ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΘΕΣΗΣ ΕΝΟΣ ΚΙΝΗΤΟΥ ΣΤΗΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΘΕΣΗΣ ΕΝΟΣ ΚΙΝΗΤΟΥ ΣΤΗΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΘΕΣΗΣ ΕΝΟΣ ΚΙΝΗΤΟΥ ΣΤΗΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

 Όπως έχουμε αναφέρει ένα κινητό που ακολουθεί ευθύγραμμη τροχιά,και έχει σταθερή κατά μέτρο και διεύθυνση λέμε ότι εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση.Στις ομαλές μεταβαλλόμενες κινήσεις η στιγμιαία και η μέση επιτάχυνση συμπίπτουν.Γι' αυτό στις κινήσεις αυτές μιλάμε μόνο για επιτάχυνση.

Σε κάθε ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση,σε κάθε χρονική στιγμή αλλάζει,εκτός από τη μετατόπιση και η ταχύτητα

 Είναι φανερό ότι σε κάθε ομαλά μεταβαλλόμενη(επιταχυνόμενη ή επιβραδυνόμενη) κίνηση,σε κάθε χρονική στιγμή αλλάζει,εκτός από τη μετατόπιση και η ταχύτητα,πράγμα που σημαίνει ότι για τον προσδιορισμό της χρειάζονται δυο συναρτήσεις,από τις οποίες η μία θα περιέχει την ταχύτητα και η άλλη την μετατόπιση.

Για να περιγράψουμε μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση,πρέπει σε κάθε χρονική στιγμή να προσδιορίσουμε την ταχύτητα και τη θέση του κινητού

 Για να περιγράψουμε μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση,πρέπει σε κάθε χρονική στιγμή να προσδιορίσουμε την ταχύτητα και τη θέση του κινητού.Οι εξισώσεις που μας βοηθούν να προσδιορίσουμε την ταχύτητα και τη θέση του κινητού ονομάζονται εξισώσεις της ευθύγραμμης ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης.Οι εξισώσεις αυτές προκύπτουν ως εξής:

Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

 Από τον ορισμό της επιτάχυνσης α=Δυ/Δt προκύπτει ότι η μεταβολή της ταχύτητας στο χρόνο Δt είναι:

α=Δυ/Δt               ή

                         
                                                                                     Δυ=α·Δt

 Αν υποθέσουμε ότι ένα κινητό τη χρονική στιγμή μηδέν t=0 έχει αρχική ταχύτητα υ0,τη χρονική στιγμή t είναι υ και αρχίζει να επιταχύνεται με σταθερή επιτάχυνση μέτρου α.Έτσι σε χρόνο t η αύξηση της ταχύτητας θα έχει τιμή α·t.

 H μεταβολή της ταχύτητας Δυ είναι:

Δυ=α·Δt              ή 

υ-υ0=α·(t-0)        ή

                                                                                     υ=υ0+α·t

 Ειδικά για την ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση τα μεγέθη υ0 και α λαμβάνονται ομόσημα,ενώ για την επιβραδυνόμενη κίνηση ετερόσημα.

Για την ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση τα μεγέθη υ0 και α λαμβάνονται ομόσημα,ενώ για την επιβραδυνόμενη κίνηση ετερόσημα

 Είναι φανερό πως για ένα κινητό η αρχική ταχύτητα υ0 μπορεί να λαμβάνεται πάντοτε ως θετική,πράγμα που σημαίνει ότι η επιτάχυνση θα αποδίδεται με α θετικό και η επιβράδυνση με α αρνητικό.
 Επειδή τα διανύσματα υ0,υ,α είναι συγγραμμικά στην ευθύγραμμη κίνηση,η πρόσθεση τους ανάγεται σε αλγεβρική πρόσθεση των τιμών τους.
 Στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση ισχύει η εξίσωση:

                                                                                     υ=υ0+α·t

 Στην ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση ισχύει η εξίσωση:

                                                                                     υ=υ0-α·t

 Αν η αρχική ταχύτητα είναι υο=0 από τη σχέση υ=υο+α·t προκύπτει:

                                                                                     υ=α·t

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

 Στα παραδείγματα που έχουμε δει για την ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση παρατηρούμε ότι η ταχύτητα του κινητού διπλασιάζεται τριπλασιάζεται κ.λπ.,όταν ο χρόνος αντίστοιχα διπλασιάζεται τριπλασιάζεται κ.λπ.

Στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση η ταχύτητα του κινητού είναι ανάλογη προς το χρόνο που κινήθηκε αυτό

 Από αυτό συμπεραίνουμε τον νόμο της ταχύτητας:
 Στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση η ταχύτητα του κινητού είναι ανάλογη προς το χρόνο που κινήθηκε αυτό.

 Ο νόμος αυτός εκφράζεται από την σχέση:

                                                                                     υ=α·t

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

 Για να παραστήσουμε γραφικά τον νόμο της ταχύτητας,κατασκευάζουμε πρώτα τον πίνακα τιμών.
 Η εξίσωση της ταχύτητας σε σχέση με το χρόνο, είναι εξίσωση πρώτου βαθμού και μπορεί να παρασταθεί γραφικά σε διάγραμμα ταχύτητας-χρόνου με ευθεία γραμμή.

Γραφική παράσταση ταχύτητας-χρόνου (υ-t) στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση  με αρχική ταχύτητα υ0=0

 Ύστερα με τον γνωστό τρόπο κατασκευάζουμε το διάγραμμα του παρακάτω σχήματος που παριστάνει γραφικά τον νόμο υ=α·t όταν το κινητό ξεκινάει από την ηρεμία.

Γραφική παράσταση ταχύτητας-χρόνου (υ-t) στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση  με αρχική ταχύτητα υ0 

 Για το διάγραμμα αυτό αρκούν δύο σημεία,γιατί όπως είπαμε η γραφική παράσταση είναι ευθεία γραμμή.Αν πάρουμε την αρχική και την τελική ταχύτητα,έχουμε τη γραφική παράσταση του παρακάτω σχήματος.

 Ας υποθέσουμε ότι τώρα το  κινητό επιταχύνεται ομαλά σε ευθύγραμμο τμήμα με αρχική ταχύτητα υ0 και τελική υ σε χρόνο t.Όπως και προηγουμένως, παίρνουμε την αρχική και την τελική ταχύτητα,οπότε έχουμε τον πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση .

Η κλίση της ευθείας στο διάγραμμα της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο,δίνει την επιτάχυνση στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση

 Επειδή η κλίση προκύπτει ως το πηλίκο της μεταβολής της ταχύτητας με το χρόνο,Δυ/Δt,με το οποίο έχουμε ορίσει την επιτάχυνση,συμπεραίνουμε ότι:
 Η κλίση της ευθείας στο διάγραμμα της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο,δίνει την επιτάχυνση στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση.

                                                                                     Κλίση ευθείας:Δυ/Δt=α

 Η γραφική παράσταση της σταθερής επιτάχυνσης στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση του κινητού,θα είναι ευθεία γραμμή,παράλληλη στον άξονα του χρόνου t.

Η γραφική παράσταση της σταθερής επιτάχυνσης στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση του κινητού, θα είναι ευθεία γραμμή, παράλληλη στον άξονα του χρόνου t

 Το εμβαδόν μεταξύ της γραφικής παράστασης (ευθείας) και των αξόνων επιτάχυνσης και χρόνου είναι:

                                                                                     Ε=βάση·ύψος=υ

 Παρατηρούμε ότι το εμβαδόν είναι αριθμητικά ίσο με τη μεταβολή της ταχύτητας κατά την χρονική διάρκεια της επιτάχυνσης του κινητού.Άρα το εμβαδόν,μεταξύ της ευθείας που αναπαριστά την επιτάχυνση σε συνάρτηση με το χρόνο,και των αξόνων επιτάχυνσης και χρόνου,είναι αριθμητικά ίσο με τη μεταβολή της ταχύτητας Δυ.

