PHYSIC LESSONS: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ-ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ - ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Να υπολογίσετε την σχέση μεταξύ της ταχύτητας και της επιτάχυνσης στην απλή αρμονική ταλάντωση.

ΛΥΣΗ

Για την απομάκρυνση x έχουμε:

x=Aημω·t ή

ημω·t=x/Α (1)

Για την ταχύτητα υ έχουμε:

υ=ω·Ασυνω·t ή

συνω·t=υ/ω·Α (2)

Όμως ισχύει:

ημ²ω·t+συν²ω·t=1 (3)

Από τις εξισώσεις (1) και (2) με απλή αντικατάσταση στην τελευταία σχέση (3) προκύπτει:

ημ²ω·t+συν²ω·t=1 ή

(x/Α)²+(υ/ω·Α)²=1 ή

x²/Α²+υ²/ω²·Α²=1 ή

ω²·x²/ω²·Α²+υ²/ω²·Α²=1 ή

ω²·x²+υ²/ω²·Α²=1 ή

ω²·x²+υ²=ω²·Α² ή

υ²=ω²·Α²-ω²·x²ή

υ²=ω²(Α²-x²) ή

υ=±ω²(Α²-x²)^1/2

^{Το διπλό πρόσημο (}±^{) στην τελευταία σχέση δηλώνει ότι σε κάθε θέση x η ταχύτητα υ μπορεί να είναι θετική (υ>0) ή αρνητική (υ<0)}

Το διπλό πρόσημο (±) στην τελευταία σχέση δηλώνει ότι σε κάθε θέση x η ταχύτητα υ μπορεί να είναι θετική (υ>0) ή αρνητική(υ<0),ανάλογα με τη φορά κίνησης του σώματος.

ΑΣΚΗΣΗ 2

Να υπολογίσετε την φάση μεταξύ της ταχύτητας και της επιτάχυνσης στην απλή αρμονική ταλάντωση.

ΛΥΣΗ

Λέμε ότι δύο μεγέθη παρουσιάζουν διαφορά φάσης Δφ,όταν μεσολαβεί κάποιος χρόνος Δt ανάμεσα σε μία τιμή του ενός (π.χ. τη μέγιστη) και στην αντίστοιχη τιμή του άλλου.

Η διαφορά φάσης αναφέρεται σε δύο μεγέθη που μεταβάλλονται περιοδικά και βρίσκεται από τη διαφορά φάσης των δύο μεγεθών.
Στην περίπτωση της ταχύτητας και της επιτάχυνσης στην απλή αρμονική ταλάντωση έχουμε:

Για την απομάκρυνση x έχουμε:

x=A·ημω·t (1)

Για την ταχύτητα υ έχουμε:

υ=ω·Ασυνω·t (2)

Θα χρησιμοποιήσουμε δύο γνωστές βασικές τριγωνομετρικές σχέσεις:

συνθ=ημ(π/2-θ) και

ημθ=ημ(π-θ)

Άρα έχουμε:

(2) $\Rightarrow$ υ=ω·Ασυνω·t ή

υ=ω·Αημ(π/2-ω·t) ή

υ=ω·Αημ[π-(π/2 - ω·t)] ή

υ=ω·Αημ(ω·t+π/2) (3)

Συνεπώς η διαφορά φάσης με την βοήθεια των σχέσεων (1) και (3) είναι:

Δφ=φυ-φx ή

Δφ=(ω·t+π/2)-ω·t ή

Δφ=π/2

και προηγείται η ταχύτητα.

Η φυσική σημασία αυτής της διαφοράς είναι ότι όταν κάποια χρονική στιγμή η ταχύτητα έχει ορισμένη τιμή(π.χ. τη μέγιστη θετική υ=+ω·Α),τότε η απομάκρυνση θα πάρει την αντίστοιχη τιμή (x=+Α) μετά από χρόνο Δt που αντιστοιχεί στη γωνία Δφ=π/2,δηλαδή μετά από χρόνο που δίνεται από την σχέση:

Δφ=2π·Δt/Τ ή

Δt=Τ·Δφ/2π ή

Δt=Τ/2π · π/2 ή

Δt=Τ/4

ΑΣΚΗΣΗ 3

Να υπολογίσετε την σχέση μεταξύ της επιτάχυνσης και της απομάκρυνσης στην απλή αρμονική ταλάντωση.

ΛΥΣΗ

Για την απομάκρυνση x έχουμε:

x=A·ημω·t (1)

Για την επιτάχυνση α έχουμε:

α=-ω²·Αημω·t ή

α=-ω²(Αημω·t) ή

α=-ω²·x

Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι η επιτάχυνση α και η απομάκρυνση x έχουν πάντοτε αντίθετο πρόσημο(x>0 α<0 και x<0 α>0)

Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι η επιτάχυνση α και η απομάκρυνση x έχουν πάντοτε αντίθετο πρόσημο(x>0 α<0 και x<0 α>0).Με άλλα λόγια η επιτάχυνση έχει πάντοτε φορά προς την θέση ισορροπίας.
Η σχέση α=-ω²·x είναι μία εξίσωση ευθείας.Η γραφική παράσταση της σχέσης α=-ω²·x φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Η γραφική παράσταση της σχέσης α=-ω²x

Από την γραφική παράσταση μπορούμε να υπολογίσουμε το ω²από την κλίση της ευθείας με την εφαπτόμενη της γωνίας θ.

ΑΣΚΗΣΗ 4

Να υπολογίσετε την σχέση μεταξύ της επιτάχυνσης και της ταχύτητας στην απλή αρμονική ταλάντωση.

ΛΥΣΗ

Για την ταχύτητα υ έχουμε:

υ=ω·Ασυνω·t   $\Rightarrow$

συνω·t=υ/ω·Α (1)

Για την επιτάχυνση α έχουμε:

α=-ω²·Αημω·t   ή

ημωt=-α/ω²·Α (2)

Όμως ισχύει:

ημω²·t+συνω²·t=1 (3)

Από τις εξισώσεις (1) και (2) με απλή αντικατάσταση στην τελευταία σχέση (3) προκύπτει:

ημω²·t+συνω²·t=1 ή

(-α/ω²·Α)²+(υ/ω·Α)²=1 ή

α²/ω⁴·Α²+υ²/ω²·Α²=1 ή

α²/ω⁴·Α²+ω²·υ²/ω⁴·Α²=1     ή

α²+ω²·υ²/ω⁴·Α²=1   ή

α²+ω²·υ²=ω⁴·Α²   ή

α²=ω⁴·Α²-ω²·υ²   $\Rightarrow$

α²=ω²·(ω²·Α²-υ²)   $\Rightarrow$

α=±ω(ω²·Α²-υ²)^1/2

^{Το διπλό πρόσημο (}±^{) στην τελευταία σχέση δηλώνει ότι σε κάθε τιμή υ του μέτρου της ταχύτητας η επιτάχυνση μπορεί να είναι θετική (α>0) ή αρνητική (α<0),ανάλογα με τον ημιάξονα όπου βρίσκεται το σώμα}

Το διπλό πρόσημο (±) στην τελευταία σχέση δηλώνει ότι σε κάθε τιμή υ του μέτρου της ταχύτητας η επιτάχυνση μπορεί να είναι θετική (α>0) ή αρνητική (α<0),ανάλογα με τον ημιάξονα όπου βρίσκεται το σώμα.

ΑΣΚΗΣΗ 5

Να υπολογίσετε την φάση μεταξύ της επιτάχυνσης και της απομάκρυνσης στην απλή αρμονική ταλάντωση.

ΛΥΣΗ

Για την απομάκρυνση x έχουμε:

x=A·ημω·t   (1)

Για την επιτάχυνση α έχουμε:

α=-ω²·Αημω·t   (2)

Θα χρησιμοποιήσουμε δύο γνωστές βασικές τριγωνομετρικές σχέσεις:

-ημθ=ημ(-θ) και

ημθ=ημ(π-θ)

Άρα έχουμε:

(2) $\Rightarrow$ α=-ω²·Αημω·t ή

α=ω²·Αημ(-ω·t) ή

α=ω²·Αημ[π-(-ω·t)] ή

α=ω²·Αημ(π+ω·t) (3)

Συνεπώς η διαφορά φάσης με την βοήθεια των σχέσεων (1) και (3) είναι:

Δφ=φα-φx ή

Δφ=(ω·t+π)-ω·t ή

Δφ=π

και προηγείται η επιτάχυνση.

Η φυσική σημασία αυτής της διαφοράς είναι ότι όταν κάποια χρονική στιγμή η επιτάχυνση έχει ορισμένη τιμή(π.χ. τη τιμή α=+ω²Α/2),τότε η απομάκρυνση θα πάρει την αντίστοιχη τιμή (x=+Α/2) μετά από χρόνο Δt που αντιστοιχεί στη γωνία Δφ=π,δηλαδή μετά από χρόνο που δίνεται από την σχέση:

Δφ=2π·Δt/Τ   ή

Δt=Τ·Δφ/2π   ή

Δt=Τ/2π · π    ή

Δt=Τ/2

ΑΣΚΗΣΗ 6

Η χρονική εξίσωση της ταχύτητας ενός σώματος που εκτελεί ταλάντωση είναι η υ=6συν(5t+π)(S.I.).Να υπολογίσετε την αρχική φάση και το πλάτος της ταλάντωσης.

ΛΥΣΗ

Για να υπολογίσουμε τα ζητούμενα θα πρέπει να συγκρίνουμε την εξίσωση υ=6συν(5t+π) με την εξίσωση υ=υmaxσυν(ωt+φ0) που ξέρουμε από την θεωρία.

Έχουμε:

υ=6 συν(5t+π)

υ=υmaxσυν(ωt+φ0)

Άρα βρίσκουμε:

υmax=6m/s

ω=5rad/s

φ0=π rad

Άρα η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι φ0=π rad.

