Η ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ

Η ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ

Η ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ
   
 Εκτοξεύουμε κατακόρυφα προς τα πάνω μια σφαίρα μάζας m από το σημείο Β με μια αρχική ταχύτητα υ0.Τη στιγμή που η σφαίρα φεύγει από το χέρι μας,έχει μόνο κινητική ενέργεια,ενώ έχει μηδενική δυναμική ενέργεια.

Εκτοξεύουμε κατακόρυφα προς τα πάνω μια σφαίρα μάζας m από το σημείο Β με μια αρχική ταχύτητα υ0

  Άρα για την αρχική θέση Β ισχύει:

                                                                                       ΚΒ=1/2·m·υ0²  

                                                                                       UΒ=0

 Καθώς ανεβαίνει η σφαίρα,μειώνεται η ταχύτητά της,άρα και η κινητική της ενέργεια.Όσο,όμως,αυξάνεται το ύψος της μπάλας από το σημείο εκτόξευσης αυξάνεται η δυναμική της ενέργεια.Συνεπώς κατά την ανοδική κίνηση της σφαίρας,η κινητική της ενέργεια μετατρέπεται σε δυναμική.Σε μια τυχαία θέση η σφαίρα έχει τόσο δυναμική όσο και κινητική ενέργεια.

Σε μια τυχαία θέση η σφαίρα έχει τόσο δυναμική όσο και κινητική ενέργεια.Στην θέση αυτή ισχύει Κ=1/2·m·υ²  και U=m·g·h όπου υ η ταχύτητα της σφαίρας στην τυχαία θέση και h το ύψος της σφαίρας στην τυχαία θέση

  Άρα για μια τυχαία θέση ισχύει:

                                                                                        Κ=1/2·m·υ² 

                                                                                        U=m·g·h

όπου:

υ η ταχύτητα της σφαίρας στην τυχαία θέση.

h το ύψος της σφαίρας στην τυχαία θέση.

 Έστω ότι η σφαίρα φθάνει στο ανώτερο σημείο της τροχιάς στο σημείο Α σε ύψος H.Όταν η σφαίρα φθάσει σε αυτό το σημείο της τροχιάς,η ταχύτητά της μηδενίζεται στιγμιαία.Άρα στο ανώτερο σημείο της τροχιάς η σφαίρα δεν έχει κινητική ενέργεια.Αντίθετα η δυναμική της ενέργεια γίνεται μέγιστη.Όλη η κινητική ενέργεια της σφαίρας μετατράπηκε σε δυναμική.

Κατά την διάρκεια της καθοδικής κίνησης της σφαίρας η ταχύτητά της συνεχώς αυξάνεται,επομένως και η κινητική της ενέργεια.Ταυτόχρονα και το ύψος από το σημείο εκτόξευσης μειώνεται,συνεπώς και η δυναμική ενέργεια μειώνεται

 Άρα για αυτήν την θέση Α ισχύει:

                                                                                        ΚA=0  

                                                                                        UA=m·g·H

 Κατά την διάρκεια της καθοδικής κίνησης της σφαίρας η ταχύτητά της συνεχώς αυξάνεται,επομένως και η κινητική της ενέργεια.Ταυτόχρονα και το ύψος από το σημείο εκτόξευσης μειώνεται,συνεπώς και η δυναμική ενέργεια μειώνεται.Σε μια τυχαία θέση η σφαίρα έχει τόσο δυναμική όσο και κινητική ενέργεια.Άρα κατά την καθοδική κίνηση της σφαίρας η δυναμική ενέργειά της μετατρέπεται σε κινητική.

Καθώς η μπάλα ανεβαίνει,η κινητική της ενέργεια μειώνεται και η δυναμική της αυξάνεται.Όταν η μπάλα κατεβαίνει,η κινητική της ενέργεια αυξάνεται και η δυναμική της ενέργεια μειώνεται

 Τώρα θεωρούμε το δάπεδο τελείως ελαστικό και ότι η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.Επειδή η απώλεια ενέργειας της σφαίρας είναι αμελητέα,αυτή θα αναπηδήσει ακριβώς στο ίδιο ύψος και το φαινόμενο θα επαναλαμβάνεται συνέχεια. 

Κατά την κάθοδο ή άνοδο ενός σώματος η δυναμική του ενέργεια μετατράπηκε σε κινητική ή το αντίστροφο μέσω του έργου του βάρους

 Άρα παρατηρούμε ότι κατά την κάθοδο ή άνοδο της σφαίρας η δυναμική της ενέργεια μετατράπηκε σε κινητική ή το αντίστροφο μέσω του έργου του βάρους.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

 Το άθροισμα της κινητικής ενέργειας Κ και της δυνα­μικής ενέργειας U που έχει το σώμα σε οποιοδήποτε σημείο μεταξύ των θέσεων (Β) και (Α) κατά την άνοδο ή την κάθοδό του,το ονομάζουμε,Μηχανική ενέργεια και το συμβολίζουμε με το γράμμα Ε.
 Άρα γενικεύοντας: 

Μηχανική ενέργεια Ε ενός σώματος ή συστήματος κάθε χρονική στιγμή ονομάζεται το άθροισμα της δυναμικής U και της κινητικής ενέργειας Κ του σώματος ή του συστήματος

 Μηχανική ενέργεια Ε ενός σώματος ή συστήματος κάθε χρονική στιγμή ονομάζεται το άθροισμα της δυναμικής U και της κινητικής ενέργειας Κ του σώματος ή του συστήματος.

