονική στιγμή αποθηκεύεται στον πυκνωτή ηλεκτρική ενέργεια:

Εηλ=1/2 q²/C

ενώ η ενέργεια στο πηνίο είναι μηδέν.

ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΟ ΚΥΚΛΩΜΑ LC

Αν τη χρονική στιγμή t=0 κλείσουμε το διακόπτη,ο πυκνωτής αρχίζει να εκφορτίζεται μέσα από το πηνίο και το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα.Όσο χρόνο διαρκεί η εκφόρτιση του πυκνωτή η ηλεκτρική ενέργεια που είναι αποθηκευμένη σ' αυτόν ελαττώνεται και μετατρέπεται σε ενέργεια μαγνητικού πεδίου που δημιουργείται στο πηνίο λόγω του αναπτυσσόμενου ρεύματος.

Αν τη χρονική στιγμή t=0 κλείσουμε το διακόπτη,ο πυκνωτής αρχίζει να εκφορτίζεται μέσα από το πηνίο και το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα.Όσο χρόνο διαρκεί η εκφόρτιση του πυκνωτή η ηλεκτρική ενέργεια που είναι αποθηκευμένη σ' αυτόν ελαττώνεται και μετατρέπεται σε ενέργεια μαγνητικού πεδίου που δημιουργείται στο πηνίο λόγω του αναπτυσσόμενου ρεύματος

Όταν τελικά ο πυκνωτής εκφορτιστεί,το ρεύμα που διέρχεται από το πηνίο έχει ένταση I και η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου στο πηνίο είναι:

Εμαγ=1/2 Li²

Στη συνέχεια αυτή η διαδικασία γίνεται αντίστροφα, μειώνεται η ενέργεια στο πηνίο και αυξάνεται στον πυκνωτή,μέχρι την πλήρη φόρτιση του οπότε το κύκλωμα επανέρχεται ενεργειακά στην αρχική του κατάσταση.Η όλη διαδικασία επαναλαμβάνεται.

ΟΛΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

Στην ιδανική περίπτωση που θεωρούμε ότι η ωμική αντίσταση του κυκλώματος είναι αμελητέα,θα ισχύει:

Εολ=1/2 Q²/C=1/2 LI²

Στη συνέχεια,όλη η ενέργεια μεταφέρεται από το πηνίο πάλι στον πυκνωτή,ο οποίος τελικά αποκτά το ίδιο φορτίο Q με αντίθετη πολικότητα,δηλαδή η φόρτιση είναι αντίθετη.Δηλαδή η διαδικασία γίνεται αντίστροφα, μειώνεται η ενέργεια στο πηνίο και αυξάνεται στον πυκνωτή,μέχρι την πλήρη φόρτιση του οπότε το κύκλωμα επανέρχεται ενεργειακά στην αρχική του κατάσταση.Η όλη διαδικασία επαναλαμβάνεται.

Στη συνέχεια,όλη η ενέργεια μεταφέρεται από το πηνίο πάλι στον πυκνωτή,ο οποίος τελικά αποκτά το ίδιο φορτίο Q με αντίθετη πολικότητα,δηλαδή η φόρτιση είναι αντίθετη.Ο πυκνωτής θα αρχίσει να εκφορτίζεται πάλι και το φαινόμενο της περιοδικής μετατροπής της ηλεκτρικής ενέργειας σε ενέργεια μαγνητικού πεδίου και αντίστροφα θα επαναλαμβάνεται

Ο πυκνωτής θα αρχίσει να εκφορτίζεται πάλι και το φαινόμενο της περιοδικής μετατροπής της ηλεκτρικής ενέργειας σε ενέργεια μαγνητικού πεδίου και αντίστροφα θα επαναλαμβάνεται.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΤΟ ΚΥΚΛΩΜΑ LC

Σύμφωνα με την σχέση q=Qσυνωt,τη χρονική στιγμή t η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή είναι:

Εηλ=1/2q ²/C $\Rightarrow$

Εηλ=1/2(Qσυνωt) ²/C $\Rightarrow$

Εηλ=1/2Q²συν²ωt/C $\Rightarrow$

Εηλ=Εολσυν²ωt

Η σχέση Εηλ=Εολσυν²ωt είναι η χρονική χρονική εξίσωση Εηλ=f(t) στο κύκλωμα LC.
Τώρα σύμφωνα με την σχέση i=-Iημωt,τη χρονική στιγμή t η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου είναι :

Εμαγ=1/2 Li² $\Rightarrow$

Εμαγ=1/2 L(-Iημωt)² $\Rightarrow$

Εμαγ=1/2 LI²ημ²ωt $\Rightarrow$

Εμαγ=Εολημ²ωt

Η σχέση Εμαγ=Εολημ²ωt είναι η χρονική εξίσωση Εμαγ=f(t) στο κύκλωμα LC.

Από τις σχέσεις Εηλ και Εμαγ φαίνεται ότι η ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή μετατρέπεται περιοδικά σε ενέργεια μαγνητικού πεδίου στο πηνίο και αντίστροφα.
Ακόμα παρατηρούμε η ενέργεια στον πυκνωτή και στο πηνίο μεταβάλλεται περιοδικά μεταξύ της τιμής μηδέν και μιας μέγιστης τιμής,ενώ σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ενέργειας και με την προϋπόθεση ότι το κύκλωμα δεν έχει ωμική αντίσταση,το άθροισμα Εηλ και Εμαγ μένει πάντα σταθερό.

Οι γραφικές παραστάσεις της ενέργειας ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή και της ενέργειας μαγνητικού πεδίου του πηνίου με τον χρόνο.H ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή μετατρέπεται περιοδικά σε ενέργεια μαγνητικού πεδίου στο πηνίο και αντίστροφα

Μελετήσαμε την ηλεκτρική ταλάντωση με την προϋπόθεση ότι η ενέργεια του συστήματος διατηρείται.Όμως η κατάσταση αυτή είναι ιδανική.Στην πραγματικότητα υπάρχουν δυο λόγοι για τους οποίους η ενέργεια του συστήματος μειώνεται.

α) Οι αγωγοί του συστήματος έχουν αντίσταση κι συνεπώς ένα μέρος της ενέργειας μετατρέπεται σε θερμότητα.

β) Τα κυκλώματα ηλεκτρικών ταλαντώσεων εκπέμπουν ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία, δηλαδή χάνουν ενέργεια.

ΣΧΕΣΗ ΠΛΑΤΟΥΣ ΕΝΤΑΣΗΣ-ΠΛΑΤΟΥΣ ΦΟΡΤΙΟΥ

Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας έχουμε:

ΣΧΕΣΗ ΕΝΤΑΣΗΣ -ΦΟΡΤΙΟΥ

Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας έχουμε:

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Εηλ=f(t) KAI Eμαγ=f(t)

Όπως είπαμε η σχέση Εηλ=Εολσυν²ωt είναι η χρονική χρονική εξίσωση Εηλ=f(t) στο κύκλωμα LC.

Η γραφική παράσταση της ενέργειας ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή με τον χρόνο

Η γραφική παράσταση της ενέργειας ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή με τον χρόνο φαίνεται στο παραπάνω σχήμα.
Η σχέση Εμαγ=Εολημ²ωt είναι η χρονική εξίσωση Εμαγ=f(t) στο κύκλωμα LC.

Η γραφική παράσταση της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου του πηνίου με τον χρόνο

Η γραφική παράσταση της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου του πηνίου με τον χρόνο φαίνεται στο παραπάνω σχήμα.

Η κοινή γραφική παράσταση Εηλ-q και Εμαγ-q

Στο παραπάνω σχήμα φαίνεται η κοινή γραφική παράσταση Εηλ-q και Εμαγ-q.

ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Μελετήσαμε την ηλεκτρική ταλάντωση ενός τέτοιου κυκλώματος και παρατηρούμε ότι παρουσιάζει αναλογίες με την απλή αρμονική ταλάντωση που εκτελεί σώμα μάζας m σε ιδανικό ελατήριο σταθεράς Κ.

H ηλεκτρική ταλάντωση παρουσιάζει αναλογίες με την απλή αρμονική ταλάντωση που εκτελεί σώμα μάζας m σε ιδανικό ελατήριο σταθεράς Κ

Συγκρίνοντας το ηλεκτρικό κύκλωμα LC και το σύστημα μάζας-ελατηρίου συμπεραίνουμε ότι:
α) Μπορούμε να αντιστοιχίσουμε την ηλεκτρική ενέργεια του πυκνωτή στη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου,γιατί η ενέργεια αποθηκεύεται μόνο στον πυκνωτή και στο ελατήριο.
β) Μπορούμε να αντιστοιχίσουμε την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου στην κινητική ενέργεια της μάζας,γιατί οι δύο αυτές μορφές ενέργειας σχετίζονται με την κίνηση του φορτίου στο κύκλωμα LC και της μάζας στο σύστημα μάζας - ελατηρίου.

