| 
ΠΥΡΑΥΛΟΣ ΦΩΤΟΝΙΟΥ
 |
| ΠΥΡΑΥΛΟΣ ΦΩΤΟΝΙΟΥ |
ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Πύραυλος φωτονίου ονομάζεται ένας υποθετικός πύραυλος που χρησιμοποιεί ώθηση από τα φωτόνια που εκπέμπονται (η πίεση της ακτινοβολίας από την εκπομπή) για την προώθησή του.Ο Πύραυλος φωτονίου έχει συζητηθεί ως σύστημα προώθησης που θα μπορούσε να κάνει δυνατή τη διαστημική πτήση,το οποίο απαιτεί ικανότητα προώθησης του διαστημικού σκάφους σε ταχύτητες τουλάχιστον 10% της ταχύτητας του φωτός (Tsander, 1967).
v~0.1c=30.000 km/s
Η πρόωση φωτονίων έχει θεωρηθεί ως μια από τις καλύτερες διαθέσιμες έννοιες της διαστρικής πρόωσης,επειδή βασίζεται σε καθιερωμένη φυσική και τεχνολογίες (Forward,1984).
 |
| Πύραυλος φωτονίου ονομάζεται ένας υποθετικός πύραυλος που χρησιμοποιεί ώθηση από τα φωτόνια που εκπέμπονται (η πίεση της ακτινοβολίας από την εκπομπή) για την προώθησή του |
Τα φωτόνια θα μπορούσαν να παραχθούν από γεννήτριες μέσα στο σκάφους.Η κλασσική περίπτωση τέτοιου είδους πυραύλου είναι η ιδανική υπόθεση όπου το σύνολο του καυσίμου μετατρέπεται σε φωτόνια,τα οποία ακτινοβολούν προς την ίδια κατεύθυνση.Πιο ρεαλιστικά,κάποιος λαμβάνει υπόψη του ότι η δέσμη των φωτονίων δεν είναι απόλυτα ευθυγραμμισμένη,ότι δεν μετατρέπονται όλα τα καύσιμα σε φωτόνια κλπ.Έτσι θα απαιτείται μεγάλη ποσότητα καυσίμου και ο πύραυλος θα ήταν ένα τεράστιο σκάφος.Στην Φωτονική Laser,οι παράλληλες ακτίνες φωτονίων χρησιμοποιήθηκαν από τα κάτοπτρα,πολλαπλασιάζοντας την ισχύ με τον αριθμό των αναπηδήσεων.
 |
| Ο πύραυλος φωτονίου |
Οι παραδοσιακοί πυραύλοι φωτονίων προτείνονται να τροφοδοτούνται από γεννήτριες επί του σκάφους,όπως στον πυρηνικό πυραύλο.Η τυπική θήκη εγχειριδίου ενός τέτοιου πυραύλου είναι η ιδανική περίπτωση όπου όλο το καύσιμο μετατρέπεται σε φωτόνια που ακτινοβολούνται στην ίδια κατεύθυνση.Σε πιο ρεαλιστικές συνθήκες,κάποιος λαμβάνει υπόψη ότι η δέσμη των φωτονίων δεν είναι τέλεια συμπαγής,ότι δεν μετατρέπεται όλο το καύσιμο σε φωτόνια και ούτω καθεξής.Θα χρειαζόταν μεγάλη ποσότητα καυσίμου και ο πύραυλος θα ήταν ένα τεράστιο σκάφος.
 |
| Τα φωτόνια θα μπορούσαν να παραχθούν από γεννήτριες μέσα στο σκάφους |
Οι περιορισμοί που θέτει η εξίσωση πυραύλων μπορούν να ξεπεραστούν,αρκεί η μάζα αντίδρασης να μην μεταφέρεται από το διαστημικό σκάφος.Στο Beamed Laser Propulsion (BLP),οι γεννήτριες φωτονίων και το διαστημικό σκάφος διαχωρίζονται φυσικά και τα φωτόνια ακτινοβολούνται από την πηγή φωτονίων στο διαστημικό σκάφος χρησιμοποιώντας λέιζερ.Ωστόσο,το BLP είναι περιορισμένο λόγω της εξαιρετικά χαμηλής απόδοσης παραγωγής ώσης της ανάκλασης φωτονίων.Ένας από τους καλύτερους τρόπους για να ξεπεραστεί η εγγενής αναποτελεσματικότητα στην παραγωγή ώσης του προωθητήρα φωτονίων είναι η ενίσχυση της δυναμικής μεταφοράς φωτονίων με την ανακύκλωση φωτονίων μεταξύ δύο καθρεπτών υψηλής ανακλαστικότητας.
ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΠΥΡΑΥΛΟΥ ΦΩΤΟΝΙΟΥ
Το 1969,ο Kinnersley εισήγαγε και ερεύνησε μια κατηγορία ακριβών διαστημάτων που περιγράφουν ένα εντοπισμένο αντικείμενο που επιταχύνεται λόγω της οπίσθιας αντίδρασης της εκπεμπόμενης μηδενικής ακτινοβολίας.Στην αξονικά συμμετρική περίπτωση το αντικείμενο κινείται κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής που αντιστοιχεί στον άξονα,αλλά υπάρχουν και γενικότερες λύσεις στις οποίες η κίνηση είναι εντελώς αυθαίρετη.Αυτοί μπορεί να χρησιμεύσει ως ενδιαφέροντα αυθεντικά ακριβή μοντέλα για την κίνηση ενός πυραύλου φωτονίων που ωθείται από μια συγκεκριμένη ανισοτροπική εκπομπή φωτονίων.Τέτοιες λύσεις έχουν προσελκύσει σημαντική προσοχή,ιδίως λόγω κάποιων ασυνήθιστων ιδιοτήτων της σχετικής βαρυτικής ακτινοβολίας.
 |
| Στην αξονικά συμμετρική περίπτωση το αντικείμενο κινείται κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής που αντιστοιχεί στον άξονα,αλλά υπάρχουν και γενικότερες λύσεις στις οποίες η κίνηση είναι εντελώς αυθαίρετη |
Οι λύσεις Kinnersley είναι αλγεβρικού τύπου D και ανήκουν σε μια μεγάλη οικογένεια Robinson–Trautman spacetime που ορίζεται από την ιδιότητα που αναγνωρίζει γεωδαιστική,χωρίς διάτμηση,χωρίς στρίψιμο αλλά επεκτείνεται στο μηδενικό διανυσματικό πεδίο.Είναι ενδιαφέρον,στην κατηγορία του Robinson–Trautman χωριστά υπάρχουν και άλλες διακριτές λύσεις τύπου D που περιγράφουν επίσης επιταχυνόμενες πηγές,δηλαδή το περίφημο C-metric.Αυτή είναι μια συγκεκριμένη λύση κενού που αντιπροσωπεύει ένα ζευγάρι μαύρων οπών,επιταχυνόμενη ομοιόμορφα υπό την επίδραση των κοσμικών χορδών.Σε αντίθεση στο C-metric,οι χωρικοί χρόνοι που περιγράφουν τους πυραύλους φωτονίων του Kinnersley είναι χωρίς κενό (το οι πύραυλοι εκπέμπουν καθαρή ακτινοβολία) και,εκτός από τη θέση του πυραύλου,είναι κανονικοί παντού.
Είναι επιθυμητό να βρεθούν και να μελετηθούν επεκτάσεις υψηλών διαστάσεων τέτοιων κατηγοριών ακριβείας διαστήματα που αντιπροσωπεύουν επιταχυνόμενα αντικείμενα.Έχουν γίνει πολλές προσπάθειες γενίκευσης,η C-μετρική σε υψηλότερες διαστάσεις,αλλά δεν έχει ακόμη βρεθεί.Αρκετά ενδιαφέρον,μια ακριβής κλάση καθαρών διαστημάτων ακτινοβολίας που περιλαμβάνει αυτούς τους πυραύλους Kinnersley.
ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΠΥΡΑΥΛΟΥ ΦΩΤΟΝΙΟΥ
Με απουσία εξωτερικών δυνάμεων,η ταχύτητα την οποία θα φτάσει ένας ιδανικός πύραυλος φωτονίου,εξαρτάται από την αναλογία της αρχικής και της τελικής μάζας του:
Με απουσία εξωτερικών δυνάμεων,η ταχύτητα την οποία θα φτάσει ένας ιδανικός πύραυλος φωτονίου,εξαρτάται από την αναλογία της αρχικής και της τελικής μάζας του:
υ=c · (mi/mf)2-1/(mi/mf)2+1
όπου:
mi η αρχική μάζα και
mf η τελική μάζα.
mi η αρχική μάζα και
mf η τελική μάζα.
 |
| Η ταχύτητα την οποία θα φτάσει ένας ιδανικός πύραυλος φωτονίου εξαρτάται από την αναλογία αρχικής με τελικής μάζας |
Ο συντελεστής γ που αντιστοιχεί σ' αυτήν την ταχύτητα έχει την εξής απλή έκφραση:
γ=1/2(mi/mf+mf/mi)
Στο 10% της ταχύτητας του φωτός,ο συντελεστής γ είναι περίπου 1,005,δηλαδή ο λόγος mf/mi είναι σχεδόν 0,9.
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΠΥΡΑΥΛΟΥ ΦΩΤΟΝΙΟΥ
Έχει προταθεί η χρήση φωτονίων για την προώθηση πυραύλων.Ενώ για τα χηµικά καύσιµα υπάρχει ένα όριο ταχύτητας αποβολής µάζας της τάξης των 10 km/s,για τα φωτόνια αυτή η ταχύτητα είναι 30.000 φορές µεγαλύτερη και γι’ αυτό η εκποµπή από τον πύραυλο φωτονίων,µε τη µεγάλη τους ταχύτητα,θεωρείται ότι θα προσδώσει στον πύραυλο µεγαλύτερη ταχύτητα ανά µονάδα µάζας που αποβάλλεται ως φως.Θα πρέπει να προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα που επιτυγχάνεται µε αυτήν την µέθοδο,ως κλάσµα της µάζας του πυραύλου που αποβάλλεται στη µορφή των φωτονίων.
Έστω ότι η αρχική µάζα του πυραύλου είναι M0.Αν σε κάποια χρονική στιγµή έχει αποβληθεί ένα κλάσµα κ της αρχικής µάζας,τα φωτόνια που εκπέµφθηκαν µεταφέρουν συνολικά ενέργεια Eφ και ορµή Pφ:
Pφ= Eφ/c
Αν εκείνη τη στιγµή ο πύραυλος κινείται µε ταχύτητα υ και έχει µάζα:
M(υ)=(1-κ)·γ·Μο
όπου:
γ=1/(1-υ2/c2)1/2
Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ενέργειας:
Εολ=Μο·c2
Εολ=Μ(υ)·c2+Eφ
Εολ=(1-κ)·γ·Μο·c2+Eφ
Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ορµής:
Pολ=0=Μ(υ)·υ+Eφ/c=(1-κ)·γ·Μο·υ-Eφ/c
Από τις δύο αυτές σχέσεις,απαλείφοντας την Eφ,προκύπτει ότι ή από την οποία βρίσκουµε και που δίνουν την ταχύτητα και τον παράγοντα Λόρεντς για ένα δεδοµένο κλάσµα της αρχικής µάζας ηρεµίας του πυραύλου που έχει εκπεµφθεί ως φωτόνια για την προώθηση του διαστηµοπλοίου:
Μο·c2=(1-κ)·Μο·c2·γ(1+β)
(1-κ)·γ(1+β)=1
(1-κ)(1+β/(1-β)1/2=1
1-β/1+β=(1-κ)2
β=1-(1-κ)2/1-(1-κ)2
και
γ=1/2(1-κ + 1/1-κ)
που δίνουν την ταχύτητα και τον παράγοντα Λόρεντς για ένα δεδοµένο κλάσµα της αρχικής µάζας ηρεµίας του πυραύλου που έχει εκπεµφθεί ως φωτόνια για την προώθηση του διαστηµοπλοίου.
