ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ  Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ  Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΜΑΤΑ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 

ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος μιας χορδής.Ο χρόνος που χρειάζεται ένα σημείο της χορδής για να μετατοπιστεί από τη θέση μέγιστης απομάκρυνσης στη θέση ισορροπίας του είναι 0,15 s.
Ποια είναι η συχνότητα του κύματος;Αν το μήκος κύματος είναι λ=1,2 m ποια είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος; 

ΛΥΣΗ

Ο χρόνος που χρειάζεται ένα σημείο της χορδής για να μετατοπισθεί από τη θέση μέγιστης απομάκρυνσης στη θέση ισορροπίας είναι ίσος με:

Τ/4=0,15 s

οπότε

Τ=0,6 s 

και 

f =1/Τ=10/6 Hz

Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι:

υ=λ·f=2 m/s

Άρα η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι υ=2 m/s.

ΑΣΚΗΣΗ 2

Μια γραμμική αρμονική ταλάντωση y=10·ημ2π·t,(το t σε s,τα x και τα y σε cm),δημιουργεί εγκάρσιο κύμα,που διαδίδεται με ταχύτητα υ=2 m/s.

Να γράψετε την εξίσωση του κύματος.

ΛΥΣΗ

Η εξίσωση του κύματος είναι:

y=A·ημ2π·(t/T–x/λ)

Από την γραμμική αρμονική ταλάντωση y=10·ημ2π·t προκύπτει:

Α=10 cm

ω=2π rad/s

T=2π/ω=1 s

Άρα:

λ=υ·T=2 m

Από την εξίσωση του κύματος y=A·ημ2π·(t/T–x/λ) με απλή αντικατάσταση όπου Α=10 cm,T=1 s και λ=2 m προκύπτει:

y=10·ημ2π·(t–0,5·x)

Άρα η εξίσωση του κύματος είναι y=10·ημ2π·(t–0,5·x),(το t σε s,τα x και τα y σε cm).

ΑΣΚΗΣΗ 3

Ένα κύμα έχει εξίσωση:

y=0,2·ημ2π·(5·t–0,2·x) (y σε m και  t σε  s).

Να υπολογίσετε:

α) Την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

β) Την απομάκρυνση y ενός σημείου που απέχει x=5 m από την πηγή του κύματος την χρονική στιγμή  t=3,25 s.

ΛΥΣΗ

α) Παίρνουμε την εξίσωση του κύματος:

y=A·ημ2π·(t/T–x/λ) και συγκρίνουμε με την δεδομένη:

Έχουμε:

1/Τ=5

άρα 

Τ=0,2 s

1/λ=0,2

άρα

λ=5 m

Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος  είναι:

υ=λ/Τ=25 m/s

Άρα η ταχύτητα διάδοσης του κύματος  είναι υ=25 m/s.

β) Από την εξίσωση που μας δίνουν y=0,2·ημ2π·(5·t–0,2·x) με απλή αντικατάσταση όπου x=5 m και  t=3,25 s προκύπτει:

y=0,2·ημ2π·(5·3,25–0,2·5)=0,2 m

Άρα η απομάκρυνση ενός σημείου που απέχει  x=5 m από την πηγή του κύματος την χρονική στιγμή  t= 3,25 s είναι y=0,2 m.

ΑΣΚΗΣΗ 4

Η πηγή ενός αρμονικού κύματος βρίσκεται στη θέση Ο(x=0) του άξονα x'Οx,ο οπoίος ταυτίζεται με ελαστικό νήμα.Η εξίσωση ταλάντωσης της πηγής είναι:

y=10·ημ(2·π·t),(το t σε s και το y σε cm)

Το παραγόμενο κύμα διαδίδεται κατά μήκος του άξονα προς τη θετική φορά με ταχύτητα υδ=10 cm/s.
α) Να υπολογίσετε το μήκος κύματος του κύματος.
β) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος.
γ) Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή κατά την οποία αρχίζει να ταλαντώνεται το υλικό σημείο Β(xΒ=15 cm) του νήματος.

