ΣΤΕΡΓΙΟΣ ΠΕΛΛΗΣ | 4:51 μ.μ. | | | | Best Blogger Tips

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

|
ΦΥΣΙΚΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ
ΦΥΣΙΚΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ


 Η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο ολοκληρώνεται περίπου σε 365 ημέρες και ύστερα επαναλαμβάνεται συνεχώς κατά τον ίδιο τρόπο και στον ίδιο ακριβώς χρόνο.Μία τέτοια κίνηση λέγεται περιοδική ή γενικότερα περιοδικό φαινόμενο.

Η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο επαναλαμβάνεται συνεχώς κατά τον ίδιο τρόπο και στον ίδιο ακριβώς χρόνο
  Η κούνια που έχουν τα μωρά ξεκίνα από ψηλά,κατεβαίνει,ανεβαίνει πάλι ψηλά,κατεβαίνει χαμηλά,επιστρέφει πάλι ψηλά στην αρχική της θέση και συνεχίζει την κίνηση της ακριβώς με τον ίδιο τρόπο.Το γιο-γιο είναι ένα παιχνίδι για παιδιά.Το παιδί κρατάει το σχοινί από την ελεύθερη άκρη και αφήνει το δίσκο να κινηθεί.Το σχοινί τυλίγεται και ξετυλίγεται γύρω από το αυλάκι πολλές φορές με τον ίδιο ακριβώς τρόπο.




Η κίνηση τoυ παιχνιδιού γιο-γιο επαναλαμβάνεται σε ίσα χρονικά διαστήματα.Άρα είναι μία περιοδική κίνηση
 Οι κινήσεις της Γης γύρω από τον Ήλιο,της κούνιας και του γιο-γιου επαναλαμβάνονται σε ίσα χρονικά διαστήματα.Αυτές οι κινήσεις ονομάζονται περιοδικές κινήσεις.
  Περιοδική κίνηση ονομάζεται η κίνηση που επαναλαμβάνεται σε ίσα χρονικά διαστήματα.Άλλα παραδείγματα περιοδικών κινήσεων είναι η ομαλή κυκλική κίνηση,ο μυς της καρδιάς και το ηλεκτροκαρδιογράφημα.
Το φως του φάρου ανάβει και σβήνει σε ορισμένα χρονικά διαστήματα με κάποιο ρυθμό
 Το <<φλας>> του αυτοκινήτου ανάβει και σβήνει σε ορισμένα χρονικά διαστήματα με κάποιο ρυθμό.Το ίδιο συμβαίνει και με το φως ενός φάρου.
  Η εκπομπή του φωτός ,που διακόπτεται με ορισμένο ρυθμό,είναι επίσης ένα περιοδικό φαινόμενο.
 Περιοδικά φαινόμενα ονομάζονται τα φαινόμενα που  εξελίσσονται και  επαναλαμβάνονται το ίδιο σε ίσα σταθερά χρονικά διαστήματα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ

  Παραδείγματα περιοδικών φαινομένων είναι: 
α) Η κίνηση  της Γης γύρω από τον Ήλιο.
β) Το <<φλας>> του αυτοκινήτου.
γ) Η  κίνηση  του εκκρεμούς.
δ) Το άναμμα και το σβήσιμο  του  φάρου.
ε) Η ομαλή κυκλική κίνηση.
στ) Η κίνηση του εκκρεμούς. 
ζ) Η κίνηση της κούνιας που έχουν τα μωρά.
η) Η κίνηση του γιο-γιο.
θ) ο μυς της καρδιάς και 
ι) το ηλεκτροκαρδιογράφημα κ.α. 

