ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

 Οι νόμοι της ανάκλασης μπορούν να ερμηνευθούν με την αρχή του ελάχιστου χρόνου.Πράγματι στην περίπτωση που το φως διαδίδεται σε ομογενές υλικό η ταχύτητά του θα είναι σταθερή.Επομένως η διαδρομή που απαιτεί τον ελάχιστο χρόνο είναι αυτή που έχει το ελάχιστο μήκος.Στη διπλανή εικόνα έχουμε σχεδιάσει πιθανές πορείες διάδοσης του φωτός από το λαμπτήρα στον καθρέφτη και από τον καθρέφτη στο μάτι.Αν μετρήσουμε το μήκος κάθε διαδρομής,διαπιστώνουμε ότι η διαδρομή με το μικρότερο μήκος είναι η ενδιάμεση. 

Η αρχή του ελάχιστου χρόνου

 Σύμφωνα με την αρχή του ελάχιστου χρόνου,το φως θα ακολουθήσει κατά τη διάδοσή του αυτή τη διαδρομή.Μπορούμε επίσης να μετρήσουμε τις γωνίες πρόσπτωσης και ανάκλασης και να επαληθεύσουμε ότι είναι ίσες.

Οπτικός δρόμος μέσα σε ισότροπο μέσο.Το φως "ακολουθεί" τη συντομότερη διαδρομή,δηλαδή την ευθεία

 Χρησιμοποιώντας την αρχή του ελάχιστου χρόνου μπορούμε να αποδείξουμε τον νόμο της κατοπτρικής ανάκλασης;
 Αρχικά διατυπώνουμε το ερώτημα με ακρίβεια και σαφήνεια χρησιμοποιώντας τη γλώσσα των Μαθηματικών.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ

 Αναζητούμε ένα σημείο Α που να ανήκει στο επίπεδο (κάτοπτρο) έτσι ώστε το μήκος ΛΑ+ΑΜ να είναι το ελάχιστο δυνατό.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

 Βρίσκουμε το σημείο Μ1 συμμετρικό του Μ ως προς το επίπεδο.Συνδέουμε το Μ1 με το Λ,η ευθεία Μ1Λ συναντά το επίπεδο στο Α.Το Α είναι το ζητούμενο σημείο.

Οι πορείες ΛΑ₁Μ και ΛΑ₂Μ δεν ακολουθούν το νόμο της κατοπτρικής ανάκλασης.Η πορεία ΛΑΜ ακολουθεί το νόμο της κατοπτρικής ανάκλασης.Το μήκος της τελευταίας είναι μικρότερο από το μήκος των άλλων δύο

 Πράγματι:

ΑΜ=ΑΜ1 

επομένως: 

ΛΑ+ΑΜ=ΛΑ+ΑΜ1              ή 

ΛΑ+ΑΜ=Μ1Λ

 Πρέπει να αποδείξουμε ότι το Μ1Λ είναι το ελάχιστο μήκος.Λαμβάνουμε ένα τυχαίο σημείο Α1 στο επίπεδο.
 Θα αποδείξουμε ότι:

                                                                          ΛΑ1+Α1Μ>Μ1Λ

Α1Μ=Α1Μ1                     ή 

ΛΑ1+Α1Μ=ΛΑ1+Α1Μ1

όμως παρατηρώντας το σχήμα και γνωρίζοντας ότι μεταξύ δύο σημείων ο συντομότερος δρόμος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που τα συνδέει συμπεραίνουμε ότι ΛΑ1+Α1Μ>Μ1Λ,δηλαδή η διαδρομή ΛΑ+ΑΜ είναι η ελάχιστη δυνατή και επομένως το φως,καθώς διαδίδεται από το Α στο Μ μέσω του κατόπτρου,θα διέλθει από το Α. 

Ο συντομότερος δρόμος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που τα συνδέει συμπεραίνουμε ότι ΛΑ1+Α1Μ>Μ1Λ,δηλαδή η διαδρομή ΛΑ+ΑΜ είναι η ελάχιστη δυνατή και επομένως το φως,καθώς διαδίδεται από το Α στο Μ μέσω του κατόπτρου,θα διέλθει από το Α

 Παρατηρώντας το σχήμα καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η γωνία π=δ=γ=α,δηλαδή π=α.