Μερικές αριθµητικές τιµές είναι:
β 0,5 0,9 0,95 0,99 0,995 0,999
γ 1,16 2,94 3,20 7,09 10 22,4
κ 0,42 0,77 0,84 0,93 0,95 0,98
Βλέπουµε πως,για να πετύχουµε µια ταχύτητα 0,995c,που αντιστοιχεί σε γ=10,πρέπει να εκπέµψουµε ως φωτόνια το 95 % της ολικής µάζας του διαστηµοπλοίου.Το ωφέλιµο φορτίο είναι,εποµένως, µόνο το 5 % της αρχικής µάζας ηρεµίας του διαστηµοπλοίου.Αν επίσης επιθυµούµε να επιβραδύνουµε το διαστηµόπλοιο µέχρι να σταµατήσει,να το επιταχύνουµε προς τα πίσω, και να το ξαναφέρουµε στο σηµείο εκκίνησης,το οφέλιµο φορτίο θα είναι µόνο που έχει τιµή περίπου.Αυτό κάνει τα διαστηµόπλοια µε πυραύλους φωτονίων αµφίβολης χρησιµότητας.
ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΦΩΤΩΝΙΩΝ
Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ορμής έχουμε:
Pph=Pi-Pf
όπου:
Pi η ορμή του πυραύλου σε ακινησία,
Pf η ορμή του πυραύλου αφού έχει κάψει τα καύσιμά του,
Pph η ορμή των εκπεμπόμενων φωτονίων.
Pi η ορμή του πυραύλου σε ακινησία,
Pf η ορμή του πυραύλου αφού έχει κάψει τα καύσιμά του,
Pph η ορμή των εκπεμπόμενων φωτονίων.
 |
| Ένας ιδανικός πύραυλος φωτονίου |
P2ph=P2i+P2f-2·Pi·Pf
Σύμφωνα με τη σχέση ενέργειας-ορμής το τετράγωνο της ορμής ισοδυναμεί με το τετράγωνο της μάζας:
Ε2-(p·c)2=(m·c2)2
Επίσης έχουμε:
P2ph=0
επειδή όλα τα φωτόνια κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση.
Καθώς ξεκινάμε από το πλαίσιο μηδενικής ορμής του πυραύλου,η αρχική τετράχρονη ορμή του πυραύλου είναι:
ενώ το τελική τετράχρονη ορμή του πυραύλου είναι:
Επομένως,λαμβάνοντας το εσωτερικό γινόμενο Minkowski,η εξίσωση P2ph=P2i+P2f-2·Pi·Pf μπορεί να γραφτεί και ως:
0=m2i+m2f-2·mi·mf·γ
Τέλος λύνοντας την εξίσωση αυτή ως προς τον συντελεστή γ έχουμε:
0=m2i+m2f-2·mi·mf·γ
2·mi·mf·γ=m2i+m2f
γ=m2i+m2f/2·mi·mf
γ=m2i/2·mi·mf + m2f/2·mi·mf
γ=mi/2·mf + mf/2·mi
γ=1/2(mi/mf+mf/mi)
ΜΕΓΙΣΤΟ ΟΡΙΟ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΠΥΡΑΥΛΟΥ ΦΩΤΟΝΙΟΥ
Η τυπική θεωρία λέει ότι το θεωρητικό όριο ταχύτητας ενός πυραύλου φωτονίων είναι κάτω από την ταχύτητα του φωτός.Ο Haug πρόσφατα,στην Acta Astronautica,πρότεινε ένα μέγιστο όριο ταχύτητας για έναν ιδανικό πύραυλο φωτονίων που είναι ακριβώς κάτω από την ταχύτητα του φωτός.Ωστόσο,οι ισχυρισμοί του απορρίφθηκαν από τον Daniele Tommasini,επειδή αυτή η ταχύτητα διατυπώνεται για τη σχετικιστική μάζα και συνεπώς εξαρτάται από το πλαίσιο.Ανεξάρτητα από τα χαρακτηριστικά της γεννήτριας φωτονίων,οι πυραύλοι φωτονίων που τροφοδοτούνται με πυρηνική σχάση και σύντηξη έχουν όρια ταχύτητας από την αποτελεσματικότητα αυτών των διαδικασιών.Εδώ θεωρείται ότι το σύστημα πρόωσης έχει ένα μόνο στάδιο.