ΛΥΣΗ

Από την δοθείσα εξίσωση ταλάντωσης της πηγής προκύπτει ότι το πλάτος και η γωνιακή συχνότητα ταλάντωσης της είναι,αντίστοιχα:

Α=10 cm

και

ω=2·π rad/s

Η συχνότητα ταλάντωσης της πηγής είναι:

f=ω/2·π                            ή

f=1 Hz

Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής θεωρίας έχουμε:

υδ=λ·f                               ή

λ=υδ/f                               ή

λ=10 cm

Άρα το μήκος κύματος του κύματος είναι λ=10 cm.
β) Εφόσον η εξίσωση ταλάντωσης της πηγής είναι της μορφής y=A·ημ(ω·t) και το κύμα διαδίδεται προς τη θετική φορά του άξονα x'Ox,η εξίσωση του κύματος είναι της μορφής:

y=A·ημ2π·(t/T–x/λ)             ή

y=A·ημ2π·(f·t–x/λ)

Με αντικατάσταση των τιμών των μεγεθών παίρνουμε:

y=10·ημ2π·(t–x/10),(το t σε s,τα x και τα y σε cm)

Άρα η εξίσωση του κύματος είναι y=10·ημ2π·(t–x/10),(το t σε s,τα x και τα y σε cm).

γ) Το σημείο Β του νήματος αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή:

t0=x0/υ0                               ή

t0=1,5 s

Άρα η χρονική στιγμή κατά την οποία αρχίζει να ταλαντώνεται το υλικό σημείο Β(xΒ=15 cm) του νήματος είναι t0=1,5 s.

ΣΥΜΒΟΛΗ ΔΥΟ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΥΓΡΟΥ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Δυο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων απέχουν μεταξύ τους απόσταση d=5 m.Τα παραγόμενα κύματα έχουν μήκος κύματος λ=1,6 m.

Να υπολογίσετε τον αριθμό των σημείων ανάμεσα στις πηγές και επάνω στην ευθεία που τις ενώνει στα οποία προκαλείται ενισχυτική συμβολή.

ΛΥΣΗ

Ο ζητούμενος αριθμός πρέπει να ικανοποιεί την σχέση:

-d/λ<Ν<d/λ           ή

-5/1,6<Ν<5/1,6     ή

-3,125<Ν<3,125

Όμως το Ν παίρνει τιμές από το σύνολο των ακεραίων αριθμών.
Έτσι οι δεκτές τιμές του Ν είναι:

Ν=0,±1,±2,±3

Άρα σε Ν=7 σημεία ανάμεσα στις δυο πηγές και επάνω στην ευθεία που τις ενώνει προκαλείται ενισχυτική συμβολή.

ΑΣΚΗΣΗ 2

Δυο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων απέχουν μεταξύ τους απόσταση d=5 m.Τα παραγόμενα κύματα έχουν μήκος κύματος λ=1,6 m.

Να υπολογίσετε τον αριθμό των σημείων ανάμεσα στις δυο πηγές και επάνω στην ευθεία που τις ενώνει στα οποία προκαλείται ακυρωτική συμβολή.

ΛΥΣΗ

Ο ζητούμενος αριθμός πρέπει να ικανοποιεί την σχέση:

-d/λ-1/2<Ν<d/λ-1/2             ή

-5/1,6 - 1/2<Ν<5/1,6 -1/2    ή

-3,625<Ν<2,625

Όμως το Ν παίρνει τιμές από το σύνολο των ακεραίων αριθμών.Έτσι οι δεκτές τιμές του Ν είναι:

Ν=0,±1,±2,-3

Άρα σε Ν=6 σημεία ανάμεσα στις δυο πηγές και επάνω στην ευθεία που τις ενώνει προκαλείται ακυρωτική συμβολή.

ΑΣΚΗΣΗ 3

Δύο σημειακές πηγές ήχου Α και Β εκπέμπουν αρμονικό ήχο ίδιας συχνότητας και βρίσκονται σε φάση.Στο μέσο Μ της απόστασής τους,ο ήχος ακούγεται έντονος.Στο σημείο Γ,που βρίσκεται πάνω στην ευθεία ΑΒ,σε απόσταση x=4 cm από το σημείο Μ,ο ήχος μηδενίζεται για πρώτη φορά.
Να βρεθεί η συχνότητα του ήχου που εκπέμπεται από τις δύο πηγές.
Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι υ=340 m/s.