Για να υπολογίσουμε το πλάτος της ταλάντωσης θα χρησιμοποιήσουμε την γνωστή σχέση:

υmax=ωΑ ή

Α=υmax/ω ή

Α=1,2m

Άρα το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α=1,2m.

ΑΣΚΗΣΗ 7

Σ' ένα σώμα που εκτελεί ταλάντωση η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης από την θέση ισορροπίας του είναι η x=-0,7ημ(6πt+π/6)(S.I.).Να υπολογίσετε την αρχική φάση και την μέγιστη τιμή της ταχύτητας που αποκτά το σώμα κατά την διάρκεια της ταλάντωσης του.

ΛΥΣΗ

Η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης από την θέση ισορροπίας του x=-0,7ημ(4πt+π/6)(S.I.) μπορεί να γραφεί:

x=0,7ημ(4πt+π/6)

x=0,7ημ(4πt+7π/6)

Συγκρίνουμε την τελευταία εξίσωση με την εξίσωση x=Aημ(ωt+φ0) που ξέρουμε από την θεωρία.Έχουμε:

x=0,7ημ(4πt+7π/6)

x=A ημ(ω t+φ0)

Άρα:

Α=0,7m

ω=4πrad/s

φ0=7π/6

Άρα η αρχική φάση που αποκτά το σώμα κατά την διάρκεια της ταλάντωσης του είναι φ0=7π/6.
Η μέγιστη τιμή της ταχύτητας που αποκτά το σώμα κατά την διάρκεια της ταλάντωσης του υπολογίζεται από την γνωστή σχέση:

υmax=ωΑ=4π 0,7 m/s ή

υmax=4π 0,7 m/s ή

υmax=3,2 m/s

Άρα η μέγιστη τιμή της ταχύτητας που αποκτά το σώμα κατά την διάρκεια της ταλάντωσης είναι υmax=3,2 m/s.

ΑΣΚΗΣΗ 8

Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Αν τη χρονική στιγμή t=0 είναι:

να βρείτε την αρχική φάση της ταλάντωσης.

ΛΥΣΗ

Για t=0 έχουμε:

Έτσι:

Άρα η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι φ0=2π/3rad.
Το πρόσημο της ταχύτητας καθορίζει κάθε φορά ποια από τις δύο λύσεις της τριγωνομετρικής εξίσωσης είναι αποδεκτή,δηλαδή ποια είναι η αρχική φάση της ταλάντωσης.

ΑΣΚΗΣΗ 9

Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α=0,8m και γωνιακή συχνότητα ω=2π rad/s.Τη χρονική στιγμή t=0 είναι x=0,4m και υ<0.

α) Να βρείτε την αρχική φάση της ταλάντωσης.

β) Να υπολογίσετε το διάστημα που έχει διανύσει το υλικό σημείο μέχρι τη χρονική στιγμή t=2,5s.

ΛΥΣΗ

α) Έστω ότι η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης δίνεται από τη σχέση:

x=Aημ(ωt+φ0).

Τη χρονική στιγμή t=0 είναι:

0,4=0,8ημφ0 ή

1/2=ημφ0 ή

ημ(π/6)=ημφ0

Η παραπάνω τριγωνομετρική εξίσωση έχει λύσεις:

φ0=π/6 rad ή

φ0=5π/6 rad

Η ζητούμενη λύση προκύπτει από το πρόσημο της ταχύτητας. Εφόσον υ<0 η ζητούμενη αρχική φάση είναι:

φ0=5π/6

Άρα η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι φ0=5π/6.

β) Σε χρόνο ίσο με μια περίοδο Τ,το υλικό σημείο διανύει απόσταση 4Α.Για τη συγκεκριμένη ταλάντωση είναι:

Τ=2π/ω=2π/2π=1 s.

Επομένως ο χρόνος που δίνεται στην εκφώνηση αντιστοιχεί σε 2,5 περιόδους και το υλικό σημείο διανύει διάστημα:

S=2·4Α+2Α=10·Α=10·0,8=8 m

Άρα το διάστημα που έχει διανύσει το υλικό σημείο μέχρι τη χρονική στιγμή t=2,5 s είναι S=8 m.

ΑΣΚΗΣΗ 10

Σώμα μάζας m=900g εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση x=0,1ημ(ωt+π/4) (SI).Αν κατά τη διάρκεια της πρώτης περιόδου περνά από τη θέση x=0,05m δύο φορές, τις χρονικές στιγμές t1 και t2,που διαφέρουν κατά Δt=2s.
Να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης.

ΛΥΣΗ

Παρατηρούμε ότι η θέση x=0,05 m αντιστοιχεί στη θέση x=+A/2. Αντικαθιστώντας λοιπόν στην εξίσωση της απομάκρυνσης έχουμε:

Από την (1) για k=0 παίρνουμε αρνητική λύση, η οποία απορρίπτεται, ενώ από την (2) για k=0 έχουμε:

Αυτή είναι η πρώτη χρονική στιγμή που το σώμα περνά από τη θέση x=0,05m. Η (1) για k=1 δίνει:

και είναι η δεύτερη φορά που το σώμα περνά από τη θέση x=0,05 m.

Δίνεται ότι Δt=2 s,άρα:

Τ=3 s

Άρα η περίοδος της ταλάντωσης είναι Τ=3 s.

ΑΣΚΗΣΗ 11

Σώμα μάζας m=2 kg είναι δεμένο στα ελεύθερα άκρα δύο ιδανικών ελατηρίων, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα,και ισορροπεί πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ.

Αν απομακρύνουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του,να αποδείξετε ότι το σώμα θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.Δίνονται οι σταθερές επαναφοράς των ελατηρίων k1 και k2.

ΛΥΣΗ

Στη θέση ισορροπίας τα δύο ελατήρια είναι επιμηκυμένα κατά x1 και x2 αντίστοιχα.

Αφού είναι θέση ισορροπίας θα ισχύει:

ΣF=0 ή

F1+mgημφ=F2 ή

k1x1+mgημφ=k2x2 (1)

Στην τυχαία θέση, όπου το σώμα έχει απομακρυνθεί κατά x από τη θέση ισορροπίας του,θα είναι:

ΣF=F2'-F1'-mgημφ ή

ΣF=k2(x2-x)-k1(x1+x)-mgημφ ή

ΣF=k2x2-k2x-k1x1-k1x-mgημφ ή

ΣF=k2x2-k1x1-mgημφ-(k1+k2)x

Λόγω της (1) η τελευταία σχέση γράφεται:

ΣF=-(k1+k2)x

και αποτελεί την αναγκαία και ικανή συνθήκη για να εκτελέσει ένα σώμα απλή αρμονική ταλάντωση, με σταθερά επαναφοράς D=k1+k2.

ΑΣΚΗΣΗ 12

Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Να βρείτε την αρχική φάση της ταλάντωσης,αν τη χρονική στιγμή t=0 η δυναμική ενέργεια είναι το 25% της ολικής ενέργειας.Αφού τη χρονική στιγμή t=0 είναι η δυναμική ενέργεια το 25% της ολικής, έχουμε:

Δηλαδή την t=0 το υλικό σημείο βρίσκεται είτε στη θέση x=A/2 είτε στη θέση x=-A/2.

Θέση x=A/2

Για να βρούμε την αρχική φάση έχουμε:

Θέση x=-A/2

Για τη θέση x=-A/2 έχουμε αντίστοιχα:

Επειδή δεν δίνονται στοιχεία για το πρόσημο της ταχύτητας, δε μπορούμε να απορρίψουμε κάποια από τις λύσεις, οπότε σύμφωνα με τα δοσμένα οι δυνατές λύσεις για την αρχική φάση είναι:

ΑΣΚΗΣΗ 13

Στο ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, φυσικού μήκους l0=1m και σταθεράς k=200N/m δένεται σώμα μάζας m=2kg.Εκτρέπουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του προσφέροντας ενέργεια Ε0 και τη χρονική στιγμή t=0 αφήνουμε το σώμα ελεύθερο, οπότε και αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.Παρατηρούμε ότι η ταχύτητα του σώματος μηδενίζεται, όταν το ελατήριο αποκτά το φυσικό του μήκος.

Να βρεθεί η ενέργεια Ε0 που προσφέρθηκε αρχικά στο σύστημα.

ΛΥΣΗ

Αρχικά το σώμα ισορροπεί στη θέση (Ι), όπου ισχύει:

ΣF=0 ή

Β=Fελ(1) ή

mg=kx1 ή

x1=mg/k ή

x1=0,1m

Προσφέροντας ενέργεια Ε0 εκτρέπουμε το σώμα από τη Θ.Ι. του και το αφήνουμε να εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.

Το ότι η ταχύτητα μηδενίζεται σημαίνει ότι το σώμα βρίσκεται σε ακραία θέση της ταλάντωσης του, όπου η ενέργεια της ταλάντωσης είναι ίση με τη μέγιστη δυναμική ενέργεια (αφού υ=0 και η κινητική ενέργεια θα είναι μηδενική).Άρα έχουμε:

Εολ=1/2·kx1²

Όμως η ενέργεια αυτή είναι ίση με την ενέργεια Ε0 που αρχικά δαπανήσαμε για να εκτρέψουμε το σώμα από τη Θ.Ι. Επομένως:

Ε0=1/2kx1² ή

Ε0=1J

Άρα η ενέργεια που προσφέρθηκε αρχικά στο σύστημα είναι Ε0=1J.

ΑΣΚΗΣΗ 14

Στο σχήμα φαίνεται το διάγραμμα της φάσης σε συνάρτηση με το χρόνο για μια Α.Α.Τ.

