ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ

ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ

ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

 Ασκούμε μια δύναμη σε ένα σώμα που έχει τη  δυνατότητα να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα.Τότε το σώμα περιστρέφεται εκτός αν ο φορέας της δύναμης περνάει από τον άξονα περιστροφής.Από την καθημερινότητα μας γνωρίζουμε ότι η περιστροφή που προκαλεί μια δύναμη εξαρτάται όχι μόνο από την κατεύθυνση και το μέγεθος της δύναμης αλλά και από το σημείο στο οποίο ασκείται η δύναμη.
 Στην πόρτα του παρακάτω σχήματος ασκούμε δύναμη F ίδιου μέτρου.Θέλουμε να διαπιστώσουμε σε ποια περίπτωση θα κλείσει ευκολότερα η πόρτα και σε ποιο σημείο της και με ποια διεύθυνση πρέπει να ασκήσουμε δύναμη.

Η ίδια δύναμη περιστρέφει την πόρτα πιο εύκολα όταν ασκείται μακριά από τον άξονα περιστροφής.Η F' που ο φορέας της διέρχεται από τον άξονα δε μπορεί να περιστρέψει το σώμα

 Από την εμπειρία μας για να κλείσουμε μια πόρτα τη σπρώχνουμε κοντά στο πόμολο και όχι κοντά στον άξονα περιστροφής της,γιατί ακόμα και μικρή δύναμη μπορεί να προκαλέσει στροφή της πόρτας όταν εφαρμόζεται μακριά από τον άξονα περιστροφής.

Ασκώντας τη δύναμη στο σημείο Β,η πόρτα θα περιστραφεί ευκολότερα σε σχέση με το σημείο Α.Ασκώντας τη δύναμη στο σημείο Γ η πόρτα δε θα περιστραφεί

 Πρακτικά φαίνεται ότι ασκώντας τη δύναμη στο σημείο Β,η πόρτα θα περιστραφεί ευκολότερα σε σχέση με το σημείο Α.Ασκώντας τη δύναμη στο σημείο Γ,με τον τρόπο που φαίνεται στο σχήμα,η πόρτα δε θα περιστραφεί.

 Από το παράδειγμα αυτό μπορούμε να συμπεραίνουμε ότι η δύναμη δεν είναι το κατάλληλο φυσικό μέγεθος για να μελετήσουμε φαινόμενα στροφικής κίνησης ενός στερεού.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ

 Κατάλληλο φυσικό μέγεθος για να περιγράψει τις μεταβολές στη στροφική κίνηση ενός στερεού,δηλαδή να του προσδώσει γωνιακή επιτάχυνση,είναι η ροπή δύναμης τ.

Ροπή τ της δύναμης ονομάζεται το μέγεθος το οποίο περιγράφει την ικανότητα μιας δύναμης να στρέφει ένα σώμα

 Ροπή τ της δύναμης ονομάζεται το μέγεθος το οποίο περιγράφει την ικανότητα μιας δύναμης να στρέφει ένα σώμα. 
 Η ροπή δύναμης μπορεί να ορισθεί είτε για στερεό που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα,είτε για ελεύθερο στερεό (χωρίς σταθερό άξονα περιστροφής).

ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

 Θεωρούμε ένα σώμα,το οποίο  έχει  τη  δυνατότητα  να στρέφεται  γύρω από τον άξονα z΄z.
 Στο σώμα ασκείται  δύναμη F,η οποία βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής και ο φορέας της απέχει από τον άξονα περιστροφής l (μοχλοβραχίονας).

ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΑ

 Ροπή τ της δύναμης F,ως προς τον άξονα περιστροφής zz',ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος ,το οποίο έχει:
α) Διεύθυνση τη διεύθυνση του άξονα περιστροφής.
β) Φορά τη φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού.
γ) Μέτρο ίσο με  το  γινόμενο του μέτρου  της δύναμης F επί  την κάθετη απόσταση l  της δύναμης από τον άξονα περιστροφής  (μοχλοβραχίονας).

                                                                        τ=F∙l

όπου:
τ το μέτρο της ροπής δύναμης σε Νm. 
F το μέτρο της δύναμης σε Ν.
l η κάθετη απόσταση (μοχλοβραχίονας) της δύναμης από τον άξονα περιστροφής σε m.

Ροπή τ της δύναμης F,ως προς  τον άξονα περιστροφής zz',ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος,το οποίο έχει διεύθυνση τη διεύθυνση του άξονα περιστροφής,φορά τη φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού και μέτρο ίσο με  το  γινόμενο του μέτρου της δύναμης F επί  την κάθετη απόσταση l  της δύναμης από τον άξονα περιστροφής  (μοχλοβραχίονας )

 Για να προσδιορίσουμε τη φορά της ροπής κλείνουμε τα τέσσερα δάκτυλα του δεξιού χεριού γύρω από τον άξονα περιστροφής,έτσι ώστε να δείχνουν τη φορά κατά την οποία η δύναμη τείνει να περιστρέψει το σώμα.Ο τεντωμένος αντίχειρας δείχνει τότε τη φορά του διανύσματος της ροπής.