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

 Είδαμε τόσα παραδείγματα περιοδικών κινήσεων.Παρατηρούμε ότι οι περιοδικές κινήσεις δεν είναι όλες όμοιες.Η τροχιά της Γης γύρω από τον Ήλιο είναι κλειστή.Δεν έχει ακραία σημεία.Αντίθετα το γιο-γιο κινείται μεταξύ δυο ακραίων σημείων.Η τροχιά του δεν είναι μια κλειστή γραμμή όπως ο κύκλος.Με άλλα λόγια το γιο-γιο κινείται γύρω από μια θέση σε αντίθεση με την κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο.Τέτοιες περιοδικές κινήσεις ανάμεσα σε δυο ακραία σημεία ονομάζονται ταλαντώσεις.
Ταλάντωση ονομάζεται η περιοδική κίνηση που γίνεται παλινδρομικά γύρω από μία θέση ισορροπίας
  Ταλάντωση ονομάζεται η περιοδική κίνηση που γίνεται παλινδρομικά γύρω από μία θέση ισορροπίας.Η κίνηση του εκκρεμούς είναι μια ταλάντωση.Άλλα παραδείγματα ταλαντώσεων είναι η κούνια,η χορδή μιας κιθάρας,η ράβδος σ'ένα παλιό ρολόι τοίχου,η στήλη του αέρα μέσα στη φλογέρα κ.α.
Η κίνηση του εκκρεμούς είναι μια ταλάντωση 
  Παρατηρούμε αρκετά σώματα που εκτελούν ταλάντωση κινούνται σε ευθεία γραμμή.Όταν η τροχιά του σώματος που κάνει ταλάντωση,είναι ευθεία γραμμή τότε έχουμε γραμμική ταλάντωση.

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ


  Γραμμική ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση που εξελίσσεται πάνω σε ευθεία τροχιά.Παράδειγμα γραμμικής ταλάντωσης είναι ένα σώμα που είναι δεμένο στην ελεύθερη άκρη ελατηρίου.
Η ταλάντωση ενός σώματος που είναι δεμένο στην ελεύθερη άκρη ελατηρίου εξελίσσεται πάνω σε ευθεία τροχιά.Αυτή η ταλάντωση ονομάζεται γραμμική 
  Έχουμε ένα σώμα που είναι δεμένο στην άκρη ενός ελατηρίου.Η κίνηση του είναι μεταβαλλόμενη.Στο σώμα ασκείται το βάρος του w=mg και η δύναμη του ελατηρίου Fελ=-kx.Η δύναμη που ασκεί το ελατήριο κατά την διάρκεια της κίνησης μεταβάλλεται συνεχώς συναρτήσει του x,ενώ το βάρος παραμένει σταθερό με τιμή mg.Κατά την διάρκεια της κίνησης του το σώμα περνάει από μία θέση στην οποία η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι μηδέν.Σε αυτή τη θέση έχουμε ΣF=0 ~Fελ=w.Η θέση αυτή ονομάζεται θέση ισορροπίας του σώματος.
  Στη θέση ισορροπίας του σώματος που είναι δεμένο στην άκρη ελατηρίου η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι μηδέν.Σε αυτή τη θέση έχουμε ΣF=0 ~Fελ=w.
  Θέση ισορροπίας ονομάζεται η θέση όπου η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα μηδενίζεται.Όταν το σώμα απομακρύνεται από την θέση ισορροπίας, η δύναμη τείνει να το επαναφέρει προς αυτήν.  

ΜΕΓΕΘΗ ΠΟΥ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΖΟΥΝ ΜΙΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ
Newton's Cradle
ΜΕΓΕΘΗ ΠΟΥ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΖΟΥΝ ΜΙΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ
 Για να περιγράψουμε μια ταλάντωση χρησιμοποιούμε μερικά φυσικά μεγέθη όπως:
α) η περίοδος Τ  της ταλάντωσης.
β) η συχνότητα f της ταλάντωσης.
γ) το πλάτος A της ταλάντωσης.

ΠΕΡΙΟΔΟΣ Τ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ

  Περίοδος (T)  της ταλάντωσης ονομάζεται το χρονικό διάστημα στο οποίο εκτελείται μια πλήρη ταλάντωση, δηλαδή είναι ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μεταβάσεων του κινητού από την ίδια θέση και με την ίδια φορά. 
  Με άλλα λόγια περίοδος περιοδικού φαινομένου είναι ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών επαναλήψεων του.
Περίοδος (T)  της ταλάντωσης ονομάζεται το χρονικό διάστημα στο οποίο εκτελείται μια πλήρη ταλάντωση
  Αν σε χρόνο t γίνονται Ν  επαναλήψεις  του φαινομένου,η περίοδος  είναι ίση με το πηλίκο

                                         Τ=t/N

όπου:
Τ η περίοδος περιοδικού φαινομένου.
t ο χρόνος του φαινομένου του σώματος.
Ν ο αριθμός των επαναλήψεων που κάνει το σώμα.
   Η περίοδος (Τ) περιοδικού φαινομένου είναι μονόμετρο μέγεθος.


ΜΟΝΑΔΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ

  Η περίοδος Τ έχει μονάδα μέτρησης στο S.I. το ένα δευτερόλεπτο (1 s).

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΙΜΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ

   Η κίνηση της Σελήνης γύρω από  τη Γη έχει περίοδο Τ=29,5 ημέρες ,η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο έχει περίοδο Τ=365 ημέρες.Η τροχιά της Γης είναι κλειστή , δηλαδή δεν έχει ακραία σημεία.

ΚΙΝΗΣΗΠΕΡΙΟΔΟΣ
Περίοδος περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονά της24 ώρες
Περίοδος περιστροφής της Σελήνης γύρω από την Γη27,321 ημέρες
Περίοδος περιστροφής της Γης γύρω από τον Ήλιο365,256 ημέρες
Περίοδος περιστροφής του Άρη γύρω από τον Ήλιο686,96 ημέρες 


ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ f ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ

  Συχνότητα (f) της ταλάντωσης  ονομάζεται ο αριθμός των πλήρων ταλαντώσεων N που κάνει ένα σώμα προς το αντίστοιχο χρονικό διάστημα t.


Συχνότητα (f) της ταλάντωσης  ονομάζεται ο αριθμός των πλήρων ταλαντώσεων N που κάνει ένα σώμα προς το αντίστοιχο χρονικό διάστημα t
  Η τιμή της συχνότητας του περιοδικού φαινομένου είναι το αντίστροφο πηλίκο  του αριθμού  των  επαναλήψεων  του  φαινομένου προς τον αντίστοιχο  χρόνο.

                                           f=N/t 

όπου:
f η συχνότητα της ταλάντωσης.
N το αριθμός των πλήρων ταλαντώσεων.
t τo χρονικό διάστημα.


ΣΧΕΣΗ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΚΑΙ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ 

 Όπως αναφέραμε η περίοδος και η συχνότητα είναι αντίστροφα μεγέθη. Επειδή σε χρόνο t = Τ το σώμα κάνει μία επανάληψη,έχουμε Ν=1.Από την σχέση f=N/t προκύπτει:

όπου t = Τ και Ν=1             f=N/t  ή                                              

                             f=1/Τ


ΜΟΝΑΔΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ


 Από τον τελευταίο τύπο βλέπουμε ότι η συχνότητα είναι μέγεθος αντίστροφο της περιόδου και έχει μονάδα μέτρησης στο S.I. το 1 Hz ή s-1.
  Το 1Ηz ισούται με 1 s-1 ή με 1 κύκλο/s.


ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΙΜΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΣΥΧΝΟΤΗΤΑ (Hz)
Συχνότητα περιστροφής δίσκου πικάπ (33 στροφών)0,66
Συχνότητα περιστροφής CD σε συσκευή CD Player8,33
Συχνότητα εναλλασσόμενου ρεύματος (Ευρωπαϊκά ηλεκτρικά δίκτυα)50
Συχνότητα νότας Λα 440 
Περιοχή συχνοτήτων ακουστικών σημάτων20 - 20.000
Περιοχή συχνοτήτων ορατού φωτός4.3×1014 − 7.5×1014


ΠΛΑΤΟΣ Α ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

  Πλάτος (Α) της ταλάντωσης ονομάζεται η μέγιστη απομάκρυνση (απόσταση) του σώματος από τη θέση ισορροπίας.
  Η μέγιστη απομάκρυνση από κάθε πλευρά της θέσης ισορροπίας  είναι η ίδια.

AΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ 

  Το απλό εκκρεμές αποτελείται από ένα σώμα κρεμασμένο από  αβαρές νήμα που το άλλο άλλο άκρο του είναι στερεωμένο σ' ένα σταθερό σημείο.Αν το σώμα απομακρυνθεί από τη θέση ισορροπίας,εκτελεί ταλάντωση ανάμεσα στις δύο ακραίες θέσεις.Αν απομακρύνουμε το σώμα λίγο από τη θέση ισορροπίας του τότε εξαιτίας της μιας συνιστώσας του βάρους αυτό θέλει να επιστρέψει στην αρχική του θέση. Φτάνοντας στην κατακόρυφη θέση έχει ήδη ταχύτητα και έτσι, αντί να σταματήσει, συνεχίζει περνώντας στην άλλη πλευρά.
Simple Pendulum Oscillator.gif
Το απλό εκκρεμές αποτελείται από ένα σώμα κρεμασμένο από  αβαρές νήμα που το άλλο άλλο άκρο του είναι στερεωμένο σ' ένα σταθερό σημείο