Αν το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α=20cm:

α) υπολογίστε την αρχική φάση της ταλάντωσης και την κυκλική συχνότητα.
β) να γράψετε τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης.

ΛΥΣΗ

α) Από το διάγραμμα παρατηρούμε ότι τη χρονική στιγμή t=0 η αρχική φάση είναι φ0=π/2 rad.

Άρα η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι φ0=π/2 rad.

Για την εύρεση της γωνιακής ταχύτητας, γνωρίζουμε ότι φ=ωt ή ω=φ/t.

Άρα για να βρούμε τη γωνιακή ταχύτητα υπολογίζουμε την εφαπτομένη της γωνίας θ. Είναι:

εφθ=Δφ/Δt=(3π/2-π/2)/(1-0)=π rad/s

Άρα η γωνιακή ταχύτητα είναι ω=π rad/s.

β) Η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης είναι της μορφής x=Aημ(ωt+φ0). Με αντικατάσταση των μεγεθών έχουμε:

x=0,2ημ(πt+π/2)

Άρα η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης είναι x=0,2ημ(πt+π/2).

ΑΣΚΗΣΗ 15

Υλικό σημείο εκτελεί Α.Α.Τ.Η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται στο σχήμα.

Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές, ποιες λανθασμένες και γιατί;

α) κατά τη χρονική στιγμή t=6s το μέτρο της επιτάχυνσης γίνεται α=αmax/2.

β) το μέτρο της ταχύτητας κατά τη χρονική στιγμή t=10s είναι μεγαλύτερο από το μέτρο της ταχύτητας κατά τη χρονική στιγμή t=3s.

γ) κατά τις χρονικές στιγμές t=6s και t=12s το μέτρο της ταχύτητας μεγιστοποιείται.

δ) κατά τις χρονικές στιγμές t=3s και t=9s το μέτρο της επιτάχυνσης μεγιστοποιείται.

ΛΥΣΗ

α) Κατά τη χρονική στιγμή t=6s το υλικό σημείο διέρχεται από τη Θ.Ι, όπως φαίνεται και από τη γραφική παράσταση, δηλαδή είναι x=0 και επομένως θα είναι και α=0.

Άρα η πρόταση είναι λανθασμένη.

β) Κατά τη χρονική στιγμή t=3s το υλικό σημείο βρίσκεται στη θέση μέγιστης θετικής απομάκρυνσης, οπότε έχει ταχύτητα υ=0. Τη χρονική στιγμή t=10s το υλικό σημείο κινείται προς τη θέση ισορροπίας του από τη θέση μέγιστης αρνητικής απομάκρυνσης, με αποτέλεσμα να είναι υ>0.

Άρα η πρόταση είναι σωστή.

γ) Κατά τις χρονικές στιγμές t=6s και t=12s το υλικό σημείο διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, με αποτέλεσμα η ταχύτητα του να παίρνει μέγιστη τιμή.

Άρα η πρόταση είναι σωστή.

δ) Κατά τις χρονικές στιγμές t=3s και t=9s το υλικό σημείο βρίσκεται στις ακραίες θέσεις, οπότε η επιτάχυνση μεγιστοποιείται.

Άρα η πρόταση είναι σωστή.

ΑΣΚΗΣΗ 16

Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α=10cm με περίοδο Τ=10s.Τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα διέρχεται από τη θέση x=5cm κινούμενο κατά τη θετική φορά.Να βρείτε το ελάχιστο χρονικό διάστημα που χρειάζεται το σώμα για να διέλθει πάλι από την ίδια θέση κινούμενο με αντίθετη φορά και να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του υλικού σημείου από τη θέση ισορροπίας του.

ΛΥΣΗ

Ελάχιστο χρονικό διάστημα σημαίνει ότι διέρχεται από τη συγκεκριμένη θέση δύο φορές, με αντίθετη κατεύθυνση την κάθε φορά.Ας επιλύσουμε την άσκηση με τη χρήση στρεφόμενων διανυσμάτων,όπως φαίνεται και στην εικόνα.

Έστω ότι το στρεφόμενο διάνυσμα θα διαγράψει στο ζητούμενο χρονικό διάστημα γωνία θ.
Γνωρίζουμε ότι:

Αλλά:

και από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΛ παίρνουμε:

οπότε από την (1):

Επίσης:

οπότε από την αρχική σχέση, προκύπτει για τον ελάχιστο χρόνο μετάβασης:

Για την εξίσωση της απομάκρυνσης, ξέρουμε:

Από το σχήμα προκύπτει ότι:

Άρα η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι:

ΑΣΚΗΣΗ 17

Υλικό σημείο μάζας m=0,01kg εκτελεί αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α=0,2m και περίοδο Τ=π s.Να βρείτε το ελάχιστο χρονικό διάστημα που απαιτείται για να μεταβεί ο ταλαντωτής από τη θέση x1=0,1m στη θέση x2=-0,1m,αν γνωρίζετε ότι διέρχεται από τη θέση x1 κινούμενο

α) προς τη θετική κατεύθυνση και

β) προς την αρνητική κατεύθυνση

ΛΥΣΗ

Θέλουμε να βρούμε τον ελάχιστο χρόνο μετάβασης του υλικού σημείου από τη μία θέση στην άλλη.

α) Γνωρίζουμε ότι:

Από τη σχέση:

Ακόμη ισχύει:

και

οπότε φ1=φ2, δηλαδή οι γωνίες είναι κατακορυφήν.

Άρα θ=π rad και από τη σχέση (1) προκύπτει:

Άρα ο ελάχιστος χρόνος μετάβασης του υλικού σημείου από τη μία θέση στην άλλη προς τη θετική κατεύθυνση είναι Δtmin=π/2 rad.

β) Ισχύει:

Αλλά φ=φ1+φ2=2φ1 και από τη (2) έχουμε:

Από το τρίγωνο ΟΒΓ παίρνουμε:

Επομένως, από την (3) προκύπτει:

Άρα ο ελάχιστος χρόνος μετάβασης του υλικού σημείου από τη μία θέση στην άλλη προς τη αρνητική κατεύθυνση είναι Δtmin=π/6 rad.

ΑΣΚΗΣΗ 18

Σώμα μάζας m έχει προσδεθεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Απομακρύνουμε το σώμα κατακόρυφα και το αφήνουμε ελεύθερο. Να υπολογιστεί η περίοδος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει.

ΛΥΣΗ

Δεν είναι δυνατόν να εφαρμόσουμε τη σχέση T = 2π

, που ισχύει μόνο στις αρμονικές ταλαντώσεις, αν πρώτα δεν αποδείξουμε ότι η κίνηση του σώματος είναι απλή αρμονική ταλάντωση. Για να γίνει αυτό θα αποδείξουμε ότι η συνισταμένη δύναμη σε μια τυχαία θέση του σώματος είναι ανάλογη της απομάκρυνσής του από τη θέση ισορροπίας και αντίθετης φοράς.

Το σώμα αρχικά ισορροπεί έχοντας επιμηκύνει το ελατήριο κατά l (σχ. .β). Κατά την ισορροπία του σώματος ισχύει:

F=w (1)

Έστω μια τυχαία θέση στην οποία θα βρεθεί το σώμα κάποια στιγμή κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του.Θεωρώντας θετική φορά τη φορά της απομάκρυνσης x από τη θέση ισορροπίας του θα ισχύει:

F_ολ=w-F'

ή, λόγω της (1),

F_ολ=F-F' (2)

Σύμφωνα με το νόμο του Hooke F=Kl και F'=K(l+x), οπότε η (2) γίνεται:

F_ολ=-Kx (3)

Από την (3) παρατηρούμε ότι η συνισταμένη δύναμη είναι ανάλογη της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας και αντίθετης φοράς.

Επομένως η κίνηση είναι αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς τη σταθερά Κ του ελατηρίου. Η σχέση ισχύει και γίνεται:

T = 2π

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Ένα ιδανικό κύκλωμα LC έχει κυκλική συχνότητα:

Η μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος είναι Ι=0,4Α.
α) Να βρείτε το φορτίο του πυκνωτή, όταν i=I/2.
β) Αν αυξήσουμε την απόσταση των οπλισμών του πυκνωτή, πως θα μεταβληθεί η μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος;

ΛΥΣΗ

α) Σύμφωνα με την Α.Δ.Ε., ισχύει ότι:

Αντικαθιστώντας στην τελευταία σχέση i=I/2, έχουμε:

Με αντικατάσταση παίρνουμε:

q=±40μC

Άρα το φορτίο του πυκνωτή, όταν i=I/2 είναι q=±40μC.

β) Είναι φανερό ότι η αύξηση της απόστασης των οπλισμών του πυκνωτή προϋποθέτει προσφορά ενέργειας, αφού πρέπει να υπερνικηθεί η έλξη που ασκούν ο ένας οπλισμός στον άλλο. Η ενέργεια αυτή εμφανίζεται στην ολική ενέργεια της ταλάντωσης. Σύμφωνα με την Α.Δ.Ε. έχουμε:

όπου Ι'² είναι η μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος μετά την αύξηση της απόστασης των οπλισμών του πυκνωτή. Έτσι έχουμε τελικά:

Από την τελευταία σχέση συμπεραίνουμε ότι η μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος αυξάνει.

ΑΣΚΗΣΗ 2

Κύκλωμα LC αποτελείται από πηνίο συντελεστή αυτεπαγωγής L=2 mH, και πυκνωτή χωρητικότητας C=5μF. Φέρουμε στιγμιαία τους οπλισμούς του πυκνωτή σε επαφή με πηγή τάσης V=20V.

α) Να υπολογιστεί η συχνότητα των ηλεκτρικών ταλαντώσεων στο κύκλωμα.

