PHYSIC LESSONS: ΣΧΕΣΗ ΠΙΕΣΗΣ(p) ΚΑΙ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΣ(Τ) ΜΕ ΤΙΣ ΤΑΧΥΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΜΟΡΙΩΝ

ΣΧΕΣΗ ΠΙΕΣΗΣ(p) ΚΑΙ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΣ(Τ) ΜΕ ΤΙΣ ΤΑΧΥΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΜΟΡΙΩΝ

Βασισμένοι στις παραπάνω παραδοχές καταφέραμε να βρούμε σχέσεις που συνδέουν τα μακροσκοπικά μεγέθη,όπως η πίεση και η θερμοκρασία,που μέχρι τώρα μπορούσαμε να τα προσδιορίσουμε μόνο πειραματικά,με τις μέσες τιμές των ταχυτήτων των μορίων του αερίου.

Το ΔΑ είναι ένα στοιχειώδες τμήμα της επιφάνειας και ΔF η δύναμη που ασκείται σε αυτό

Η πίεση είναι το μονόμετρο μέγεθος που ορίζεται ως το πηλίκο του μέτρου της δύναμης που ασκείται κάθετα σε κάποια επιφάνεια προς το εμβαδόν της επιφάνειας.

p=ΔF/ΔA

Στην περίπτωση ενός αερίου που είναι κλεισμένο σ' ένα δοχείο η πίεση που ασκείται στα τοιχώματα του δοχείου οφείλεται στις δυνάμεις που ασκούν τα μόρια του αερίου στα τοιχώματα κατά τις κρούσεις τους με αυτά.

Η κρούση του μορίου με το τοίχωμα θεωρείται ελαστική.Το μέτρο της ταχύτητας του μορίου είναι το ίδιο πριν και μετά την κρούση

Η πρώτη σχέση που προκύπτει από την εφαρμογή των νόμων της μηχανικής και των παραδοχών της κινητικής θεωρίας, είναι αυτή που συνδέει την πίεση (p) του αερίου με τις ταχύτητες των μορίων του αερίου.
Βρέθηκε συγκεκριμένα ότι:

όπου:
Ν ο αριθμός των μορίων του αερίου,

m η μάζα κάθε μορίου,

V o όγκος του δοχείου και
εικόνα

η μέση τιμή των τετραγώνων των ταχυτήτων των μορίων του αερίου.

Μια άλλη,πιο κομψή,μορφή της σχέσης προκύπτει αν λάβουμε υπόψη ότι το γινόμενο Ν·m είναι η ολική μάζα του αερίου,και ότι το πηλίκο της ολικής μάζας προς τον όγκο V που καταλαμβάνει το αέριο είναι η πυκνότητα ρ του αερίου,οπότε:

Πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας το δεύτερο μέλος της με τον αριθμό 2 προκύπτει η παρακάτω μορφή που συνδέει την πίεση με τη μέση κινητική ενέργεια των μορίων.

Από την σχέση αυτή προκύπτει:

Όμως από την καταστατική εξίσωση γνωρίζουμε ότι:

p·V=n·R·T=N/NA · R·T

όπου:

ΝΑ ο αριθμός των μορίων ανά mol (σταθερά Avogadro).

Το πηλίκο R/NA εμφανίζεται συχνά στην κινητική θεωρία. Είναι το πηλίκο δύο σταθερών, ονομάζεται σταθερά του Boltzmann (Μπόλτζμαν) και συμβολίζεται με το k.

k=R/NA=1,381x10^-23J /(μόριο·Κ)

Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε την καταστατική και ως εξής:

p·V=N·k·T

Εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη των σχέσεων και λύνοντας ως προς Τ βρίσκουμε:

Η σχέση αυτή είναι πολύ σημαντική γιατί συνδέει τη θερμοκρασία με τη μέση μεταφορική κινητική ενέργεια των μορίων του αερίου.Από τη σχέση αυτή,για τη μέση κινητική ενέργεια των μορίων βρίσκουμε:

Η τετραγωνική ρίζα της ονομάζεται ενεργός ταχύτητα και συμβολίζεται υεν.