ΛΥΣΗ

Απόσβεση έχουμε στα σημεία,της ευθείας ΑΒ,στα οποία ισχύει:

|r₁-r₂|=(2N+1)λ/2

όπου:

Ν=0,±1,±2...

Στο σημείο Γ όπου για πρώτη φορά παρατηρείται απόσβεση Ν=0. 

Επομένως:

r₁-r₂=λ/2

Αν το σημείο Γ βρίσκεται πλησιέστερα στο Β τότε:

AM+x-(BM-x)=λ/2      ή

2·x=λ/2

άρα:

λ=4·x=16 cm            και

f=υ/λ=2125 Hz

Άρα η συχνότητα του ήχου που εκπέμπεται από τις δύο πηγές είναι f=2125 Hz.

ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Η εξίσωση του στάσιμου κύματος στο S.I. είναι:

y=0,2·συν(π·x/0,5)·ημ(20π·t) (S.I.)

Να υπολογίσετε το πλάτος Α,το μήκος κύματος λ και την περίοδο Τ των κυμάτων που συνέβαλαν για να δημιουργηθεί το στάσιμο κύμα.

ΛΥΣΗ

Η εξίσωση του στάσιμου κύματος στο S.I. είναι:

y=2·A·συν2π·x/λ·ημ2π·t/T (S.I.)

Από την σύγκριση με την εξίσωση

y=0,2·συν(π·x/0,5)·ημ(20π·t) (S.I.)

προκύπτει:

2·Α=0,2 m

Α=0,1 m

Άρα το πλάτος των κυμάτων που συνέβαλαν για να δημιουργηθεί το στάσιμο κύμα είναι Α=0,1 m.

2π·x/λ=π·x/0,5

λ=1 m

Άρα το μήκος κύματος των κυμάτων που συνέβαλαν για να δημιουργηθεί το στάσιμο κύμα είναι λ=1 m.

2π·t/T=20π·t

T=0,1 s

Άρα η περίοδος των κυμάτων που συνέβαλαν για να δημιουργηθεί το στάσιμο κύμα είναι T=0,1 s.

ΑΣΚΗΣΗ 2

Τα κύματα y₁=8·ημ2π·(t/0,3-5·x) και y₂=8·ημ2π·(t/0,3+5·x) διαδίδονται στο ίδιο ελαστικό μέσο σε αντίθετες κατευθύνσεις.

Τα x και y είναι σε cm και το t σε s.

α) Ποια είναι η εξίσωση του στάσιμου κύματος που δημιουργείται;

β) Ποιο είναι το πλάτος της ταλάντωσης ενός σημείου που βρίσκεται στη θέση x=3,025 cm;

ΛΥΣΗ

α) Η εξίσωση ενός αρμονικού κύματος είναι:

y=A·ημ2π·(t/T–x/λ)

Συγκρίνοντας τη σχέση αυτή με τις εξισώσεις των κυμάτων που συμβάλλουν για να δημιουργήσουν το στάσιμο κύμα έχουμε ότι:

Α=8 cm

Τ=0,3 s

και

λ=0,2 cm

Η εξίσωση του στάσιμου κύματος είναι:

y=2·A·συν2π·x/λ·ημ2π·t/T

Επομένως:

y=16·συν10π·x · ημ2π·t/0,3

Άρα η εξίσωση του στάσιμου κύματος που δημιουργείται είναι y=16·συν10π·x · ημ2π·t/0,3.

β) Το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου που βρίσκεται στη θέση x=3,025 cm είναι:

A'=|2·A·συν2π·x/λ|=|16·συν30,25π|=|16·συν(30·π+π/4)|=16√2/2=8√2 cm.

Άρα το πλάτος της ταλάντωσης ενός σημείου που βρίσκεται στη θέση x=3,025 cm είναι A'=11,31 cm.

ΑΣΚΗΣΗ 3

Κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου το οποίο έχει τη διεύθυνση του άξονα x'Ox διαδίδονται προς αντίθετες κατευθύνσεις δυο πανομοιότυπα κύματα με μήκος κύματος λ=1 m.Τα δύο κύματα συμβάλουν και δημιουργούν στάσιμο εγκάρσιο κύμα στο ελαστικό μέσο.Η θέση x=0 αποτελεί κοιλιά του στάσιμου κύματος.
Να υπολογίσετε το πλήθος των κοιλιών που δημιουργούνται ανάμεσα στις θέσεις x1=-1,5 m και x2=2,5 m.