β) Να γραφούν οι σχέσεις που δίνουν το φορτίο στον πυκνωτή και το ρεύμα στο κύκλωμα σε συνάρτηση με το χρόνο.

ΛΥΣΗ

α) Η περίοδος των ηλεκτρικών ταλαντώσεων στο κύκλωμα είναι:

T = 2π

Επομένως η συχνότητα f=1/T είναι:

f =

= 16 x 10² Hz

Άρα η συχνότητα των ηλεκτρικών ταλαντώσεων στο κύκλωμα είναι f = 16 x 10² Hz

β) Αν στιγμή μηδέν θεωρηθεί η στιγμή κατά την οποία φορτίστηκε ο πυκνωτής από την πηγή, το φορτίο που απέκτησε ο πυκνωτής εκείνη τη στιγμή είναι:

Q = CV = (5 x 10^-6F) (20V) = 10^-4C

Η γωνιακή συχνότητα είναι:

ω=2πf=10⁴ rad/s

Άρα η σχέση που δίνει το φορτίο στον πυκνωτή σε συνάρτηση με το χρόνο είναι:

q=Qσυνωt=10^-4συν10⁴t (S.I)

Αν θεωρήσουμε ότι η ενέργεια στο κύκλωμα διατηρείται, η μέγιστη ενέργεια μαγνητικού πεδίου στο πηνίο είναι ίση με τη μέγιστη ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή, επομένως:

LI² άρα Ι =

= 1Α

Άρα η σχέση που δίνει το ρεύμα στο κύκλωμα σε συνάρτηση με το χρόνο είναι:

i=-Iημωt=-ημ10⁴t (S.I)

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και ταλαντώνεται κατά τον άξονα x.Η μετατόπιση x μεταβάλλεται συνάρτηση του χρόνου t σύμφωνα με την εξίσωση:

x=(8.0m)cos(πt+π/4)

όπου ο χρόνος t είναι σε s και οι γωνίες σε ακτίνια

α) Να υπολογίσετε το πλάτος ,τη συχνότητα και την περίοδο της κίνησης.

β) Να υπολογίσετε την μέγιστη ταχύτητα υmax,την ταχύτητα υ και την ταχύτητα του σώματος για οποιοδήποτε χρόνο.

γ) Να υπολογίσετε τη θέση x,την ταχύτητα u και την επιτάχυνση του σώματος την χρονική στιγμή t=2 s

δ) Nα υπολογίσετε την μέγιστη επιτάχυνση αmax του σώματος.

ε) Να προσδιορίσετε την μετατόπιση του σώματος ανάμεσα στις χρονικές στιγμές t=0 και t=3 s.

στ) Να προσδιορίσετε την φάση της κίνησης τη χρονική στιγμή t=2 s.

ΑΣΚΗΣΗ 2

Μια σφαίρα μάζας m=1 είναι κρεμασμένη στο άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου με φυσικό μήκος l0=0,4 m και εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε απόσταση d =1m από το έδαφος όπως φαίνεται στο σχήμα ενώ το ύψος της σφαίρας από το έδαφος είναι h.Η γραφική παράσταση του ύψους σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

α) Να υπολογίσετε τη σταθερά k του ελατηρίου.

β) Να υπολογίσετε το χρόνο που χρειάζεται το σώμα ώστε να απέχει 0,8m από το έδαφος για πρώτη φορά;

Δίνεται g=10m/s².

ΑΣΚΗΣΗ 3

Πάνω στο άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου αφήνεται ένα σώμα να πέσει από ύψος h=6cm,το άλλο άκρο του οποίου στηρίζεται στο έδαφος.Έτσι προκαλεί συσπείρωση του ελατηρίου κατά 2h=12cm πριν κινηθεί ξανά προς τα πάνω.

α) Να αποδείξτε ότι το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση
β) Να βρεθεί το πλάτος ταλάντωσης.
γ) Να υπολογιστεί ο χρόνος που το σώμα θα βρίσκεται σε επαφή

Δίνεται g=10m/s² και π²≈10.

ΑΣΚΗΣΗ 4

Ένα ελατήριο βρίσκεται σε κατακόρυφη θέση με το ένα άκρο του στερεωμένο σε οριζόντιο δάπεδο Πάνω στο ελατήριο είναι τοποθετημένος δίσκος μάζας m2 και το σύστημα ισορροπεί με το ελατήριο συσπειρωμένο.Κατά την διάρκεια της συσπείρωσης η δύναμη του ελατηρίου μεταβάλλεται με τέτοιο τρόπο ώστε σε κάθε 10cm συσπείρωσης η δύναμη να αυξάνει κατά 10Ν.Στη συνέχεια από ύψος h=3,2m πάνω από τον δίσκο αφήνετε να πέσει ελεύθερα ελαστική σφαίρα μάζας m1=1Kg,η οποία συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με τον δίσκο,αμέσως μετά την κρούση ο λόγος των ταχυτήτων των δύο μαζών είναι -1,5.

α) Πόση είναι η σταθερά Κ του ελατηρίου και πόση η μάζα m2. Πόση ενέργεια αποθηκεύτηκε στο ελατήριο όταν τοποθετήσαμε τον δίσκο πάνω του

β) Να γραφούν οι εξισώσεις απομάκρυνσης και ταχύτητας της ΑΑΤ με τον χρόνο και να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις ( θεωρήστε σαν θετική φορά την προς τα πάνω)

γ) Να βρεθεί η ενέργεια της ταλάντωσης

δ) Να γράψετε τις εξισώσεις της δυναμικής και της κινητικής ενέργειας της ταλάντωσης με τον χρόνο και να τις παραστήσετε γραφικά

ε) Να γράψετε τις εξισώσεις της δυναμικής και της κινητικής και ολικής ενέργειας της ταλάντωσης με την απομάκρυνση και να τις παραστήσετε γραφικά

ΑΣΚΗΣΗ 5

Τα σώματα Σ1,Σ2 του σχήματος,έχουν μάζες m1=1kg,m2=4kg αντίστοιχα και ηρεμούν σε ισορροπία πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο.Τα σώματα αυτά ,είναι δεμένα στα άκρα δυο οριζόντιων ιδανικών ελατηρίων με σταθερές k1=k2 =100 N/m και παράλληλους άξονες, που βρίσκονται στο φυσικό τους μήκος.Τα άλλα άκρα των ελατηρίων είναι ακλόνητα. Μετατοπίζουμε τα σώματα κατά μήκος της διεύθυνσης των ελατηρίων , προς την ίδια κατεύθυνση κατά d = 0,2 m ,και την χρονική στιγμή t = 0, αφήνουμε ελεύθερο το Σ1.

Να βρείτε και να παραστήσετε γραφικά στο ίδιο σύστημα αξόνων τις εξισώσεις απομάκρυνσης – χρόνου για τις ταλαντώσεις των δυο σωμάτων,αν το σώμα Σ2 αφήνετε ελεύθερο τη χρονική στιγμή που το Σ1 :

α) περνά για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας του

β) σταματά στιγμιαία για πρώτη φορά

γ) επιστρέφει στη θέση x=+Α για τρίτη φορά

ΑΣΚΗΣΗ 6

Το σώμα ισορροπεί στη θέση Ι προσαρτημένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=100 Ν/m, όπως στο σχήμα.Τη στιγμή t=0 ενεργεί πάνω του μια σταθερή οριζόντια δύναμη F=10 Ν.Τριβές δεν υπάρχουν.

α) Δείξτε ότι το σώμα θα κάνει α.α.τ και υπολογίστε το πλάτος (Α) και την περίοδό της (Τ).

β) Υπολογίστε τη ταχύτητα και την επιτάχυνσή του τη στιγμή t = T/4

ΑΣΚΗΣΗ 7

Οριζόντιο ελατήριο k=100 N/m είναι δεμένο στο ένα άκρο του πάνω σε λείο επίπεδο. Προς το ελατήριο εκτοξεύουμε μάζα m=4kg η οποία έχει ταχύτητα υ0=10m/s η οποία επιβραδύνεται από το ελατήριο χωρίς όμως να κολλάει σε αυτό.

α) Μετά από πόσο χρόνο θα σταματήσει και τι συμπίεση θα έχει τότε το ελατήριο;

β) Όταν η συμπίεση του ελατηρίου γίνει ίση με την μισή της μέγιστης, πόση θα είναι ταχύτητα του σώματος;

γ) Για πόσο χρόνο η συμπίεση του ελατηρίου θα είναι μεγαλύτερη από την μισή της μέγιστης;

δ) Μετά από πόσο χρόνο η μάζα θα επιστρέψει στο Φυσικό Μήκος του ελατηρίου και τι ταχύτητα θα έχει τότε;

ε) Τι κίνηση θα κάνει κατόπιν;

ΑΣΚΗΣΗ 8

Ένα ιδανικό ελατήριο έχει σταθερά k=300N/m, είναι στερεωμένο στο ένα του άκρο, και στο άλλο έχει δεμένο σώμα Σ1, μάζας m1=2kg. Το Σ1 είναι συγκολλημένο στο σημείο Λ με σώμα Σ2, μάζας m2=1kg και το σύστημα ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο.Διεγείρουμε κατάλληλα το σύστημα ώστε να εκτελέσει ΑΑΤ με εξίσωση x=Aημωt.Αν Α=0,2m να υπολογίσετε:

α) Τη μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου και την ολική ενέργεια της ΑΑΤ.

β) Τους συντελεστές αναλογίας D1 και D2 μεταξύ συνισταμένης δύναμης και απομάκρυνσης για τις ΓΑΤ των σωμάτων Σ1 και Σ2,καθώς και τη σχέση τους με τη σταθερά k του ελατηρίου.