                                                                                       Ε=U+Κ

ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

 Kατά την κατακόρυφη κίνηση της μπάλας,η δυναμική και η κινητική της ενέργεια μεταβάλλονται.Η δυναμική μετατρέπεται σε κινητική και αντίστροφα.Εφόσον το σώμα κινούμενο μεταξύ των θέσεων B και A,ούτε κερδίζει, ούτε χάνει ενέργεια, με αποτέλεσμα η κίνηση του να επαναλαμβάνεται συνεχώς η ίδια, μπορούμε να υποστηρίξουμε,πως η μηχανική του ενέργεια Ε παραμένει σταθερή.

Μετατροπή ενέργειας σε μία ταλάντωση ενός ιδανικού ελατηρίου.Παρατηρούμε ότι κατά τις μετατροπές της δυναμικής ενέργειας σε κινητική και αντίστροφα,η μηχανική ενέργεια παραμένει σταθερή

 Μπορούμε να πούμε ότι κατά την ανοδική κίνηση της σφαίρας η δυναμική του ενέργεια U αυξάνεται τόσο, όσο μειώνεται η κινητική ενέργεια Κ,με αποτέλεσμα το άθροισμά τους να παραμένει σταθερό. Το αντίθετο συμβαίνει κατά την καθοδική κίνηση της σφαίρας.
 Η δυναμική του ενέργεια U μειώνεται τόσο,όσο αυξάνεται.

 Συνοψίζοντας μπορούμε να διατυπώσουμε μια από τις πιο σημαντικές αρχές της Φυσικής,την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας:

Αν ένα σώμα κινείται μόνο με την επίδραση του βάρους του ατά τις μετατροπές της δυναμικής ενέργειας σε κινητική και αντίστροφα,η μηχανική ενέργεια παραμένει συνεχώς σταθερή

 Αν ένα σώμα κινείται μόνο με την επίδραση του βάρους του κατά τις μετατροπές της δυναμικής ενέργειας σε κινητική και αντίστροφα,η μηχανική ενέργεια παραμένει συνεχώς σταθερή. 

                                                                  E=U+Κ=σταθερό

 Η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας χρησιμοποιείται πιο συχνά σε περιπτώσεις που δε θέλουμε ή δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους νόμους της κίνησης.

Η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας είναι  μια από τις πιο σημαντικές αρχές της Φυσικής γιατί ισχύει παντού και πάντοτε

 Όμως είναι  μια από τις πιο σημαντικές αρχές της Φυσικής γιατί ισχύει παντού και πάντοτε.Ο μόνος περιορισμός για την ισχύ της είναι να μην υπάρχουν τριβές και αντιστάσεις.

Μετατροπή ενέργειας σε μία ταλάντωση ενός εκκρεμούς.Παρατηρούμε ότι κατά τις μετατροπές της δυναμικής ενέργειας σε κινητική και αντίστροφα,η μηχανική ενέργεια παραμένει σταθερή

 Όμως η αρχή διατήρηση της μηχανικής ενέργειας χρησιμοποιείται και σε ηλεκτρικές δυνάμεις και σε δυνάμεις ελαστικής παραμόρφωσης.Γενικεύοντας μπορούμε να πούμε:

Όταν σ' ένα σώμα ή σύστημα επιδρούν μόνο βαρυτικές,ηλεκτρικές ή δυνάμεις ελαστικής παραμόρφωσης,η μηχανική του ενέργεια διατηρείται σταθερή

 Όταν σ' ένα σώμα ή σύστημα επιδρούν μόνο βαρυτικές,ηλεκτρικές ή δυνάμεις ελαστικής παραμόρφωσης,η μηχανική του ενέργεια διατηρείται σταθερή. 

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

 Για να αποδείξουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας θα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας και τον ορισμό της δυναμικής ενέργειας στην απλή περίπτωση της ελεύθερης πτώσης.Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας μεταξύ των θέσεων (Β) και (Α) είναι:

                                                                    ΔΚΒ→Α=WΒ(Β→Α) 

 Είναι δηλαδή ίση με το έργο του βάρους για τη μετατόπιση ΒΑ.
 Επίσης η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας μεταξύ των ίδιων θέσεων προσδιορίζεται από τη σχέση:

                                                                   ΔΚΒ→Α=-(UΒ-UΑ)=-WΒ(Β→Α)

 Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις ΔΚΒ→Α=WΒ(Β→Α) και ΔΚΒ→Α=-WΒ(Β→Α) προκύπτει:
       

                                                                   ΔΚ+ΔU=0

 Δηλαδή το άθροισμα της μεταβολής της κινητικής και της μεταβολής της δυναμικής ενέργειας είναι μηδέν.