Από τη τελευταία σχέση προκύπτει:

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ

Θεωρούμε ένα κυβικό δοχείο ακμής d.Το δοχείο θα έχει όγκο V=d³ και εμβαδόν έδρας A=d².Υποθέτουμε ότι στο δοχείο περιέχεται πολύ μεγάλος αριθμός Ν πανομοιότυπων μορίων αερίου, μάζας m το καθένα,που πληρούν τις προϋποθέσεις της προηγούμενης παραγράφου.Τα τοιχώματα του δοχείου είναι τελείως άκαμπτα, έχουν πολύ μεγάλη μάζα και δε μετακινούνται.

Κατά τη διάρκεια των κρούσεων των μορίων στα τοιχώματα,τα μόρια ασκούν δυνάμεις σ’ αυτά.Σ’ αυτές τις δυνάμεις οφείλεται η πίεση που ασκεί το αέριο.Οι δυνάμεις αυτές είναι αντίθετες με τις δυνάμεις που ασκούνται από το τοίχωμα στα μόρια κατά την κρούση (αρχή δράσης-αντίδρασης) και προκαλούν τη μεταβολή της ορμής των μορίων.

Ένα μόριο του αερίου που κινείται με ταχύτητα υ1 μέσα σε κυβικό δοχείο ακμής d

Από το δεύτερο νόμο του Newton γνωρίζουμε ότι F=ΔΡ/Δt,άρα,αν καταφέρουμε να υπολογίσουμε τη συνολική μεταβολή της ορμής που υφίστανται τα μόρια στη μονάδα του χρόνου (δηλαδή το ρυθμό μεταβολής της ορμής τους) λόγω των κρούσεων τους πάνω σε μία από τις έδρες του δοχείου θα βρούμε και το μέτρο της δύναμης που ασκείται από τα μόρια σ’ αυτή την έδρας.
Μετά,για να βρούμε την πίεση p,αρκεί να διαιρέσουμε τη δύναμη με την επιφάνεια.

Η ταχύτητα αναλύεται σε τρεις συνιστώσες σε τρισορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων

Έστω ένα μόριο που κινείται με ταχύτητα υ1.Αναλύουμε την ταχύτητά του σε τρεις συνιστώσες (υ1x,υ1y,υ1z).Εξετάζουμε τις κρούσεις στο τοίχωμα του δοχείου που είναι κάθετο στη υ1x .

Η κίνηση του μορίου στο επίπεδο xy

Εφόσον οι κρούσεις είναι απολύτως ελαστικές το μόριο ανακλάται με ταχύτητα ίδιου μέτρου.Η υ1y και η υ1z δε μεταβάλλονται ενώ η υ1x αλλάζει φορά.

Η μεταβολή της ορμής που υφίσταται το μόριο κατά την κρούση θα είναι:

ΔΡ1x=-m·υ1x-m·υ1x=-2·m·υ1x

Ο χρόνος που μεσολαβεί ανάμεσα σε δύο διαδοχικές κρούσεις του ίδιου σωματιδίου στην ίδια έδρα θα είναι Δt=2d/υ1x άρα ο αριθμός κρούσεων στη μονάδα του χρόνου για αυτό το μόριο στην ίδια έδρα θα είναι υ1x/2d και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του ( η μεταβολή της ορμής στη μονάδα του χρόνου ) θα είναι:

ΔΡ1x/Δt=-2m·υ1x·υ1x/2·d=-m·υ1²·x/d

Η δύναμη που δέχεται το μόριο από το τοίχωμα θα είναι:

F1x=ΔΡ1x/Δt=-m·υ1²·x/d

και αντίστοιχα αυτή που δέχεται το τοίχωμα από το μόριο θα είναι:

- F1x=mυ1²x/d

Η δύναμη (ΣFx) που ασκείται πάνω στο τοίχωμα που μελετάμε είναι το άθροισμα όλων των αντίστοιχων όρων που αφορούν κάθε μόριο χωριστά.

Οι δυνάμεις που ασκούνται κατά τις κρούσεις των μορίων του αερίου,που περιέχουν τα μπαλόνια,με τα τοιχώματα τεντώνουν το ελαστικό περίβλημα των μπαλονιών