Η φορά της ροπής της δύναμης F βρίσκεται με τον κανόνα του δεξιού χεριού

  Στο Διεθνές σύστημα SI η μονάδα μέτρησης της ροπής στο SI είναι  το 1 Ν∙m.
 Πρέπει να σημειωθεί ότι Ν∙m≠Joule
 Αν η  δύναμη F δε βρίσκεται σε  επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής,τότε την αναλύουμε σε δύο συνιστώσες,τη συνιστώσα Fx πάνω σε επίπεδο κάθετο στον άξονα και τη συνιστώσα Fz παράλληλη προς τον άξονα.

Η ροπή της δύναμης F έχει μέτρο Fx∙l

 Η ροπή της δύναμης είναι ίση με τη ροπή που  δημιουργεί η συνιστώσα της που βρίσκεται πάνω στο κάθετο επίπεδο,δηλαδή έχει μέτρο:

                                                                             τ=Fx∙l                             ή

                                                                             τ=F∙l∙συνφ

  Η ροπή μιας δύναμης ως προς άξονα είναι ίση με μηδέν:
α) Όταν η δύναμη ασκείται στον άξονα,
β) Όταν ο φορέας της δύναμης τέμνει τον άξονα και
γ) Όταν ο φορέας της δύναμης είναι παράλληλος προς τον άξονα.

Η ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΤΙΜΗ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ

 Θα μελετήσουμε μόνο περιπτώσεις,στις οποίες όλες οι  δυνάμεις που ασκούνται σ' ένα σώμα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο,το οποίο είναι κάθετο στον άξονα περιστροφής του σώματος.
 Σε  τέτοια προβλήματα, για  να περιγράψουμε  την τάση μιας  δύναμης να περιστρέψει ένα σώμα προς τη μια ή  την άλλη φορά,χρησιμοποιούμε την αλγεβρική τιμή της ροπής.

Για  να περιγράψουμε  την τάση μιας  δύναμης να περιστρέψει ένα σώμα προς τη μια ή  την άλλη φορά,χρησιμοποιούμε την αλγεβρική τιμή της ροπής

 Κατά σύμβαση θεωρούμε θετική τη ροπή της δύναμης που τείνει  να περιστρέψει το σώμα αντίθετα από τη φορά των δεικτών του  ρολογιού και αρνητική τη ροπή της  δύναμης που τείνει  να το περιστρέψει κατά τη φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού.

Η ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ ΠΟΥ ΔΕΧΕΤΑΙ ΤΟ ΣΩΜΑ

 Η συνολική ροπή που δέχεται ένα σώμα στο οποίο ασκούνται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις,είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων ως προς τον άξονα περιστροφής του σώματος.

                                                                        τ=τ1+τ2+τ3+.........

 Για παράδειγμα θέλουμε να υπολογίσουμε την συνολική ροπή που δέχεται το σώμα του παρακάτω σχήματος.Στο σώμα δρουν οι δυνάμεις F₁ και F₂.

Η συνολική ροπή που δέχεται ένα σώμα στο οποίο ασκούνται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις,είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων ως προς τον άξονα περιστροφής του σώματος

 Το σώμα έχει τη δυνατότητα να στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο και είναι κάθετος στο επίπεδο της σελίδας.

Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμειςF₁ και F₂.Η φορά περιστροφής του σώματος καθορίζεται από το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών

 Η συνολική ροπή που δέχεται το σώμα είναι:

                                                                            τ=τ1+τ2=F1∙l1+ F2∙l2

ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

 Ασκούμε δύναμη  σ' ένα σώμα ελεύθερο να κινηθεί που ο φορέας της διέρχεται από το κέντρο μάζας του.Τότε το σώμα δεν περιστρέφεται και θα εκτελέσει μόνο μεταφορική κίνηση.Αν όμως ο φορέας της  δύναμης δε διέρχεται από το κέντρο μάζας του, το σώμα θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση μια μεταφορική και μια περιστροφική  γύρω από ένα  νοητό άξονα (ελεύθερος άξονας) που διέρχεται από το κέντρο μάζας  του σώματος και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζεται από τη δύναμη και  το κέντρο μάζας  του σώματος.

