ΕΙΔΩΛΑ ΣΕ ΚΟΙΛΟΥΣ ΚΑΙ ΚΥΡΤΟΥΣ ΚΑΘΡΕΦΤΕΣ

ΕΙΔΩΛΑ ΣΕ ΚΟΙΛΟΥΣ ΚΑΙ ΚΥΡΤΟΥΣ ΚΑΘΡΕΦΤΕΣ

ΕΙΔΩΛΑ ΣΕ ΚΟΙΛΟΥΣ ΚΑΙ ΚΥΡΤΟΥΣ ΚΑΘΡΕΦΤΕΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

 Πώς σχηματίζεται το είδωλο ενός αντικειμένου πάνω σ’ ένα σφαιρικό καθρέφτη;

Ανάκλαση χαρακτηριστικών ακτίνων
α) κοίλο και
β) κυρτό κάτοπτρο

 Γνωρίζοντας πώς ανακλώνται οι ακτίνες σε ένα κοίλο ή κυρτό καθρέφτη μπορούμε να σχεδιάσουμε και να βρούμε τη θέση του ειδώλου κάθε σημείου ενός αντικειμένου σε ένα κοίλο ή κυρτό σφαιρικό καθρέφτη,εφαρμόζοντας τρεις απλούς κανόνες:

α) Ακτίνα παράλληλη προς το κύριο άξονα του καθρέφτη,μετά την ανάκλασή της,αυτή ή η προέκτασή της διέρχεται από την κύρια εστία του Ε.

β) Αντίστροφα η ακτίνα που διέρχεται από την εστία, μετά την ανάκλασή της, γίνεται παράλληλη προς τον κύριο άξονα.

 Η τομή των δύο ανακλώμενων ακτίνων που προέρχονται από το ίδιο σημείο προσδιορίζει και το είδωλο του σημείου.

γ) Το είδωλο ενός σημείου που βρίσκεται πάνω στον κύριο άξονα βρίσκεται επίσης στον κύριο άξονα.Το είδωλο ενός αντικειμένου που είναι κάθετο στον κύριο άξονα είναι και αυτό κάθετο στον κύριο άξονα.

ΕΙΔΩΛΑ ΣΕ ΚΟΙΛΟΥΣ ΚΑΘΡΕΦΤΕΣ

 Σε απόσταση μεγαλύτερη από την ακτίνα καμπυλότητας R κοίλου καθρέφτη τοποθετούμε ένα φωτεινό αντικείμενο,για παράδειγμα ένα κερί.Τοποθετούμε μπροστά από τον καθρέφτη,σε κατάλληλη απόσταση από αυτόν,μια οθόνη.Παρατηρούμε ότι πάνω σε αυτή σχηματίζεται ευκρινώς το είδωλο του κεριού. 

α) Είδωλο σε κοίλο καθρέφτη αντικειμένου που βρίσκεται σε απόσταση μεγαλύτερη της R.
β) Γραφικός προσδιορισμός του ειδώλου

 Ένα τέτοιο είδωλο ονομάζεται πραγματικό και μπορεί να σχηματιστεί (προβληθεί) και σε μια οθόνη προβολής ή στο φιλμ μιας φωτογραφικής μηχανής.Το πραγματικό είδωλο σχηματίζεται από τις ίδιες τις ακτίνες και όχι από τις προεκτάσεις τους.

ΓΡΑΦΙΚΟΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΕΙΔΩΛΟΥ

 Το είδωλο είναι δυνατόν να προσδιοριστεί γραφικά με χρήση των κανόνων 1, 2 και 3.Από σημείο Α του αντικειμένου φέρουμε φωτεινή ακτίνα ΑΒ παράλληλη προς τον κύριο άξονα.Η ανακλώμενη διέρχεται από την κύρια εστία.Από το ίδιο σημείο φέρουμε ακτίνα ΑΓ που διέρχεται από την κύρια εστία.Η ανακλώμενη είναι παράλληλη προς τον κύριο άξονα.Οι δύο ανακλώμενες ακτίνες τέμνονται στο Α’ που είναι το είδωλο του Α. Αφού το αντικείμενο είναι κάθετο στον κύριο άξονα και το είδωλό του θα είναι επίσης κάθετο. Από το Α’ φέρω κάθετη προς το κύριο άξονα:την Α’Α’1.Προκύπτει τελικά ότι το είδωλο είναι πραγματικό,αντεστραμμένο και μικρότερο από το αντικείμενο. 

α) Είδωλο σε κοίλο καθρέφτη αντικειμένου που βρίσκεται μεταξύ κέντρου καμπυλότητας και εστίας.
β) Γραφικός προσδιορισμός του ειδώλου

 Πλησιάζοντας το αντικείμενο στον καθρέφτη το είδωλο μεγαλώνει και απομακρύνεται από αυτόν.Όταν το αντικείμενο βρεθεί μεταξύ της κύριας εστίας και του κέντρου,το είδωλο σχηματίζεται πίσω από το αντικείμενο,είναι πραγματικό και μεγαλύτερο από αυτό.

 Πλησιάζοντας ακόμη περισσότερο το αντικείμενο προς τον καθρέφτη παρατηρούμε ότι σε μια ορισμένη θέση είναι αδύνατο να προβάλλουμε το είδωλο στην οθόνη.Σε αυτή τη θέση βρίσκεται η εστία του καθρέφτη.

