ΣΥΝΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

ΣΥΝΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

ΣΥΝΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

ΟΡΙΣΜΟΙ

 Οι δυνάμεις που ασκούν οι ξυλοκόποι σ' ένα δέντρο έχουν φορείς τις ευθείες των δυο νημάτων,που τέμνονται σε κάθε σημείο.Τέτοιες δυνάμεις λέγονται συντρέχουσες δυνάμεις.

Συντρέχουσες δυνάμεις ονομάζονται οι δυνάμεις που οι φορείς τους τέμνονται σε ένα σημείο

 Συντρέχουσες δυνάμεις ονομάζονται οι δυνάμεις που οι φορείς τους τέμνονται σε ένα σημείο.

Παιδιά  τραβούν με σκοινιά έναν κρίκο.Οι δυνάμεις που ασκούν τα παιδιά έχουν κοινό φορέα που συμπίπτει με τη γραμμή του νήματος

 Οι δυνάμεις που ασκούν τα παιδιά έχουν κοινό φορέα που συμπίπτει με τη γραμμή του νήματος,όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα.Οι δυνάμεις αυτές λέγονται συγγραμμικές.

Συγγραμμικές δυνάμεις ονομάζονται οι δυνάμεις που έχουν την ίδια διεύθυνση

 Συγγραμμικές δυνάμεις ονομάζονται οι δυνάμεις που έχουν την ίδια διεύθυνση,δηλαδή έχουν κοινό φορέα.

  Οι συγγραμμικές δυνάμεις διακρίνονται σε:

α) Ομόρροπες:

Ομόρροπες δυνάμεις ονομάζονται οι συγγραμμικές δυνάμεις που έχουν την ίδια φορά

 Ομόρροπες δυνάμεις ονομάζονται οι συγγραμμικές δυνάμεις που έχουν την ίδια φορά.

β) Αντίρροπες:

Αντίρροπες δυνάμεις ονομάζονται οι συγγραμμικές δυνάμεις που έχουν αντίθετη φορά

 Αντίρροπες δυνάμεις ονομάζονται οι συγγραμμικές δυνάμεις που έχουν αντίθετη φορά.Ειδικά δυο αντίρροπες συγγραμμικές δυνάμεις που έχουν και ίσα μέτρα λέγονται αντίθετες.

Αντίθετες δυνάμεις ονομάζονται οι αντίρροπες συγγραμμικές δυνάμεις που έχουν ίσα μέτρα και αντίθετη φορά 

 Αντίθετες δυνάμεις ονομάζονται οι αντίρροπες συγγραμμικές δυνάμεις που έχουν ίσα μέτρα και αντίθετη φορά.

ΣΥΝΙΣΤΑΜΕΝΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

 Τοποθετούμε στο άκρο του ελατηρίου δύο σώματα,όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα,που έχουν αντίστοιχα βάρος Β1 και Β2 και μετράμε την επιμήκυνση που παθαίνει το ελατήριο.

Τοποθετούμε στο άκρο του ελατηρίου δύο σώματα που έχουν αντίστοιχα βάρος Β1 και Β2.Η δύναμη Β3 είναι η συνισταμένη των δυνάμεων Β1 και Β2

 Ύστερα αντικαθιστούμε τα δυο σώματα με ένα σώμα που έχει βάρος Β3=Β1+Β2.Μετράμε τη νέα επιμήκυνση του ελατηρίου και βρίσκουμε ότι είναι ίδια με την προηγούμενη.Από αυτό καταλαβαίνουμε ότι η δύναμη Β3 προκαλεί στο ελατήριο το ίδιο αποτέλεσμα,με εκείνο που προκαλούν και οι δυο δυνάμεις Β1 και Β2 μαζί.

Σύνθεση δυνάμεων ονομάζεται η διαδικασία που ακολουθούμε για την αντικατάσταση των δυνάμεων που ασκούνται πάνω σ'ένα σώμα με μια η οποία προκαλεί το ίδιο αποτέλεσμα με αυτές

 Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η δύναμη Β3 μπορεί να αντικαταστήσει τις δυνάμεις Β1 και Β2.Η αντικατάσταση δυο ή περισσότερων δυνάμεων από μια άλλη δύναμη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα με τις προηγούμενες δυνάμεις,λέγεται σύνθεση δυνάμεων.Οι δυνάμεις Β1 και Β2 που αντικαθίστανται λέγονται συνιστώσες και η δύναμη Β3 που τις αντικαθιστά λέγεται συνισταμένη των δυνάμεων αυτών.

Οι δυνάμεις που αντικαταστάθηκαν ονομάζονται συνιστώσες

 Σύνθεση δυνάμεων ονομάζεται η διαδικασία που ακολουθούμε για την αντικατάσταση των δυνάμεων που ασκούνται πάνω σ'ένα σώμα με μια η οποία προκαλεί το ίδιο αποτέλεσμα με αυτές. 