Μπορούμε να αντιστοιχίσουμε την ηλεκτρική ενέργεια του πυκνωτή στη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου

Το σώμα απομακρύνεται από τη θέση ισορροπίας και αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί χωρίς τριβές.Αυτό θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.Αν ως χρονική στιγμή μηδέν θεωρηθεί η στιγμή κατά την οποία αφέθηκε ελεύθερο,η ταλάντωση θα έχει αρχική φάση π/2.

Οι σχέσεις που περιγράφουν την απομάκρυνση και την ταχύτητα του σώματος κάθε στιγμή είναι:

x=Αημ(ωt+π/2)=Ασυνωt

υ=υmaxσυν(ωt+π/2)=-υmaxημωt

Στην ηλεκτρική ταλάντωση το φορτίο στον πυκνωτή και το ρεύμα στο κύκλωμα μεταβάλλονται όπως η απομάκρυνση και η ταχύτητα στη μηχανική ταλάντωση που περιγράψαμε.

Η ενέργεια στον πυκνωτή και στο πηνίο μεταβάλλεται περιοδικά μεταξύ της τιμής μηδέν και μιας μέγιστης τιμής

Στο μηχανικό σύστημα,η αρχική δυναμική ενέργεια μετατρέπεται 1/2ΚΑ²περιοδικά σε κινητική,ενώ η συνολική ενέργεια - μηχανική ενέργεια - διατηρείται.

Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ενέργειας το άθροισμα Εηλ και Εμαγ μένει πάντα σταθερό

Αντίστοιχα στο κύκλωμα LC,η αρχική ενέργεια Ε=1/2 Q²/C,που είναι η ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου μετατρέπεται περιοδικά σε ενέργεια μαγνητικού πεδίου,ενώ η συνολική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή.

ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Κατά την μελέτη του απλού αρμονικού ταλαντωτή υποθέσαμε ότι το πλάτος της ταλάντωσης παραμένει σταθερό.

Γραφική παράσταση x-t στην απλή αρμονική ταλάντωση

Στην πραγματικότητα κανένα σύστημα που ταλαντώνεται ελεύθερα,αφού δεχθεί μια αρχική διέγερση,δε διατηρεί σταθερό το πλάτος ταλάντωσης,γιατί η ενέργεια του λόγω τριβών συνέχεια μειώνεται,με αποτέλεσμα το πλάτος της ταλάντωσης να ελαττώνεται και τελικά να μηδενίζεται.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Ταλαντώσεις αυτού του είδους λέγονται φθίνουσες ταλαντώσεις ή αποσβεννύμενες ταλαντώσεις.

Φθίνουσα ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση στην οποία το πλάτος της ελαττώνεται και τελικά μηδενίζεται

Φθίνουσα ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση στην οποία το πλάτος της ελαττώνεται και τελικά μηδενίζεται.

Γραφική παράσταση x-t στη φθίνουσα ταλάντωση

Είναι φανερό ότι,σε μια φθίνουσα ταλάντωση,η ολική ενέργεια συνεχώς ελαττώνεται και αυτό οφείλεται σε απώλειες ενέργειας λόγω τριβών,αντιστάσεων κ.λ.π.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΗΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Ένα απλό παράδειγμα φθίνουσας ταλάντωσης είναι το σώμα Σ που απομακρύνεται κατά Α από τη θέση ισορροπίας και αφήνεται ελεύθερο στη θέση Ρ.Όσο μικρή και αν είναι η τριβή του με το δάπεδο,όταν ολοκληρώσει μια ταλάντωση δε θα επιστρέψει στο σημείο Ρ.

Απομακρύνουμε το σώμα Σ από τη θέση ισορροπίας Ο και το αφήνουμε ελεύθερο στο σημείο Ρ. Το σώμα όταν ολοκληρώσει μια ταλάντωση λόγω τριβών δεν επιστρέφει στο Ρ

Χωρίς εξωτερική επέμβαση,το σώμα θα συνεχίσει την ταλάντωση με το πλάτος της ταλάντωσης συνεχώς να μειώνεται και ύστερα από ορισμένο χρόνο θα σταματήσει.

H ταλάντωση του εκκρεμούς είναι μια φθίνουσα ταλάντωση

Άλλα παραδείγματα φθίνουσας ταλάντωσης είναι:
α) Η ταλάντωση που κάνει ένα σώμα όταν είναι κρεμασμένο από ελατήριο και κινείται μέσα στον αέρα και
β) Η ταλάντωση του εκκρεμούς.
Στην πραγματικότητα στο μακρόκοσμο όλες οι ταλαντώσεις είναι φθίνουσες γιατί όλες οι κινήσεις εκτελούνται από τριβές και αντιστάσεις.

ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Οι δυνάμεις που προκαλούν τη μείωση του πλάτος μιας ταλάντωσης δεν μπορούν εύκολα να προσδιοριστούν.Για παράδειγμα η αντίσταση του αέρα είναι δύσκολο να προσδιοριστεί,γιατί εξαρτάται από το σχήμα,την υφή του σώματος και την ταχύτητά του.

Η ελάττωση του πλάτους οφείλεται σε δυνάμεις που αντιτίθενται στην κίνηση

Η ελάττωση του πλάτους οφείλεται σε δυνάμεις που αντιτίθενται στην κίνηση.Οι δυνάμεις αυτές μεταφέρουν ενέργεια από το σύστημα στο περιβάλλον.Γι' αυτό η μηχανική ενέργεια του συστήματος με την πάροδο του χρόνου ελαττώνεται και το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται.

Στην φθίνουσα ταλάντωση η μηχανική ενέργεια του συστήματος με την πάροδο του χρόνου ελαττώνεται και το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται

Απόσβεση ονομάζεται η ελάττωση του πλάτους της φθίνουσας ταλάντωσης και οφείλεται σε δυνάμεις που αντιτίθενται στην κίνηση και μετατρέπουν τη μηχανική ενέργεια σε θερμότητα.

Απόσβεση ονομάζεται η ελάττωση του πλάτους της φθίνουσας ταλάντωσης και οφείλεται σε δυνάμεις που αντιτίθενται στην κίνηση και μετατρέπουν τη μηχανική ενέργεια σε θερμότητα

Πειραματικά μπορούμε να μελετήσουμε τη φθίνουσα ταλάντωση με τη διάταξη του παρακάτω σχήματος.Στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου εξαρτάται σώμα μάζας m ,από το οποίο προσδένεται με λεπτό άκαμπτο σύρμα μια μεταλλική πλάκα αμελητέου όγκου,που είναι βυθισμένη σ' ένα υγρό.

Στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου εξαρτάται σώμα μάζας m ,από το οποίο προσδένεται με λεπτό άκαμπτο σύρμα μια μεταλλική πλάκα αμελητέου όγκου,που είναι βυθισμένη σ' ένα υγρό

Αν τραβήξουμε το σώμα ελαφρά προς τα κάτω και στη συνέχεια το αφήσουμε ελεύθερο,τότε αυτό θα εκτελέσει φθίνουσα ταλάντωση.Ο τρόπος ελάττωσης του πλάτους της φθίνουσας ταλάντωσης εξαρτάται από τη δύναμη που αντιστέκεται στη κίνηση.Αυτή η περίπτωση έχει μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον γιατί έχει βρεθεί πειραματικά ότι η δύναμη F που μεταβάλλει την ταλάντωση σε φθίνουσα είναι ανάλογη προς την ταχύτητα υ,δηλαδή ισχύει:

F=-bυ

όπου:
b ένας συντελεστής που λέγεται σταθερά απόσβεσης.

Το πλάτος είναι φθίνουσα συνάρτηση του χρόνου

Δυνάμεις αυτής της μορφής παρατηρούνται κατά την κίνηση αντικειμένων μέσα στον αέρα ή σε υγρό.
Αν η δύναμη που αντιτίθεται στην κίνηση είναι της μορφής F=-bυ τότε το σύστημα εκτελεί φθίνουσα εκθετική ταλάντωση.

α) Όταν η σταθερά απόσβεσης είναι μηδέν η ταλάντωση είναι αμείωτη.
β) Φθίνουσα ταλάντωση. Η περίοδος διατηρείται σταθερή και ανεξάρτητη του πλάτους,
γ) Όταν ο συντελεστής απόσβεσης μεγαλώνει, το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται πιο γρήγορα,
δ) Όταν ο συντελεστής απόσβεσης είναι πολύ μεγάλος η κίνηση είναι απεριοδική.

Η σταθερά απόσβεσης b είναι μια σταθερά που καθορίζει το ρυθμό μείωσης πλάτους και εξαρτάται από τις ιδιότητες του μέσου καθώς και από το σχήμα και το μέγεθος του αντικειμένου που κινείται.Ο ρυθμός με τον οποίο μειώνεται το πλάτος μιας ταλάντωσης εξαρτάται από την τιμή της σταθεράς b.
Μονάδα μέτρησης της σταθεράς απόσβεσης στο SI είναι:

Στο παραπάνω σχήμα φαίνονται ταλαντώσεις με διαφορετική σταθερά απόσβεσης.Όταν η σταθερά απόσβεσης είναι μηδέν η ταλάντωση είναι αμείωτη.Στην Φθίνουσα ταλάντωση η περίοδος διατηρείται σταθερή και ανεξάρτητη του πλάτους.Όταν ο συντελεστής απόσβεσης μεγαλώνει, το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται πιο γρήγορα.

