PHYSIC LESSONS: ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ

ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Σ'αυτό το σημείο θα πρέπει να ορίσουμε ένα νέο φυσικό μέγεθος στην ομαλή κυκλική κίνηση με την βοήθεια ενός απλού παραδείγματος.
Έχουμε ένα δίσκο που περιστρέφεται και τα σημεία του κάνουν ομαλή κυκλική κίνηση,όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.Έστω τρία σημεία Α,Β και Γ του δίσκου που βρίσκονται πάνω στην ίδια ακτίνα.

Ο δίσκος περιστρέφεται και τα σημεία του κάνουν ομαλή κυκλική κίνηση.Τα τρία σημεία Α,Β και Γ του δίσκου βρίσκονται πάνω στην ίδια ακτίνα

Σε ένα μικρό χρονικό διάστημα, τα τρία σημεία βρίσκονται στις θέσεις Α',Β' και Γ΄αντίστοιχα και έχουν διαγράψει την ίδια γωνία θ.Ωστόσο τα μήκη των αντίστοιχων τόξων ΛΛ',ΒΒ΄,ΓΓ' είναι διαφορετικά μεταξύ τους,γεγονός που σημαίνει ότι οι γραμμικές ταχύτητες των σημείων Α,Β,Γ διαφέρουν.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΓΩΝΙΑΚΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

Στην ομαλή κυκλική κίνηση λοιπόν,εκτός από την γραμμική ταχύτητα που δίνει το ρυθμό με τον οποίο διανύει το κινητό διαστήματα,χρειαζόμαστε και ένα άλλο μέγεθος που να δείχνει με τι ρυθμό η επιβατική ακτίνα διαγράφει γωνίες.

Γωνιακή ταχύτητα στην ομαλή κυκλική κίνηση ισούται με τον ρυθμό μεταβολής του τόξου που διαγράφει το σώμα

Γι' αυτό ορίζουμε ένα νέο φυσικό μέγεθος που λέγεται γωνιακή ταχύτητα και συμβολίζεται με ω.

Γωνιακή ταχύτητα ω στην ομαλή κυκλική κίνηση ενός κινητού ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος που εκφράζει την ταχύτητα ενός σώματος που εκτελεί κυκλική κίνηση.

Γωνιακή ταχύτητα στην ομαλή κυκλική κίνηση ενός κινητού ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος που εκφράζει την ταχύτητα ενός σώματος που εκτελεί κυκλική κίνηση

Η γωνιακή ταχύτητα ισούται με τον ρυθμό μεταβολής του τόξου που διαγράφει το σώμα και μετράται σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτα (rad/s).

Η Γωνιακή ταχύτητα στην ομαλή κυκλική κίνηση ενός κινητού είναι ένα διανυσματικό μέγεθος

Η Γωνιακή ταχύτητα στην ομαλή κυκλική κίνηση ενός κινητού είναι ένα διανυσματικό μέγεθος με:
α) μέτρο :Η τιμή του μέτρου είναι ίση με το σταθερό πηλίκο της γωνίας θ που διαγράφηκε από την επιβατική ακτίνα σε χρονικό διάστημα t δια του αντίστοιχου χρονικού διαστήματος.
Δηλαδή :

ω=θ/t

(Ορισμός γωνιακής ταχύτητας)

β) Διεύθυνση:Η διεύθυνση είναι κάθετη στο επίπεδο της τροχιάς της κίνησης.

Η διεύθυνση της γωνιακή ταχύτητα στην ομαλή κυκλική κίνηση είναι κάθετη στο επίπεδο της τροχιάς της κίνησης

Η διεύθυνση του διανύσματος της γωνιακής ταχύτητας είναι κάθετη στο επίπεδο της τροχιάς της κίνησης και εμπειρικά η φορά του ακολουθεί τον κανόνα του δεξιού χεριού,δηλαδή για αριστερόστροφη κίνηση η φορά του διανύσματος είναι προς τα πάνω και για δεξιόστροφη κίνηση προς τα κάτω.