Συνισταμένη δυο ή περισσότερων δυνάμεων ονομάζεται η δύναμη που προκαλεί το ίδιο αποτέλεσμα,με εκείνο που προκαλούν οι δυο ή περισσότερες δυνάμεις μαζί

 Συνισταμένη δυο ή περισσότερων δυνάμεων ονομάζεται η δύναμη που προκαλεί το ίδιο αποτέλεσμα,με εκείνο που προκαλούν οι δυο ή περισσότερες δυνάμεις μαζί.

ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΥΟ ΣΥΓΓΡΑΜΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΦΟΡΑ

 Οι δυο δυνάμεις Β1 και Β2 που αναφέρονται στο προηγούμενο πείραμα είναι συγγραμμικές και έχουν την ίδια φορά.

Σύνθεση δυο συγγραμμικών δυνάμεων με την ίδια φορά

 Παρατηρούμε ότι η συνισταμένη τους Β3 έχει την ίδια διεύθυνση,την ίδια φορά με τις συνιστώσες και μέτρο ίσο με το άθροισμα των μέτρων των συνιστωσών.

Αν F1 και F2 είναι δυο συγγραμμικές δυνάμεις με την ίδια φορά,,η συνισταμένη τους ΣF δίνεται από την σχέση ΣF=F1+F2

 Γενικά,αν F1 και F2 είναι οι συνιστώσες,η συνισταμένη τους ΣF δίνεται από την σχέση:

                                                                                     ΣF=F1+F2

ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΥΟ ΣΥΓΓΡΑΜΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΜΕ ΑΝΤΙΘΕΤΗ ΦΟΡΑ

 Το βαγόνι του παρακάτω σχήματος έλκεται προς τα αριστερά με δύναμη F1  και προς τα δεξιά με δύναμη F2.Οι δυνάμεις αυτές είναι συγγραμμικές,άλλα έχουν αντίθετη φορά.Το βαγόνι με την επίδραση των δυνάμεων κινείται προς τα δεξιά.

Η συνισταμένη δύναμη ΣF των δυο συγγραμμικών δυνάμεων  με αντίθετη φορα F1 και F2 δίνεται από την σχέση ΣF=F2-F1 

 Αποδεικνύεται ότι το βαγόνι θα κάνει την ίδια κίνηση όταν αντικαταστήσουμε τις δυνάμεις F1 και F2 με την δύναμη ΣF,που είναι συγγραμμική με τις F1 και F2,έχει φορά της μεγαλύτερης δύναμης και μέτρο ΣF=F2-F1 .
 Η δύναμη ΣF είναι η συνισταμένη των δυνάμεων  F1 και F2 και γενικά δίνεται από την σχέση:

                                                                                     ΣF=F2-F1 

ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΥΟ ΣΥΝΤΡΕΧΟΥΣΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΠΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΖΟΥΝ ΓΩΝΙΑ

 Για να υπολογίσουμε τη συνισταμένη δύναμη στην περίπτωση που οι δυνάμεις έχουν διαφορετικές διευθύνσεις χρησιμοποιούμε τον κανόνα του παραλληλογράμμου.

Για να υπολογίσουμε τη συνισταμένη δύναμη στην περίπτωση που οι δυνάμεις έχουν διαφορετικές διευθύνσεις χρησιμοποιούμε τον κανόνα του παραλληλογράμμου

  Κανόνας του Παραλληλογράμμου:

α) Μετατοπίζουμε τη μία δύναμη (διατηρώντας τη διεύθυνση της) ώστε οι δύο δυνάμεις να αποκτήσουν κοινή αρχή.

β) Φέρνουμε βοηθητικές (διακεκομμένες) ευθείες από το τέλος κάθε δύναμης παράλληλα προς την άλλη.

γ) Η συνισταμένη δύναμη θα έχει αρχή την αρχή των δύο  δυνάμεων και τέλος το σημείο τομής των βοηθητικών ευθειών.

Η συνισταμένη των δυνάμεων,που έχουν το ίδιο σημείο εφαρμογής και σχηματίζουν γωνία,δίνεται από το διαγώνιο διάνυσμα του παραλληλογράμμου που έχει πλευρές τα διανύσματα των δυνάμεων αυτών

 Η συνισταμένη των δυνάμεων,που έχουν το ίδιο σημείο εφαρμογής και σχηματίζουν γωνία,δίνεται από το διαγώνιο διάνυσμα του παραλληλογράμμου που έχει πλευρές τα διανύσματα των δυνάμεων αυτών.

ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΥΟ ΣΥΝΤΡΕΧΟΥΣΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΠΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΖΟΥΝ ΓΩΝΙΑ

 Για να υπολογίσουμε τη συνισταμένη δύναμη στην περίπτωση που οι δυνάμεις έχουν διαφορετικές διευθύνσεις χρησιμοποιούμε τον κανόνα του παραλληλογράμμου.

