| 
ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ
 |
| ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ |
ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Στην αρχή ο άνθρωπος μετρούσε το χρόνο με τη φαινομενική κίνηση του ήλιου,της σελήνης,των πλανητών και των άστρων.Υπήρχαν ηλιακά ρολόγια,ρολόγια νερού και κεριά σημαδεμένα έτσι,ώστε να λιώνουν ανάλογα με τα λεπτά του χρόνου.
Το Ηλιακό ρολόι είναι μία συσκευή που μετρά το χρόνο από την σκιά που ρίχνει ο ήλιος πάνω σε ένα αντικείμενο.Τα ηλιακά ρολόγια είναι ο αρχαιότερος τύπος ρολογιών.Επινοήθηκαν από τους Χαλδαίους περί το 2000 π.Χ. και από αυτούς διαδόθηκαν σε όλους τους λαούς του αρχαίου κόσμου.
Πρώτος που μελέτησε την αιώρηση του εκκρεμούς ήταν ο Γαλιλαίος.Διέκρινε ότι η περίοδος του εκκρεμούς είναι ανεξάρτητη από το πλάτος.
Ο Γαλιλαίος θεωρούσε ότι η περίοδος του εκκρεμούς ήταν ανεξάρτητη της γωνίας από την οποία άρχιζε η ταλάντωση.
Το 1657,δέκα χρόνια μετά το θάνατο του Γαλιλαίου ο Ολλανδός αστρονόμος και φυσικός Christian Huygens,κυκλοφόρησε το βιβλίο του με τίτλο "Horologium",στο οποίο περιέγραψε την κατασκευή ενός ρολογιού μεγαλύτερης ακρίβειας.
Η ανακάλυψη του Huygens προκάλεσε μεγάλη ανάπτυξη και εξάπλωση στην κατασκευή ρολογιών.Ρολόγια με μικρά εκκρεμή τοποθετήθηκαν πάνω σε ξύλο και κρεμάστηκαν στον τοίχο.
Το 1670 ο Άγγλος ωρολογοποιός William Clement κατασκεύασε το πρώτο ρολόι με μακρύ εκκρεμές,που μετρούσε και δευτερόλεπτα,τοποθετημένο σε μακρύ ξύλινο κουτί.
ΦΥΣΙΚΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ
Το στερεό σώμα,μία μεταλλική πλάκα,που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα,μπορεί να στρέφεται γύρω από τον οριζόντιο άξονα,που δεν περνάει από το κέντρο βάρους του,και να ταλαντώνεται περί τη θέση ισορροπίας του.
Ένα τέτοιο σώμα ονομάζεται φυσικό εκκρεμές.Το κινητό στέλεχος του μετρονόμου είναι επίσης ένα φυσικό εκκρεμές.
Η ταλάντωση του φυσικού εκκρεμές οφείλεται στη ροπή τw του Βάρους του w=m·g ως προς τον άξονα περιστροφής.
H ροπή τw του Βάρους του ισούται:
τw=-m·g·L·ημθ
Η περίοδος ταλάντωσης Τ του ισούται με:
Τ=2π√Ι/m·g·L
όπου:
Ι η ροπή αδράνειας του σώματος,και
L η απόσταση του κέντρου μάζας του από τον σταθερό άξονα.
ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ
Το απλό εκκρεμές είναι μια ιδανική διάταξη που αποτελείται από ένα σώμα Σ μάζας m κρεμασμένο στο ένα άκρο αβαρούς νήματος μήκους l το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σ' ένα σταθερό σημείο.
Το απλό εκκρεμές ονομάζεται και μαθηματικό εκκρεμές.
Για να κατασκευάσουμε ένα απλό εκκρεμές χρησιμοποιούμε σώμα μικρό,σφαιρικό και συμπαγές και νήμα λεπτό και σκληρό γιατί θέλουμε το σώμα κατά την κίνηση του να μη συναντά δυνάμεις από τον αέρα καθώς και το νήμα να είναι αβαρές και μη εκτατό,χρησιμοποιούμε σώμα μικρό,σφαιρικό και συμπαγές και νήμα λεπτό και σκληρό.
ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ
Η απόσταση του σταθερού σημείου από το κέντρο της σφαίρας ονομάζεται μήκος l του απλού εκκρεμούς.