Γραφική παράσταση x-t απεριοδικής κίνησης

Στην περίπτωση όπου ο συντελεστής απόσβεσης είναι πολύ μεγάλος η κίνηση είναι απεριοδική.

Από την μελέτη των παραπάνω καμπυλών προκύπτουν τα εξής συμπεράσματα:

α) Το πλάτος είναι φθίνουσα συνάρτηση του χρόνου.
β) Η περίοδος για κάθε φθίνουσα ταλάντωση είναι σταθερή,και αυξάνεται όταν αυξάνει το b.
γ) Ο ρυθμός με τον οποίο μειώνεται το πλάτος αυξάνει με την σταθερά απόσβεσης.
δ) Για μεγάλες τιμές της σταθεράς απόσβεσης η κίνηση γίνεται απεριοδική.

Οι γραφικές παραστάσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου στην περίπτωση φθίνουσας ταλάντωσης

Ένα άλλο παράδειγμα που μπορούμε να μελετήσουμε τη φθίνουσα ταλάντωση είναι η διάταξη του παρακάτω σχήματος.Με τη χρήση μιας αεραντλίας μπορούμε να μεταβάλουμε την πίεση του αέρα στο εσωτερικό του δοχείο, μέσα στο οποίο ταλαντώνεται η σφαίρα μάζας m1.

Με τη χρήση μιας αεραντλίας μπορούμε να μεταβάλουμε την πίεση του αέρα στο εσωτερικό του δοχείο, μέσα στο οποίο ταλαντώνεται η σφαίρα μάζας m1

Η μεταβολή της πίεσης μέσα στο δοχείο μεταβάλλει τη σταθερά απόσβεσης b. Στην περίπτωση που το ελατήριο είναι ιδανικό, αν αφαιρούσαμε όλο τον αέρα η σταθερά απόσβεσης θα ήταν μηδέν και η ταλάντωση αμείωτη. Όταν αυξάνεται η πίεση αυξάνεται η τιμή της σταθεράς b και η απόσβεση είναι ταχύτερη.

ΜΕΙΩΣΗ ΤΟΥ ΠΛΑΤΟΥΣ

Ας θεωρήσουμε πάλι την φθίνουσα ταλάντωση της διάταξης του παρακάτω σχήματος.

Στην περίπτωση αυτή,αποδεικνύεται ότι τα διαδοχικά πλάτη A0,A1,A3,Α4 ......αποτελούν φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο,δηλαδή ο λόγος κ δύο πλατών με χρονική διαφορά μιας περιόδου είναι σταθερός:

κ=A0/A1=A1/A2=A2/A3=......=σταθ.

και ονομάζεται λόγος απόσβεσης.

Ο λόγος δύο διαδοχικών μεγίστων απομακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυνση διατηρείται σταθερός

Για αμείωτη ταλάντωση είναι κ=1.
Αποδεικνύεται ότι μετά από χρόνο t=nT,όπου n=1,2,3,4,....από την στιγμή που το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α0,το πλάτος της ταλάντωσης Αt της φθίνουσας ταλάντωσης δίνεται από την σχέση:

Αt=Α0e^-Λt

όπου:
Λ μια σταθερά που εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης b και τη μάζα m του σώματος που εκτελεί την ταλάντωση.

Τα διαδοχικά πλάτη A0,A1,A3,Α4 ......αποτελούν φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο

   Στη φθίνουσα εκθετική ταλάντωση ο όρος Αt=Α0e^-Λt δεν ισούται ακριβώς με το πλάτος ταλάντωσης. Κατά συνέπεια, ονομάζεται "πλάτος" ταλάντωσης μόνο κατά προσέγγιση.
Από πειράματα αποδεικνύεται ότι:

   Λ=b/2m

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΧΕΣΕΩΝ

1)  σταθ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

σταθ.

2) σταθ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

σταθ.

3)

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Ο ρυθμός με τον οποίο φθίνουν οι ταλαντώσεις παρουσιάζει μεγάλο τεχνικό ενδιαφέρον.Σε συστήματα όπως εκκρεμή,μηχανικά ρολόγια,κ.τ.λ. επιδιώκουμε να είναι ο μικρότερος δυνατός,ενώ στα συστήματα απόσβεσης κραδασμών π.χ. σύστημα ανάρτησης αυτοκινήτων,ο μέγιστος δυνατός.

Στα μηχανικά ρολόγια επιδιώκουμε να είναι ο μικρότερος δυνατός ρυθμός με τον οποίο φθίνουν οι ταλαντώσεις

Το σύστημα ανάρτησης του αυτοκινήτου είναι ένα σύστημα αποσβεννύμενων ταλαντώσεων.Τα αμορτισέρ εξασφαλίζουν δύναμη απόσβεσης,η οποία εξαρτάται από την ταχύτητα,τέτοια, ώστε όταν το αυτοκίνητο περνά από ένα εξόγκωμα του δρόμου, να μη συνεχίζει να ταλαντώνεται για πολύ χρόνο.Καθώς τα αμορτισέρ παλιώνουν και φθείρονται, η τιμή του b ελαττώνεται και η ταλάντωση διαρκεί περισσότερο.Η φθορά αυτή μειώνει την ασφάλεια,επειδή οι ρόδες έχουν λιγότερη επαφή με το έδαφος.

Τα αμορτισέρ εξασφαλίζουν δύναμη απόσβεσης,η οποία εξαρτάται από την ταχύτητα,τέτοια, ώστε όταν το αυτοκίνητο περνά από ένα εξόγκωμα του δρόμου, να μη συνεχίζει να ταλαντώνεται για πολύ χρόνο

Στις μεγάλες τεχνικές κατασκευές,όπως ψηλά κτίρια ή κρεμαστές γέφυρες,η απόσβεση οφείλεται στις τριβές που αναπτύσσονται ανάμεσα στα διάφορα τμήματα τους καθώς και στο τρόπο κατασκευής τους.

Για να προστατευτούν κρεμαστές γέφυρες από τις σεισμικές δονήσεις και τις ταλαντώσεις που προκαλούν οι ισχυροί άνεμοι,επιδιώκεται ώστε η απόσβεση να είναι μέγιστη

Για να προστατευτούν οι κατασκευές αυτές από τις σεισμικές δονήσεις και τις ταλαντώσεις που προκαλούν οι ισχυροί άνεμοι,επιδιώκεται ώστε η απόσβεση να είναι μέγιστη.

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Κατά ανάλογο τρόπο σε ένα κύκλωμα LC για να είναι η ηλεκτρική ταλάντωση αμείωτη δεν πρέπει να υπάρχει απώλεια ενέργειας.Όμως αυτό είναι πρακτικά αδύνατο.

Το κύκλωμα RLC είναι κύκλωμα φθινουσών ηλεκτρικών ταλαντώσεων.

Στην πραγματικότητα οι ηλεκτρικές ταλαντώσεις είναι φθίνουσες.Το μέγιστο φορτίο στον πυκνωτή και το πλάτος του ρεύματος μικραίνουν με αποτέλεσμα το κύκλωμα παύει να ταλαντώνεται.

ΜΕΛΕΤΗ ΦΘΙΝΟΥΣΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις,ο κύριος λόγος της απόσβεσης είναι η ωμική αντίσταση,η αύξηση της οποίας συνεπάγεται πιο γρήγορη απόσβεση της ταλάντωσης και μικρή αύξηση της περιόδου της.Όταν η R αυξάνεται, το πλάτος φορτίου μειώνεται πιο γρήγορα.

Στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις,ο κύριος λόγος της απόσβεσης είναι η ωμική αντίσταση

Μόλις κλείσουµε τον διακόπτη,ο πυκνωτής αρχίζει να εκφορτίζεται και το κύκλωµα διαρρέεται από ϱευµα. Η ωµική αντίσταση µετατρέπει βαθµιαία την ηλεκτρική ενέργεια σε θερµότητα Joule, µε αποτέλεσµα η ολική ενέργεια και κατα συνέπεια το µέγιστο ϕορτίο του πυκνωτη διαρκώς να µειώνεται και τελικά να µηδενίζεται. Μεταβάλλοντας την ωµική αντίσταση R, µπορούµε να λάβουµε τις γραφικές παραστάσεις του ϕορτιου q του πυκνωτή σε συνάρτηση µε τον χρονο t για µηδενική, µικρή, µεσαία και πολύ µεγθάλη ωµική αντίσταση.

Η γραφική παράσταση του φορτίου του πυκνωτή σε συνάρτηση με τον χρόνο

Τα κυκλώματα LC που χρησιμοποιούνται στην πράξη παρουσιάζουν μικρή αντίσταση και η αύξηση της περιόδου μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα.

