PHYSIC LESSONS: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LORENTZ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LORENTZ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ο Λόρεντζ ανακάλυψε στα 1900 ότι οι μετασχηματισμοί διατηρούν αναλλοίωτες τις εξισώσεις του Μάξουελ (Maxwell).Ωστόσο,ο Λόρεντζ δεχόταν την υπόθεση του αιθέρα·

Ο Χέντρικ Αντούν Λόρεντζ (Hendrik Antoon Lorentz, 1853-1928) ήταν Ολλανδός κορυφαίος θεωρητικός φυσικός.Ο Λόρεντζ είναι γνωστός για τη θεωρία των ηλεκτρονίων και τους ομώνυμους μετασχηματισμούς (μετασχηματισμοί Λόρεντζ) που περιέγραψε και εφαρμόζονται στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας. Ασχολήθηκε με τον Ηλεκτρισμό, αλλά και με τη Θερμοδυναμική και τη Στατιστική Φυσική. Μαζί με τον Πιέτερ Ζέεμαν (Pieter Zeeman) ερμήνευσε το Φαινόμενο Zeeman, για το οποίο τιμήθηκαν με το Βραβείο Νόμπελ Φυσικής το 1902.Ο Lorentz εισήγαγε τους μετασχηματισμούς του το 1890,προκειμένου να διασώσει την Ηλεκτρομαγνητική θεωρία του Maxwell που δεν υπάκουε στους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου. 0 Einstein ήταν ο πρώτος που κατανόησε τη φυσική τους σημασία το 1905

Ήταν ο Άλμπερτ Αϊνστάιν που πρώτος ανέπτυξε τη Θεωρία της Σχετικότητας και θεμελίωσε τους μετασχηματισμούς σε στέρεο φυσικό υπόβαθρο. Παρά το γεγονός αυτό, θεωρούσε ουσιαστικά το Λόρεντζ "πατέρα" της Σχετικότητας.

Ο Ζιλ Ανρί Πουανκαρε ήταν Γάλλος μαθηματικός,αστρονόμος και φιλόσοφος.Αρχικά υπήρξε καθηγητής ανάλυσης στο πανεπιστήμιο του Καν και αργότερα (1881) στο πανεπιστήμιο της Σορβόνης.Εκεί δίδαξε κατά σειρά φυσική και πειραματική μηχανική, μαθηματική φυσική,θεωρία του λογισμού των πιθανοτήτων και,τέλος,ουράνια μηχανική.Από το 1887 ήταν μέλος της Ακαδημίας Επιστημών και αργότερα μέλος του Γραφείου Μέτρων και Σταθμών και της Γαλλικής Ακαδημίας

Οι μετασχηματισμοί Λόρεντζ δημοσιεύτηκαν για πρώτη φορά το 1904, αλλά ο φορμαλισμός τους ήταν προς το παρόν ατελής.Ο Ανρί Πουανκαρέ (Henri Poincaré),Γάλλος μαθηματικός,αναθεώρησε τον φορμαλισμό του Λόρεντζ για να κάνει τις τέσσερεις εξισώσεις ένα συνεκτικό,αυτοσυνεπές σύνολο,όπως τις ξέρουμε σήμερα.

Οι Μετασχηματισμοί Λόρεντζ αποτελούν τη βάση της Ειδικής θεωρίας της Σχετικότητας, η οποία εισήχθη σε μια προσπάθεια να αρθούν οι αντιφάσεις ανάμεσα στις θεωρίες του ηλεκτρομαγνητισμού και της Κλασικής Μηχανικής

Οι Μετασχηματισμοί Λόρεντζ, οι οποίοι ονομάστηκαν προς τιμήν του Ολλανδού φυσικού και μαθηματικού Χέντρικ Λόρεντζ (Hendrik Antoon Lorentz) (1853-1928) και αποτελούν τη βάση της Ειδικής θεωρίας της Σχετικότητας,η οποία εισήχθη σε μια προσπάθεια να αρθούν οι αντιφάσεις ανάμεσα στις θεωρίες του ηλεκτρομαγνητισμού και της Κλασικής Μηχανικής.

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LORENTZ

Στις προηγούμενες δυο παραγράφους δείξαμε ότι η μέτρηση του μήκους και του χρόνου δε δίνει τα ίδια αποτελέσματα για δυο παρατηρητές που είναι ακίνητοι ως προς τα συστήματα αναφοράς τους,αν το σύστημα αναφοράς του ενός (Σ') κινείται με ταχύτητα u ως προς το σύστημα αναφοράς του άλλου (Σ).

Χρειαζόμαστε κάποιους "κανόνες" που να μετασχηματίζουν την εικόνα της πραγματικότητας του ενός παρατηρητή σε αυτήν κάποιου άλλου.Πιο συγκεκριμένα χρειαζόμαστε κάποιες σχέσεις μετασχηματισμού, ούτως ώστε οι μετρήσεις που κάνει ο παρατηρητής στο Σ να είναι αποδεκτές στο Σ' και αντίστροφα.