Η γωνία θ,κατά την οποία απομακρύνουμε το εκκρεμές από την θέση ισορροπίας του,ονομάζεται πλάτος του απλού εκκρεμούς.
Η κίνηση του εκκρεμούς από το σημείο Β στο σημείο Β' και η επιστροφή του από το Β' στο Β ονομάζεται μια ταλάντωση.
Για την περίοδο και την συχνότητα του απλού εκκρεμούς ισχύουν τα ίδια με τις ταλαντώσεις.
ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ
Αρχικά το σώμα ηρεμεί στη θέση ισορροπίας του Ο.
Στη συνέχεια απομακρύνουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του.Τότε το νήμα θα σχηματίσει με τη αρχική του θέση γωνία φ.
Αν το σώμα απομακρυνθεί από τη θέση ισορροπίας,εκτελεί ταλάντωση ανάμεσα στις δύο ακραίες θέσεις.
Αν απομακρύνουμε το σώμα λίγο από τη θέση ισορροπίας του τότε εξαιτίας της μιας συνιστώσας του βάρους αυτό θέλει να επιστρέψει στην αρχική του θέση.Φτάνοντας στην κατακόρυφη θέση έχει ήδη ταχύτητα και έτσι,αντί να σταματήσει,συνεχίζει περνώντας στην άλλη πλευρά.
Η κίνηση,αν δεν υπάρχουν τριβές, επαναλαμβάνεται συνεχώς.Αυτή η κίνηση είναι η ταλάντωση του εκκρεμούς και μοιάζει πολύ με την κίνηση μιας παιδικής κούνιας (με κάποιες διαφοροποιήσεις).Εξαιτίας της x-συνιστώσας του βάρους,το σώμα εκτελεί ταλάντωση.
Η δύναμη επαναφοράς είναι το βάρος του σώματος.Εφόσον το εκκρεμές εκτελεί ταλάντωση,η κίνησή του περιγράφεται από την περίοδο,τη συχνότητα και το πλάτος.Πειραματικά προκύπτει ότι η περίοδος του εκκρεμούς είναι ανεξάρτητη της μάζας του.
Αυτή η ταλάντωση μπορεί,με καλή προσέγγιση,να θεωρηθεί γραμμική όταν η γωνία φ είναι ικανοποιητικά μικρή (φ<3°),οπότε το τόξο ΑΟΒ μπορεί να θεωρηθεί ευθύγραμμο και να ταυτιστεί με τη χορδή ΑΒ.
Σε μια τέτοια περίπτωση αποδεικνύεται,με καλή προσέγγιση επίσης,ότι η γραμμική ταλάντωση είναι και αρμονική.
Στην πραγματικότητα απλό εκκρεμές δεν υπάρχει στη φύση.Άρα μόνο για κάποια,μικρή έως μεγάλη,προσέγγισή του μπορούμε να μιλάμε σε μερικές περιπτώσεις όπως:
α) ένα κεράσι που κινείται κρεμασμένο από το κοτσάνι του,
β) ένα στρογγυλό σώμα που πηγαινοέρχεται κρεμασμένο με αλυσίδα σ' ένα ρολόϊ τοίχου,
γ) ένας ακροβάτης που εκτελεί το ακροβατικό του σ' ένα τσίρκο,
δ) ένας σάκκος που χρησιμοποιείται από έναν παλαιστή για την προπόνηση,
ε) ένα παιδί που «κάνει» κούνια σε μια παιδική χαρά,
στ) ένας πίθηκος που χρησιμοποιεί ένα χορτόσκοινο για να περάσει από ένα δέντρο στο διπλανό του.
ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ
Για να βρούμε την περίοδο Τ του απλού εκκρεμούς,αρκεί με ένα χρονόμετρο να μετρήσουμε τη χρονική διάρκεια πολλών ταλαντώσεων και μετά να κάνουμε διαίρεση.
Για παράδειγμα για 20 ταλαντώσεις μετρήσουμε χρόνο 40 s,η περίοδος του εκκρεμούς θα είναι:
Τ=40 s/20=2 s
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ
Για ν' αποδείξουμε,τώρα,ότι η ταλάντωση ενός απλού εκκρεμούς είναι γραμμική αρμονική ταλάντωση θεωρούμε το σώμα σε μια τυχαία θέση Γ της τροχιάς του,όπου η απομάκρυνσή του είναι x και το νήμα σχηματίζει γωνία φ με την κατακόρυφη.Λόγω της μικρής γωνίας η απομάκρυνση x ταυτίζεται με το τόξο ΓΟ.