 Η κίνηση, αν δεν υπάρχουν τριβές, επαναλαμβάνεται συνεχώς. Αυτή η κίνηση είναι η ταλάντωση του εκκρεμούς και μοιάζει πολύ με την κίνηση μιας παιδικής κούνιας (με κάποιες διαφοροποιήσεις).Εξαιτίας της x-συνιστώσας του βάρους, το σώμα εκτελεί ταλάντωση. Η δύναμη επαναφοράς είναι το βάρος του σώματος.Εφόσον το εκκρεμές εκτελεί ταλάντωση, η κίνησή του περιγράφεται από την περίοδο ,τη συχνότητα και το πλάτος.Πειραματικά προκύπτει ότι η περίοδος του εκκρεμούς είναι ανεξάρτητη της μάζας του.
Σε κάθε θέση η x-συνιστώσα του βάρους τράβα το σώμα προς τη θέση ισορροπίας με αποτέλεσμα το σώμα εκτελεί ταλάντωση
  Επίσης πειραματικά προκύπτει ότι η περίοδος της ταλάντωσης ενός απλού εκκρεμούς έχει τα παρακάτω χαρακτηριστικά:
α) Η περίοδος του εκκρεμούς δεν εξαρτάται από την μάζα του
β) Η περίοδος του εκκρεμούς δεν εξαρτάται από το πλάτος,όταν εκτρέπεται κατά μικρή γωνία(μικρότερη από 10 μοίρες)
γ) Αυξάνεται όταν μεγαλώσουμε το μήκος του νήματος.Όταν ένα εκκρεμές έχει μεγάλο μήκος έχει μεγαλύτερη περίοδο από άλλο εκκρεμές με μικρότερο μήκος.Τα εκκρεμή που έχουν ίδιο μήκος έχουν την ίδια περίοδο ταλάντωσης.Αυτήν την ιδιότητα του εκκρεμούς οι μηχανικοί την χρησιμοποιούν για να κατασκευάσουν χρονόμετρα.
δ) Εξαρτάται από τον τόπο στον οποίο βρίσκεται,δηλαδή εξαρτάται από την επιτάχυνση της βαρύτητας g.Το ίδιο εκκρεμές εκτελεί μια πλήρη ταλάντωση σε μικρότερο χρόνο,όταν είναι στους πόλους απ' ότι όταν βρίσκεται στον ισημερινό.

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ


 Για να εκτελέσει ένα σώμα ταλάντωση,θα πρέπει να ασκηθεί στην αρχή μία δύναμη που θα το απομακρύνει από την θέση ισορροπίας του.Η δύναμη αυτή,μέσω του έργου που παράγει,προσφέρει ενέργεια στο σώμα,η οποία αποθηκεύεται με τη μορφή δυναμικής ενέργειας.
Η ταλάντωσης ενός σώματος σε ένα ιδανικό ελατήριο  
 Θα δούμε το παράδειγμα της ταλάντωσης ενός σώματος σε ένα ιδανικό ελατήριο.Θα ονομάσουμε την δυναμική ενέργεια του σώματος U και την κινητική ενέργεια του σώματος Εκ.
Ταλάντωση ενός σώματος σε ένα  ιδανικό ελατήριο
  Κατά την διάρκεια της ταλάντωσης του σώματος,στη θέση της μέγιστης απομάκρυνσης το σώμα έχει τη μέγιστη δυναμική ενέργεια και δεν έχει καθόλου κινητική ενέργεια.Το σώμα καθώς κινείται προς τη θέση ισορροπίας η παραμόρφωση του ελατηρίου μικραίνει και που έχει σαν αποτέλεσμα η δυναμική ενέργεια του σώματος μειώνεται.Η ταχύτητα του σώματος αυξάνεται,άρα και η κινητική του ενέργεια.Στην θέση ισορροπίας η ταχύτητα του σώματος γίνεται μέγιστη,άρα και η κινητική ενέργεια του.Στην θέση ισορροπίας η δυναμική ενέργεια του σώματος είναι μηδέν.
Εικόνα  1: Το σώμα βρίσκεται στη μέγιστη απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας. Έχει μόνο δυναμική ενέργεια. 
Εικόνα  2: Το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας, η δυναμική ενέργεια έχει μετατραπεί εξ ολοκλήρου σε κινητική. 