Η γραφική παράσταση της έντασης του ρεύματος σε συνάρτηση με τον χρόνο

Στις φθίνουσες ηλεκτρικές ταλαντώσεις, το πλάτος του φορτίου μειώνεται εκθετικά με το χρόνο:

Η σταθερά Λ εξαρτάται από την ωμική αντίσταση R του κυκλώματος και από το συντελεστή αυτεπαγωγής L του πηνίου.

α) Αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση,

β) και γ) Φθίνουσες ηλεκτρικές ταλαντώσεις,

δ) Όταν η αντίσταση είναι πολύ μεγάλη το φαινόμενο δεν είναι περιοδικό.

Μονάδα μέτρησης της σταθεράς Λ στο SI είναι το:

.

Ο λόγος δύο διαδοχικών πλατών φορτίου διατηρείται σταθερός:

σταθ.

Για ορισμένη τιμή της αντίστασης, η περίοδος είναι σταθερή και ανεξάρτητη από το πλάτος φορτίου.
Αν η τιμή της αντίστασης υπερβεί κάποιο όριο η ταλάντωση γίνεται απεριοδική.

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Στην πράξη,όλες οι ελεύθερες ταλαντώσεις είναι φθίνουσες,γιατί η αρχική ολική ενέργεια της ταλάντωσης μετατρέπεται σε θερμότητα με ρυθμό που καθορίζουν οι δυνάμεις απόσβεσης.

Γραφική παράσταση x-t στη φθίνουσα ταλάντωση

Άρα,για να διατηρηθεί μια ταλάντωση αμείωτη,πρέπει να προσφέρεται στο σύστημα συνεχώς ενέργεια με τον ίδιο ρυθμό που η ενέργεια του συστήματος γίνεται θερμότητα.Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα που ταλαντώνεται πρέπει να διεγείρεται περιοδικά.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Μια τέτοια ταλάντωση χαρακτηρίζεται ως εξαναγκασμένη ταλάντωση.

Εξαναγκασμένη ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση που εκτελεί ένα σύστημα,όταν διατηρεί σταθερό το πλάτος της με την επίδραση εξωτερικής περιοδικής κίνησης

Εξαναγκασμένη ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση που εκτελεί ένα σύστημα,όταν διατηρεί σταθερό το πλάτος της με την επίδραση εξωτερικής περιοδικής κίνησης.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Ένα παράδειγμα συστήματος που εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση είναι το σύστημα ελατήριο-μάζα-τροχαλία,όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Το σύστημα ελατήριο-μάζα-τροχαλία

Εκτός από το σύστημα ελατήριο-μάζα-τροχαλία άλλα παραδείγματα εξαναγκασμένης ταλάντωσης είναι:
α) Κουρδιστό ρολόι.
β) Γέφυρα που ταλαντώνεται υπό την επίδραση του αέρα.
γ) Φίλαθλοι που χτυπάνε ρυθμικά τα πόδια τους σε ένα γήπεδο ποδοσφαίρου.

ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Θεωρούμε ένα σύστημα κατακόρυφου ελατηρίου-σώματος το οποίο μπορεί να εκτελέσει ταλαντώσεις,όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Ένα σύστημα κατακόρυφου ελατηρίου-σώματος το οποίο μπορεί να εκτελέσει ταλαντώσεις

Εκτρέπουμε κατακόρυφα το σώμα Σ από τη θέση ισορροπίας του και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί.Αν θεωρήσουμε ότι δεν υπάρχουν αντιστάσεις,τότε το σύστημα θα εκτελέσει μια ταλάντωση η οποία θα είναι αμείωτη,δηλαδή απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερό πλάτος ταλάντωσης και ενέργεια ταλάντωσης.Η ταλάντωση θα έχει συχνότητα:

όπου:
Κ η σταθερά του ελατηρίου και
m η μάζα του σώματος.
Όμως στην πραγματικότητα επειδή πάντα έχουμε αντιστάσεις, η ταλάντωση είναι φθίνουσα με και θα έχουμε σταδιακά μείωση του πλάτους και της ενέργειας ταλάντωσης.Η συχνότητά της θα είναι λίγο μικρότερη από την παραπάνω.Όμως για μικρές αντιστάσεις μπορούμε να τη θεωρήσουμε ίση με f0.Μια τέτοια ταλάντωση ονομάζεται ελεύθερη.

Το σώμα Σ απομακρύνεται από τη θέση ισορροπίας και αφήνεται ελεύθερο. Η ταλάντωση του είναι ελεύθερη

Ελεύθερη ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση λοιπόν στην οποία δίνουμε αρχικά μία ενέργεια στο σύστημα και στη συνέχεια το αφήνουμε ελεύθερο να ταλαντωθεί.

Το σώμα Σ απομακρύνεται από τη θέση ισορροπίας και αφήνεται ελεύθερο. Η ταλάντωση του είναι ελεύθερη

  Η ελεύθερη ταλάντωση μπορεί να είναι αμείωτη ή φθίνουσα και έχει σταθερή συχνότητα η οποία εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του συστήματος.

ΙΔΙΟΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

  Ιδιοσυχνότητα (f0) της ταλάντωσης ονομάζεται η συχνότητα με την οποία πραγματοποιείται η ελεύθερη ταλάντωση.
  Η ιδιοσυχνότητα ενός ταλαντωτή είναι η συχνότητα που πρέπει να ταλαντώνεται ο ταλαντωτής έτσι ώστε να παρουσιάζει την ελάχιστη απόσβεση κατά την εξαναγκασμένη ταλάντωση.
  Η ιδιοσυχνότητα  (f0) της ταλάντωσης ισούται με:

όπου:
D η σταθερά της ταλάντωσης και
m η μάζα του σώματος που ταλαντώνεται.

Ιδιοσυχνότητα (f0) της ταλάντωσης ονομάζεται η συχνότητα με την οποία πραγματοποιείται η ελεύθερη ταλάντωση

Στην πιο απλή περίπτωση όπου ο ταλαντωτής αποτελείται από ένα ελατήριο σταθεράς k και μια μάζα m που ταλαντώνεται, η συχνότητα,σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο,με την οποία πρέπει να ταλαντεύεται το ταλαντωτής έτσι ώστε να διατηρεί σταθερό το πλάτος του ισούται με:

όπου:

k η σταθερά του ελατηρίου και

m η μάζα του σώματος που ταλαντώνεται.
Πρακτική εφαρμογή της ιδιοσυχνότητας έχουμε στην περίπτωση που:

α) ηχείο βρίσκεται κοντά σε ποτήρι (άδειο ή με υγρό). Εάν τύχει η συχνότητα της μουσικής που εκπέμπει το ηχείο να ισούται με την ιδιοσυχνότητα του ποτηριού, τότε τα χείλη του ποτηριού ταλαντώνονται με το μέγιστο πλάτος και το ποτήρι σπάει.
β) Παρομοίως, εάν τύχει η ένταση του αέρα που φυσάει σε μια γέφυρα να ισούται με την ιδιοσυχνότητα της γέφυρας, τότε αυτή με τον ίδιο ακριβώς τρόπο ταλαντώνεται με το μέγιστο πλάτος και η πιθανότητα να καταρρεύσει είναι της τάξης του 100%.

ΔΙΕΓΕΙΡΟΥΣΑ ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΤΗΣ

  Για να διατηρείται σταθερό το πλάτος της ταλάντωσης, έτσι ώστε να είναι αμείωτη, πρέπει να παρέχουμε στο σύστημα την ενέργεια που χάνει σε κάθε περίοδο.Άρα θα πρέπει το σύστημα να δέχεται μια εξωτερική περιοδική δύναμη.
Αυτή η εξωτερική πρόσθετη περιοδική δύναμη ονομάζεται διεγείρουσα δύναμη.
  Η δύναμη αυτή αναπληρώνει, μέσω του έργου της, την ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμότητα λόγω των αντιστάσεων.
  Το σώμα που ασκεί την περιοδική δύναμη στο σύστημα ελατήριο – μάζα ονομάζεται διεγέρτης.

Το σώμα Σ εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση

  Μια τέτοια ταλάντωση ονομάζεται εξαναγκασμένη.
  Εξαναγκασμένη ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση ενός συστήματος, όταν σε αυτό ασκείται εξωτερική περιοδική δύναμη,με συνέπεια το πλάτος της ταλάντωσης να παραμένει σταθερό.
Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση,ο διεγέρτης επιβάλει την συχνότητα του στο σύστημα,δηλαδή η συχνότητα ταλάντωσης τελικά είναι ίση με τη συχνότητα του διεγέρτη.Άρα ισχύει πάντοτε:

f=fδ

  Το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης εξαρτάται από τη συχνότητα f του διεγέρτη και πιο συγκεκριμένα από τη διαφορά της συχνότητας αυτής από την ιδιοσυχνότητα f0.
Αν αλλάξει η f αλλάζει και το πλάτος της ταλάντωσης. Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται πως μεταβάλλεται το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης (Α) σε σχέση με τη συχνότητα του διεγέρτη f για ένα σύστημα που παρουσιάζει σταθερά απόσβεσης.