Το σώμα στη θέση αυτή δέχεται δυο δυνάμεις:
α) την τάση Τ του νήματος και
β) το βάρος του Β.
Για να βρούμε τη συνισταμένη των δυο προηγουμένων δυνάμεων αναλύουμε πρώτα το βάρος Β σε δυο συνιστώσες:
α) την ΒΠ πάνω στη διεύθυνση του νήματος και
β) την Βκ κάθετα μ' αυτήν.
Οι δυνάμεις Τ και Βκ εξουδετερώνονται.Συνεπώς συνισταμένη Fολ των δυνάμεων Τ και Β είναι η Β η οποία:
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ
Για να βρούμε από τι εξαρτάται η περίοδος ενός απλού εκκρεμούς πραγματοποιούμε τα παρακάτω πειράματα:
ΠΕΙΡΑΜΑ ΠΡΩΤΟ
Αλλάζουμε το πλάτος,άρα και τη γωνία μέγιστης απόκλισης φ,και διαπιστώνουμε ότι η περίοδος δεν αλλάζει.
Πιο συγκεκριμένα απομακρύνουμε το εκκρεμές από την θέση ισορροπίας του κατά μικρή γωνία(π.χ. 3°).Μετράμε την περίοδο του και βρίσκουμε ότι είναι περίπου ίση με 1,95 s.Επαναλαμβάνουμε το πείραμα με διαφορετικό πλάτος και βρίσκουμε πάλι την ίδια περίοδο 1,95 s.
Επομένως:
Η περίοδος του απλού εκκρεμούς είναι ανεξάρτητη από το πλάτος του,όταν αυτό παίρνει μικρές τιμές.
ΠΕΙΡΑΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ
Αλλάζουμε το υλικό κατασκευής του σώματος,άρα και την πυκνότητα.Διαπιστώνουμε ότι η περίοδος δεν αλλάζει.Επίσης αλλάζουμε τη μάζα του σώματος και διαπιστώνουμε ότι η περίοδος δεν αλλάζει.
Πιο συγκεκριμένα μετράμε την περίοδο ενός εκκρεμούς το οποίο η μάζα του αποτελείται από σίδηρο και βρίσκουμε ότι είναι περίπου ίση με 1,95 s.Στο ίδιο εκκρεμές αντικαθιστούμε τη μάζα του από ξύλο.Μετράμε την περίοδο του εκκρεμούς και βρίσκουμε ότι είναι πάλι περίπου ίση με 1,95 s.Παρατηρούμε ότι τα δυο εκκρεμή έχουν το ίδιο μήκος και οι σφαίρες τους αποτελούνται από διαφορετικό υλικό και έχουν διαφορετική μάζα.
Άρα:
Η περίοδος του απλού εκκρεμούς είναι ανεξάρτητη από το υλικό και τη μάζα της σφαίρας του,όταν το μήκος του παραμένει σταθερό.
ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΡΙΤΟ
Αλλάζουμε το μήκος του εκκρεμούς και διαπιστώνουμε ότι η περίοδος αλλάζει και μάλιστα όταν το μήκος μεγαλώνει,μεγαλώνει και η περίοδος ενώ όταν το μήκος μικραίνει η περίοδος μικραίνει επίσης.
Μετράμε την περίοδο τριών εκκρεμών με διαφορετικό μήκος και βρίσκουμε περίπου τις τιμές που αναγράφονται στο παρακάτω πίνακα τιμών περιόδου-μήκους (Τ-l).
Όταν ένα εκκρεμές έχει μεγάλο μήκος έχει μεγαλύτερη περίοδο από άλλο εκκρεμές με μικρότερο μήκος.Τα εκκρεμή που έχουν ίδιο μήκος έχουν την ίδια περίοδο ταλάντωσης.Αυτήν την ιδιότητα του εκκρεμούς οι μηχανικοί την χρησιμοποιούν για να κατασκευάσουν χρονόμετρα.
Επομένως:
Η περίοδος του απλού εκκρεμούς,σε έναν ορισμένο τόπο,είναι ανάλογη προς τη τετραγωνική ρίζα του μήκους της.
ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ
Αν μετρήσουμε την περίοδο ενός εκκρεμούς στον ισημερινό της Γης (g=9,78 m/s2),θα βρούμε ότι είναι π.χ. περίπου Τ=1,1905 s.Αν ξαναμετρήσουμε την περίοδο του ίδιου εκκρεμούς στην Αθήνα (g=9,80 m/s2),θα βρούμε ότι είναι περίπου Τ=1,1905 s και αν επαναλάβουμε τη μέτρηση στον πόλο της Γης (g=9,83 m/s2),θα βρούμε περίπου Τ=1,1900 s.Από τις μετρήσεις αυτές παρατηρούμε ότι η περίοδος ενός απλού εκκρεμούς,μικραίνει,όταν αυξάνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g.
Με ακριβείς μετρήσεις αποδεικνύεται ότι:
Η περίοδος του απλού εκκρεμούς είναι αντιστρόφως ανάλογη προς την τετραγωνική ρίζα της επιτάχυνσης της βαρύτητας g,όταν το μήκος του παραμένει σταθερό.
Αυτό σημαίνει ότι,όταν τετραπλασιάζεται το g,η περίοδος του εκκρεμούς γίνεται ίση με το μισό της αρχικής (υποδιπλασιάζεται κ.τ.λ.).
Η διαδικασία που ακολουθήσαμε είναι πολύ δύσκολη και κουραστική.Γι' αυτό μπορούμε να επαληθεύσουμε ποιοτικά το νόμο αυτό με τη πειραματική διάταξη που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Τοποθετούμε κάτω από το εκκρεμές,το σφαιρίδιο του οποίου έχουμε φροντίσει να είναι από σίδηρο,ένα ηλεκτρομαγνήτη.
Όταν ο ηλεκτρομαγνήτης διαρρέεται από ρεύμα,η τιμή του οποίου καθορίζει και το πόσο ισχυρός είναι,έλκει το σώμα και προκαλεί φαινομενική αύξηση του βάρους του άρα και της επιτάχυνσης της βαρύτητας.
Όταν μετρήσουμε την περίοδο του εκκρεμούς,πρώτα χωρίς την επίδραση του ηλεκτρομαγνήτη και ύστερα με τη επίδραση του ηλεκτρομαγνήτη από κάτω,θα διαπιστώσουμε ότι στη δεύτερη περίπτωση η περίοδος είναι μικρότερη.
Επομένως:
Η περίοδος του εκκρεμούς μικραίνει,όταν αυξάνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g.
ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ
Από τους τέσσερις αυτούς νόμους του απλού εκκρεμούς,δηλαδή τα συμπεράσματα που βγάλαμε από τα πειράματα,και από άλλα,μεγαλύτερης ακρίβειας, πειράματα συμπεραίνουμε ότι η περίοδος απλού εκκρεμούς:
α) είναι ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα του μήκους του και
β) αντίστροφα ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα της επιτάχυνσης της βαρύτητας.
Στην αρχή ο άνθρωπος μετρούσε το χρόνο με τη φαινομενική κίνηση του ήλιου,της σελήνης,των πλανητών και των άστρων.Υπήρχαν ηλιακά ρολόγια,ρολόγια νερού και κεριά σημαδεμένα έτσι,ώστε να λιώνουν ανάλογα με τα λεπτά του χρόνου.
.gif) |
| Το Ηλιακό ρολόι είναι μία συσκευή που μετρά το χρόνο από την σκιά που ρίχνει ο ήλιος πάνω σε ένα αντικείμενο.Τα ηλιακά ρολόγια είναι ο αρχαιότερος τύπος ρολογιών.Επινοήθηκαν από τους Χαλδαίους περί το 2000 π.Χ. και από αυτούς διαδόθηκαν σε όλους τους λαούς του αρχαίου κόσμου |
.gif) |
| Πρώτος που μελέτησε την αιώρηση του εκκρεμούς ήταν ο Γαλιλαίος |
.gif) |
| To εκκρεμές ρολόι που σχεδιάστηκε από Galileo Galilei γύρω στο 1637 |
 |
| To εκκρεμές ρολόι του Galileo Galilei |
.gif) |
| Το ρολόι εκκρεμές από τον Christiaan Huygens το 1673 |
.gif) |
| Το πρωτότυπο εκκρεμές του Kater το 1818 |
.gif) |
| Το εκκρεμές του Φουκώ |
Το εκκρεμές του Φουκώ είναι εκκρεμές με δυνατότητα ελεύθερης εκτέλεσης ταλαντώσεων.Η ελεύθερη μεταβολή του επιπέδου κίνησης του εκκρεμούς αποδεικνύει την κίνηση της γης.