ΛΥΣΗ

Με αντικατάσταση των τιμών στην σχέση 2x1/λ<Ν<2x2/λ έχουμε:

2·x1/λ<Ν<2·x2/λ                ή

-3,75<Ν<6,25,  Ν ∈ Ζ         ή

Ν=±3,±2,±1,0,4,5

Ο αριθμός Ν λαμβάνει 10 ακέραιες τιμές.

Άρα Ν=10 κοιλιές δημιουργούνται ανάμεσα στις θέσεις x1=-1,5 m x2=2,5 m.

ΑΣΚΗΣΗ 4

Κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου το οποίο έχει τη διεύθυνση του άξονα x'Ox διαδίδονται προς αντίθετες κατευθύνσεις δυο πανομοιότυπα κύματα με μήκος κύματος λ=1 m.Τα δύο κύματα συμβάλουν και δημιουργούν στάσιμο εγκάρσιο κύμα στο ελαστικό μέσο.Η θέση x=0 αποτελεί κοιλιά του στάσιμου κύματος.

Να υπολογίσετε το πλήθος των δεσμών που δημιουργούνται ανάμεσα στις θέσεις x1=0 m και x2=2,5 m.

ΛΥΣΗ

Με αντικατάσταση των τιμών στην σχέση 2·x1/λ - 1/2<Ν<2·x2/λ - 1/2 έχουμε:

2·x1/λ - 1/2<Ν<2·x2/λ - 1/2          ή

-0,5<Ν<4,5,  Ν ∈ Ζ                       ή

Ν=0,1,2,3,4,5

Ο αριθμός Ν λαμβάνει 5 ακέραιες τιμές.

Άρα Ν=5 δεσμοί δημιουργούνται ανάμεσα στις θέσεις x1=0 m x2=2,5 m.

ΑΣΚΗΣΗ 5

Διαπασών συχνότητας 340 Hz ηχεί μπροστά σε λείο κατακόρυφο τοίχο.Ανάμεσα στο διαπασών και στον τοίχο,στην ευθεία που είναι κάθετη στον τοίχο,μετακινείται ευαίσθητος δέκτης.Παρατηρούμε ότι σε δύο διαδοχικές θέσεις του δέκτη,που απέχουν μεταξύ τους 0,5 m,η ένδειξή του μηδενίζεται.

α) Ποια είναι η ταχύτητα διάδοσης του ήχου;Αντικαθιστούμε το διαπασών με άλλο άγνωστης συχνότητας.

β) Διαπιστώνουμε δύο διαδοχικά μέγιστα έντασης σε θέσεις που απέχουν μεταξύ τους 0,2 m.Ποια είναι η συχνότητα του δεύτερου διαπασών; 

ΛΥΣΗ

Η ένταση του ήχου,άρα και η ένδειξη του δέκτη,μηδενίζεται στις θέσεις που αντιστοιχούν σε δεσμούς του στάσιμου κύματος που δημιουργείται από τη συμβολή του ήχου που εκπέμπει το διαπασών και του ήχου που ανακλάται.

Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών λ είναι:

d=λ/2

οπότε

λ=2·d=1 m

και

υ=λ·f=340 m/s

Άρα η ταχύτητα διάδοσης του ήχου είναι υ=340 m/s.

β) Τα μέγιστα του ήχου αντιστοιχούν σε δυο διαδοχικές κοιλίες του στάσιμου κύματος.

Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών κοιλιών είναι:

d'=λ'/2

οπότε

λ'=2·d'=0,4 m

και

υ'=λ'·f'

οπότε

f'=υ'/λ'=850 Hz

Άρα η συχνότητα του δεύτερου διαπασών είναι f'=850 Hz.

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΘΛΑΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Ακτίνα φωτός μήκους κύματος λ0=590·10^-9 m μεταβαίνει από τον αέρα σε γυαλί,που έχει δείκτη διάθλασης 1,52.
Η γωνία πρόσπτωσης της ακτίνας είναι θα=30^°.
Να υπολογίσετε:
α) τη συχνότητα της ακτινοβολίας στον αέρα και στο γυαλί,
β) την ταχύτητα διάδοσης στο γυαλί,
γ) Το μήκος κύματος της ακτινοβολίας στο γυαλί,
δ) τη γωνία διάθλασης της ακτίνας.
Η ταχύτητα του φωτός στο κενό είναι c=3x10⁸ m/s.