Στο διάγραμμα φαίνεται πως μεταβάλλεται το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης (Α) σε σχέση με τη συχνότητα του διεγέρτη f για ένα σύστημα που παρουσιάζει σταθερά απόσβεσης

Παρατηρούμε ότι αν αυξήσουμε την f, αυξάνεται και το Α. Όταν f=f0,το πλάτος παίρνει μια μέγιστη τιμή και στη συνέχεια αν αυξηθεί και άλλο, το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται. Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι έχουμε συντονισμό.

ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ

Συντονισμός ονομάζεται το φαινόμενο στο οποίο όταν η συχνότητα της ταλάντωσης,δηλαδή του διεγέρτη,γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης γίνεται μέγιστο,δηλαδή όταν ισχύει:

f=f0

Ο συντονισμός σήμερα είναι μια πολύ χρήσιμη μέθοδος έρευνας της δομής και των ιδιοτήτων της ύλης.

Τα διαγράμματα του πλάτους μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης, σε συνάρτηση με τη συχνότητα του διεγέρτη. (α) Ταλάντωση χωρίς απόσβεση, (β) Ταλάντωση με απόσβεση

Στην ιδανική περίπτωση όπου η σταθερά απόσβεσης είναι μηδέν, κάτι που είναι πρακτικά αδύνατο, στο συντονισμό το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται άπειρο όπως φαίνεται και στο διάγραμμα.

Στο διάγραμμα φαίνεται η ιδανική περίπτωση όπου η σταθερά απόσβεσης είναι μηδέν, κάτι που είναι πρακτικά αδύνατο, στο συντονισμό το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται άπειρο

Το πλάτος της ταλάντωσης στο συντονισμό εξαρτάται από την σταθερά απόσβεσης b του συστήματος. Στο διάγραμμα φαίνεται ότι όσο μεγαλύτερη είναι η σταθερά απόσβεσης ενός ταλαντούμενου συστήματος τόσο μικρότερο είναι το πλάτος ταλάντωσης στο συντονισμό.

Στο διάγραμμα φαίνεται ότι όσο μεγαλύτερη είναι η σταθερά απόσβεσης ενός ταλαντούμενου συστήματος τόσο μικρότερο είναι το πλάτος ταλάντωσης στο συντονισμό

Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση το σύστημα ταλαντώνεται με τη συχνότητα του διεγέρτη.Το πλάτος της ταλάντωσης, άρα και η ενέργεια της ταλάντωσης, εξαρτώνται από τη συχνότητα του διεγέρτη και παίρνουν τις μέγιστες τιμές τους όταν f=f0 δηλαδή στο συντονισμό.

Τα παιδιά, από πολύ μικρή ηλικία, μαθαίνουν ότι οι κινήσεις που κάνουν με τα πόδια τους όταν κάνουν κούνια πρέπει να έχουν μια συγκεκριμένη συχνότητα. Τότε επιτυγχάνεται συντονισμός και το πλάτος της αιώρησης γίνεται μέγιστο

Άρα ο τρόπος με τον οποίο το σύστημα αποδέχεται την ενέργεια έχει να κάνει με τη συχνότητα υπό την οποία του προσφέρεται.
Στο συντονισμό η ενέργεια μεταφέρεται με το βέλτιστο τρόπο και γι’ αυτό το πλάτος της ταλάντωσης είναι μέγιστο.

ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Με τη παρακάτω διάταξη του παρακάτω σχήματος μελετούμε την εξαναγκασμένη ταλάντωση.Στο ένα άκρο αβαρούς και μη εκτατού νήματος είναι προσδεδεμένο το επάνω άκρο ελατηρίου,το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε σημείο της επιφάνειας τροχού Τ.Με κατάλληλη διάταξη ο τροχός μπορεί να περιστρέφεται και να εξαναγκάζει το σώμα Σ να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.Η συχνότητα της ταλάντωσης συμπίπτει με τη συχνότητα περιστροφής του τροχού.
Η κίνηση του σώματος ονομάζεται εξαναγκασμένη ταλάντωση και το σώμα που προκαλεί την ταλάντωση με την περιοδική δύναμη που ασκεί (διεγείρουσα δύναμη) - στο παράδειγμά μας ο τροχός- διεγέρτης.

Το φαινόμενο της παλίρροιας στον κόλπο του Fundy στον Καναδά. Η βαρυτική έλξη της Σελήνης εξαναγκάζει τη μάζα του νερού στην επιφάνεια της Γης σε ταλάντωση

Όπως είπαμε, η συχνότητα της εξαναγκασμένης ταλάντωσης που εκτελεί το σφαιρίδιο Σ είναι f και όχι fo,δηλαδή ο διεγέρτης επιβάλλει στην ταλάντωση τη συχνότητά του.

Σ' ένα κουρδιστό ρολόι η αποθηκευμένη ενέργεια στο σπειροειδές ελατήριο αντισταθμίζει τις απώλειες λόγω τριβών και διατηρεί το πλάτος των ταλαντώσεων αμείωτο. Κάποτε η ενέργεια τελειώνει και το ρολόι θέλει κούρδισμα

Το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης εξαρτάται από τη συχνότητα f του διεγέρτη. Συγκεκριμένα, αν μεταβληθεί η συχνότητα f του διεγέρτη μεταβάλλεται και το πλάτος της εκτελούμενης ταλάντωσης. Οι τιμές του πλάτους είναι γενικά μικρές,εκτός αν η συχνότητα f πλησιάζει στην ιδιοσυχνότητα οπότε το πλάτος παίρνει μεγάλες τιμές και γίνεται μέγιστο όταν η συχνότητα f γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα fo.Τότε λέμε ότι έχουμε συντονισμό.

Στην ιδανική περίπτωση που η ταλάντωση δεν έχει απώλειες ενέργειας (πρακτικά αυτό είναι αδύνατο),όταν f=fo,το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης γίνεται άπειρο.

Στο παρακάτω διάγραμμα παριστάνεται η μεταβολή του πλάτους Α της ταλάντωσης του σώματος σε συνάρτηση με τη συχνότητα fδ του διεγέρτη, για διάφορες τιμές της σταθεράς απόσβεσης b(καμπύλες συντονισμού).

Το σώμα Σ εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση, μέσα σε δοχείο στο οποίο μπορούμε να μεταβάλλουμε την πίεση του αέρα

Το πλάτος της ταλάντωσης κατά το συντονισμό εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης. Αύξηση της σταθεράς απόσβεσης, συνεπάγεται μείωση του πλάτους της εξαναγκασμένης ταλάντωσης.

Το διάγραμμα του πλάτους μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης σε συνάρτηση με τη συχνότητα του διεγέρτη για διάφορες τιμές του b (b₁<b₂). Στις ταλαντώσεις με απόσβεση η συχνότητα συντονισμού είναι λίγο μικρότερη από την f₀. Όσο αυξάνεται η απόσβεση η μείωση της συχνότητας συντονισμού γίνεται μεγαλύτερη. Αυτή η μετατόπιση της συχνότητας συντονισμού είναι πολύ μικρή και στην κλίμακα του διαγράμματος δε φαίνεται

Το σημείο οπό το οποίο ξεκινούν όλες οι καμπύλες στο διάγραμμα, απέχει από την αρχή των αξόνων όσο απέχει το σημείο πρόσδεσης του σχοινιού από το κέντρο του τροχού Τ2.

ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Στις ελεύθερες ταλαντώσεις κατά τη διέγερση του συστήματος δίνεται σε αυτό κάποια μηχανική ενέργεια, η οποία διατηρείται σταθερή - αν η ταλάντωση είναι αμείωτη ή μετατρέπεται σταδιακά σε θερμότητα - αν είναι φθίνουσα.Στις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις,στο σύστημα προσφέρεται συνεχώς ενέργεια με συχνότητα f μέσω της διεγείρουσας δύναμης.

Η ενέργεια που προσφέρεται στο σύστημα αντισταθμίζει τις απώλειες και έτσι το πλάτος της ταλάντωσης διατηρείται σταθερό

Η ενέργεια που προσφέρεται στο σύστημα αντισταθμίζει τις απώλειες και έτσι το πλάτος της ταλάντωσης διατηρείται σταθερό.
Ο τρόπος με τον οποίο το ταλαντούμενο σύστημα αποδέχεται την ενέργεια είναι εκλεκτικός και έχει να κάνει με τη συχνότητα υπό την οποία προσφέρεται. Κατά το συντονισμό η ενέργεια μεταφέρεται στο σύστημα κατά το βέλτιστο τρόπο, γι αυτό και το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται μέγιστο.

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Αν ένα κύκλωμα LC που αποτελείται από ένα πηνίο και ένα πυκνωτή διεγερθεί με στιγμιαία επαφή των οπλισμών του πυκνωτή με τους πόλους μιας πηγής συνεχούς τάσης, τότε το ηλεκτρικό φορτίο στο κύκλωμα εκτελεί μια ηλεκτρική ταλάντωση η οποία θα είναι αμείωτη αν το κύκλωμα δεν παρουσιάζει αντίσταση, και το πλάτος του ρεύματος και η ολική ενέργεια του κυκλώματος θα είναι σταθερή.