.gif) |
| Η κίνηση του εκκρεμούς του Φουκώ όπως φαίνεται από σταθερό σημείο έξω από τη Γη |
Την ονομασία του την πήρε από τον Γάλλο φυσικό Ζαν Μπερνάρ Λεόν Φουκώ που το πρωτοπαρουσίασε στο Παρίσι.Στους περισσότερους έγινε γνωστό από το ομώνυμο μυθιστόρημα του Ουμπέρτο Έκο.
.gif) |
| Το πείραμα αυτό το παρουσίασε για πρώτη φορά το Φεβρουάριο του 1851,στη Μεσημβρινή Αίθουσα του Αστεροσκοπείου του Παρισιού ο Φουκώ |
Το πείραμα αυτό το παρουσίασε για πρώτη φορά το Φεβρουάριο του 1851,στη Μεσημβρινή Αίθουσα του Αστεροσκοπείου του Παρισιού ο Φουκώ.Το πείραμα επαναλήφθηκε μετά από μερικές εβδομάδες στο Πάνθεον του Παρισιού.Το 1851 ήταν πλέον αρκετά γνωστό ότι η γη κινείται,όμως το εκκρεμές του Φουκώ ήταν η πρώτη δυναμική απόδειξη.
ΦΥΣΙΚΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ
Το στερεό σώμα,μία μεταλλική πλάκα,που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα,μπορεί να στρέφεται γύρω από τον οριζόντιο άξονα,που δεν περνάει από το κέντρο βάρους του,και να ταλαντώνεται περί τη θέση ισορροπίας του.
.gif) |
| Φυσικό εκκρεμές |
.gif) |
| Το κινητό στέλεχος του μετρονόμου είναι ένα φυσικό εκκρεμές |
H ροπή τw του Βάρους του ισούται:
τw=-m·g·L·ημθ
Η περίοδος ταλάντωσης Τ του ισούται με:
Τ=2π√Ι/m·g·L
όπου:
Ι η ροπή αδράνειας του σώματος,και
L η απόσταση του κέντρου μάζας του από τον σταθερό άξονα.
ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ
Το απλό εκκρεμές είναι μια ιδανική διάταξη που αποτελείται από ένα σώμα Σ μάζας m κρεμασμένο στο ένα άκρο αβαρούς νήματος μήκους l το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σ' ένα σταθερό σημείο.
.gif) |
| Το απλό εκκρεμές είναι μια ιδανική διάταξη που αποτελείται από ένα σώμα Σ μάζας m κρεμασμένο στο ένα άκρο αβαρούς νήματος μήκους l το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σ' ένα σταθερό σημείο |
 |
| Το απλό εκκρεμές αποτελείται από ένα σώμα κρεμασμένο από αβαρές νήμα που το άλλο άλλο άκρο του είναι στερεωμένο σ' ένα σταθερό σημείο |
ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ
.gif) |
| Η απόσταση του σταθερού σημείου από το κέντρο της σφαίρας ονομάζεται μήκος l του απλού εκκρεμούς |
.gif) |
| Η γωνία θ,κατά την οποία απομακρύνουμε το εκκρεμές από την θέση ισορροπίας του,ονομάζεται πλάτος του απλού εκκρεμούς |
.gif) |
| Η κίνηση του εκκρεμούς από το σημείο Β στο σημείο Β' και η επιστροφή του από το Β' στο Β ονομάζεται μια ταλάντωση |
ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ
Αρχικά το σώμα ηρεμεί στη θέση ισορροπίας του Ο.