Ασκούμε δύναμη  σ' ένα σώμα ελεύθερο να κινηθεί που ο φορέας της διέρχεται από το κέντρο μάζας του

 Μπορούμε  να διαπιστώσουμε τα παραπάνω με ένα μολύβι που βρίσκεται πάνω σε ένα τραπέζι.Ωθούμε το μολύβι στο κέντρο μάζας του.Τότε το μολύβι κάνει μόνο μεταφορική κίνηση.Αν όμως ασκήσουμε δύναμη στη μια του άκρη (ο φορέας της δεν πρέπει να διέρχεται από το κέντρο μάζας του) τότε το μολύβι στρέφεται γύρω από έναν νοητό άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και ταυτόχρονα μετακινείται.Η μεταφορική κίνηση μπορεί να μην είναι εμφανής αν η τριβή ανάμεσα στο μολύβι και το τραπέζι είναι σημαντική.

ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

 Στις περιπτώσεις που δεν υπάρχει σταθερός άξονας περιστροφής χρησιμοποιείται η έννοια  της ροπής  της  δύναμης ως προς σημείο.
 Ροπή τ δύναμης F ως προς σημείο Ο ονομάζεται  το διανυσματικό μέγεθος,το οποίο έχει:
α) Διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζεται από το φορέα της δύναμης και το σημείο Ο.
β) Φορά τη φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού.
γ) Μέτρο ίσο με  το  γινόμενο του μέτρου  της δύναμης F επί  την κάθε τη  απόσταση l  του σημείου Ο από το φορέα της δύναμης.

                                                                          τ=F∙l

όπου:
τ το μέτρο της ροπής δύναμης σε Ν∙m. 
F το μέτρο της δύναμης σε Ν.
l η απόσταση του φορέα της δύναμης από το σημείο Ο σε m.

Ροπή τ δύναμης F ως προς σημείο Ο ονομάζεται  το διανυσματικό μέγεθος,το οποίο έχει διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζεται από το φορέα της δύναμης και το σημείο Ο,φορά τη φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού και μέτρο ίσο με  το γινόμενο του μέτρου  της δύναμης F επί  την κάθε τη  απόσταση l  του σημείου Ο από το φορέα της δύναμης

   Η ροπή δύναμης ως προς σημείο είναι ίση με μηδέν:
α) Όταν η δύναμη ασκείται στο σημείο αυτό,
β) όταν ο φορέας της δύναμης διέρχεται από το σημείο αυτό και το στερεό δε στρέφεται.
 Πράγματι στις δύο αυτές περιπτώσεις είναι l=0 και σύμφωνα με την σχέση τ=F∙l είναι τ=0.

Προσδιορισμός της φοράς της ροπής δύναμης ως προς σημείο με τον κανόνα του δεξιού χεριού

  Αν σ' ένα ελεύθερο στερεό ασκηθεί δύναμη που ο φορέας της δε διέρχεται από το κέντρο μάζας του,το στερεό θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση,μεταφορική και στροφική γύρω από έναν νοητό (ελεύθερο) άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του στερεού και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζεται από τη δύναμη και το κέντρο μάζας του στερεού.
 Αν ένα στερεό είναι ελεύθερο,η δύναμη του βάρους δε μπορεί να το περιστρέψει,διότι ο φορέας της περνά από το κέντρο μάζας του στερεού και η ροπή βάρους είναι μηδέν (η δύναμη ασκείται στο κέντρο μάζας).

ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ

 Θέλουμε να υπολογίσουμε τη συνολική ροπή όταν σε ένα στερεό ασκούνται πολλές δυνάμεις.Η αλγεβρική τιμή της συνολικής ροπής που δέχεται ένα στερεό ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των επιμέρους ροπών:

                                                                          τ=τ1+τ2+τ3+.........

 Για παράδειγμα θέλουμε να υπολογίσουμε την συνολική ροπή που δέχεται το στερεό του παρακάτω σχήματος.Στο σώμα δρουν οι δυνάμεις F₁ και F₂.

Η αλγεβρική τιμή της συνολικής ροπής που δέχεται ένα στερεό ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των επιμέρους ροπών

 Οι αλγεβρικές τιμές των αντίστοιχων ροπών είναι:

τ1=-F1∙x1

τ2=+F2∙x2

 Η αλγεβρική τιμή της συνολικής ροπής είναι:

τ=τ1+τ2=-F1∙x1+F2∙x2

ΡΟΠΗ ΖΕΥΓΟΥΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

 Ζεύγος δυνάμεων ονομάζεται ένα σύστημα δύο σωμάτων F1 και F2,οι οποίες ασκούνται σε δύο διαφορετικά σημεία ενός σώματος,είναι αντίρροπες και έχουν ίσα μέτρα.