Αν το κύκλωμα παρουσιάζει αντίσταση, η ηλεκτρική ταλάντωση θα είναι φθίνουσα και θα μειώνεται το πλάτος του ρεύματος και η ολική ενέργεια του κυκλώματος

Αν όμως το κύκλωμα παρουσιάζει αντίσταση, η ηλεκτρική ταλάντωση θα είναι φθίνουσα και θα μειώνεται το πλάτος του ρεύματος και η ολική ενέργεια του κυκλώματος.

ΜΕΛΕΤΗ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Όπως είπαμε εάν ένα ιδανικό κύκλωμα LC διεγερθεί,για παράδειγμα με στιγμιαία επαφή των οπλισμών του πυκνωτή με τους πόλους πηγής συνεχούς τάσης,εκτελεί ελεύθερη ηλεκτρική ταλάντωση που είναι ή αμείωτη ή φθίνουσα και έχει σταθερή συχνότητα που ονομάζεται ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος.
Αν το κύκλωμα δεν παρουσιάζει αντίσταση η ταλάντωση είναι αμείωτη. Αν όμως η αντίσταση του κυκλώματος είναι διάφορη του μηδενός η ταλάντωση είναι φθίνουσα.
Η συχνότητα αυτή υπολογίζεται από τη σχέση:

f₀ =

Εάν το κύκλωμα παρουσιάζει ωμική αντίσταση,τότε θα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με συχνότητα f μικρότερη της f0.Εάν η ωμική αντίσταση είναι μικρή,τότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η συχνότητα f είναι περίπου ίση με την f0.
Για να διατηρήσουμε το πλάτος της έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος σταθερό, ώστε η ηλεκτρική ταλάντωση να είναι αμείωτη, συνδέουμε στο κύκλωμα μια πηγή εναλλασσόμενης τάσης που έχει το ρόλο του διεγέρτη,όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Για να διατηρήσουμε το πλάτος της έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος σταθερό, ώστε η ηλεκτρική ταλάντωση να είναι αμείωτη, συνδέουμε στο κύκλωμα μια πηγή εναλλασσόμενης τάσης που έχει το ρόλο του διεγέρτη

Το κύκλωμα τότε διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα και εκτελεί εξαναγκασμένη ηλεκτρική ταλάντωση.Η πηγή λειτουργεί ως διεγέρτης και επιβάλλει τη συχνότητα της στο κύκλωμα,δηλαδή το κύκλωμα ταλαντώνεται με τη συχνότητα του διεγέρτη.

Στο κύκλωμα LC δημιουργείται εξαναγκασμένη ηλεκτρική ταλάντωση

Το πλάτος του ρεύματος εξαρτάται από τη συχνότητα  του διεγέρτη και μεταβάλλεται αν αλλάξει η συχνότητα του διεγέρτη. Αν η συχνότητα  του διεγέρτη γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα  του κυκλώματος τότε το πλάτος του ρεύματος γίνεται μέγιστο.Τότε έχουμε συντονισμό.
  Άρα έχουμε συντονισμό όταν:

  f=fo

Το παρακάτω διάγραμμα παριστάνει το πλάτος Ι της έντασης του ρεύματος που διαρρέει σε ένα κύκλωμα LC σε συνάρτηση με τη συχνότητα του διεγέρτη για διάφορές τιμές της ωμικής αντίστασης R του κυκλώματος με R₁<R₂(καμπύλες συντονισμού).

Το διάγραμμα παριστάνει το πλάτος Ι της έντασης του ρεύματος που διαρρέει σε ένα κύκλωμα LC σε συνάρτηση με τη συχνότητα του διεγέρτη για διάφορές τιμές της ωμικής αντίστασης R του κυκλώματος με R₁<R₂(καμπύλες συντονισμού)

Το πλάτος του ρεύματος στο συντονισμό εξαρτάται από την αντίσταση του κυκλώματος.Παρατηρούμε ότι αύξηση της ωμικής αντίστασης του κυκλώματος οδηγεί σε ελάττωση του πλάτους του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα στο συντονισμό.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Τα παραδείγματα του συντονισμού στη φυσική είναι πολλά.

Όταν η συχνότητα ενός ηχητικού κύματος γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα του κρυστάλλινου ποτηριού, το ποτήρι ταλαντώνεται με το μέγιστο δυνατό πλάτος και τελικά σπάει

Ο συντονισμός λαμβάνεται πολύ σοβαρά υπόψη σε πολλές εφαρμογές που αφορούν στην καθημερινή μας ζωή.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ ΣΤΑ ΚΤΙΡΙΑ

Το ΑΒ είναι ένα μεταλλικό έλασμα, στερεωμένο στο κάτω άκρο του Β σε ακλόνητο δάπεδο.Αν τραβήξουμε το άκρο Α του ελάσματος και το αφήσουμε ελεύθερο, θα εκτελέσει ελεύθερη ταλάντωση, με συχνότητα ίση με την ιδιοσυχνότητά του f0.

Θεωρητικά ένα κτίριο, αν διεγερθεί, έχει τη δυνατότητα να εκτελέσει ελεύθερη ταλάντωση, παρόμοια με αυτή του ελάσματος με ιδιοσυχνότητα fo.

Αν η συχνότητα f με την οποία πάλλεται το έδαφος (διεγέρτης) είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα f0 του κτιρίου,το πλάτος της ταλάντωσης του κτιρίου θα γίνει μεγάλο,γεγονός που μπορεί να οδηγήσει στην κατάρρευσή του

Στη διάρκεια ενός σεισμού,το έδαφος πάλλεται με συχνότητα f και τα κτίρια εξαναγκάζονται να εκτελέσουν ταλάντωση.Αν η συχνότητα f με την οποία πάλλεται το έδαφος (διεγέρτης) είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα f0 του κτιρίου,το πλάτος της ταλάντωσης του κτιρίου θα γίνει μεγάλο,γεγονός που μπορεί να οδηγήσει στην κατάρρευσή του.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ ΣΤΙΣ ΓΕΦΥΡΕΣ

Η χορδή είναι στερεωμένη στα δύο άκρα της σε ακλόνητα σημεία. Αν ασκήσουμε μια δύναμη στο μέσο Μ και την αφήσουμε ελεύθερη, θα εκτελέσει ελεύθερη ταλάντωση με τη φυσική της συχνότητα,δηλαδή με την ιδιοσυχνότητά της.

Η χορδή είναι στερεωμένη στα δύο άκρα της σε ακλόνητα σημεία. Αν ασκήσουμε μια δύναμη στο μέσο Μ και την αφήσουμε ελεύθερη, θα εκτελέσει ελεύθερη ταλάντωση με τη φυσική της συχνότητα,δηλαδή με την ιδιοσυχνότητά της

Παρόμοια κίνηση μπορεί να εκτελέσει και η γέφυρα αν διεγερθεί.Αν μια ομάδα ανθρώπων κινηθεί με βηματισμό πάνω στη γέφυρα,η γέφυρα διεγείρεται και εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση.

Μια γέφυρα συμπεριφέρεται όπως η χορδή. Μια ομάδα ανθρώπων που κινείται πάνω στη γέφυρα με βηματισμό μπορεί να την κάνει να ταλαντώνεται με μεγάλο πλάτος

Αν η συχνότητα βηματισμού είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα της γέφυρας,έχουμε συντονισμό,η γέφυρα ταλαντώνεται με μεγάλο πλάτος και υπάρχει κίνδυνος κατάρρευσης.

Το φαινόμενο του συντονισμού σε μια γέφυρα

Ένα τέτοιο ατύχημα συνέβη στη Γαλλία το 1850.Μια γέφυρα κατέρρευσε και 226 στρατιώτες σκοτώθηκαν.Από τότε,όταν ένα τμήμα στρατού περνάει πάνω από γέφυρα, οι στρατιώτες προχωρούν με ελεύθερο βηματισμό.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ ΣΤΟ ΡΑΔΙΟΦΩΝΙΚΟ ΣΤΑΘΜΟ

Κάθε ραδιοφωνικός σταθμός εκπέμπει σε μια συγκεκριμένη συχνότητα.Στην κεραία ενός ραδιοφώνου κάθε στιγμή φτάνουν πολλά ηλεκτρομαγνητικά κύματα, με διαφορετικές συχνότητες.Η επιλογή ενός σταθμού στο ραδιόφωνο που θέλουμε να ακούσουμε βασίζεται στο φαινόμενο του συντονισμού.Η κεραία του ραδιοφώνου είναι ένα πηνίο το οποίο βρίσκεται σε επαγωγική σύζευξη με ένα κύκλωμα LC. Το κύκλωμα LC περιέχει έναν μεταβλητό πυκνωτή.