.gif) |
| Αρχικά το σώμα ηρεμεί στη θέση ισορροπίας του |
.gif) |
| Αν το σώμα απομακρυνθεί από τη θέση ισορροπίας,εκτελεί ταλάντωση ανάμεσα στις δύο ακραίες θέσεις |
.gif) |
| Η χρονοφωτογραφία δείχνει τις διαδοχικές θέσεις του απλού εκκρεμούς όταν ταλαντώνεται ελεύθερα |
.gif) |
| Η δύναμη επαναφοράς είναι το βάρος του σώματος |
 |
| Σε κάθε θέση η x-συνιστώσα του βάρους τράβα το σώμα προς τη θέση ισορροπίας με αποτέλεσμα το σώμα εκτελεί ταλάντωση |
.gif) |
| Μετατροπή της δυναμικής ενέργειας σε κινητική και αντίστροφα σε ένα εκκρεμές |
.gif) |
| Η κίνηση ενός εκκρεμούς που δείχνει την φορά της ταχύτητας και την επιτάχυνσης |
.gif) |
| Στην πραγματικότητα απλό εκκρεμές δεν υπάρχει στη φύση |
α) ένα κεράσι που κινείται κρεμασμένο από το κοτσάνι του,
β) ένα στρογγυλό σώμα που πηγαινοέρχεται κρεμασμένο με αλυσίδα σ' ένα ρολόϊ τοίχου,
γ) ένας ακροβάτης που εκτελεί το ακροβατικό του σ' ένα τσίρκο,
δ) ένας σάκκος που χρησιμοποιείται από έναν παλαιστή για την προπόνηση,
ε) ένα παιδί που «κάνει» κούνια σε μια παιδική χαρά,
στ) ένας πίθηκος που χρησιμοποιεί ένα χορτόσκοινο για να περάσει από ένα δέντρο στο διπλανό του.
ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ
Για να βρούμε την περίοδο Τ του απλού εκκρεμούς,αρκεί με ένα χρονόμετρο να μετρήσουμε τη χρονική διάρκεια πολλών ταλαντώσεων και μετά να κάνουμε διαίρεση.
.gif) |
| Για να βρούμε την περίοδο Τ του απλού εκκρεμούς,αρκεί με ένα χρονόμετρο να μετρήσουμε τη χρονική διάρκεια πολλών ταλαντώσεων και μετά να κάνουμε διαίρεση |
Τ=40 s/20=2 s
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ
Για ν' αποδείξουμε,τώρα,ότι η ταλάντωση ενός απλού εκκρεμούς είναι γραμμική αρμονική ταλάντωση θεωρούμε το σώμα σε μια τυχαία θέση Γ της τροχιάς του,όπου η απομάκρυνσή του είναι x και το νήμα σχηματίζει γωνία φ με την κατακόρυφη.Λόγω της μικρής γωνίας η απομάκρυνση x ταυτίζεται με το τόξο ΓΟ.
.gif) |
| Οι δυνάμεις βάρος και τάση του νήματος υποχρεώνουν το σώμα να εκτελέσει γραμμική αρμονική ταλάντωση |
α) την τάση Τ του νήματος και
β) το βάρος του Β.
.gif) |
| Η ανάλυση της κίνησης του εκκρεμούς |
α) την ΒΠ πάνω στη διεύθυνση του νήματος και
β) την Βκ κάθετα μ' αυτήν.
.gif) |
| Η κίνηση του απλού εκκρεμούς είναι γραμμική αρμονική ταλάντωση |
α) έχει φορά προς τη Θ.Ι.
β) μέτρο Fολ=Β·ημφ ή επειδή Β=m·g και ημφ=x/l:
Fολ=m·g·x/l
Συνεπώς ικανοποιούνται οι απαραίτητες προϋποθέσεις.
Άρα η κίνηση του σώματος είναι γραμμική αρμονική ταλάντωση.
β) μέτρο Fολ=Β·ημφ ή επειδή Β=m·g και ημφ=x/l:
Fολ=m·g·x/l
Συνεπώς ικανοποιούνται οι απαραίτητες προϋποθέσεις.
Άρα η κίνηση του σώματος είναι γραμμική αρμονική ταλάντωση.
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ
Για να βρούμε από τι εξαρτάται η περίοδος ενός απλού εκκρεμούς πραγματοποιούμε τα παρακάτω πειράματα:
ΠΕΙΡΑΜΑ ΠΡΩΤΟ
Αλλάζουμε το πλάτος,άρα και τη γωνία μέγιστης απόκλισης φ,και διαπιστώνουμε ότι η περίοδος δεν αλλάζει.
.gif) |
| Πειραματικές μετρήσεις για διάφορες γωνίες |
.gif) |
| Η περίοδος του απλού εκκρεμούς είναι ανεξάρτητη από το πλάτος του,όταν αυτό παίρνει μικρές τιμές |
Η περίοδος του απλού εκκρεμούς είναι ανεξάρτητη από το πλάτος του,όταν αυτό παίρνει μικρές τιμές.
ΠΕΙΡΑΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ
Αλλάζουμε το υλικό κατασκευής του σώματος,άρα και την πυκνότητα.Διαπιστώνουμε ότι η περίοδος δεν αλλάζει.Επίσης αλλάζουμε τη μάζα του σώματος και διαπιστώνουμε ότι η περίοδος δεν αλλάζει.
.gif) |
| Αλλάζουμε το υλικό κατασκευής του σώματος διαπιστώνουμε ότι η περίοδος δεν αλλάζει |
.gif) |
| Η περίοδος του απλού εκκρεμούς είναι ανεξάρτητη από το υλικό και τη μάζα της σφαίρας του,όταν το μήκος του παραμένει σταθερό |
Η περίοδος του απλού εκκρεμούς είναι ανεξάρτητη από το υλικό και τη μάζα της σφαίρας του,όταν το μήκος του παραμένει σταθερό.
ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΡΙΤΟ
Αλλάζουμε το μήκος του εκκρεμούς και διαπιστώνουμε ότι η περίοδος αλλάζει και μάλιστα όταν το μήκος μεγαλώνει,μεγαλώνει και η περίοδος ενώ όταν το μήκος μικραίνει η περίοδος μικραίνει επίσης.
.gif) |
| Μετράμε την περίοδο τριών εκκρεμών με διαφορετικό μήκος |
ℓ (m)
| |
0,65
|
0,1
|
1,30
|
0,4
|
1,95
|
0,9
|
Τιμές περιόδου-μήκους που βρέθηκαν πειραματικά
Στο πίνακα αυτό των τιμών παρατηρούμε τα εξής.Όταν το μήκος l του εκκρεμούς τετραπλασιάζεται (40 cm=4 10 cm),η περίοδος του Τ διπλασιάζεται (1,30 s=2 65 s).Όταν το μήκος l του εκκρεμούς εννεαπλασιάζεται (90 cm=9 10 cm),η περίοδος του Τ τριπλασιάζεται (1,95 s=3 65 s).
Στο πίνακα αυτό των τιμών παρατηρούμε τα εξής.Όταν το μήκος l του εκκρεμούς τετραπλασιάζεται (40 cm=4 10 cm),η περίοδος του Τ διπλασιάζεται (1,30 s=2 65 s).Όταν το μήκος l του εκκρεμούς εννεαπλασιάζεται (90 cm=9 10 cm),η περίοδος του Τ τριπλασιάζεται (1,95 s=3 65 s).
.gif) |
| Όταν ένα εκκρεμές έχει μεγάλο μήκος έχει μεγαλύτερη περίοδο από άλλο εκκρεμές με μικρότερο μήκος |
.gif) |
| Η περίοδος του απλού εκκρεμούς,σε έναν ορισμένο τόπο,είναι ανάλογη προς τη τετραγωνική ρίζα του μήκους της |
ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ
Αν μετρήσουμε την περίοδο ενός εκκρεμούς στον ισημερινό της Γης (g=9,78 m/s2),θα βρούμε ότι είναι π.χ. περίπου Τ=1,1905 s.Αν ξαναμετρήσουμε την περίοδο του ίδιου εκκρεμούς στην Αθήνα (g=9,80 m/s2),θα βρούμε ότι είναι περίπου Τ=1,1905 s και αν επαναλάβουμε τη μέτρηση στον πόλο της Γης (g=9,83 m/s2),θα βρούμε περίπου Τ=1,1900 s.Από τις μετρήσεις αυτές παρατηρούμε ότι η περίοδος ενός απλού εκκρεμούς,μικραίνει,όταν αυξάνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g.
 |
| Μετράμε την περίοδο ενός εκκρεμούς στον πόλο της Γης |
Η περίοδος του απλού εκκρεμούς είναι αντιστρόφως ανάλογη προς την τετραγωνική ρίζα της επιτάχυνσης της βαρύτητας g,όταν το μήκος του παραμένει σταθερό.
.gif) |
| Η περίοδος του απλού εκκρεμούς είναι αντιστρόφως ανάλογη προς την τετραγωνική ρίζα της επιτάχυνσης της βαρύτητας g,όταν το μήκος του παραμένει σταθερό |
.jpg) |
| Η περίοδος ενός απλού εκκρεμούς,μικραίνει,όταν αυξάνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g |
Τοποθετούμε κάτω από το εκκρεμές,το σφαιρίδιο του οποίου έχουμε φροντίσει να είναι από σίδηρο,ένα ηλεκτρομαγνήτη.