Ας υποθέσουμε ότι το Σ' κινείται ως προς το Σ παράλληλα προς τον άξονα των x και ότι τη χρονική στιγμή t=0 τα δύο συστήματα ταυτίζονται. Ένα σημείο Κ θα έχει ως προς το Σ συντεταγμένες (x,y, z) και ως προς το Σ' συντεταγμένες (x′, y′, z′).Για το x θα ισχύει x=ut +x′. Όμως μιλάμε για ένα x ' όπως το βλέπει ο παρατηρητής του Σ και όχι όπως το βλέπει ο παρατηρητής του Σ' δηλαδή,συνεσταλμένο.

Το Σ' κινείται ως προς το Σ παράλληλα προς τον άξονα των x και ότι τη χρονική στιγμή t=0 τα δύο συστήματα ταυτίζονται

Για να το ξεχωρίζουμε θα το συμβολίζουμε x'_Σ .Πιο σωστά λοιπόν x=ut+x_Σ'.
Μεταξύ του x'_Σ και του x' ισχύει:

x'_Σ=x' Εικόνα

.

x=ut+ x' Εικόνα

Λύνοντας ως προς x' προκύπτει

x'= Εικόνα

Για τα y',z' θα ισχύει

y'=y

και

z'=z

Έτσι αν ο παρατηρητής του Σ διαβιβάσει σ' αυτόν του Σ' όλες του τις μετρήσεις (χ,y,z,u,t) τότε ο παρατηρητής του Σ' μπορεί να βρει τη θέση του Κ χωρίς να κάνει δικές του μετρήσεις.

Η κάθετη διεύθυνση δείχνει το χρόνο, ενώ η οριζόντια δείχνει απόσταση, η διακεκομμένη γραμμή είναι η χωροχρονική τροχιά του παρατηρητή

Κανένα αδρανειακό σύστημα δε μπορεί να θεωρηθεί απολύτως ακίνητο.Όπως θεωρήσαμε το Σ ακίνητο και το Σ' κινούμενο με u μπορούμε θεωρήσουμε το Σ' ακίνητο και το Σ κινούμενο με -u.Αντικαθιστώντας στην εξίσωση τους τονούμενους χαρακτήρες με μη τονούμενους και αντίστροφα και την ταχύτητα u με -u ,προκύπτει:

x'=-ut'+x

Αντικαθιστώντας το x' με το ίσον του από την εξίσωση και λύνοντας ως προς t' καταλήγουμε:

t' =

Οι εξισώσεις ονομάζονται μετασχηματισμοί Lorentz από το Σ στο Σ'.
Τους παραθέτουμε συγκεντρωτικά,μαζί με τους αντίστροφους μετασχηματισμούς (από το Σ' στο Σ).

Βλέπουμε ότι όταν u<<c οι μετασχηματισμοί Lorentz δίνουν x'=x -ut y'=y z'=z δηλαδή συμπίπτουν με τους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου.
Επίσης βλέπουμε ότι το x' εξαρτάται και από το t και το t' από το x.Στην ειδική θεωρία της σχετικότητας ο χώρος και ο χρόνος είναι αλληλένδετοι. Μιλάμε πια για χωροχρόνο.

ΤΟ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΟ ΚΑΙ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

Ας υποθέσουμε ότι δυο γεγονότα συμβαίνουν ταυτόχρονα για ένα παρατηρητή ακίνητο ως προς το σύστημα Σ' στις θέσεις (x₁',y₁',z₁',t₁') και (x₂',y₂',z₂',t₂').Θα συμβαίνουν ταυτόχρονα και για έναν παρατηρητή ακίνητο ως προς το Σ;
Σύμφωνα με τους αντίστροφους μετασχηματισμούς Lorentz (από το Σ' στο Σ) η χρονική στιγμή που θα συμβεί το γεγονός 1 για τον παρατηρητή του Σ θα είναι:

t₁= Εικόνα

και η χρονική στιγμή που θα συμβεί το γεγονός 2 θα είναι:

t₂= Εικόνα

.

Ο χρόνος που μεσολάβησε ανάμεσα στα δυο γεγονότα για τον παρατηρητή του Σ θα είναι:

Δt=t₂-t₁=

Αν τα γεγονότα είναι ταυτόχρονα για τον παρατηρητή του Σ' τότε Δt'=0 οπότε:

Δt=

Αυτό σημαίνει ότι για τον παρατηρητή που βρίσκεται στο Σ τα γεγονότα δεν είναι ταυτόχρονα. Βέβαια αν τα γεγονότα συμβαίνουν σε μικρή απόσταση μεταξύ ως προς το Σ' και το Σ' κινείται με ταχύτητα πολύ μικρότερη του c ως προς το Σ το Δt είναι πρακτικά μηδενικό και τα γεγονότα ταυτόχρονα και ως προς το Σ.

ΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LORENTZ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΠΙΝΑΚΩΝ

Οι παραπάνω τέσσερεις εξισώσεις μπορούν να γραφούν συμπαγώς σε μορφή πίνακα ως εξής:

$\begin{bmatrix} t' \\x' \\y' \\z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\frac{v}{c^2} \gamma&0&0\\ -v \gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t\\x\\y\\z \end{bmatrix}$

ή εναλλακτικά ως:

$\begin{bmatrix} c t' \\x' \\y' \\z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\frac{v}{c} \gamma&0&0\\ -\frac{v}{c} \gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c t\\x\\y\\z \end{bmatrix}.$

Η πρώτη μορφή έχει το πλεονέκτημα ότι φαίνεται εύκολα ότι ανάγεται στους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου στο όριο $\upsilon /c \to 0$ . Η δεύτερη μορφή έχει το πλεονέκτημα ότι δείχνει σαφώς τη διατήρηση του χωροχρονικού μήκους $ds^2 = (cdt)^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$ , που είναι μια θεμελιώδης αναλλοίωτη ποσότητα της ειδικής σχετικότητας.

Οι εξισώσεις αυτές ισχύουν μόνο στην περίπτωση που η ταχύτητα ${\upsilon}$ βρίσκεται κατά μήκος του χ-άξονα. του συστήματος $S$ . Σε περιπτώσεις όπου η ${\upsilon}$ δε δείχνει κατά μήκος του χ-άξονα του $S$ , είναι συνήθως ευκολότερο να κάνουμε μια περιστροφή του συστήματος, ώστε να φέρουμε την ${\upsilon}$ κατά μήκος του χ-άξονα του $S$ , παρά να μπλέξουμε με τη γενική μορφή του μετασχηματισμού Λόρεντζ.

Για μια προώθηση (boost) σε τυχούσα κατεύθυνση, είναι βολικό να αναλύσουμε το χωρικό διάνυσμα $\mathbf{x}$ σε συνιστώσες κάθετες και παράλληλες προς την ταχύτητα:

$\mathbf{\upsilon}$ : $\mathbf{x}=\mathbf{x}_\perp+\mathbf{x}_\|$ .

Μόνο η συνιστώσα $\mathbf{x}_\|$ στην κατεύθυνση της $\mathbf{\upsilon}$ μεταβάλλεται κατά τον παράγοντα $\gamma$ :

$t' = \gamma \left(t - \frac{\upsilon x_\|}{c^{2}} \right)$

$\mathbf{x}' = \mathbf{x}_\perp + \gamma \left(\mathbf{x}_\| - \mathbf{\upsilon} t \right)$

Οι παραπάνω εξισώσεις μπορούν να εκφραστούν σε μορφή πίνακα ως:

$\begin{bmatrix} c t' \\ \\ \mathbf{x}' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\frac{\mathbf{\upsilon^T}}{c}\gamma\\ \\ -\frac{\mathbf{\upsilon}}{c}\gamma&\mathbf{1}+\frac{\mathbf{\upsilon}\cdot\mathbf{\upsilon^T}}{\upsilon^2}(\gamma-1)\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c t\\ \\ \mathbf{x} \end{bmatrix}$ .

Ένας ακόμη περιοριστικός παράγοντας του παραπάνω μετασχηματισμού είναι ότι η "αρχή" των αξόνων των δύο συστημάτων πρέπει να συμπίπτει για $t = t' = 0$ . Αυτό σημαίνει ότι το "γεγονός" με συντεταγμένες $(0, 0, 0, 0)$ στο σύστημα $S$ πρέπει να είναι το ίδιο με το "γεγονός" με συντεταγμένες $(0, 0, 0, 0)$ στο $S'$ . Μια γενίκευση των μετασχηματισμών Λόρεντζ που χαλαρώνει αυτή την απαίτηση είναι οι μετασχηματισμοί Πουανκαρέ.

Γενικότερα,αν Λ είναι οποιοσδήποτε 4x4 πίνακας τ.ω. Λ^TgΛ=g, όπου T είναι ο ανάστροφος του πίνακα και:

$g= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{bmatrix}$

και X είναι το 4-άνυσμα που περιγράφει τις χωροχρονικές μετατοπίσεις, τότε ο $X\rightarrow \Lambda X$ είναι ο πιο γενικός μετασχηματισμός Λόρεντζ. Οι ορισμένοι μ' αυτό τον τρόπο πίνακες Λ αποτελούν μια αναπαράσταση της ομάδας SO(3,1),γνωστή επίσης και ως ομάδα Λόρεντζ.

Από		Σε
	Εκατοστό= 1 Εκατοστά

Enter			1

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LORENTZ

ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