Ας υποθέσουμε ότι η συνολική μάζα του πυραύλου/διαστημικού σκάφους φωτονίων είναι m που περιλαμβάνει καύσιμα με μάζα αm με α<1.Υποθέτοντας τη μάζα καυσίμου στην ενεργειακή απόδοση μετατροπής προωστικού συστήματος και την ενεργειακή απόδοση συστήματος πρόωσης σε ενεργειακή απόδοση φωτονίων δ<<1,η μέγιστη συνολική ενέργεια φωτονίου Ep που παράγεται για πρόωση δίνεται από τον τύπο:
Ep=α·γ·δ·m·c2
Εάν η συνολική ροή φωτονίων μπορεί να κατευθυνθεί σε 100% αποτελεσματικότητα για τη δημιουργία ωθήσεως,η συνολική ώση φωτονίων Tp δίνεται από τον τύπο:
Tp= Ep/c=α·γ·δ·m·c
Η μέγιστη εφικτή ταχύτητα διαστημικού σκάφους υmax του συστήματος πρόωσης φωτονίων για υmax<< c,δίνεται από τον τύπο:
υmax=Tp/m=α·γ·δ·c
Για παράδειγμα,οι κατά προσέγγιση μέγιστες ταχύτητες που επιτυγχάνονται από πυραύλους πυρηνικής ενέργειας με φωτονικές ρουκέτες με υποτιθέμενες παραμέτρους δίδονται στον παρακάτω πίνακα.
Τα ανώτατα όρια ταχύτητας από τέτοιους πυρηνικούς πυραύλους είναι μικρότερο από 0,02% της ταχύτητας φωτός 60 km/s.Επομένως,οι πυραύλοι πυρηνικών φωτονίων είναι ακατάλληλοι για διαστρικές αποστολές.
Στο παρακάτω πίνακα φαίνεται η μέγιστη ταχύτητα που επιτυγχάνεται από πυραύλους φωτονίων με ενσωματωμένες γεννήτριες πυρηνικών φωτονίων με παραδειγματικές παραμέτρους.
| ΠΗΓΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ | α | γ | δ | υmax/ c |
| Σχάση | 0.1 | 10 −3 | 0,5 | 5x10 −5 |
| Σύντηξη | 0.1 | 4x10 −3 | 0,5 | 2x10 −4 |
ΤΑ ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΤΟΥ ΠΥΡΑΥΛΟΥ ΦΩΤΟΝΙΟΥ PLANCK
Θα εξετάζουμε τα τελικά όρια ενός πυραύλου πρόωσης φωτονίων.Η μέγιστη ταχύτητα για έναν πύραυλο πρόωσης φωτονίων είναι ακριβώς κάτω από την ταχύτητα του φωτός και είναι συνάρτηση του μειωμένου μήκους κύματος Compton των βαρύτερων υποατομικών σωματιδίων στον πύραυλο.Συνδυάζουμε βασικά την σχετικιστική εξίσωση πυραύλων με τη νέα εικόνα του Haug σχετικά με τη μέγιστη ταχύτητα για οτιδήποτε με μάζα ηρεμίας.
Ένα ενδιαφέρον νέο εύρημα είναι ότι για να επιταχυνθεί οποιοδήποτε υποατομικό «θεμελιώδες» σωματίδιο στη μέγιστη ταχύτητά του,ο πύραυλος σωματιδίων χρειάζεται βασικά δύο μάζες Planck αρχικού φορτίου.Αυτό μπορεί να ακούγεται παράλογο έως ότου καταλάβει κανείς ότι τα υποατομικά σωματίδια με διαφορετικές μάζες έχουν διαφορετικές μέγιστες ταχύτητες.Αυτό μπορεί να γενικευτεί σε μεγάλους πυραύλους και μας δίνει τη μέγιστη θεωρητική ταχύτητα ενός πλήρως αποδοτικού και ιδανικού πυραύλου.Επιπλέον,δεν απαιτείται επιπλέον καύσιμο για να επιταχυνθεί ένα σωματίδιο μάζας Planck στη μέγιστη ταχύτητά του.Αυτό μπορεί επίσης να ακούγεται παράλογο,αλλά έχει μια πολύ απλή και λογική λύση που εξηγείται παρακάτω.