.gif) |
| Ο ηλεκτρομαγνήτης αυξάνει φαινομενικά το βάρος του σφαιριδίου |
.gif) |
| Η περίοδος του εκκρεμούς μικραίνει,όταν αυξάνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g |
Επομένως:
Η περίοδος του εκκρεμούς μικραίνει,όταν αυξάνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g.
ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ
Από τους τέσσερις αυτούς νόμους του απλού εκκρεμούς,δηλαδή τα συμπεράσματα που βγάλαμε από τα πειράματα,και από άλλα,μεγαλύτερης ακρίβειας, πειράματα συμπεραίνουμε ότι η περίοδος απλού εκκρεμούς:
α) είναι ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα του μήκους του και
β) αντίστροφα ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα της επιτάχυνσης της βαρύτητας.
.gif) |
Από τους τέσσερις αυτούς νόμους του απλού εκκρεμούς συμπεραίνουμε ότι η περίοδος απλού εκκρεμούς είναι ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα του μήκους του και αντίστροφα ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα της επιτάχυνσης της βαρύτητας
Η γενική σχέση της περιόδου είναι: Τ=2·π√m/D
D=m·g/l
Για να βρούμε,τώρα,τη μαθηματική έκφραση της περιόδου αντικαθιστούμε στη γενική σχέση της περιόδου την τιμή που προκύπτει για τη σταθερά επαναφοράς και βρίσκουμε: Τ=2·π√l/g |
Από την τελευταία σχέση μπορούν να προκύψουν και θεωρητικά τα ίδια συμπεράσματα μ' αυτά που πειραματικά προέκυψαν.
ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
Για να μετράμε το χρόνο χρησιμοποιούμε τα ρολόγια,που περιέχουν ένα κατάλληλο σύστημα,ικανό να εκτελεί αμείωτες ταλαντώσεις με σταθερή και γνωστή περίοδο.Η μέτρηση του χρόνου στηρίζεται στο γεγονός ότι οι αιωρήσεις μικρού πλάτους είναι ισόχρονες.
Σε πολλά ρολόγια τοίχου,το ταλαντούμενο σύστημα είναι ένα φυσικό εκκρεμές,ενώ στα ρολόγια χεριού ή τσέπης είναι ένας αιωρητής.
Εκτός από αυτά τα ρολόγια υπάρχουν σήμερα και τα ηλεκτρονικά ρολόγια από χαλαζία που μετρούν το χρόνο με μεγάλη ακρίβεια,γιατί έχουν και σταθερή περίοδο,περίπου ίση με 1/60.000 s.
ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
Για να μετράμε το χρόνο χρησιμοποιούμε τα ρολόγια,που περιέχουν ένα κατάλληλο σύστημα,ικανό να εκτελεί αμείωτες ταλαντώσεις με σταθερή και γνωστή περίοδο.Η μέτρηση του χρόνου στηρίζεται στο γεγονός ότι οι αιωρήσεις μικρού πλάτους είναι ισόχρονες.
.gif) |
| Σε πολλά ρολόγια τοίχου,το ταλαντούμενο σύστημα είναι ένα φυσικό εκκρεμές |
.gif) |
Ανδρικό Ρολόι Χειρός από Χαλαζία |
.gif) |
| Πρωτότυπο ρολόι χειρός από χαλαζία,CEH Ελβετία,1967 |
Το 1969 κατασκευάστηκε το πρώτο εμπορικό ρολόι μπαταρίας με χαλαζία που χρησιμοποιούσε επίσης ένα μικροσκοπικό ολοκληρωμένο κύκλωμα (ΙC) για να μεταδώσει κίνηση στους δείκτες.
.gif) |
| Σήμερα πολλά ρολόγια με χαλαζία έχουν ψηφιακή ένδειξη |
Σήμερα είναι πολύ δημοφιλής για την χρησιμοποίησή του σε ρολόγια τα οποία φέρουν και το λογότυπο Quartz.Τώρα πολλά ρολόγια με χαλαζία έχουν ψηφιακή ένδειξη και δεν χρησιμοποιούν καθόλου κινητά μέρη.