Όταν γυρίζουμε το κουμπί επιλογής των σταθμών του ραδιοφώνου μεταβάλλουμε τη χωρητικότητα ενός μεταβλητού πυκνωτή.Ο πυκνωτής αυτός είναι μέρος ενός κυκλώματος LC

Όταν γυρίζουμε το κουμπί επιλογής των σταθμών του ραδιοφώνου μεταβάλλουμε τη χωρητικότητα ενός μεταβλητού πυκνωτή.Ο πυκνωτής αυτός είναι μέρος ενός κυκλώματος LC, το οποίο βρίσκεται σε επαγωγική σύζευξη με την κεραία του ραδιοφώνου.Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα που φτάνουν στην κεραία αναγκάζουν τα ηλεκτρόνια της να εκτελέσουν εξαναγκασμένη ταλάντωση.Η κίνηση των ηλεκτρονίων στην κεραία δημιουργεί σ' αυτή ένα πολύ ασθενές μεταβαλλόμενο ρεύμα.

Λόγω της επαγωγικής σύζευξης το κύκλωμα LC εξαναγκάζεται να εκτελέσει ηλεκτρική ταλάντωση.Το πλάτος της ηλεκτρικής ταλάντωσης,δηλαδή το πλάτος του ρεύματος,είναι ασήμαντο εκτός εάν έχουμε συντονισμό.Τότε το πλάτος του ρεύματος της ηλεκτρικής ταλάντωσης γίνεται μέγιστο.

Το κύκλωμα επιλογής σταθμών στο ραδιόφωνο είναι ένα κύκλωμα LC, που εξαναγκάζεται σε ηλεκτρική ταλάντωση από την κεραία

Μεταβάλλοντας τη χωρητικότητα του πυκνωτή μεταβάλλεται η ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος LC. Όταν η ιδιοσυχνότητα γίνει ίση με κάποια από τις συχνότητες που ταλαντώνονται τα ηλεκτρόνια της κεραίας,δηλαδή με κάποια από τις συχνότητες των κυμάτων τα οποία φτάνουν στην κεραία,τότε το κύκλωμα συντονίζεται και διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα μέγιστου πλάτους. Αυτό το σχετικά μεγάλο ρεύμα, περιέχει το ηλεκτρικό σήμα, το οποίο, ενισχυμένο, οδηγείται στο μεγάφωνο του ραδιοφώνου και το διεγείρει.
Αυτό το εναλλασσόμενο ρεύμα είναι ο φορέας του ηλεκτρικού σήματος το οποίο αφού ενισχυθεί από τους κατάλληλους ενισχυτές καταλήγει στο ηχείο του ραδιοφώνου. Ο σταθμός που ακούμε έχει συχνότητα ίση με την ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος LC. Δηλαδή επιλέγουμε την ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος LC ώστε να γίνει ίση με τη συχνότητα του σταθμού που θέλουμε να ακούσουμε.

ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Θεωρούμε σώμα Σ που βρίσκεται πάνω σε οριζόντια βάση και είναι δεμένο στις άκρες δύο ελατηρίων οι άλλες άκρες των οποίων είναι στερεωμένες σε ακίνητα σημεία,όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.Το σώμα μπορεί να κινείται χωρίς τριβές.

Θεωρούμε σώμα Σ που βρίσκεται πάνω σε οριζόντια βάση και είναι δεμένο στις άκρες δύο ελατηρίων οι άλλες άκρες των οποίων είναι στερεωμένες σε ακίνητα σημεία

Απομακρύνουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του και το αφήνουμε ελεύθερο θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ1.Τώρα με κατάλληλο μηχανισμό εξαναγκάζουμε τη βάση πάνω στην οποία βρίσκεται το σώμα να εκτελεί αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ2.

Το σώμα Σ εκτελεί ταυτόχρονα δυο ταλαντώσεις

Άρα το σώμα Σ κάνει ταυτόχρονα δυο αρμονικές ταλαντώσεις.Η ταλάντωση της βάσης δεν είναι απαραίτητο να γίνεται στη διεύθυνση της ταλάντωσης του σώματος.
Η κίνηση του σώματος Σ είναι πολύ πολύπλοκη.Η διεύθυνση, η συχνότητα, το πλάτος και η φάση της εξαρτώνται από τα αντίστοιχα χαρακτηριστικά των επί μέρους ταλαντώσεων.
Η κίνηση που κάνει το σώμα λέγεται σύνθετη ταλάντωση και η μελέτη της σύνθεση ταλαντώσεων.

Σύνθετη ταλάντωση ονομάζεται ο προσδιορισμός της συνισταμένης κίνησης όταν ένα σώμα αναγκάζεται να εκτελέσει ταυτόχρονα δύο ή περισσότερες ταλαντώσεις

Όταν ένα σώμα αναγκάζεται να εκτελέσει ταυτόχρονα δύο ή περισσότερες ταλαντώσεις,τότε η κίνηση που θα κάνει τελικά είναι η συνισταμένη αυτών των ταλαντώσεων.
Σύνθετη ταλάντωση ονομάζεται ο προσδιορισμός της συνισταμένης κίνησης όταν ένα σώμα αναγκάζεται να εκτελέσει ταυτόχρονα δύο ή περισσότερες ταλαντώσεις.

Σύνθεση ταλαντώσεων ονομάζεται η μελέτη της σύνθετης ταλάντωσης.
Εμείς θα μελετήσουμε δύο ειδικές περιπτώσεις σύνθεσης ταλαντώσεων.

ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΥΟ ΑΠΛΩΝ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΤΗΣ ΙΔΙΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ,ΠΟΥ ΓΙΝΟΝΤΑΙ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ ΣΤΗΝ ΙΔΙΑ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ

Έστω ότι ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που εξελίσσονται πάνω στην ίδια ευθεία και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και ότι οι δύο ταλαντώσεις έχουν την ίδια κυκλική συχνότητα ω,διαφορετικά πλάτη Α1 και Α2 και διαφορά φάσης φ.Οι εξισώσεις των απομακρύνσεων για τις δύο ταλαντώσεις είναι:

x1=Α1ημωt και

x2=Α2ημ(ωt+φ)

Εφαρμόζουμε την αρχή της επαλληλίας των κινήσεων (ή της ανεξαρτησίας των κινήσεων).

Η απομάκρυνση του σώματος κάθε στιγμή θα είναι είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των απομακρύνσεων που θα είχε αν έκανε την κάθε ταλάντωση ξεχωριστά

Άρα η απομάκρυνση του σώματος κάθε στιγμή θα είναι είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των απομακρύνσεων που θα είχε αν έκανε την κάθε ταλάντωση ξεχωριστά.Δηλαδή:

x=x1+x2

Με την βοήθεια των εξισώσεων των απομακρύνσεων για τις δύο ταλαντώσεις x1=Α1ημωt και x2=Αημ(ωt+φ) η εξίσωση x=x1+x2 γίνεται :

x=x1+x2 ή

x=Α1ημωt+Αημ(ωt+φ)

Το σώμα Σ κάνει ταυτόχρονα τις αρμονικές ταλαντώσεις (α) και (β). Η απομάκρυνσή του κάθε στιγμή είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των απομακρύνσεων του στις επιμέρους ταλαντώσεις στις οποίες μετέχει (γ)

Η σχέση αυτή μπορεί να πάρει τη μορφή:

x=Αημ(ωt+θ)

όπου:

και

.

Συνεπώς από την x=Αημ(ωt+θ) μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η σύνθετη ταλάντωση του σώματος Σ είναι απλή αρμονική ταλάντωση γύρω από το το ίδιο σημείο Ο,με την ίδια διεύθυνση και την ίδια συχνότητα.

α) Από τη σύνθεση των ταλαντώσεων 1 και 2 που έχουν την ίδια φάση, προκύπτει η ταλάντωση 3.
β) Από τις ταλαντώσεις 1 και 2 που παρουσιάζουν διαφορά φάσης 180° προκύπτει η ταλάντωση 3

Το πλάτος και η αρχική φάση υπολογίζονται από τις σχέσεις, δηλαδή εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά των επιμέρους ταλαντώσεων.

ΔΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ 0° ΤΩΝ ΔΥΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

Στην ειδική περίπτωση όπου φ=0° οι εξισώσεις των επιμέρους ταλαντώσεων είναι:

x1=Α1ημωt και

x2=Α2ημωt

και της σύνθετης ταλάντωσης:

x=Αημωt

όπου:

Α=Α1+Α2

Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης την ειδική περίπτωση όπου φ=0° είναι ίσο με το άθροισμα των πλατών των επιμέρους ταλαντώσεων και η φάση της είναι ίδια με τη φάση των επιμέρους ταλαντώσεων

Άρα στην ειδική περίπτωση όπου φ=0°,οι τελευταίες σχέσεις δίνουν:

Α=Α1+Α2 και

θ=0°

Συνεπώς το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι ίσο με το άθροισμα των πλατών των επιμέρους ταλαντώσεων και η φάση της είναι ίδια με τη φάση των επιμέρους ταλαντώσεων.

ΔΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ 180° ΤΩΝ ΔΥΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

Στην ειδική περίπτωση όπου φ=180° οι εξισώσεις των επιμέρους ταλαντώσεων είναι:

x1=Α1ημωt και

x2=Α2ημ(ωt+π)

και της σύνθετης ταλάντωσης:

x=Αημωt ,αν Α1>Α2

ή

x=Αημ(ωt+π) ,αν Α1<Α2

όπου:

Α=|Α1-Α2|

Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης στην ειδική περίπτωση όπου φ=180° είναι ίσο με τη διαφορά των πλατών των επιμέρους ταλαντώσεων και η φάση της είναι ίση με τη φάση της ταλάντωσης που έχει το μεγαλύτερο πλάτος

Άρα στην ειδική περίπτωση όπου φ=180°,οι τελευταίες σχέσεις δίνουν:

Α=|Α1+Α2| και

θ=0°   ή

θ=180°

  Συνεπώς  το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι ίσο με τη διαφορά των πλατών  των επιμέρους ταλαντώσεων και η φάση της είναι ίση με τη φάση της ταλάντωσης που έχει το μεγαλύτερο πλάτος.

ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΥΟ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΙΔΙΑΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ,ΠΟΥ ΓΙΝΟΝΤΑΙ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ,ΜΕ ΤΟ ΙΔΙΟ ΠΛΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ

   Έστω ότι ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που εξελίσσονται πάνω στην ίδια ευθεία και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και ότι οι δύο ταλαντώσεις έχουν το ίδιο πλάτος Α,ενώ οι συχνότητες τους f1 και f2 με f1>f2 διαφέρουν λίγο μεταξύ τους.

Δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που εξελίσσονται πάνω στην ίδια ευθεία και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και ότι οι δύο ταλαντώσεις έχουν το ίδιο πλάτος Α,ενώ οι συχνότητες τους f1 και f2 με f1>f2 διαφέρουν λίγο μεταξύ τους

Οι εξισώσεις των απομακρύνσεων για τις δύο ταλαντώσεις είναι:

x1=Αημω1t και

x2=Αημω2t

Εφαρμόζουμε πάλι την αρχή της επαλληλίας των κινήσεων (ή της ανεξαρτησίας των κινήσεων).
Άρα η απομάκρυνση του σώματος κάθε στιγμή θα είναι είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των απομακρύνσεων που θα είχε αν έκανε την κάθε ταλάντωση ξεχωριστά.Δηλαδή:

x=x1+x2

Με την βοήθεια των εξισώσεων των απομακρύνσεων για τις δύο ταλαντώσεις  x1=Αημω1t  και x2=Αημω2t η εξίσωση x=x1+x2 γίνεται :

x=x1+x2       ή

x=Αημω1t+Αημω2t   ή

x=Α(ημω1t+ημω2t)

Με βάση την τριγωνομετρική ταυτότητα:

η εξίσωση x=Α(ημω1t+ημω2t) γίνεται:

Από την σχέση αυτή παρατηρούμε ότι η σύνθετη ταλάντωση του σώματος είναι πολύπλοκη.Η κίνηση δεν είναι απλή αρμονική ταλάντωση.

Από τη σύνθεση δύο ταλαντώσεων που οι συχνότητές τους διαφέρουν πολύ λίγο (πράσινη και μπλε γραμμή) προκύπτει ιδιόμορφη περιοδική κίνηση (κόκκινη γραμμή) που παρουσιάζει διακροτήματα

Η συγκεκριμένη κίνηση έχει ενδιαφέρον όταν οι δύο επιμέρους γωνιακές συχνότητες ω1,ω2 διαφέρουν ελάχιστα.Τότε ο παράγοντας

μεταβάλλεται χρονικά πολύ πιο αργά από τον παράγοντα

ο οποίος μεταβάλλεται με γωνιακή συχνότητα ίση με τη μέση τιμή των ω1 και ω2 .Επειδή αυτές διαφέρουν ελάχιστα μπορούμε να γράψουμε:
_
ω=ω1+ω2/2≈ω1≈ω2

Επομένως η εξίσωση

μπορεί να γραφεί :

x = A'ημωt

Δηλαδή η σύνθετη ταλάντωση είναι μια ιδιόμορφη ταλάντωση με γωνιακή συχνότητα περίπου ίση με τις συχνότητες των επιμέρους ταλαντώσεων.Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης μεταβάλλεται,με αργό ρυθμό,περιοδικά από 0 έως 2Α.

Το διακρότημα είναι ιδιόμορφη ταλάντωση

Η ιδιόμορφη αυτή ταλάντωση του σώματος ονομάζεται διακρότημα με το πλάτος της ταλάντωσης να μεταβάλλεται από 0 έως 2Α.
Ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς ή διαδοχικές μεγιστοποιήσεις του πλάτους ονομάζεται περίοδος Τδ των διακροτημάτων.

Το διάγραμμα απομάκρυνσης-χρόνου του διακροτήματος

Το διάγραμμα απομάκρυνσης-χρόνου του διακροτήματος φαίνεται στο παραπάνω σχήμα.

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΤΩΝ ΔΙΑΚΡΟΤΗΜΑΤΩΝ

Το πλάτος Α' της ταλάντωσης μηδενίζεται όταν:

Με την βοήθεια της τριγωνομετρίας έχουμε:

, με k=0,1,1,3,.......

Δύο διαδοχικές στιγμές t1 και t2 που μηδενίζεται το πλάτος αντιστοιχούν στο k=0 και k=1.

Ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς ή διαδοχικές μεγιστοποιήσεις του πλάτους ονομάζεται περίοδος Τδ των διακροτημάτων

Άρα προκύπτει για:

Η διαφορά t₂ - t₁είναι η περίοδος Τδ των διακροτημάτων.
Άρα:

ή

fδ=|f1-f2|

όπου:
fδ η συχνότητα των διακροτημάτων.

ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Απλή αρμονική ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση στην οποία η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας δίνεται από τη σχέση

x=Aημωt

Στην ταλάντωση αυτή η ταχύτητα και η επιτάχυνση μεταβάλλονται με το χρόνο σύμφωνα με τις σχέσεις

υ=υmaxσυνωt α=-αmaxημωt όπου υmax=ωΑ αmax=ω²Α

Η δύναμη που αναγκάζει ένα σώμα να κάνει απλή αρμονική ταλάντωση είναι και ονομάζεται δύναμη επαναφοράς. Η σχέση f=-Dx αποτελεί την αναγκαία συνθήκη για να εκτελέσει ένα κινητό απλή αρμονική ταλάντωση.
Η περίοδος σε μια απλή αρμονική ταλάντωση είναι
___
Τ=2π√m/D

Στην απλή αρμονική ταλάντωση η μηχανική ενέργεια διατηρείται σταθερή.

Ε=1/2DΑ²=1/2mυmax²
Το κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων αποτελείται από ένα πυκνωτή συνδεδεμένο σε σειρά με ιδανικό πηνίο.Αν ένα τέτοιο κύκλωμα διεγερθεί,το φορτίο του πυκνωτή και το ρεύμα μεταβάλλονται με το χρόνο σύμφωνα με τις σχέσεις

q=Qσυνωt i=-Iημωt

Η ολική ενέργεια του κυκλώματος θεωρείται σταθερή και είναι

Ε=1/2 Q²/C =1/2 LI²
Φθίνουσες ονομάζονται οι ταλαντώσεις στις οποίες το πλάτος μειώνεται.
Η περίοδος σε μια φθίνουσα ταλάντωση διατηρείται σταθερή.Όταν η σταθερά απόσβεσης b μεγαλώνει το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται πιο γρήγορα.Για πολύ μεγάλες τιμές της σταθεράς απόσβεσης η ταλάντωση γίνεται απεριοδική. Σε μια φθίνουσα ταλάντωση το πλάτος μειώνεται εκθετικά με το χρόνο.
Ιδιοσυχνότητα ενός συστήματος είναι η συχνότητα με την οποία ταλαντώνεται ελεύθερα το σύστημα. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση η συχνότητα ταλάντωσης είναι η συχνότητα τ ου διεγέρτη. Το πλάτος τ ης ε ξαναγκασμένης ταλάντωσης διατηρείται σταθερό και ε ξαρ τάται από τη συχνότητα του διεγέρτη.Όταν η συχνότητα του διεγέρτη γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος το πλάτος της ταλάντωσης μεγιστοποιείται και έχουμε συντονισμό.
Η κίνηση που προκύπτει από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων εξαρτάται από τις συχνότητες, τα πλάτη,τη διαφορά φάσης και τις διευθύνσεις των επίμέρους αρμονικών ταλαντώσεων.Από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων, της ίδιας διεύθυνσης και συχνότητας που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο,προκύπτει απλή αρμονική ταλάντωση.
Από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων, της ίδιας διεύθυνσης που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο με συχνότητες που διαφέρουν πολύ λίγο, προκύπτει περιοδική κίνηση που παρουσιάζει διακροτήματα.Η συχνότητα των διακροτημάτων είναι

fδ=|f1-f2|

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ - ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