Ζεύγος δυνάμεων ονομάζεται ένα σύστημα δύο σωμάτων F1 και F2,οι οποίες ασκούνται σε δύο διαφορετικά σημεία ενός σώματος,είναι αντίρροπες και έχουν ίσα μέτρα

  Δύο δυνάμεις αποτελούν ζεύγος δυνάμεων,όταν:

α) Ασκούνται σε δύο διαφορετικά σημεία ενός σώματος,

β) Είναι παράλληλες μεταξύ τους,

γ) Έχουν αντίθετη φορά και 

δ) Έχουν ίσα μέτρα.

 Παράδειγμα ζεύγους δυνάμεων είναι οι δυνάμεις F1 και F2 του παρακάτω σχήματος.

Οι δυνάμεις F1 και F2 αποτελούν ζεύγος.Η ροπή τους είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου τους

 Το επίπεδο που ορίζεται από τις δύο δυνάμεις ονομάζεται επίπεδο του ζεύγους.
 Η απόσταση d  των δύο φορέων των δύο δυνάμεων ονομάζεται βραχίονας του ζεύγους.
 Η αλγεβρική τιμή  της ροπής του  ζεύγους ως  προς κάποιο σημείο Α του επιπέδου του,που απέχει απόσταση x1 από τη δύναμη F1 και x2 από την F2, είναι: 

τ=F1∙x1+F2∙x2

 Επειδή είναι F1=F2  έχουμε:

τ=F1∙x1+F1∙x2

τ=F1∙(x1+x2)

τ=F1∙d

επομένως: 

                                                               τ=F1∙d

  Το ίδιο αποτέλεσμα θα είχαμε και ως προς οποιοδήποτε άλλο σημείο. 

Η αλγεβρική τιμή της ροπής του ζεύγους ως προς κάποιο σημείο Α του επιπέδου του,που απέχει απόσταση x1 από τη δύναμη F1 και x2 από την F2,είναι τ=F1∙d

 Ροπή τ ενός ζεύγους δυνάμεων F1 και F2 ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος,το οποίο έχει:
α) Διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο των δύο δυνάμεων,
β) Φορά τη φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού.
γ) Μέτρο ίσο με  το  γινόμενο του μέτρου  της δύναμης F1 της μιας από τις δύο δυνάμεις επί τον βραχίονα d του ζεύγους.

                                                                   τ=F1∙d

ΤΡΟΠΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ

  Η ροπή μιας δύναμης μπορεί να υπολογιστεί με δύο τρόπους:
α) με χρήση του μοχλοβραχίονα:

Η ροπή μιας δύναμης μπορεί να υπολογιστεί με χρήση του μοχλοβραχίονα

  Σε αυτή την περίπτωση:

                                                               τ=F∙r

β) με ανάλυση της δύναμης σε συνιστώσες:

Η ροπή μιας δύναμης μπορεί να υπολογιστεί με ανάλυση της δύναμης σε συνιστώσες

  Σε αυτή την περίπτωση:

                                                                    τ=Fx∙d

  Οι δύο περιπτώσεις είναι ισοδύναμες:

 τ=Fx∙d=F∙συνφ∙d=F∙(r/d)∙d=F∙r

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

α) Το μέτρο της συνισταμένης των δύο δυνάμεων του ζεύγους είναι ίσο με μηδέν.Αυτό σημαίνει ότι ένα ζεύγος δυνάμεων δεν μπορεί να μετακινήσει ένα σώμα,αλλά μόνο να το περιστρέψει.

Το μέτρο της συνισταμένης των δύο δυνάμεων του ζεύγους είναι ίσο με μηδέν

 Η περιστροφή θα πραγματοποιηθεί γύρω από τον άξονα περιστροφής του σώματος,αν υπάρχει τέτοιος άξονας,ή γύρω από νοητό άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και είναι κάθετος στο επίπεδο του ζεύγους,αν το σώμα είναι ελεύθερο να κινηθεί

β) Η σχέση τ=F1∙d,που αποδείξαμε για το σημείο Α,ισχύει και για οποιοδήποτε άλλο σημείο.

Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου τους και ως προς οποιονδήποτε άξονα περιστροφής κάθετο στο επίπεδο ζεύγους

 Δηλαδή:

 Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου τους και ως προς οποιονδήποτε άξονα περιστροφής κάθετο στο επίπεδο ζεύγους.

γ) Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ένα ελεύθερο διάνυσμα και μπορεί να σχεδιαστεί σε οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου του ζεύγους.

Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ένα ελεύθερο διάνυσμα και μπορεί να σχεδιαστεί σε οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου του ζεύγους

 Αν,όμως,το σώμα στο οποίο ασκείται το ζεύγος έχει τη δυνατότητα να στρέφεται γύρω από έναν άξονα περιστροφής zz',κάθετο στο επίπεδο του ζεύγους,τότε η ροπή του ζεύγους έχει ως φορέα τον άξονα περιστροφής.