ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

 Σε περιπτώσεις όπου η ορμή διατηρείται,η εφαρμογή της αρχής διατήρησης της ορμής μπορεί να απλουστευτεί με τη χρησιμοποίηση της έννοιας του κέντρου μάζας.

Δύο σώματα σε τροχιά γύρω από ένα κέντρο βάρους ενός σώματος

 Θα μιλήσουμε για το κέντρο μάζας ενός συστήματος σωμάτων.

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΤΟΥ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ

 Αν το σύστημα αποτελείται από ένα αριθμό σωμάτων πολύ μικρών διαστάσεων με μάζες m1,m2,.... 

Το κέντρο μάζας ενός συστήματος σωμάτων

 Αν xi,yi,zi είναι οι συντεταγμένες του σώματος mi,το κέντρο μάζας του συστήματος είναι στο σημείο με συντεταγμένες:

όπου: 

Μ η συνολική μάζα του συστήματος.

Οι x₁ και x₂ οι θέσεις των δύο μαζών σ' ένα σύστημα συντεταγμένων που σαν άξονα των x έχει την ευθεία που περνάει από τα δυο υλικά σημεία

 Για ένα σύστημα δύο σωμάτων μικρών διαστάσεων,που μπορούν να θεωρηθούν υλικά σημεία,η θέση του κέντρου μάζας βρίσκεται από τη σχέση:

όπου: 

x₁ και x₂ οι θέσεις των δύο μαζών σ' ένα σύστημα συντεταγμένων που σαν άξονα των x έχει την ευθεία που περνάει από τα δυο υλικά σημεία. 
 Για σύστημα διακριτών μαζών ισχύει:

                                                                      rcm→=M∑imiri→  

 Για κατανομή μάζας ισχύει: 

   
                                                                 rcm→=1Μ∫r→dm

Η ΚΙΝΗΣΗ ΤΟΥ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ

 Ο δεύτερος νόμος του Newton για ένα σύστημα σωμάτων έχει τη μορφή:

όπου: 

ΣFεξ το διανυσματικό άθροισμα των εξωτερικών δυνάμεων στο σύστημα, 

Μ η μάζα του συστήματος, 

αcm η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του συστήματος και 

p η ορμή του συστήματος.

 Το κέντρο μάζας του συστήματος κινείται σαν ένα υποθετικό υλικό σημείο μάζας ίσης με τη συνολική μάζα του συστήματος αν θεωρήσουμε ότι όλες οι εξωτερικές δυνάμεις που δέχεται το σύστημα ασκούνται σ' αυτό

Το κέντρο μάζας του συστήματος κινείται σαν ένα υποθετικό υλικό σημείο μάζας ίσης με τη συνολική μάζα του συστήματος αν θεωρήσουμε ότι όλες οι εξωτερικές δυνάμεις που δέχεται το σύστημα ασκούνται σ' αυτό

 Δηλαδή το κέντρο μάζας του συστήματος κινείται σαν ένα υποθετικό υλικό σημείο μάζας ίσης με τη συνολική μάζα του συστήματος αν θεωρήσουμε ότι όλες οι εξωτερικές δυνάμεις που δέχεται το σύστημα ασκούνται σ' αυτό.

 Από το δεύτερο νόμο προκύπτει ότι αν το σύστημα είναι μονωμένο (ΣFεξ=0) η ορμή του συστήματος διατηρείται σταθερή και το κέντρο μάζας του συστήματος κινείται με σταθερή ταχύτητα.
 Τα θραύσματα κινούνται με τέτοιο τρόπο ώστε το κέντρο μάζας τους να ακολουθεί την τροχιά που θα ακολουθούσε και αν δεν είχε εκραγεί το πυροτέχνημα.

Τα θραύσματα κινούνται με τέτοιο τρόπο ώστε το κέντρο μάζας τους να ακολουθεί την τροχιά που θα ακολουθούσε και αν δεν είχε εκραγεί το πυροτέχνημα

 Εφόσον το κέντρο μάζας του συστήματος σε αυτές τις περιπτώσεις κινείται με σταθερή ταχύτητα,ένα σύστημα αναφοράς ως προς το οποίο το κέντρο μάζας είναι ακίνητο είναι ένα αδρανειακό σύστημα.Αυτό το σύστημα αναφοράς θα το ονομάζουμε σύστημα αναφοράς του κέντρου μάζας.
 Αν για την αντιμετώπιση ενός προβλήματος στο οποίο η ορμή διατηρείται επιλέξουμε ως σύστημα αναφοράς το σύστημα του κέντρου μάζας το πρόβλημα απλοποιείται σημαντικά.Ως προς αυτό το σύστημα το κέντρο μάζας είναι ακίνητο και η συνολική ορμή του συστήματος μηδέν.