Ο Haug παρουσίασε πρόσφατα μια νέα μελέτη για την μέγιστη ταχύτητα για τα υποατομικά σωματίδια με οποιαδήποτε μάζα ηρεμίας που είναι ακριβώς κάτω από την ταχύτητα του φωτός c που δίνεται από τον τύπο:
υmax=c·(1-lp2/ƛ2)1/2
όπου:
ƛ το μειωμένο μήκος κύματος Compton του σωματιδίου,
lp το μήκος του Planck.
Αυτή η μέγιστη ταχύτητα βάζει μια ανώτερη οριακή συνθήκη στην κινητική ενέργεια,την ορμή,την σχετικιστική μάζα καθώς και την σχετικιστική μετατόπιση Doppler σε σχέση με τα υποατομικά σωματίδια.Βασικά,κανένα θεμελιώδες σωματίδιο δεν μπορεί να επιτύχει σχετικιστική μάζα υψηλότερη από την μάζα Planck και το μικρότερο μειωμένο μήκος κύματος Compton που μπορούμε να παρατηρήσουμε από τη συστολή του μήκους είναι το μήκος του Planck.Επιπλέον,η μέγιστη συχνότητα περιορίζεται στη συχνότητα Planck,η μάζα σωματιδίων Planck είναι αμετάβλητη και επίσης το μήκος του Planck,όταν σχετίζεται με το μειωμένο μήκος κύματος Compton.
Εδώ θα συνδυάσουμε αυτήν την εξίσωση με τον σχετικιστικό πύραυλο προκειμένου να εκτιμηθεί πόσα καύσιμα θα χρειαζόταν να επιταχύνει έναν ιδανικό πύραυλο σωματιδίων στη μέγιστη ταχύτητά του.Εμείς θα επεκτείνουμε επίσης αυτήν την ιδέα για να εξετάσουμε το απόλυτο όριο ταχύτητας για ένα μακροσκοπικό πύραυλος που ταξιδεύει κάτω από ιδανικές συνθήκες σε κενό.
Η σχετικιστική εξίσωση πυραύλων Ackeret δίνεται από το τύπο:
m0=m1·(1+Δυ/c/1-Δυ/c)c/2lsp
και λύνουμε σε σχέση με την ταχύτητα που έχουμε:
Δυ=c·tanh[lsp/c · ln(m0/m1)]
όπου:
lsp η ειδική ώθηση που είναι ένα μέτρο της αποτελεσματικότητας του πύραυλου,
m1 η τελική μάζα ηρεμίας του πυραύλου με ωφέλιμο φορτίο,
m0 η αρχική μάζα ηρεμίας του πυραύλου με ωφέλιμο φορτίο συν καύσιμο.
Θα υποθέσουμε ότι η εσωτερική απόδοση της μονάδας πυραύλων είναι 100%, δηλαδή:
lsp/c=1
Αυτό είναι βασικά ισοδύναμο με έναν πύραυλο που κινείται από πρόωση φωτονίων τον λεγόμενο πύραυλο φωτονίων.Στη συνέχεια μας ενδιαφέρει εκτίμηση της ποσότητας καυσίμου που απαιτείται για την επιτάχυνση ενός υποατομικού σωματιδίου,χρησιμοποιώντας κινητήρα σωματιδίων πρόωσης φωτονίων στο μέγιστο όριο ταχύτητα και παίρνουμε:
m0=m1·(1+Δυ/c/1-Δυ/c)1/2
m0=m1·(1+c(1-lp2/ƛ2)1/2/c/1-c(1-lp2/ƛ2)1/2/c)1/2
m0=m1·(1+(1-lp2/ƛ2)1/2/1-(1-lp2/ƛ2)1/2)1/2
όταν
ƛ⪢lp
όπως συμβαίνει για οποιοδήποτε παρατηρούμενο θεμελιώδες σωματίδιο,μπορούμε κατά προσέγγιση με επέκταση σειράς να γράψουμε:
(1-lp2/ƛ2)1/2≈1-1/2·lp2/ƛ2
Έτσι έχουμε:
m0=m1·(1+(1-lp2/ƛ2)1/2/1-(1-lp2/ƛ2)1/2)1/2
m0≈m1·(1+1-1/2·lp2/ƛ2/1-1+1/2·lp2/ƛ2)1/2
m0≈m1·(2-1/2·lp2/ƛ2/1/2·lp2/ƛ2)1/2
m0≈m1·(4-lp2/ƛ2/lp2/ƛ2)1/2
Εφόσον υποθέτουμε ότι λ⪢lp,τότε αυτό μπορεί να προσεγγιστεί περαιτέρω αρκετά καλά από:
m0≈m1·(4-lp2/ƛ2/lp2/ƛ2)1/2
m0≈m1·(4/lp2/ƛ2)1/2
m0≈m1·(4·ƛ2/lp2)1/2
m0≈m1·2·ƛ/lp
m0≈2·mp
Αυτό σημαίνει ότι προκειμένου να επιταχυνθεί οποιοδήποτε σωματίδιο,για παράδειγμα ένα ηλεκτρόνιο στη μέγιστη ταχύτητά του χρειαζόμαστε έναν πύραυλο σωματιδίων με δύο μάζες Planck καυσίμου:
2·mp≈4,35302×10-8 kg
Η ταχύτητα του ηλεκτρονίου θα είναι τότε:
Δυmax=c·tanh[ln(m0/m1)]
Δυmax=c·tanh[ln(2·mp/me)]
Δυmax=c · (2·mp/me)2-1/(2·mp/me)2+1
Δυmax≈c×0.999999999999999999999999999999999999999999999124
Η σχετικιστική μάζα Einstein του ηλεκτρονίου είναι τότε ίση με την μάζα Planck.Αυτοί οι υπολογισμοί απαιτούν πολύ υψηλή ακρίβειαΕίναι αξιοσημείωτο ότι η έννοια των δύο μαζών Planck χρησιμοποιείται ως καύσιμο για επιτευχθεί η μέγιστη ταχύτητα για μια υποατομική συγκράτηση σωματιδίων για οποιαδήποτε σωματίδιο.Φυσικά,αυτό μπορεί να λειτουργήσει μόνο επειδή η μέγιστη ταχύτητα των βαρύτερων σωματιδίων είναι χαμηλότερη από εκείνα των ελαφρύτερων σωματιδίων.Σύμφωνα με την έννοια του πυραύλου φωτονίων,η επιτάχυνσή του οφείλεται στο αποτέλεσμα ανάκρουσης στην κατευθυνόμενη κίνηση των φωτονίων.Σε αυτήν την περίπτωση,τα φωτόνια γεννιούνται ως αποτέλεσμα του μετασχηματισμού σωματιδίων με μηδενική μάζα ηρεμίας σε ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία.
Η Εξίσωση m0≈2·mp είναι μόνο μια καλή προσέγγιση όσο λ⪢lp,το οποίο ισχύει για όλα τα παρατηρούμενα υποατομικά σωματίδια μέχρι στιγμής.Στην ειδική περίπτωση,αρχικά έχουμε ένα ωφέλιμο φορτίο ίσο με το σωματίδιο μάζας Planck με m1=mp που πρέπει να έχουμε ƛ=lp,οπότε πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση με επέκταση προσέγγισης της σειράς:
m0=m1·(1+(1-lp2/ƛ2)1/2/1-(1-lp2/ƛ2)1/2)1/2
m0=m1·(1+(1-lp2/lp2)1/2/1-(1-lp2/lp2)1/2)1/2
m0=m1·(1+(1-1)1/2/1-(1-1)1/2)1/2
m0=m1·(1/1)1/2
m0=m1
Με άλλα λόγια,καθώς επιταχύνουμε το σωματίδιο μάζας Planck στην μέγιστη ταχύτητα δεν θα χρειαζόμαστε επιπλέον μάζα ως καύσιμο.Στην αρχή αυτό μπορεί φαίνεται παράλογο,καθώς θα χρειαζόμαστε πάντα λίγη ενέργεια για την επιτάχυνση.Ωστόσο,η λύση είναι απλή,όπως έχουμε δείξει,η μάζα του Planck στο σωματίδιο πρέπει να βρίσκεται σε ηρεμία όταν παρατηρείται από οποιαδήποτε πλαίσιο,το σωματίδιο μάζας Planck και το μήκος Planck είναι αξιοσημείωτα αμετάβλητες οντότητες.Η μέγιστη ταχύτητα υmax ενός σωματιδίου μάζας Planck είναι:
υmax=c·(1-lp2/ƛ2)1/2
υmax=c·(1-lp2/lp2)1/2
υmax=c·(1-1)1/2
υmax=0
Το σωματίδιο μάζας Planck είναι το πολύ σημείο καμπής του φωτός.Ποια είναι η ταχύτητα του φωτός την ακριβή στιγμή όταν αλλάζει κατεύθυνση;Σύμφωνα με τον Haug,αυτή η στιγμή θα είναι το σωματίδιο σε ηρεμία.
ΜΕΓΙΣΤΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΠΥΡΑΥΛΟΥ
Η μέγιστη ταχύτητα οποιουδήποτε σύνθετου αντικειμένου,ακόμη και ενός πυρήνας είναι πιθανό να περιορίζεται από το θεμελιώδες σωματίδιο με το μικρότερο μειωμένο μήκος κύματος Compton από το οποίο κατασκευάζεται.Με άλλα λόγια,το όριο ταχύτητας ενός πυραύλου περιορίζεται από το βαρύτερο υποατομικό «θεμελιώδες» σωματίδιο από το οποίο είναι κατασκευασμένο.Όταν αυτό το σωματίδιο φτάσει τη μέγιστη ταχύτητά του που δίνεται από τον τύπο:
υmax=c·(1-lp2/ƛ2)1/2
πρώτα θα μετατραπεί σε σωματίδιο μάζας Planck και στη συνέχεια πιθανότατα θα εκραγεί σε ενέργεια.Εάν αυτός ο τύπος θεμελιώδους σωματιδίου είναι σημαντικό μέρος του μακροσκοπικού αντικειμένου (διαστημόπλοιο) στο οποίο ταξιδεύουμε,τότε ολόκληρο το πλοίο είναι πιθανό να καταστραφεί τη στιγμή που φτάνουμε σε αυτήν την ταχύτητα.Εάν ένα πρωτόνιο ήταν ένα θεμελιώδες σωματίδιο,τότε η μέγιστη ταχύτητα ενός πυραύλου που ταξιδεύει υπό ιδανικές συνθήκες (σε κενό) θα είναι:
υ=c·(1-lp2/ƛ2)1/2
υ=c×0,99999999999999999999999999999999999999705
Συγκριτικά,στο Large Hadron Collider το 2008,η ομάδα μίλησε για την πιθανότητα επιτάχυνσης πρωτονίων με ταχύτητα 99,9999991% της ταχύτητας φωτός.Όταν το Large Hadron Collider πήρε πλήρη ισχύ το 2015,αύξησε τη μέγιστη ταχύτητα ελαφρώς πάνω από αυτό (πιθανότατα στο 99,99999974% της ταχύτητας του φωτός).Στην πραγματικότητα,εάν ένα πρωτόνιο αποτελείται από μια σειρά άλλων υποατομικών σωματιδίων,τότε το όριο ταχύτητας που δίνεται παραπάνω για ένα πρωτόνιο δεν θα ήταν πολύ ακριβές.Εναλλακτικά,θα μπορούσαμε να εξετάσουμε το μειωμένο μήκος κύματος Compton των κουάρκ που ισχυρίζεται το πρότυπο μοντέλο για το πρωτόνιο.
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
1. https://en.wikipedia.org/wiki/Photon_rocket
2. Haug, E.G. (2017). "The ultimate limits of the relativistic rocket equation.The Planck photon rocket".Acta Astronautica.
3. http://www.physics.ntua.gr/~cchrist/DIALEXEIS/SPECIAL%20THEORY%20OF%20RELATIVITY/5a.SXETIKISTIKI.DYNAMIKI.pdf