ΛΥΣΗ

α) Όταν το φως διαδίδεται στον αέρα η ταχύτητά του είναι σχεδόν όση και η ταχύτητά του στο κενό δηλαδή c.
Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής έχουμε:

c=λ0·f                         ή

f=c/λ0=5·10^-14

Η συχνότητα μιας ακτινοβολίας δεν αλλάζει όταν το φως μεταβαίνει από το ένα μέσο στο άλλο.

Άρα και στο γυαλί η συχνότητα της ακτινοβολίας είναι   f=5·10¹⁴ Hz.   

β) Ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού είναι:

n=c/υ

επομένως

υ=c/n=1,973·10⁸ m/s

Άρα η ταχύτητα διάδοσης στο γυαλί είναι υ=1,973·10⁸ m/s.

γ) Για να βρούμε το μήκος κύματος της ακτινοβολίας στο γυαλί χρησιμοποιούμε πάλι τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής για τη διάδοσή της στο γυαλί.

υ=λ·f

οπότε:

λ=υ/f=395·10^-9 m

Άρα το μήκος κύματος της ακτινοβολίας στο γυαλί είναι λ=395·10^-9 m.

δ) Σύμφωνα με το νόμο του Snell:

nα·ημθα=nb·ημθb

Το αρχικό μέσο (α) είναι ο αέρας με δείκτη διάθλασης nα=1 ενώ μέσο b είναι το γυαλί με δείκτη διάθλασης nb=n.

Επομένως:

ημθα=n·ημθb

άρα:

ημθb=ημ30^°/n=0,329

θb=12,9^ο

Άρα η γωνία διάθλασης της ακτίνας είναι θb=12,9^ο.

ΟΛΙΚΗ ΑΝΑΚΛΑΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Υπολογίστε την κρίσιμη (οριακή) γωνία στη διαχωριστική επιφάνεια νερού-αέρα. Ο δείκτης διάθλασης του νερού είναι 1,33.

ΛΥΣΗ

Η κρίσιμη γωνία δίνεται από τη σχέση:

ημθcrit=nb/nα  

Μέσο α είναι το νερό με nα=1,33 και μέσο b,ο αέρας με nb=1.
Αντικαθιστώντας παίρνουμε ότι:

ημθcrit=0,75

επομένως:

θcrit=49°

Άρα η κρίσιμη (οριακή) γωνία στη διαχωριστική επιφάνεια νερού-αέρα είναι θcrit=49°.

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1(θέμα 3ο ΟΕΦΕ 2009)

Σε γραμμικό,ομογενές και ελαστικό μέσο,που εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του οριζόντιου άξονα x'Ox,διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα προς τη θετική φορά.

Όταν το κύμα φθάνει σε κάθε σημείο του μέσου,αυτό ξεκινάει την αρμονική του ταλάντωση από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο προς τη θετική φορά του κατακόρυφου άξονα y΄y.Η διέλευσή του από τη θέση ισορροπίας του γίνεται 20 φορές σε κάθε 2 δευτερόλεπτα με ταχύτητα μέτρου 2π m/s.Η ελάχιστη οριζόντια απόσταση δύο σημείων του μέσου,των οποίων οι ταλαντώσεις έχουν διαφορά φάσης Δφ=π rad,είναι 1 m.

Α)Να υπολογίσετε το μήκος κύματος,την συχνότητα και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

Β)Ένα δεύτερο πανομοιότυπο κύμα διαδίδεται στο ίδιο μέσον,αλλά προς την αρνητική φορά του άξονα x΄Ox και συναντιέται με το πρώτο κύμα την χρονική στιγμή t=0 στην αρχή Ο(x=0) του άξονα x'Ox.

α)Να γραφούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων.