Εικόνα  3: Το σώμα βρίσκεται σε μια ενδιάμεση θέση, έχει δυναμική και κινητική ενέργεια. 
Εικόνα  4: Στην ακραία θέση 4, η κινητική ενέργεια του σώματος μετατρέπεται σε δυναμική.
  Άρα στην θέση ισορροπίας έχουμε:

                                     U=0  και Εκ=max

  Καθώς το σώμα απομακρύνεται από τη θέση ισορροπίας και κατευθύνεται προς τη θέση της μέγιστης απομάκρυνσης αυξάνεται η δυναμική του ενέργεια και ελαττώνεται η κινητική.Στην θέση της μέγιστης απομάκρυνσης η κινητική ενέργεια του σώματος μηδενίζεται και η δυναμική ενέργεια γίνεται μέγιστη.
  Άρα στην θέση της μέγιστης απομάκρυνσης έχουμε:

                                              U=max και Εκ=0  

  Βλέπουμε δηλαδή ότι κατά την διάρκεια μιας ταλάντωσης πραγματοποιείται περιοδικά μετατροπή της δυναμικής ενέργειας σε κινητική και αντίστροφα. 
 Γνωρίζουμε ότι η μηχανική ενέργεια ενός σώματος Εμηχ είναι το άθροισμα δυναμικής ενέργειας U και της κινητικής ενέργειας Εκ του σώματος.Ισχύει δηλαδή:

                                          Εμηχ=U+Εκ

 Στην ιδανική περίπτωση που δεν υπάρχουν δυνάμεις τριβής,η μηχανική ενέργεια της ταλάντωσης διατηρείται σταθερή.Με άλλα λόγια το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας,διατηρείται σταθερό.Απλά έχουμε περιοδικά μετατροπή της δυναμικής ενέργειας σε κινητική και αντίστροφα.
Μετατροπή της δυναμικής ενέργειας σε κινητική και αντίστροφα  σε ένα εκκρεμές
  Άρα στην ιδανική περίπτωση ταλάντωσης ενός σώματος σε ένα ιδανικό ελατήριο έχουμε:

                                           Εμηχ=σταθ.

  Όταν υπάρχουν δυνάμεις τριβής ή αντίσταση του αέρα η μηχανική ενέργεια μειώνεται και μετατρέπεται σταδιακά σε θερμική.Ένα απλό παράδειγμα είναι η κούνια.Το πλάτος της ταλάντωσης της κούνιας μειώνεται και τελικά η κούνια σταματάει.Αυτή η ταλάντωση ονομάζεται φθίνουσα ταλάντωση.
Όταν κινήσουμε μία κούνια το  πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται και τελικά η κούνια σταματάει
  Η ταλάντωση μπορεί να διατηρηθεί μόνο αν με κάποιο μηχανισμό προσφέρουμε διαρκώς ενέργεια στο σώμα κατά τη διάρκεια που αυτό ταλαντώνεται.Η ενέργεια αυτή αναπληρώνει την χαμένη ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική από τις δυνάμεις της τριβής.Αυτή η ταλάντωση ονομάζεται εξαναγκασμένη ταλάντωση.




Παρακαλώ αναρτήστε:

author

ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ τμήμα ΦΥΣΙΚΗΣ τομέαs ΑΣΤΡΟΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ μέλοs τηs ΕΝΩΣΗΣ ΕΛΛΗΝΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

Αποκτήστε δωρεάν ενημερώσεις!!!

ΠΑΡΑΔΙΔΟΝΤΑΙ ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΧΗΜΕΙΑΣ ΓΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΤΑΞΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΑΙ ΛΥΚΕΙΟΥ------------ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΑΣΤΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α.Ε.Ι , Τ.Ε.Ι. ΚΑΙ Ε.Μ.Π.------------ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ------------ Τηλέφωνο κινητό : 6974662001 ------------ Τηλέφωνο οικίας :210 7560725 ------------ Email : sterpellis@gmail.com Για οικονομική βοήθεια: Εθνική Τράπεζα της Ελλάδος:Αριθμός λογαριασμού 117/946964-81

ΠΑΡΑΔΙΔΟΝΤΑΙ ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΧΗΜΕΙΑΣ ΓΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΤΑΞΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΑΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΑΣΤΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α.Ε.Ι , Τ.Ε.Ι. ΚΑΙ Ε.Μ.Π. ------------------------------------ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ Τηλέφωνο κινητό : 6974662001 Τηλέφωνο οικίας :210 7560725 Email : sterpellis@gmail.com Για οικονομική βοήθεια: Εθνική Τράπεζα της Ελλάδος:Αριθμός λογαριασμού 117/946964-81