Η φορά της γωνιακή ταχύτητα στην ομαλή κυκλική κίνηση καθορίζεται εμπειρικά με τον κανόνα του δεξιού χεριού

Εναλλακτικά η φορά της γωνιακής ταχύτητας είναι η φορά του παρακάτω εξωτερικού γινομένου:

$\boldsymbol\omega=\frac{\mathbf{r}\times\mathbf{v}}{|\mathrm{\mathbf{r}}|^2}$

γ) Φορά:Η φορά καθορίζεται εμπειρικά με τον κανόνα του δεξιού χεριού.

Το διάνυσμα ω έχει τη φορά, του αντίχειρα του δεξιού χεριού όταν η φορά περιστροφής του κινητού συμπίπτει με τη φορά των υπόλοιπων δακτύλων

Το διάνυσμα ω έχει τη φορά,του αντίχειρα του δεξιού χεριού όταν η φορά περιστροφής του κινητού συμπίπτει με τη φορά των υπόλοιπων δακτύλων.

Για αριστερόστροφη κίνηση η φορά του διανύσματος είναι προς τα πάνω και για δεξιόστροφη κίνηση προς τα κάτω

Δηλαδή για αριστερόστροφη κίνηση η φορά του διανύσματος είναι προς τα πάνω και για δεξιόστροφη κίνηση προς τα κάτω.

ΤΥΠΟΙ ΓΩΝΙΑΚΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

Στην ομαλή κυκλική κίνηση η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή κατά συνέπεια στον τύπο ω=θ/t το t μπορεί να πάρει την τιμή:

t=Τ

η γωνία Δθ γίνεται:

Δθ=2·π

Δηλαδή στην ομαλή κυκλική κίνηση σε χρόνο μιας περιόδου Τ η επιβατική ακτίνα θα έχει διαγράψει γωνία 2·π rad.Συνεπώς η σχέση ω=θ/t γράφεται:

ω=2·π/Τ

(Τύπος γωνιακής ταχύτητας με περίοδο)

Επειδή όμως f=1/Τ η σχέση γράφεται:

ω=2·π·f

(Τύπος γωνιακής ταχύτητας με συχνότητα)

ΜΟΝΑΔΑ ΓΩΝΙΑΚΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

Για να ορίσουμε τις μονάδες μέτρησης της γωνιακής ταχύτητας,μας χρειάζεται να γνωρίζουμε τις μονάδες με τις οποίες μετράμε μια επίπεδη γωνία.Όπως είναι γνωστό το μέτρο μιας επίκεντρης γωνίας Δθ ορίζεται ως ο λόγος του τόξου ΔS που κόβει με τις πλευρές της προς την ακτίνα R του κύκλου.

Δθ=ΔS/R

Αν το μήκος του τόξου ΔS είναι ίσο με την ακτίνα R τότε η γωνία Δθ είναι ένα ακτίνιο ή 1 rad.

Στην ομαλή κυκλική κίνηση η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή

Σύμφωνα με τη σχέση ω=Δθ/Δt ως μονάδα γωνιακής ταχύτητας χρησιμοποιούμε το ακτίνιο ανά δευτερόλεπτο.

1 rad/s

Πρακτικά όμως χρησιμοποιούμε και την εμπειρική μονάδα <<μοίρες ανά sec>>,που όμως δεν είναι δυνατό να τη χρησιμοποιήσουμε σε τύπους όπου συνδέονται μήκη με γωνίες.

ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΚΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

Για να υπολογίσουμε τη σχέση που συνδέει τη γραμμική με τη γωνιακή ταχύτητα πρέπει να διαιρέσουμε κατά μέλη τις σχέσεις:

υ=2·π·R/T

και

ω=2·π/T

Άρα έχουμε:

υ/ω=2·π·R/T/2·π/T $\Rightarrow$

υ/ω=R $\Rightarrow$

υ=ω·R

(Σχέση μεταξύ γραμμικής και γωνιακής ταχύτητας)

Η σχέση αυτή συνδέει τη γραμμική ταχύτητα με τη γωνιακή και με την ακτίνα της τροχιάς.

Σχέση γραμμικής και γωνιακής ταχύτητας

Φαίνεται απ' αυτήν πως όλα τα σημεία ενός περιστρεφόμενου δίσκου,ενώ έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα (ω),έχουν γραμμικές ταχύτητες (υ) το μέτρο των οποίων είναι ανάλογο με την απόσταση τους από τον άξονα (κέντρο) περιστροφής.