Το εμβαδόν,μεταξύ της ευθείας που αναπαριστά την επιτάχυνση σε συνάρτηση με το χρόνο,και των αξόνων επιτάχυνσης και χρόνου,είναι αριθμητικά ίσο με τη μεταβολή της ταχύτητας Δυ

 Ομοίως εργαζόμαστε για την κατασκευή των διαγραμμάτων της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο υ=f(t) και της επιτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο α=f(t) στην περίπτωση της ομαλά επιβραδυνόμενης κίνησης.

Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

 Η εξίσωση κίνησης είναι ο προσδιορισμός της θέσης ενός αντικειμένου,το οποίο επιταχύνεται ομαλά,σε συνάρτηση με το χρόνο.Η εξίσωση αυτή προκύπτει με γραφικό τρόπο από το διάγραμμα υ=f(t).

 Στη μελέτη της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης είδαμε ότι το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ της γραμμής που παριστά την ταχύτητα και των αξόνων ταχύτητας και χρόνου είναι ίσο με τη μετατόπιση.

Το εμβαδόν του τραπεζίου που περικλείεται μεταξύ της γραμμής που παριστά την ταχύτητα και των αξόνων υ,t  είναι ίσο με τη μετατόπιση στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση

 Ομοίως μπορεί να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν του τραπεζίου που περικλείεται μεταξύ της γραμμής που παριστά την ταχύτητα και των αξόνων υ,t είναι ίσο με τη μετατόπιση στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση.Οπότε,αν υπολογίσουμε το εμβαδόν χρησιμοποιώντας αντί των αριθμητικών τιμών,τα σύμβολα υ,t,οδηγούμαστε στην εξίσωση για τη μετατόπιση Δx.
 Δηλαδή:

Ετραπ=άθροισμα βάσεων/2·ύψος         ή 

Δx=υ+υ0/2·(t-0)

 Αλλά γνωρίζουμε ότι η ταχύτητα είναι: 

υ=υ0+α·t

 Συνεπώς:

Δx=υ0+α·t+υ0/2·t=2·υ0·t+α·t²/2      ή 

Δx=υ0·t+1/2·α·t²

και αν x0=0,έχουμε:

                                                                                     x=υ0·t+1/2·α·t²

 Ομοίως στην ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση προκύπτει ότι:

                                                                                     x=υ0·t-1/2·α·t²

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ

 Στην κίνηση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα παρατηρούμε ότι το διάστημα που διανύει το αυτοκίνητο τετραπλασιάζεται,εννιαπλασιάζεται κ.λπ.,όταν ο χρόνος αντίστοιχα διπλασιάζεται,τριπλασιάζεται κ.λπ.

Στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση το διάστημα που διανύει το κινητό είναι ανάλογο προς το τετράγωνο του χρόνου που κινήθηκε αυτό

 Από αυτό συμπεραίνουμε τον νόμο του διαστήματος:

 Στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση το διάστημα που διανύει το κινητό είναι ανάλογο προς το τετράγωνο του χρόνου που κινήθηκε αυτό.

 Ο νόμος αυτός εκφράζεται από την σχέση:

                                                                                     x=1/2·α·t²

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ

 Για να παραστήσουμε γραφικά τον νόμο του διαστήματος,κατασκευάζουμε πρώτα τον πίνακα τιμών.

 Ύστερα με τον γνωστό τρόπο κατασκευάζουμε το διάγραμμα του παρακάτω σχήματος που παριστάνει γραφικά τον νόμο x=1/2·α·t² όταν το κινητό ξεκινάει από την ηρεμία.

Γραφική παράσταση της θέσης x σε συνάρτηση με τον χρόνο στην ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση,με αρχική ταχύτητα

 Η γραφική παράσταση της θέσης σε συνάρτηση με το χρόνο στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση είναι καμπύλη.Αυτό γιατί όπως προκύπτει από τη σχέση x=υ0·t+1/2·α·t²,η εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού ως προς το χρόνο.

Γραφική παράσταση του διαστήματος (θέσης) x σε συνάρτηση με τον χρόνο στην ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση,με αρχική θέση x0 και αρχική ταχύτητα

 Ομοίως εργαζόμαστε για την κατασκευή της γραφικής παράστασης της θέσης σε συνάρτηση με το χρόνο x=f(t),στη ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση.