ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΤΑΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ-ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΤΑΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ-ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

  Μέχρι εδώ είδαμε πως μέσω των μετασχηματισμών Lorentz οι βασικοί νόμοι της μηχανικής ισχύουν ισοδύναμα σε όλα τα αδρανειακά συστήματα χωρίς να παραβιάζουν τις αρχές της θεωρίας της σχετικότητας.Τι γίνεται όμως με τον άλλο μεγάλο τομέα της Φυσικής, τον ηλεκτρομαγνητισμό;

  Σε πολλά φαινόμενα του ηλεκτρομαγνητισμού υπεισέρχονται μεγέθη όπως η ταχύτητα,το μήκος,ο χρόνος.Για παράδειγμα η δύναμη που ασκεί ένα μαγνητικό πεδίο σε ένα φορτισμένο σωματίδιο κινούμενο κάθετα στις δυναμικές γραμμές είναι εξαρτάται δηλαδή άμεσα από μια ταχύτητα.Ακόμη η ένταση του πεδίου μεταξύ των οπλισμών ενός επίπεδου φορτισμένου πυκνωτή εξαρτάται από τις διαστάσεις των οπλισμών και τη μεταξύ τους απόσταση.Εφόσον οι ταχύτητες και τα μήκη έχουν διαφορετικές τιμές στα διάφορα αδρανειακά συστήματα καταλαβαίνουμε ότι και μεγέθη όπως η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου ή του μαγνητικού πεδίου θα έχουν διαφορετική έκφραση,ανάλογα με το σύστημα αναφοράς από το οποίο παρατηρούμε τα φαινόμενα.

  Είναι ανάγκη να βρούμε μετασχηματισμούς που να συνδέουν τις μετρήσεις των παραπάνω μεγεθών από δύο παρατηρητές σε διαφορετικά αδρανειακά συστήματα.Η παραγωγή αυτών των μετασχηματισμών στην πληρότητά τους είναι μια επίπονη μαθηματική διαδικασία.Εμείς απλά θα μελετήσουμε κάποια επιλεγμένα παραδείγματα και στο τέλος θα παραθέσουμε τους μετασχηματισμούς.

ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΟΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΜΕ ΡΕΥΜΑΤΟΦΟΡΟ ΑΓΩΓΟ

 Ένα θετικά φορτισμένο σωματίδιο κινείται με ταχύτητα u , στη διεύθυνση του άξονα των x ενός συστήματος αναφοράς Σ και παράλληλα προς ένα ρευματοφόρο αγωγό.Για έναν παρατηρητή ακίνητο ως προς το Σ το φορτίο θα δεχθεί δύναμη F=Buq από το μαγνητικό πεδίο που δημιουργεί ο αγωγός και θα παρεκκλίνει της ευθύγραμμης πορείας του.

  Ο αγωγός δεν ασκεί καμία ηλεκτρική δύναμη στο σωματίδιο.Η πυκνότητα αρνητικού φορτίου είναι απολύτως ίση με αυτήν του θετικού φορτίου.Απλουστεύοντας λίγο μπορούμε να υποθέσουμε ότι μέσα στον αγωγό υπάρχει μια γραμμική κατανομή αρνητικών φορτίων που κινείται ισοταχώς προς τα δεξιά με ταχύτητα υ- και μια γραμμική κατανομή, ίσων κατ' απόλυτη τιμή με τα αρνητικά, θετικών φορτίων που είναι ακίνητη.Η γραμμική πυκνότητα (φορτίο ανά μονάδα μήκους) και στις δυο κατανομές είναι ίδια,δηλαδή η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών φορέων φορτίου είναι η ίδια και για τις δυο κατανομές.
   Ας δούμε τώρα πώς αντιλαμβάνεται το φαινόμενο ένας παρατηρητής ακίνητος ως προς σύστημα αναφοράς Σ' που κινείται ως προς το Σ με ταχύτητα υ παράλληλη προς τον άξονα των x. Τον παρατηρητή αυτόν θα τον λέμε συνοπτικά Σ'.

α) Για έναν παρατηρητή ακίνητο ως προς το Σ το φορτίο θα δεχθεί δύναμη F=Buq από το μαγνητικό πεδίο που δημιουργεί ο αγωγός και θα παρεκκλίνει της ευθύγραμμης πορείας του
β) Ένας παρατηρητής ακίνητος ως προς σύστημα αναφοράς Σ' που κινείται ως προς το Σ με ταχύτητα υ παράλληλη προς τον άξονα των x.Τον παρατηρητή αυτόν θα τον λέμε συνοπτικά Σ

   Ο Σ' βλέπει το φορτισμένο σωμάτιο ακίνητο.Δε μπορεί λοιπόν να ερμηνεύσει τη δύναμη που δέχεται το φορτισμένο σωματίδιο ως δύναμη μαγνητικού πεδίου.Ο Σ' όμως βλέπει και το ρευματοφόρο αγωγό διαφορετικά από τον Σ.Ως προς τον Σ' τα θετικά φορτία δεν είναι ακίνητα, κινούνται με ταχύτητα υ₊'=-u  ενώ τα αρνητικά με: 

                                            υ_-' = . 