 Η φυσική σημασία της σχέσης ΔΚ+ΔU=0 είναι ότι,η μηχανική ενέργεια διατηρείται σταθερή,διότι:

                                                                   ΚΓ-ΚΑ+UΓ-UA=0      ή 

                                                                     ΚΓ+UΓ=ΚΑ+UA

ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

 Ας θεωρήσουμε την περίπτωση που εκτοξεύουμε ένα σώμα κατακόρυφα προς τα πάνω με κάποια ταχύτητα.Αρχικά λοιπόν το σώμα έχει μονάχα κινητική ενέργεια,στη συνέχεια όμως καθώς ανεβαίνει η ταχύτητα του ελαττώνεται και συνεπώς μειώνεται η κινητική του ενέργεια ενώ παράλληλα αυξάνεται το ύψος του σώματος από το σημείο εκτόξευσης  (π.χ.  το έδαφος)  και άρα αυξάνεται και η δυναμική ενέργεια του σώματος.

Αρχικά λοιπόν το σώμα έχει μονάχα κινητική ενέργεια,στη συνέχεια όμως καθώς ανεβαίνει η ταχύτητα του ελαττώνεται και συνεπώς μειώνεται η κινητική του ενέργεια ενώ παράλληλα αυξάνεται το ύψος του σώματος από το σημείο εκτόξευσης  και άρα αυξάνεται και η δυναμική ενέργεια του σώματος 

 Όταν το σώμα φθάσει στο ανώτερο σημείο η ταχύτητα του στιγμιαία μηδενίζεται και άρα δεν έχει κινητική ενέργεια ενώ ταυτόχρονα η δυναμική του ενέργεια παίρνει τη μέγιστη της τιμή αφού το σώμα φτάνει στο μέγιστο ύψος.Στη συνέχεια το σώμα αρχίζει να πέφτει κατακόρυφα προς τα κάτω και η δυναμική του ενέργεια ελαττώνεται καθώς χάνει ύψος,ενώ η κινητική ενέργεια του σώματος αυξάνεται.Στο τέλος όταν το σώμα φτάνει στο έδαφος,έχει μόνο κινητική ενέργεια και η δυναμική του ενέργεια είναι μηδέν και πάλι.Αν θεωρήσουμε ότι το σώμα κινείται μόνο με την επίδραση του βάρους του η μηχανική του ενέργεια παραμένει σταθερή δηλαδή σε κάθε σημείο από το οποίο διέρχεται το σώμα κατά την κίνηση του ισχύει ότι το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας του σώματος παραμένει σταθερό.

Όταν το σώμα αρχίζει να πέφτει κατακόρυφα προς τα κάτω η δυναμική του ενέργεια ελαττώνεται καθώς χάνει ύψος,ενώ η κινητική ενέργεια του σώματος αυξάνεται

 Η αρχική κινητική ενέργεια που είχε το σώμα όταν εκτοξεύθηκε είναι ίση με την τιμή της δυναμικής ενέργειας που αποκτά το σώμα το μέγιστο ύψος στο οποίο φτάνει τελικά. Επίσης αποδεικνύεται ότι το σώμα φτάνει ξανά στο έδαφος με την ίδια ταχύτητα και άρα κινητική ενέργεια με την οποία είχε εκτοξευθεί αρχικά.Δηλαδή αυτό που συμβαίνει είναι η σταδιακή μετατροπή της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος εξολοκλήρου σε δυναμική κατά την άνοδο και η μετατροπή της δυναμικής ενέργειας σε εξολοκλήρου σε κινητική κατά την κάθοδο του σώματος.Η μετατροπή της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας σε κινητική σώματος και το αντίστροφο γίνεται όπως έχει αναφερθεί μέσω του έργου του βάρους του σώματος. 

Καθώς μειώνεται η παραμόρφωση της χορδής, μειώνεται η δυναμική της ενέργεια.Η ταχύτητα του βέλους αυξάνεται.Η δυναμική ενέργεια της χορδής μετατρέπεται σε κινητική του βέλους.Σε κάθε στιγμή το άθροισμα κινητικής και δυναμικής ενέργειας είναι σταθερό.Η μηχανική ενέργεια του συστήματος  διατηρείται.

 Ας θεωρήσουμε τώρα την τεντωμένη χορδή ενός τόξου,όπως έχουμε πει και αλλού στην χορδή έχει αποθηκευτεί ελαστική δυναμική ενέργεια λόγω παραμόρφωσης η οποία ισούται με το έργο της δύναμης που άσκησε ο τοξότης για να τεντώσει τη χορδή.Αν στη συνέχεια ο τοξότης αφήσει ελεύθερη τη χορδή να κινηθεί σταδιακά η ελαστική δυναμική ενέργεια της χορδής μετατρέπεται σε κινητική της χορδής και στη συνέχεια του βέλους.Από τη διατήρηση της μηχανικής ενέργειας  (αφού στη χορδή μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ασκούνται μόνο δυνάμεις ελαστικής παραμόρφωσης) συμπεραίνουμε ότι η ελαστική δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια της χορδής και στη συνέχεια σε κινητική ενέργεια του βέλους.