β)Σε πόσο μήκος του ελαστικού μέσου έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα τη χρονική στιγμή t1=0,2 s;

ΑΣΚΗΣΗ 2(Εξετάσεις ομογενών 2010)

Οι παρακάτω εξισώσεις περιγράφουν ένα μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό και ένα μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο αντίστοιχα

Ε=3·10²·ημ2π·(8·10¹¹·t–4·10³·x) (S.I.)

B=10^-6·ημ2π·(8·10¹¹·t–4·10³·x) (S.I.)

Οι εξισώσεις αυτές:

α) μπορεί να περιγράφουν ένα ηλεκτρομαγνητικό (Η/Μ) κύμα που διαδίδεται στο κενό.

β) μπορεί να περιγράφουν ένα Η/Μ κύμα που διαδίδεται σε ένα υλικό.

γ) δεν μπορεί να περιγράφουν ένα Η/Μ κύμα.

Δίνεται η ταχύτητα του φωτός στο κενό c=3·10⁸ m/s.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση

Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

ΑΣΚΗΣΗ 3

Μια κυματομορφή διαδίδεται προς τα δεξιά κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και στο σχήμα δίνεται η μορφή του μέσου κάποια στιγμή t0.Τη στιγμή αυτή το σημείο Β έχει ταχύτητα μέτρου π (m/s),ενώ το σημείο Γ,το οποίο απέχει οριζόντια απόσταση από το Β d=0,4 m,δεν έχει ταχύτητα έχοντας κατακόρυφη εκτροπή 0,2 m.

α) Να σχεδιάστε τη μορφή του μέσου τη στιγμή t₀+0,4 s.

β) Να υπολογίστε τις ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Κ και Γ τη στιγμή αυτή.

ΑΣΚΗΣΗ 4

Στο παρακάτω σχήμα βλέπεται τη μορφή ενός αρμονικού κύματος το οποίο διαδίδεται προς τα αριστερά κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου,κάποια στιγμή,για την οποία θεωρούμε ότι t=0.Κάθε σημείο του μέσου χρειάζεται χρόνο 0,5 s για να κινηθεί μεταξύ των δύο ακραίων θέσεων της τροχιάς του.

Με βάση την παραπάνω εικόνα,πόσο είναι το πλάτος και πόσο το μήκος του κύματος;

ΑΣΚΗΣΗ 5

Ένα κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και για t=0 φτάνει στο σημείο Ο,που θεωρούμε x=0,όπως στο σχήμα.Για να φτάσει το σημείο Ο σε μέγιστη απομάκρυνση προς τα πάνω,περνά χρόνος t΄=0,5 s.

Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας σε συνάρτηση με το χρόνο για την ταλάντωση που θα πραγματοποιήσει το σημείο Ο.

ΑΣΚΗΣΗ 6

Ένα κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά (θετική κατεύθυνση) κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και στο παρακάτω σχήμα δίνεται ένα τμήμα του στιγμιότυπου κάποια στιγμή, που θεωρούμε t=0,σε μια περιοχή του μέσου,μεταξύ των σημείων Β και Ε.Δίνεται ότι τη στιγμή αυτή τα σημεία Δ και Ε έχουν μηδενική ταχύτητα ταλάντωσης.

Το σημείο Ο στη θέση x=0,θα φτάσει για πρώτη φορά σε απομάκρυνση 0,5m τη χρονική στιγμή t₁=0,3 s.

α) Να σημειώστε πάνω στο σχήμα τις ταχύτητες των σημείων Β,Ο και Γ τη στιγμή που ελήφθη το παραπάνω στιγμιότυπο.

β) Να υπολογίσετε το πλάτος του κύματος,το μήκος κύματος και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

γ) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του σημείου Δ,για t=0.

δ) Να εξετάσετε αν το κύμα αυτό μπορεί να περιγραφεί από μια εξίσωση της μορφής:

ε) Να σχεδιάστε ένα στιγμιότυπο του κύματος αυτού,για την ίδια περιοχή,τη χρονική στιγμή t2=0,1 s.

ΑΣΚΗΣΗ 7

Δίνεται το στιγμιότυπο (α) του παρακάτω σχήματος κάποια χρονική στιγμή t0,για ένα κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά,χωρίς αρχική φάση,ξεκινώντας από την πηγή που θεωρούμε ότι βρίσκεται στη θέση x=0. 