ΑΣΚΗΣΗ 9

Δυο ιδανικά ελατήρια ίδιου φυσικού μήκους,με σταθερές k1=200N/m και k2=100N/m και θέτουμε ξανά το σύστημα σε ΑΑΤ με εξίσωση x=Aημωt.Να υπολογίσετε πάλι τη μέγιστη δυναμική ενέργεια του καθενός από τα δύο ελατήρια και την ολική ενέργεια της ΑΑΤ.

ΑΣΚΗΣΗ 10

Υλικό σημείο Σ ενός ελαστικού μέσου εκτελεί περιοδική κίνηση (ιδιόμορφη ταλάντωση) της οποίας η εξίσωση απομάκρυνσης από τη θέση χ=0, εκφράζεται ως επαλληλία των εξισώσεων κίνησης:

x1=0,1ημ(202πt) (S.I) και

x2=0,1ημ(198πt) (S.I)

α) Να γραφεί η εξίσωση κίνησης του Σ

β) Ποιες χρονικές στιγμές μηδενίζεται ο όρος της περιοδικής κίνησης που μεταβάλλεται αργά με το χρόνο (περιβάλλουσα);Ποια χρονική στιγμή μηδενίζεται για πρώτη φορά;Ποια η φάση των δύο εξισώσεων x1 , x2 από την επαλληλία των οποίων προκύπτει η εξίσωση κίνησης του Σ,ποια η διαφορά φάσης μεταξύ τους και ποιες οι τιμές των x1,x2 και της απομάκρυνσης x τη στιγμή αυτή;

γ) Ποιες χρονικές στιγμές γίνεται μέγιστος κατά απόλυτη τιμή ο όρος της περιοδικής κίνησης που μεταβάλλεται αργά με το χρόνο (περιβάλλουσα);Ποια χρονική στιγμή συμβαίνει αυτό για πρώτη φορά;Ποια η φάση των δύο εξισώσεων x1,x2 από την επαλληλία των οποίων προκύπτει η εξίσωση κίνησης του Σ,ποια η διαφορά φάσης μεταξύ τους και ποιες οι τιμές των x1,x2 και της απομάκρυνσης χ τη στιγμή αυτή;

δ) Πόσες πλήρεις ταλαντώσεις της περιοδικής κίνησης εκτελεί το υλικό σημείο σε χρονικό διάστημα ίσο με αυτό που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών της περιβάλλουσας;

ΑΣΚΗΣΗ 11

Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του δίνεται από την εξίσωση x=Aημ(ωt+φ0). Αν γνωρίζετε ότι τη χρονική στιγμή t=0 το υλικό σημείο βρίσκεται στη θέση x=+2,5 m, έχει θετική ταχύτητα μέτρου υ=12 m/s και ότι το συνολικό διάστημα που διανύει σε μια περίοδο είναι S=20 m, να βρείτε:

α) το πλάτος Α της ταλάντωσης.

β) την αρχική φάση της ταλάντωσης.

γ) την γωνιακή ταχύτητα ω.

δ) να παραστήσετε γραφικά την απομάκρυνση του υλικού σημείου από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο.

ΑΣΚΗΣΗ 12

Για ένα υλικό σημείο που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση ξέρουμε ότι τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται στο θετικό ημιάξονα (x>0) και κινείται προς τη θέση ισορροπίας και ισχύει Κ=3U. Επίσης γνωρίζουμε ότι ο χρόνος μετάβασης από τη μία ακραία θέση ταλάντωσης στην άλλη είναι π/10 sec.
α) Ποια είναι η αρχική φάση της ταλάντωσης;
β) Ποια είναι η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης;
γ) Όταν το υλικό σημείο βρίσκεται σε μια θέση που απέχει x=0,1m από τη Θ.Ι, έχει ταχύτητα υ=√3 m/s. Ποιο είναι το πλάτος της ταλάντωσης;
δ) Να γραφούν οι εξισώσεις x=f(t), υ=f(t) και να γίνει η γραφική παράσταση της πρώτης.
ε) Πόσος χρόνος μεσολαβεί από τη χρονική στιγμή t=0 μέχρι τη στιγμή που η ταχύτητα του μηδενίζεται για πρώτη φορά;

ΚΥΚΛΩΜΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Το κύκλωμα του παρακάτω σχήματος, εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση με το διακόπτη κλειστό και στο διπλανό σχήμα δίνεται το φορτίο του πυκνωτή (το φορτίο του οπλισμού Α του πυκνωτή) σε συνάρτηση με το χρόνο. Δίνονται ακόμη η χωρητικότητα του πυκνωτή C=0,4μF, ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου L=0,3Η και η αντίσταση του αντιστάτη R=100Ω.

α) Να υπολογίσετε την ενέργεια ταλάντωσης και το πλάτος του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα.

β) Βρείτε την ένταση του ρεύματος τη χρονική στιγμή t1 (που δίνεται στο διάγραμμα) και σχεδιάστε πάνω στο κύκλωμα τη φορά του ρεύματος.

γ) Τη στιγμή t ανοίγουμε το διακόπτη. Για αμέσως μετά να βρεθούν:

i) Ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας του πυκνωτή.

ii) Ο ρυθμός με τον οποίο παράγεται θερμότητα στον αντιστάτη.

iii) Ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας του πηνίου.

δ) Πόση συνολικά θερμότητα θα παραχθεί πάνω στον αντιστάτη με το διακόπτη ανοικτό;

ΑΣΚΗΣΗ 2

Δίνεται το κύκλωμα, όπου το αμπερόμετρο δείχνει σταθερή ένδειξη Ι=2Α,ενώ ο αντιστάτης έχει αντίσταση R=5Ω.Σε μια στιγμή την οποία θεωρούμε t=0,ανοίγουμε το διακόπτη δ.Το πηνίο είναι ιδανικό.

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας

Α) Αμέσως μετά (χρονική στιγμή t=0+):

α) Ο πυκνωτής εκφορτίζεται.

β) Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο θα αυξηθεί (κατά απόλυτο τιμή).

γ) Ο πυκνωτής δίνει ενέργεια στο κύκλωμα με ρυθμό 20J/s.

Β) Τη χρονική στιγμή t1=Τ όπου Τ η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης, πάνω στον αντιστάτη παράγεται θερμότητα με ρυθμό μικρότερο από 20J/s.

Δίνεται ότι οι τιμές της χωρητικότητας του πυκνωτή και της αυτεπαγωγής του πηνίου είναι τέτοιες, που στο κύκλωμα μετά το άνοιγμα του διακόπτη, να πραγματοποιούνται φθίνουσες ηλεκτρικές ταλαντώσεις.

ΑΣΚΗΣΗ 3

Στο κύκλωμα του σχήματος ο πυκνωτής 1 έχει χωρητικότητα C1=40μF και είναι αρχικά φορτισμένος με φορτίο Q1,ενώ ο πυκνωτής 2 είναι αφόρτιστος .

Κάποια στιγμή μεταφέρουμε τον μεταγωγό διακόπτη στη θέση 1 και μετά από χρόνο Δt γίνεται για πρώτη φορά το φορτίο του πυκνωτή q=20μC και η ένταση του ρεύματος στο πηνίο i=-25 √3 10^-3 Α.Αν ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου είναι L=16mH.

Α)

1. Να βρεθεί η περίοδος των ηλεκτρικών ταλαντώσεων

2. Να βρεθεί το φορτίο Q1.

Β) Όταν η ένταση του ρεύματος στο πηνίο γίνει i=20mΑ μεταφέρουμε τον διακόπτη ακαριαία στη θέση 2 Αν το μέγιστο φορτίο που θα αποκτήσει ο δεύτερος πυκνωτής είναι ίσο με Q1.

1. Nα βρεθεί η χωρητικότητα C2.

2. Πόση θα έπρεπε να είναι η χωρητικότητα C2 του δεύτερου πυκνωτή ώστε η τάση στους οπλισμούς του να μην υπερβεί τα 10 V.

ΑΣΚΗΣΗ 4

Κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις με περίοδο Τ=π/500 s.Τη χρονική στιγμή t=0 το φορτίο του πυκνωτή είναι Q=0,5μC.

α) Να υπολογίσετε τη μέγιστη ένταση του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο

β) Να υπολογίσετε το φορτίο του πυκνωτή τη χρονική στιγμή κατά την οποία η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο είναι i=0,003 A

γ) Να υπολογίσετε το φορτίο του πυκνωτή τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου είναι ίση με την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου

ΑΣΚΗΣΗ 5

Ένα κύκλωμα LC εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις με περίοδο Τ, όταν ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα C1. Πως πρέπει να συνδέσουμε στο κύκλωμα ένα δεύτερο πυκνωτή και τι χωρητικότητα C2 πρέπει να έχει,έτσι ώστε η περίοδος του κυκλώματος να διπλασιαστεί;

ΑΣΚΗΣΗ 6

Ιδανικό κύκλωμα LC αποτελείται από πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L=0,5mH και πυκνωτή με χωρητικότητα C=40μF.Η μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα είναι Ι=0,5Α.

α) Να βρείτε το φορτίο του πυκνωτή, όταν η ένταση του ρεύματος είναι i=I/2

β) Αν αυξήσουμε την απόσταση των οπλισμών του πυκνωτή,πως θα μεταβληθεί το πλάτος της έντασης του ρεύματος και γιατί;

ΑΣΚΗΣΗ 7

Κύκλωμα περιλαμβάνει πυκνωτή χωρητικότητας C=2μF,ιδανικό πηνίο αυτεπαγωγής L και διακόπτη που αρχικά είναι ανοικτός. Φορτίζουμε τον πυκνωτή σε τάση V=10V και τη χρονική στιγμή t=0 κλείνουμε το διακόπτη. Τότε το κύκλωμα αρχίζει να εκτελεί ταλαντώσεις.Αν μετά από χρονικό διάστημα Δt=π/3 ms το φορτίο του πυκνωτή γίνεται για πρώτη φορά q=Q/2, να βρείτε:

α) τη μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα.