Για να υπολογίσουμε τη συνισταμένη δύναμη στην περίπτωση που οι δυνάμεις έχουν διαφορετικές διευθύνσεις χρησιμοποιούμε τον κανόνα του παραλληλογράμμου

 Κανόνας του Παραλληλογράμμου:

α) Μετατοπίζουμε τη μία δύναμη (διατηρώντας τη διεύθυνση της) ώστε οι δύο δυνάμεις να αποκτήσουν κοινή αρχή.

β) Φέρνουμε βοηθητικές (διακεκομμένες) ευθείες από το τέλος κάθε δύναμης παράλληλα προς την άλλη.

γ) Η συνισταμένη δύναμη θα έχει αρχή την αρχή των δύο  δυνάμεων και τέλος το σημείο τομής των βοηθητικών ευθειών.

Η συνισταμένη των δυνάμεων,που έχουν το ίδιο σημείο εφαρμογής και σχηματίζουν γωνία,δίνεται από το διαγώνιο διάνυσμα του παραλληλογράμμου που έχει πλευρές τα διανύσματα των δυνάμεων αυτών

 Η συνισταμένη των δυνάμεων,που έχουν το ίδιο σημείο εφαρμογής και σχηματίζουν γωνία,δίνεται από το διαγώνιο διάνυσμα του παραλληλογράμμου που έχει πλευρές τα διανύσματα των δυνάμεων αυτών.

ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΠΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΖΟΥΝ ΓΩΝΙΑ 90°

 Υποθέτουμε ότι σε ένα σημείο Ο ενεργούν δύο δυνάμεις F1 και F2 που σχηματίζουν γωνία 90°.Ζητάμε τον προσδιορισμό της συνισταμένης τους. 

Σε ένα σημείο Ο ενεργούν δύο δυνάμεις F1 και F2 που σχηματίζουν γωνία 90°

 Η κατεύθυνση της συνισταμένης θα προσδιοριστεί αν υπολογισθεί η γωνία θ που αυτή σχηματίζει με τη συνιστώσα F1.Κατασκευάζοντας το παραλληλόγραμμο των δυνάμεων προκύπτει ότι η συνισταμένη είναι η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου του οποίου οι κάθετες πλευρές είναι οι δυνάμεις F1 και F2.

Όταν οι διευθύνσεις των δυνάμεων είναι κάθετες μεταξύ τους,το μέτρο της συνισταμένης βρίσκεται εύκολα από το πυθαγόρειο θεώρημα

 Όταν οι διευθύνσεις των δυνάμεων είναι κάθετες μεταξύ τους,όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα,το μέτρο της συνισταμένης βρίσκεται εύκολα από το πυθαγόρειο θεώρημα και δίνεται από την σχέση:

ΣF²=F²1+F²2           ή 
                                                                                           _____

                                                                                     F=√F²1+F²2

 Η γωνία θ προσδιορίζεται από τη σχέση:

                                                                                     εφθ=F2/F1

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΕ ΔΥΟ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ

 Είδαμε ότι μπορούμε να αντικαταστήσουμε τις δυνάμεις F1 και F2 με την δύναμη ΣF.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΕ ΔΥΟ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ

 Μπορούμε όμως να κάνουμε και το αντίστροφο,δηλαδή να αντικαταστήσουμε την ΣF με τις δυνάμεις F1 και F2 χωρίς να μεταβληθεί το αποτέλεσμα.Η αντικατάσταση αυτή λέγεται ανάλυση της δύναμης ΣF σε δύο συνιστώσες F1 και F2.

Ανάλυση της δύναμης ΣF σε δύο συνιστώσες F1 και F2

 Για να αναλύσουμε μια δύναμη ΣF σε δύο συνιστώσες που έχουν ως διευθύνσεις τους άξονες Οx και Οy,φέρουμε από το άκρο Α του διανύσματος ΣF ευθείες παράλληλες προς τους άξονες Οx και Οy.Σχηματίζεται έτσι ένα παραλληλόγραμμο,που τα διανύσματα των πλευρών του ΟΒ και ΟΓ παριστάνουν τις συνιστώσες F1 και F2 στις οποίες αναλύεται η ΣF.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

 Ένας άνθρωπος σύρει μια βάρκα σε ένα ποτάμι με τη βοήθεια σχοινιού.Ο άνθρωπος κινείται παράλληλα στο ποτάμι.Για να κατανοήσουμε την κίνηση της βάρκας πρέπει να αναλύσουμε τη δύναμη που ασκεί ο άνθρωπος σε δύο συνιστώσες. 

Ένας άνθρωπος σύρει μια βάρκα σε ένα ποτάμι με τη βοήθεια σχοινιού

 Μια παράλληλη,FΠ,προς το ρεύμα του ποταμού και μια κάθετη FK σ’ αυτό.Η παράλληλη συνιστώσα,FΠ κινεί τη βάρκα προς τα εμπρός ενώ η κάθετη FK σ' αυτό.Η παράλληλη συνιστώσα,FΠ κινεί τη βάρκα προς τα εμπρός ενώ η κάθετη την έλκει προς την ακτή.Συνήθως αναλύουμε μια δύναμη σε δύο κάθετες συνιστώσες.