ΜΗΧΑΝΗ ΤΟΥ CARNOT

ΜΗΧΑΝΗ ΤΟΥ CARNOT

ΜΗΧΑΝΗ ΤΟΥ CARNOT

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

 Σύμφωνα με το δεύτερο θερμοδυναμικό νόμο,μια θερμική μηχανή δε μπορεί να έχει απόδοση 100%.Πρέπει σ' αυτό το σημείο να μελετήσουμε το μεγαλύτερο συντελεστής απόδοσης που μπορεί να έχει μια μηχανή,όταν δίνονται οι θερμοκρασίες Τh και Τc,των δεξαμενών θερμότητας της μηχανής.

Ο Nicolas Léonard Sadi Carnot (1,Ιουνίου 1796-24,Αυγ 1832) ήταν Γάλλος στρατιωτικός μηχανικός.Συχνά περιγράφεται ως ο "πατέρας της θερμοδυναμικής",για τις έννοιες όπως ο Βαθμός απόδοσης Carnot,το θεώρημα Carnot,η μηχανή Carnot και άλλες

 Τη θεωρητική μελέτη της θερμικής μηχανής με τη μέγιστη δυνατή απόδοση την παρουσίασε πρώτος ο Carnot  το 1824 σε μια εργασία του με τον τίτλο "Sur la puissance motrice du feu" (Περί της κινητικής δυνάμεως του πυρός).

Η εργασία του Carnot με τον τίτλο "Sur la puissance motrice du feu" (Περί της κινητικής δυνάμεως του πυρός)

 Είναι μια απλοποιημένη ιδανική μηχανή που ονομάζεται μηχανή του Carnot και στην οποία το μέσο Μ ακολουθεί μια κυκλική αντιστρεπτή μεταβολή,ένα κύκλο Carnot.

ΘΕΩΡΗΜΑ CARNOT

 Ο Carnot περιέγραψε μια κυκλική αντιστρεπτή μεταβολή,που ονομάστηκε κύκλος Carnot.Απέδειξε ότι μια θερμική μηχανή που θα ακολουθούσε αυτόν τον αντιστρεπτό κύκλο θα είχε τη μεγαλύτερη δυνατή απόδοση.Μια τέτοια υποθετική,μηχανή ονομάζεται μηχανή Carnot.

Η μηχανή Carnot έχει τη μεγαλύτερη δυνατή απόδοση 

 Η απόδοσή της μηχανής Carnot αποτελεί το ανώτερο όριο για την απόδοση όλων των άλλων μηχανών.Το συμπέρασμα αυτό είναι γνωστό ως θεώρημα Carnot:

Δεν μπορεί να υπάρξει θερμική μηχανή που να έχει μεγαλύτερη απόδοση από μια μηχανή Carnot η οποία λειτουργεί ανάμεσα στις ίδιες θερμοκρασίες

 Δεν μπορεί να υπάρξει θερμική μηχανή που να έχει μεγαλύτερη απόδοση από μια μηχανή Carnot η οποία λειτουργεί ανάμεσα στις ίδιες θερμοκρασίες.

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΗΣ CARNOT

 Η μηχανή του Carnot είναι μια ιδανική μηχανή που έχει τα εξής χαρακτηριστικά:

Η μηχανή του Carnot είναι μια ιδανική μηχανή χρησιμοποιεί ως μέσο Μ ιδανικό αέριο.Το ιδανικό αέριο βρίσκεται μέσα σε κύλινδρο,που φράσσεται με έμβολο.Η κυκλική μεταβολή που διαγράφει είναι αντιστρεπτή

α) Χρησιμοποιεί ως μέσο Μ ιδανικό αέριο.Το ιδανικό αέριο βρίσκεται μέσα σε κύλινδρο,που φράσσεται με έμβολο.

β) Η κυκλική μεταβολή που διαγράφει είναι αντιστρεπτή.

ΚΥΚΛΟΣ CARNOT

 Ο κύκλος Carnot αποτελείται από τις εξής τέσσερις αντιστρεπτές μεταβολές,δύο ισόθερμες και δύο αδιαβατικές. 

Οι τέσσερις φάσεις του κύκλου Carnot

α) Μια ισόθερμη εκτόνωση A→B στην υψηλή θερμοκρασία Th,οπότε το αέριο απορροφά θερμότητα Qh,και παράγει έργο W1.

β) Μια αδιαβατική εκτόνωση B→Γ,οπότε το αέριο παράγει έργο W2 και ταυτόχρονα ψύχεται στην χαμηλή  θερμοκρασία Τc.

γ) Μια ισόθερμη συμπίεση Γ→Δ στη χαμηλή θερμοκρασία Τc,οπότε το αέριο  αποβάλλει θερμότητα Qc και δαπανάει έργο W3.

δ) Μια αδιαβατική συμπίεση Δ→Α,οπότε το αέριο δαπανάει έργο W4 και ταυτόχρονα θερμαίνεται στη θερμοκρασία Th.

Οι τέσσερις φάσεις του κύκλου Carnot.Το αέριο βρίσκεται σε δοχείο που κλείνεται με έμβολο.Το έμβολο και τα πλευρικά τοιχώματα είναι αδιαβατικά ενώ η βάση του δοχείου διαθερμική

 Αποδεικνύεται ότι τα ποσά θερμότητας Qh,Qc που διακινούνται μεταξύ των πηγών θερμότητας και της μηχανής,είναι ανάλογα των απόλυτων θερμοκρασιών Th,Tc.