β) το ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου,όταν q=Q/2 για πρώτη φορά.

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Το σώμα του σχήματος βρίσκεται πάνω σε λεία σανίδα συνδεδεμένο με ιδανικό ελατήριο. Κινούμενο συναντά αντίσταση Fαντ=-b.υ,όπου υ η ταχύτητά του και b=15 Ns/m.Δεχόμενο περιοδική δύναμη εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με εξίσωση x=0,2.ημ5t (S.I).

α) Να γραφούν οι εξισώσεις της ταχύτητας,της αντίστασης,της δύναμης του ελατηρίου και της δύναμης του διεγέρτη.

β) Υπολογίσατε και παραστήσατε γραφικά τον ρυθμό με τον οποίο το σύστημα,λόγω αντίστασης,χάνει ενέργεια για μια περίοδο.

γ) Τι παριστάνει το εμβαδόν της;

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Η τάση της πηγής στο αριστερό κύκλωμα (Δ) δίνεται από την εξίσωση:

V=20∙ημ(5.000t+φο) (S.Ι.),ενώ στο δεξιό κύκλωμα (Σ),το πηνίο έχει αυτεπαγωγή L=2mΗ και ο μεταβλητός πυκνωτής έχει αρχικά χωρητικότητα C1=5μF.Το φορτίο του οπλισμού Α του πυκνωτή δίνεται από την εξίσωση q=2∙10^-6∙ημωt (S.Ι.).

α) Να βρεθεί η κυκλική ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος (Σ).

β) Πόσο είναι το φορτίο του οπλισμού Α του πυκνωτή τη χρονική στιγμή t1=π∙10^-4s;

γ) Ποια είναι η εξίσωση της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα (Σ).

δ) Να υπολογιστούν οι μέγιστες τιμές της ενέργειας του πυκνωτή και του πηνίου.

ε) Αν αυξήσουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή στην τιμή C2=6μF,η ένδειξη του αμπερομέτρου:
α) θα αυξηθεί,
β) θα παραμείνει σταθερή
γ) θα μειωθεί.

στ) Ποια τιμή πρέπει να πάρει η χωρητικότητα του πυκνωτή, ώστε το αμπερόμετρο να δείξει μέγιστη ένδειξη;Για την παραπάνω τιμή της χωρητικότητας, τι θα συμβεί με την ένδειξη του αμπερομέτρου,αν μειώσουμε την αντίσταση του αντιστάτη;

ΑΣΚΗΣΗ 2

Το φορτίο του οπλισμού Α του πυκνωτή δίνεται από την εξίσωση q= 2∙10-6∙ημωt (S.Ι.).

α) Να βρεθεί η κυκλική ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος (Σ).

β) Πόσο είναι το φορτίο του οπλισμού Α του πυκνωτή τη χρονική στιγμή t1=π∙10^-4s;

γ) Ποια είναι η εξίσωση της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα (Σ).

δ) Να υπολογιστούν οι μέγιστες τιμές της ενέργειας του πυκνωτή και του πηνίου.

ε) Αν αυξήσουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή στην τιμή C2=6μF,η ένδειξη του αμπερομέτρου:
θα αυξηθεί, θα παραμείνει σταθερή ή θα μειωθεί.

στ) Ποια τιμή πρέπει να πάρει η χωρητικότητα του πυκνωτή,ώστε το αμπερόμετρο να δείξει μέγιστη ένδειξη;Για την παραπάνω τιμή της χωρητικότητας, τι θα συμβεί με την ένδειξη του αμπερομέτρου,αν μειώσουμε την αντίσταση του αντιστάτη;

ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Διαθέτουμε δύο ηχητικές πηγές που παράγουν απλούς αρμονικούς ήχους της ίδιας συχνότητας.Οι δυο πηγές παράγουν ήχους ίδιας έντασης,πράγμα που σημαίνει ότι, όταν ο κάθε ήχος πέσει στο τύμπανο του αυτιού μας, το εξαναγκάζει να ταλαντωθεί με το ίδιο πλάτος.Έστω ότι η ταλάντωση του τυμπάνου εξαιτίας του πρώτου ήχου έχει απομάκρυνση:

x1=0,002 ημ(1000πt) (S.Ι.).

ενώ εξαιτίας του δεύτερου ήχου:

x2=0,002∙ημ(1000πt+2π/3) (S.Ι.).

α) Ποια η συχνότητα του ήχου που ακούμε;

β) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του τυμπάνου του αυτιού μας σε συνάρτηση με το χρόνο.

γ) Να βρείτε την ταχύτητα ταλάντωσης του τυμπάνου τη χρονική στιγμή t1=1ms.

ΑΣΚΗΣΗ 2

Σώμα μάζας m=1kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις με ίσα πλάτη (A1=A2) και εξισώσεις x1=A1·ημωt και x2=A2ημ(ωt+π/3) (S.I.), που εξελίσσονται πάνω στην ίδια ευθεία και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας ταλάντωσης. Η ενέργεια της σύνθετης κίνησης είναι Ε=6 J και η μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά είναι αmax= 20 √3 m/s2

α) Να βρείτε το πλάτος Α1 και την γωνιακή συχνότητα ω της σύνθετης κίνησης.

β) Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας σε συνάρτηση με τον χρόνο υ=υ(t) της σύνθετης κίνησης

γ) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας την χρονική στιγμή που ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος είναι ίσος με ΔΡ/Δt -10 √3 Κgm/sec².

δ) Να βρείτε την επιτάχυνση του σώματος, την χρονική στιγμή που η απομάκρυνσή του λόγω της 1ης ταλάντωσης γίνεται ίση με x1=0,1m,για πρώτη φορά μετά την έναρξη της σύνθετης κίνησης

ΑΣΚΗΣΗ 3

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο ταλαντώσεις και στο σχήμα φαίνονται οι επιμέρους απομακρύνσεις σε συνάρτηση με το χρόνο.

Πάνω στο ίδιο διάγραμμα να σχεδιάστε τη συνολική απομάκρυνση σε συνάρτηση με το χρόνο.

ΑΣΚΗΣΗ 4

Ένα σώμα μάζας m=2kg μετέχει ταυτόχρονα σε δυο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Η εξίσωση της ταχύτητας του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο για κάθε μία από τις επιμέρους ταλαντώσεις είναι:

υ1=8πσυν(ωt + π) (S.I.) και

υ2=υ2maxσυνωt (S.I.) .

Η εξίσωση της σύνθετης ταλάντωσης που προκύπτει δίνεται από τη σχέση:

x=4ημ100πt (x σε cm, t σε s).

α) Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας σε συνάρτηση με το χρόνο για τη σύνθετη κίνηση.

β) Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης για κάθε μία από τις συνιστώσες ταλαντώσεις.

γ) Ποια θα έπρεπε να ήταν η μέγιστη επιτάχυνση του.

ΔΙΑΚΡΟΤΗΜΑ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Υλικό σημείο Σ μάζας m=2∙10^-2kg εκτελεί “ταυτόχρονα” δύο AAT,οι οποίες γίνονται στην ίδια διεύθυνση, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και με συχνότητες που διαφέρουν πολύ λίγο.Οι ταλαντώσεις περιγράφονται από τις εξισώσεις: x1=Αημ(2πf1t) και x2=Αημ(2πf2t), με f1>f2.Από τη σύνθεση των δύο ΑΑΤ προκύπτει μια ιδιόμορφη ταλάντωση του Σ που παρουσιάζει διακροτήματα.Η απομάκρυνση και το “πλάτος” της ιδιόμορφης ταλάντωσης του Σ σε σχέση με το χρόνο φαίνονται στο διάγραμμα.

Να βρεθούν:

α) Το πλάτος Α των δύο ΑΑΤ που δημιουργούν την ιδιόμορφη ταλάντωση.

β) Η περίοδος και η συχνότητα των διακροτημάτων.

γ) Η περίοδος και η συχνότητα της ιδιόμορφης ταλάντωσης του Σ.

δ) Οι συχνότητες των δύο ΑΑΤ που δημιουργούν την ιδιόμορφη ταλάντωση.

ε) Η διαφορά φάσης των δύο ΑΑΤ τις χρονικές στιγμές 5s και 10s.

στ) Η απομάκρυνση, η ταχύτητα και η κινητική ενέργεια του Σ,την χρονική στιγμή που το πλάτος της ιδιόμορφης περιοδικής κίνησής του ισούται με 1m.

ζ) Ο αριθμός των μεγιστοποιήσεων του πλάτους και ο αριθμός των μηδενισμών της απομάκρυνσης του Σ,στη χρονική διάρκεια 0 - 50s

ΑΣΚΗΣΗ 2

Δύο ταλαντώσεις πραγματοποιούνται στην ίδια διεύθυνση,γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας με εξισώσεις:

x₁= Α ημ10πt και

x₂ = Α∙ημ2πf₂t (S.Ι.)

Το αποτέλεσμα της σύνθεσης παρουσιάζεται στο παρακάτω διάγραμμα.