α) Είδωλο σε κοίλο καθρέφτη αντικειμένου που βρίσκεται σε απόσταση μικρότερη της f.
β) Γραφικός προσδιορισμός του ειδώλου.Το είδωλο σχηματίζεται από τις προεκτάσεις των ακτίνων: είναι φανταστικό

 Αν πλησιάσουμε ακόμα περισσότερο το αντικείμενο προς τον καθρέφτη,μπορούμε να διακρίνουμε το είδωλό του μόνον κοιτάζοντας μέσα σ' αυτόν .Το είδωλο είναι πλέον φανταστικό.Σχηματίζεται πίσω από τον καθρέφτη και από τις προεκτάσεις των ανακλώμενων ακτίνων.Είναι επίσης μεγαλύτερο από το αντικείμενο και ορθό.

ΕΙΔΩΛΑ ΣΕ ΚΥΡΤΟΥΣ ΚΑΘΡΕΦΤΕΣ

α) Είδωλο σε κυρτό καθρέφτη.
β) Γραφικός προσδιορισμός του ειδώλου σε κυρτό καθρέφτη

 Με παρόμοιο τρόπο διαπιστώνουμε ότι σε έναν κυρτό καθρέφτη το είδωλο είναι πάντοτε μικρότερο από το αντικείμενο,όρθιο και φανταστικό.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΩΝ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΚΑΘΡΕΦΤΩΝ

 Μπορούμε να προσδιορίσουμε αναλυτικά τη θέση και το είδος του ειδώλου σε ένα σφαιρικό καθρέφτη;

 Στις εικόνες παριστάνεται το είδωλο P’Q’ ενός αντικειμένου PQ σε έναν κοίλο ή κυρτό καθρέφτη αντίστοιχα.Συμβολίζουμε με p και p’ τις αποστάσεις του αντικειμένου PQ και του ειδώλου P’Q’ από την κορυφή Ο του κατόπτρου και με f την εστιακή απόσταση.

ΣΥΜΒΑΣΗ ΠΡΟΣΗΜΩΝ

 Προκειμένου να προσδιορίσουμε αλγεβρικά τη θέση και το είδος του ειδώλου θα πρέπει να καθορίσουμε τον τρόπο με τον οποίο θα προσδιορίζουμε τα πρόσημα των αποστάσεων από την κορυφή του καθρέφτη του ειδώλου.Συμφωνούμε ότι τα πρόσημα των αποστάσεων από το Ο όλων των σημείων που βρίσκονται μπροστά από τον καθρέφτη να είναι θετικά,ενώ αυτά των σημείων που βρίσκονται πίσω από τον καθρέφτη να είναι αρνητικά.

Προσδιορισμός ειδώλου σε κοίλο καθρέφτη

 Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται τα πρόσημα των αποστάσεων για τους κοίλους και κυρτούς καθρέφτες.Το μήκος του αντικειμένου έχει πάντα θετικό πρόσημο,ενώ του ειδώλου έχει θετικό όταν είναι ορθό και αρνητικό όταν είναι αντεστραμμένο.

ΣYΜΒΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΠΡΟΣΗΜΑ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΤΩΝ ΚΑΘΡΕΦΤΩΝ
Κοίλος καθρέφτης	f θετικό
Κυρτός καθρέφτης	f αρνητικό
Πραγματικό αντικείμενο-είδωλο	p,p’ θετικό
Φανταστικό είδωλο	p’ αρνητικό

 Με βάση τους νόμους της κατοπτρικής ανάκλασης μπορεί να αποδειχτεί ότι ισχύει η σχέση:

                                                                                      1/p+1/p'=1/f

 Δηλαδή μια εξίσωση που συνδέει τις αποστάσεις p και p’ με την εστιακή απόσταση f του κατόπτρου.

ΜΕΓΕΝΘΥΝΣΗ

 Θεωρήστε ένα γραμμικό αντικείμενο,για παράδειγμα ένα κερί που σχηματίζει σε καθρέφτη ένα γραμμικό είδωλο. 

Προσδιορισμός ειδώλου σε κυρτό καθρέφτη

 Μεγέθυνση m ονομάζεται το πηλίκο του μήκους του ειδώλου (P’Q’) προς το μήκος του αντικειμένου (PQ):

                                                                                      m=(P'Q')/(PQ)  

 Η μεγέθυνση συνδέεται με τις αποστάσεις αντικειμένου και ειδώλου με τη σχέση:

                                                                                      m=(P'Q')/(PQ)=-p'/p

                                

 Στην εξίσωση το αρνητικό πρόσημο τίθεται έτσι ώστε να προκύπτει θετική μεγέθυνση όταν το είδωλο είναι ορθό και αρνητική όταν το είδωλο είναι αντεστραμμένο.Για παράδειγμα,σε ένα επίπεδο κάτοπτρο το p είναι θετικό και το p’ είναι αρνητικό (φανταστικό είδωλο).Τα μέτρα των p και p’ είναι ίσα.Άρα η μεγέθυνση προκύπτει θετική και ίση με 1,δηλαδή το είδωλο είναι ορθό και ίσο με το αντικείμενο.

 Συνδυάζοντας τις εξισώσεις και λαμβάνοντας υπόψη τις συμβάσεις για τα πρόσημα,μπορούμε να προσδιορίσουμε αναλυτικά τη θέση,το είδος και το μέγεθος του ειδώλου ενός αντικειμένου που βρίσκεται σε συγκεκριμένη απόσταση από συγκεκριμένο σφαιρικό καθρέφτη.