  Οι ταχύτητες υ₊' και υ_-' δεν είναι ίσες.Αυτό σημαίνει ότι η απόσταση μεταξύ δυο διαδοχικών αρνητικών φορτίων φαίνεται διαφορετική από την απόσταση δυο θετικών φορτίων.Η γραμμική πυκνότητα των αρνητικών φορτίων όπως την αντιλαμβάνεται ο Σ' είναι διαφορετική από τη γραμμική πυκνότητα των θετικών φορτίων.Με λίγα λόγια,για τον Σ' ο ρευματοφόρος αγωγός εμφανίζεται φορτισμένος και μάλιστα θετικά.Η δύναμη που δέχεται λοιπόν το φορτισμένο σωμάτιο για τον Σ' είναι ηλεκτρική και ασκείται από το ηλεκτρικό πεδίο του αγωγού.Η δύναμη αυτή είναι ακριβώς ίση με αυτήν του μαγνητικού πεδίου που αντιλαμβάνεται ο Σ.

  Οι σχετικιστικοί μετασχηματισμοί των εντάσεων των πεδίων κάνουν άλλοτε ένα ηλεκτρικό πεδίο να φαίνεται σαν μαγνητικό και άλλοτε αντίστροφα.

ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΠΕΔΙΟ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΥ ΠΥΚΝΩΤΗ

  Έστω φορτισμένος επίπεδος πυκνωτής με τους οπλισμούς του παράλληλους στο επίπεδο xΟz ενός συστήματος αναφοράς.Οι οπλισμοί ως προς το Σ,ως προς το οποίο ο πυκνωτής είναι ακίνητος,έχουν διαστάσεις lxα. Η ένταση του πεδίου μεταξύ των οπλισμών του πυκνωτή είναι:

                                                E=  

όπου:

σ η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου στους οπλισμούς (ποσότητα φορτίου ανά μονάδα επιφανείας).  

α) Έστω φορτισμένος επίπεδος πυκνωτής με τους οπλισμούς του παράλληλους στο επίπεδο xΟz ενός συστήματος αναφοράς
β) Ο Σ' βλέπει τον πυκνωτή να κινείται ως προς αυτόν με ταχύτητα-u 

                                           

  Έστω τώρα παρατηρητής ακίνητος ως προς σύστημα αναφοράς Σ' που κινείται ως προς το Σ παράλληλα με τον άξονα των x με ταχύτητα u .Ποια είναι η ένταση του πεδίου στο εσωτερικό του πυκνωτή που αντιλαμβάνεται ο Σ';

  Ο Σ' βλέπει τον πυκνωτή να κινείται ως προς αυτόν με ταχύτητα -u.Το μήκος των οπλισμών του πυκνωτή για τον Σ' θα είναι:

l' = 

ενώ το πλάτος των οπλισμών α'=α

Το εμβαδόν των οπλισμών θα είναι

A'=l'×α'=A 

και η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου 

σ' = 

Αρα η ένταση του πεδίου είναι

Ε'_⊥ =

  Οι δείκτες _⊥ υποδηλώνουν ότι μιλάμε για ένα πεδίο με την έντασή του κάθετη στη διεύθυνση κίνησης.

  Στην παραπάνω επεξεργασία σιωπηρά δεχτήκαμε ότι ο Σ' βλέπει την ίδια ποσότητα φορτίου Q στους οπλισμούς του πυκνωτή με τον Σ.Πράγματι το φορτίο είναι, όπως και η μάζα ηρεμίας,μια αναλλοίωτη ποσότητα για όλα τα συστήματα αναφοράς.

  Εάν η ένταση του πεδίου ήταν παράλληλη στον άξονα των x θα καταλήγαμε στο συμπέρασμα ότι

 

  Με ανάλογους τρόπους βρίσκουμε μετασχηματισμούς για όλες τις διευθύνσεις και για το μαγνητικό πεδίο αλλά και για συνδυασμό ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου.
  Οι μετασχηματισμοί στον πίνακα που ακολουθεί αναφέρονται στην περίπτωση στην οποία το σύστημα Σ' κινείται ως προς το Σ παράλληλα με τον άξονα x.

  Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι δε χρειάστηκε να τροποποιήσουμε σε κανένα σημείο τους ορισμούς που γνωρίζαμε μέχρι τώρα για τον ηλεκτρομαγνητισμό όπως κάναμε για παράδειγμα προηγουμένως για την ορμή ή όπως θα κάνουμε αργότερα για τη θεωρία του βαρυτικού πεδίου.Η ηλεκτρομαγνητική θεωρία είναι συμβατή με τη θεωρία της σχετικότητας.