Ζητούνται:
α) Ποια τα πλάτη των δύο ταλαντώσεων;
β) Πόση είναι η περίοδος του διακροτήματος;
γ) Η συχνότητα της δεύτερης ταλάντωσης.
δ) Οι διαφορές φάσης μεταξύ των δύο ταλαντώσεων τις χρονικές στιγμές t₁=1,25s και t₂=2,5s

ΑΣΚΗΣΗ 3

Διαθέτουμε δύο ηχητικές πηγές που παράγουν απλούς αρμονικούς ήχους με συχνότητες f₁ και f₂.Οι δυο πηγές παράγουν ήχους ίδιας έντασης,πράγμα που σημαίνει ότι, όταν ο κάθε ήχος πέσει στο τύμπανο του αυτιού μας, το εξαναγκάζει να ταλαντωθεί με το ίδιο πλάτος.Έστω ότι η ταλάντωση του τυμπάνου εξαιτίας του πρώτου ήχου έχει απομάκρυνση:

x₁=0,002 ημ(20.000πt+π) (S.Ι.),

ενώ εξαιτίας του δεύτερου ήχου:

x₂=0,002∙ημ(20.004πt) (S.Ι.).

α) Να βρεθούν οι συχνότητες των δύο ήχων.

β) Να βρεθεί η διαφορά φάσης Δφ₂₁=φ₂-φ₁ μεταξύ των δύο απομακρύνσεων σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.

γ) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του τυμπάνου του αυτιού μας σε συνάρτηση με το χρόνο.

δ) Ποια η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβανόμαστε;

ε) Πόσα μέγιστα της έντασης του ήχου αντιλαμβανόμαστε σε κάθε δευτερόλεπτο;

ΑΣΚΗΣΗ 4

Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο ΑΑΤ ίδιας συχνότητας.Τα πλάτη των ταλαντώσεων είναι Α1=Α και Α2=3Α. Ποιος ο λόγος A0/Aπ των συνολικών πλατών που προκύπτουν για διαφορές φάσης των δύο ταλαντώσεων 0 και π rad αντίστοιχα;

ΑΣΚΗΣΗ 5

Μηχανικό εγκάρσιο αρμονικό κύμα, χωρίς αρχική φάση, διαδίδεται προς τα δεξιά έχοντας την πηγή του στην αρχή των αξόνων.Η πηγή μεγιστοποιεί την ταχύτητά της 40 φορές σε κάθε δευτερόλεπτο ενώ το μήκος κύματός είναι 4 μέτρα.Αν το πλάτος ταλάντωσης της πηγής είναι 0,1 μέτρα:

α) Ποια είναι η εξίσωση ταλάντωσης της πηγής;

β) Ποια η εξίσωση του κύματος;

γ) Μετά από πόσο χρόνο το κύμα φτάνει στο σημείο Α,xA=200m;

δ) Ποια η εξίσωση ταλάντωσης του Α;

ε) Αν το σημείο Α έχει μάζα m=0,1kg πόση είναι η Ενέργεια ταλάντωσης του και η μέγιστη του ταχύτητα;

στ) Όταν η ταχύτητα του είναι ίση με το 1/3 της μέγιστης πόση είναι η δυναμική του ενέργεια;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Κάθε ελατήριο στο παρακάτω σχήμα έχει το ένα άκρο του στερεωμένο σε ακίνητο σημείο και το άλλο του άκρο προσδεμένο στο σώμα Σ. Οι σταθερές των δύο ελατηρίων είναι Κ1=120Ν/m και Κ2=80N/m. To σώμα Σ, έχει μάζα m=2kg και μπορεί να κινείται χωρίς τριβές.

Να αποδείξετε ότι η κίνηση που θα εκτελέσει το σώμα Σ,αν εκτραπεί από τη θέση ισορροπίας του κατά τη διεύθυνση του άξονα των ελατηρίων είναι απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης.

ΛΥΣΗ

Τ=0,2π s

ΑΣΚΗΣΗ 2

Σώμα μάζας m=2 kg κάνει απλή αρμονική ταλάντωση.Το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α=0,5 m.Όταν το σώμα απέχει από τη θέση ισορροπίας του x1=0,3m η ταχύτητά του είναι u1=4m/s
α) Υπολογίστε τη σταθερά D της ταλάντωσης.
β) Υπολογίστε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος όταν η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας είναι x2=0,4 m.

ΛΥΣΗ

α) D=200N/m
β) u=3m/s

ΕΡΩΤΗΣΗ 3

Στην ελεύθερη άκρη κατακόρυφου ελατηρίου κρέμεται σώμα άγνωστης μάζας.Η επιμήκυνση του ελατηρίου,όταν το σώμα ισορροπεί είναι Δl=2,5cm.Να υπολογίσετε την περίοδο της κατακόρυφης ταλάντωσης που θα κάνει το σώμα,αν το απομακρύνουμε κατακόρυφα από τη θέση ισορροπίας του και το αφήσουμε ελεύθερο.
Δίνεται g=10m/s²

ΛΥΣΗ

0,314s

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΕΡΩΤΗΣΗ 4

Κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων αποτελείται από πυκνωτή χωρητικότητας C=5 μF και πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L=4x10^-3Η.Να υπολογίσετε τη συχνότητα με την οποία ταλαντώνεται το κύκλωμα,αν διεγερθεί.

ΛΥΣΗ

1126 Hz

ΕΡΩΤΗΣΗ 5

Κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων με πυκνωτή χωρητικότητας C=20x10^-6 F και πηνίο αυτεπαγωγής L=5x10^-2 Η διεγείρεται σε ταλάντωση.Για τη διέγερση του κυκλώματος,τη χρονική στιγμή μηδέν ο πυκνωτής έρχεται στιγμιαία σε επαφή με του πόλους πηγής τάσης V=50 V.Να γράψετε τις σχέσεις του φορτίου στον πυκνωτή και της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα, σε συνάρτηση με το χρόνο.

ΛΥΣΗ

q=10^-3συν100t
i=-Iημ100t   (SI)

ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΚΑΙ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 6

Σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση το πλάτος της οποίας μειώνεται σύμφωνα με τη σχέση A=Aoe^-Λt.Τη στιγμή t=0 η ταλάντωση είχε πλάτος Αο=32cm ενώ τη στιγμή t1=10s το πλάτος γίνεται Α1=16cm.Ποια χρονική στιγμή το πλάτος της ταλάντωσης θα είναι Α=1 cm .

ΛΥΣΗ

50s

ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΗ 7

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις, με εξισώσεις  x1=4ημ50t και x2=4ημ(50t-π) (SI) που γίνονται στη ίδια διεύθυνση και γύρω από το ίδιο σημείο. Ποιο είναι το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος;

ΛΥΣΗ

0

ΑΣΚΗΣΗ 8

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις με εξισώσεις,  x1=10ημ50πt και x2=4ημ50t που γίνονται στη ίδια διεύθυνση και γύρω από το ίδιο σημείο. Τα πλάτη των δύο ταλαντώσεων είναι μετρημένα σε cm. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης, που εκτελεί το σώμα.

ΛΥΣΗ

x=0,14 ημ50t (S.I.)

ΑΣΚΗΣΗ 9

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις με εξισώσεις,  x1=8ημ50πt και x2=6ημ(50πt-π) που γίνονται στη ίδια διεύθυνση και γύρω από το ίδιο σημείο.Τα πλάτη των δύο ταλαντώσεων είναι μετρημένα σε cm.Να γράψετε τις σχέσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο και να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσής του.

ΛΥΣΗ

u=3,14συν50πt (m/s)
α=-493ημ50πt(m/s²),
T =0,04s

ΑΣΚΗΣΗ 10

Το διαπασών παράγει αρμονικό ήχο που εξαναγκάζει το τύμπανο του αφτιού να κάνει ταλάντωση.Ένας παρατηρητής ακούει τον ήχο από δύο διαπασών, που λειτουργούν ταυτόχρονα και παράγουν ήχους με συχνότητες f1=2500 Hz και f2=2500,5 Hz.Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται έναν ήχο που άλλοτε «σβήνει» (το πλάτος της ταλάντωσης μηδενίζεται) και άλλοτε αποκτά μέγιστη ένταση (το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται μέγιστο).Ποιος είναι ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς της έντασης του ήχου;

ΛΥΣΗ

2 s

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο T=0,2π s.Τη χρονική στιγμή μηδέν το σώμα βρίσκεται στη θέση x=2cm και έχει ταχύτητα υ=-0,2√3.Να γράψετε τις σχέσεις που δίνουν την απομάκρυνση, την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο.

ΑΣΚΗΣΗ 2

Στην κάτω άκρη κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς Κ=100 N/m,ή άλλη άκρη του οποίου είναι στερεωμένη σε ακλόνητο σημείο, ισορροπεί σώμα μάζας m=1 kg.Το σώμα απομακρύνεται κατακόρυφα προς τα κάτω κατά d=5 cm από τη θέση ισορροπίας του και τη στιγμή μηδέν αφήνεται ελεύθερο. Να υπολογίσετε:

α) τη συχνότητα της ταλάντωσης που θα εκτελέσει,

β) την αρχική φάση στην ταλάντωσή του.

γ) τη μέγιστη ταχύτητα που αποκτά κατά την κίνησή του

δ) τη μέγιστη επιτάχυνση που έχει.

ε) τη μέγιστη δύναμη που δέχεται από το ελατήριο κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής του.

Δίνεται g=10m/s²

ΛΥΣΗ

α) 5/π Hz

β) π/2 ή 3π/2

γ) 0,5 m/s

δ) 5 m/s²

ε) 15 Ν

ΑΣΚΗΣΗ 3

Σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α=20 cm με περίοδο Τ=10 s.Τη χρονική στιγμή μηδέν το σώμα περνά από τη θέση ισορροπίας.Να υπολογιστεί επί πόσο χρόνο (μέχρι να επιστρέψει στη θέση ισορροπίας) η απομάκρυνση του θα είναι μεγαλύτερη από x=10cm.