Η γραφική παράσταση πίεσης όγκου (p-V) για τις τέσσερις φάσεις του κύκλου Carnot

  Δηλαδή ισχύει:

                                                                                  |Qc|/Qh=Tc/Th

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ |Qc|/Qh=Tc/Th

  Έχουμε:

Ισόθερμη ΑΒ:    

pΑ·VA=pB·VB                                        (1)

Αδιαβατική ΒΓ:   

pB·VB^γ=pΓ·VΓ^γ                                             (2)

Ισόθερμη ΓΔ:     

pΓ·VΓ=pΔ·VΔ                                                                (3)

Αδιαβατική ΔΑ:   

pΔ·VΔ^γ=pΑ·VΑ^γ                                            (4)

   Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις σχέσεις (1),(2),(3) και (4) οπότε έχουμε:

VA·VΓ·(VΒ·VΔ)^γ =VB·VΔ·(VA·VΓ)^γ                 ή   

(VΒ· VΔ)^γ-1=VB·VΔ·(VA·VΓ)^γ-1                       ή

VB/VA=VΓ/VΔ                                                           (5)

Έχουμε,επίσης:

Ισόθερμη ΑΒ:

QAB=ΔUAB+WAB                                    ή 

Qh=n·R·Th·lnVB/VA                              (6)

Ισόθερμη ΓΔ: 

QΓΔ=ΔUΓΔ+WΓΔ                                      ή 

Qc=n·R·Tc·lnVΔ/VΓ                                 ή 

Qc=-n·R·Tc·lnVΓ/VΔ                                                (7)

 Η σχέση (7) με την βοήθεια της σχέσης VB/VA=VΓ/VΔ  (5) γίνεται:

Qc=-n·R·Tc·lnVΓ/VΔ                                                  ή 

  

|Qc|=n·R·Tc·lnVB/VA                             (8)

Διαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις Qh=n·R·Th·lnVB/VA και |Qc|=n·R·Tc·lnVB/VA έχουμε:

                                                                                  |Qc|/Qh=Tc/Th

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΗΣ CARNOT

  Όπως γνωρίζουμε ο συντελεστής απόδοσης μιας θερμικής μηχανής είναι:

                                                                                   e=1-|Qc|/Qh

 Αντικαθιστώντας τη |Qc|/Qh=Tc/Th στη e=1-|Qc|/Qh βρίσκουμε ότι ο συντελεστής απόδοσης της μηχανής Carnot είναι:

                                                                                  ecarnot=1-Tc/Th

 Αυτή είναι η μέγιστη δυνατή απόδοση που μπορεί να έχει οποιαδήποτε θερμική μηχανή που λειτουργεί μεταξύ των θερμοκρασιών Th και Tc.

Ο συντελεστής απόδοσης της μηχανής Carnot είναι ecarnot=1 -Tc/Th

 Όμως η απόδοση της θερμικής μηχανής πρακτικά θα είναι ακόμα μικρότερη λόγω απωλειών και τριβών.

Ο συντελεστής απόδοσης της μηχανής Carnot είναι η μέγιστη δυνατή απόδοση που μπορεί να έχει οποιαδήποτε θερμική μηχανή που λειτουργεί μεταξύ των θερμοκρασιών Th και Tc

 Το αποτέλεσμα δηλώνει,ότι ο συντελεστής απόδοσης μια μηχανής Carnot εξαρτάται μόνο από τις θερμοκρασίες των δύο δεξαμενών θερμότητας.Η απόδοση είναι μεγάλη όταν η διαφορά θερμοκρασίας είναι μεγάλη και είναι πολύ μικρή όταν οι θερμοκρασίες διαφέρουν λίγο.

Ο συντελεστής απόδοσης μια μηχανής Carnot εξαρτάται μόνο από τις θερμοκρασίες των δύο δεξαμενών θερμότητας

 Επίσης το αποτέλεσμα επιβεβαιώνει το δεύτερο θερμοδυναμικό νόμο.Για να έχουμε απόδοση 100% πρέπει Τc=0,που είναι αδύνατον.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΗΧΑΝΗ CARNOT

 Είδαμε ότι η προσφερόμενη θερμότητα στην κυκλική μεταβολή ισούται με το έργο.Οπότε θα λέγαμε ότι η απόδοση της κυκλικής μεταβολής είναι e=W/Q=1,πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με τον 2o θερμοδυναμικό νόμο.Δεν συμβαίνει όμως στην πραγματικότητα.Το Q είναι το καθαρό ποσό θερμότητας που προσφέρεται στο αέριο κατά την κυκλική μεταβολή και που προέρχεται από το Qh που απορρόφησε σ' ένα τμήμα της κυκλικής μεταβολής και από το Qc που απέβαλλε στο υπόλοιπο τμήμα της.

Η απόδοση στην κυκλική μεταβολή είναι e=W/Qh<1

 Επομένως Q=Qh-Qc<Qh και συνεπώς η απόδοση στην κυκλική μεταβολή είναι:

                                                                                  e=W/Qh<1

 Η διατύπωση του 2ου νόμου,όπως δόθηκε από τους Kelvin-Planck,αποκλείει την κατασκευή μιας μηχανής που θα μπορούσε να εκμεταλλευθεί τα τεράστια ποσά θερμικής ενέργειας των θαλασσών,αφού θα ήταν απαραίτητο μια δεύτερη δεξαμενή θερμότητας,μικρότερης θερμοκρασίας Tc από αυτή των θαλασσών Th.