ΛΥΣΗ

10/3 s

ΑΣΚΗΣΗ 4

Ο εμπρόσθιος προφυλακτήρας ενός αυτοκινήτου συμπεριφέρεται σαν ιδανικό ελατήριο σταθεράς K=25x10⁵ N/m.

α) Η μάζα του οχήματος, μαζί με τους επιβάτες του είναι Μ=1000 kg.Το αυτοκίνητο συγκρούεται μετωπικά με ακίνητο εμπόδιο, ενώ κινείται με ταχύτητα υ=18 km/h. Υπολογίστε τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου -προφυλακτήρα- καθώς και τη χρονική διάρκεια της συσπείρωσης.

β) Ένας επιβάτης έχει μάζα m=60 kg.Υπολογίστε τη μέγιστη οριζόντια δύναμη που πρέπει να δεχτεί από τη ζώνη πρόσδεσης,ώστε να μην εκτιναχτεί από το κάθισμα κατά τη διάρκεια της σύγκρουσης.

Σημείωση:Θα θεωρήσετε ότι κατά τη διάρκεια της σύγκρουσης οι τριβές και οι αντιστάσεις είναι αμελητέες και ότι ο κινητήρας του οχήματος δε λειτουργεί.

ΛΥΣΗ

α) 0,1 m

π/100s,

β) 15x10³N

ΑΣΚΗΣΗ 5

Ακίνητο σώμα μάζας Μ= 100 g βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι προσδεμένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ=300 N/m, ή άλλη άκρη του οποίου είναι στερεωμένη ακλόνητα. Βλήμα μάζας m=20 g,που κινείται στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα υ=30 m/s, συγκρούεται με το σώμα Μ και σφηνώνεται σε αυτό.
Να υπολογίσετε:

α) την κοινή ταχύτητα που αποκτούν τα δύο σώματα αμέσως μετά τη σύγκρουση.

β) το διάστημα που θα διανύσει το συσσωμάτωμα, μέχρι να σταματήσει στιγμιαία για πρώτη φορά.

γ) σε πόσο χρόνο από τη στιγμή της σύγκρουσης το συσσωμάτωμα θα σταματήσει στιγμιαία για πρώτη φορά.Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα.

ΛΥΣΗ

5m/s,

0,1m,

3,14x10^-2s

ΑΣΚΗΣΗ 8

Κύκλωμα LC εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση με συχνότητα Hz.Το μέγιστο φορτίο στον πυκνωτή είναι Q=5x10^-7C.

α) Να υπολογίσετε το πλάτος της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα και το φορτίο του πυκνωτή τη στιγμή που το ρεύμα στο κύκλωμα είναι i=3x10^-3A.

β) Θεωρήστε ότι η χωρητικότητα του πυκνωτή είναι 1 μF. Να παραστήσετε σε κοινούς άξονες την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή, την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου και την ολική ενέργεια σε συνάρτηση με το φορτίο του πυκνωτή.

ΛΥΣΗ

5mA

4x10^-7C

ΑΣΚΗΣΗ 9

Πυκνωτής χωρητικότητας C=4x10^-5F φορτίζεται σε τάση V=100 V.Τη χρονική στιγμή t=0 οι οπλισμοί του συνδέονται στα άκρα πηνίου με συντελεστή αυτεπαγωγής L=0,9 Η και το κύκλωμα εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση.

α) Ποιο είναι το μέγιστο φορτίο που απέκτησε ο πυκνωτής κατά τη φόρτισή του;

β) Ποιο είναι το φορτίο του πυκνωτή τις στιγμές που η ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή είναι ίση με την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου στο πηνίο;

γ) Ποια χρονική στιγμή η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου γίνεται, για πρώτη φορά, ίση με την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου;

ΛΥΣΗ

α) 4x10^-3

β) 2√2x 10^-3

γ) 1,5π x10^-3s

ΑΣΚΗΣΗ 10

Κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων περιλαμβάνει πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L=16 mH και πυκνωτή χωρητικότητας C=4x10^-5F.Κάποια στιγμή το φορτίο στον πυκνωτή είναι q=20 μC και η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα i=25√3mA.Ποιο είναι το μέγιστο φορτίο που αποκτά ο πυκνωτής κατά την ηλεκτρική ταλάντωση;

ΛΥΣΗ

40 μC

ΑΣΚΗΣΗ 11

Σώμα μάζας m=2kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις της ίδιας διεύθυνσης γύρω από το ίδιο σημείο.Οι εξισώσεις των ταλαντώσεων είναι x1=10ημπt και x2=5ημ(50πt-π).Τα πλάτη των δύο ταλαντώσεων είναι μετρημένα σε cm.

α) Ποια είναι η σταθερά D της αρμονικής ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα;

β) Ποια είναι η ενέργεια της ταλάντωσης;

γ) Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας του σώματος όταν η απομάκρυνσή του είναι x=4 cm;Δίνεται π²≈10

ΛΥΣΗ

D=5x10⁴N/m,

E=62,4J,

u= 3√2,5 m/s

AΣΚΗΣΗ 12

Τα σώματα Σ1 και Σ2 του σχήματος είναι τοποθετημένα σε λείο οριζόντιο επίπεδο και εφάπτονται μεταξύ τους.Το Σ1 είναι δεμένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=100N/m.Το ελατήριο έχει το φυσικό μήκος του και τα σώματα ισορροπούν.Μετακινούμε τα σώματα ώστε το ελατήριο να συσπειρωθεί κατά Α=40 cm και στη συνέχεια τα αφήνουμε ελεύθερα.

Να βρείτε:

α) τη θέση στην οποία θα αποχωρισθεί το Σ2 από το Σ1.

β) το πλάτος της απλής αρμονικής ταλάντωσης που εκτελεί το Σ1 αφού αποχωρισθεί από το Σ2.

γ) την απόσταση των σωμάτων όταν η ταχύτητα του Σ1 μηδενίζεται για πρώτη φορά.Δίνονται οι μάζες των σωμάτων m1=1 kg και m2=3 kg αντίστοιχα.

ΛΥΣΗ

α) στη θέση ισορροπίας

β) 20cm,

γ) 11,4cm

ΑΣΚΗΣΗ 13

Κατακόρυφο ελατήριο με σταθερά Κ=100Ν /m έχει το κάτω άκρο του στερεωμένο στο δάπεδο. Στο επάνω άκρο του ελατηρίου έχει προσδεθεί σώμα Σ1,μάζας m1=1kg , που ισορροπεί.Δεύτερο σώμα Σ2, μάζας m2 βρίσκεται πάνω από το πρώτο σε άγνωστο ύψος h.Μετακινούμε το σώμα Σ1 προς τα κάτω κατά l=2m και το αφήνουμε ελεύθερο,ενώ την ίδια στιγμή αφήνουμε ελεύθερο και το δεύτερο σώμα.

α) Από ποιο ύψος h πρέπει να αφεθεί το Σ2 ώστε να συναντήσει το Σ1 στη θέση ισορροπίας του;

β) Ποια είναι η ταχύτητα κάθε σώματος τη στιγμή που συγκρούονται;

γ) Αν η χρονική διάρκεια της σύγκρουσης των δύο σωμάτων είναι αμελητέα και το κάθε σώμα αποκτά μετά την κρούση ταχύτητα αντίθετη από αυτή που είχε πριν συγκρουστεί, να υπολογίσετε το χρόνο ανάμεσα σε δύο διαδοχικές κρούσεις.

Δίνεται g=10m/s² και π²≈10

ΛΥΣΗ

0,125m,

2m/s, 1,57m/s,

0,314s

ΑΣΚΗΣΗ 14

Σώμα Σ1, μάζας m, = 0,3kg αναρτάται στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο.Όταν το σώμα ισορροπεί η επιμήκυνση του ελατήριου είναι 0,25m.Δεύτερο σώμα Σ2,μάζας m2 - 0,45kg,βάλλεται κατακόρυφα από το έδαφος και στην πορεία του συναντάει το Σ,και συγκρούεται με αυτό.Το συσσωμάτωμα που προέκυψε από την κρούση φτάνει μέχρι τη θέση στην οποία το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος.

α) Ποια είναι η ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση;

β) Ποια είναι η μέγιστη ταχύτητα που αποκτά το συσσωμάτωμα κατά την κάθοδο του;

γ) Μετά από πόσο χρόνο, από τη στιγμή που το συσσωμάτωμα φτάνει στην ανώτερη θέση, η ταχύτητα του γίνεται,για πρώτη φορά, μέγιστη;

Δίνεται g=10 m/s²

ΛΥΣΗ

2m/s,

2,5m/s,

0,4s

ΑΣΚΗΣΗ 15

Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος δίνονται:E=12V,r=0,L=10 mH,C=1 μF,R=12 Ω.Αρχικά ο μεταγωγός βρίσκεται στη θέση Α και το πηνίο διαρρέεται από σταθερό ρεύμα.Τη χρονική στιγμή t=0 ο μεταγωγός μεταφέρεται ακαριαία στη θέση Β.

α) Ποιος οπλισμός θα αποκτήσει πρώτος θετικό φορτίο;

β) Γράψτε τις εξισώσεις που δίνουν την ένταση του ρεύματος και το φορτίο του πυκνωτή σε συνάρτηση με το χρόνο.

ΛΥΣΗ

α) 0 οπλισμός που συνδέεται με τον αρνητικό πόλο της πηγής

β) i=0,6συν104t, q=6x10^-5ημ104t (SI)

ΑΣΚΗΣΗ 16

Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος δίνονται Ε=6 V,R=2 Ω,L=0,2x10-3 H,r=0.Αρχικά ο διακόπτης Δ είναι κλειστός,το κύκλωμα διαρρέεται από σταθερό ρεύμα και ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος.Όταν ανοίξουμε το διακόπτη ο πυκνωτής φορτίζεται.