α) Ποια η φάση του σημείου Δ;

β) Για πόσο χρόνο ταλαντώνεται το σημείο Β;

γ) Πόσες ταλαντώσεις έχει εκτελέσει η πηγή του κύματος;

δ) Αναφερόμενοι στο (β) σχήμα που το κύμα διαδίδεται επίσης προς τα δεξιά ξεκινώντας επίσης από τη θέση x=0:

ε) Ποιες οι φάσεις των σημείων Γ και Ε;

στ) Ποια η αρχική φάση της πηγής;

ΑΣΚΗΣΗ 8

Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα,προς τα δεξιά και στο παρακάτω σχήμα δίνεται η μορφή (καμπύλη (1)) μιας περιοχής του μέσου μια στιγμή t=0.

Τα δύο επόμενα στιγμιότυπα ελήφθησαν μετά από λίγο, σε χρόνο μικρότερο της περιόδου.

α) Ποιο στιγμιότυπο προηγείται χρονικά το (2) ή το (3);

β) Μπορείτε να βρείτε τις χρονικές στιγμές t1 και t2 σε συνάρτηση με τη περίοδο;

γ) Σχεδιάστε πάνω στο σχήμα τις ταχύτητες του σημείου Κ και στις τρεις θέσεις.

δ) Να σημειώστε πάνω στο σχήμα ένα σημείο Λ το οποίο απέχει κατά ένα μήκος κύματος από το Κ.

ε) Σημειώστε τώρα πάνω στο σχήμα ένα άλλο σημείο Μ το οποίο έχει φάση μικρότερη κατά π από τη φάση του σημείου Κ.

ΑΣΚΗΣΗ 9

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από αριστερά προς τα δεξιά διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα. Στο διάγραμμα δίνεται ένα στιγμιότυπο του κύματος που ελήφθη για t=0.

Τη στιγμή αυτή το σημείο Ο,στη θέση x=0 έχει μηδενική ταχύτητα και παρατηρούμε ότι θα ξαναέχει ταχύτητα μηδέν αφού μετακινηθεί κατά d=4 cm σε χρόνο 0,4 s.

α) Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

β) Να γίνει το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1=1,2 s.

ΑΣΚΗΣΗ 10

Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος μιας οριζόντιας ελαστικής χορδής, που ταυτίζεται με τον θετικό ημιάξονα Οx.Η πηγή του κύματος βρίσκεται στη θέση x=0 και τη χρονική στιγμή t=0 ξεκινά να ταλαντώνεται με εξίσωση y=Α·ημω·t.Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της φάσης ταλάντωσης του σημείου Κ με xΚ=5 m,σε συνάρτηση με το χρόνο.

α) Ποια είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος;

β) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος.

γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του

ΑΣΚΗΣΗ 11

Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος μιας οριζόντιας ελαστικής χορδής, που ταυτίζεται με τον θετικό ημιάξονα Οx.Η πηγή του κύματος  βρίσκεται στη θέση x=0 και τη χρονική στιγμή t=0 ξεκινά να ταλαντώνεται με εξίσωση y=Α·ημω·t.Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της φάσης ταλάντωσης των σημείων της χορδής σε συνάρτηση με τη θέση τους x τη χρονική στιγμή t=5 s.

α) Ποια είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος;

β) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος.

γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t=5 s.

ΑΣΚΗΣΗ 12

Στη θέση xΡ=6 m ενός γραμμικού ελαστικού μέσου υπάρχει μια πηγή κύματος Ρ,η οποία για t=0,αρχίζει να ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση y=1∙ημ(2πt) (μονάδες στο S.Ι.).
Η μορφή του μέσου μετά από λίγο,τη στιγμή t1,είναι αυτή του παρακάτω σχήματος.

α) Πόσο είναι το πλάτος του κύματος και πόσο το μήκος του κύματος, με βάση την παραπάνω εικόνα;;

β) Να βρεθεί η στιγμή t₁ στην οποία ελήφθη η παραπάνω εικόνα.

γ) Να βρεθούν οι εξισώσεις των κυμάτων,y₁=f(t,x) και y₂=f(t,x),για τα δύο κύματα που κινούνται προς τα δεξιά και προς τ’ αριστερά αντίστοιχα.

δ) Να σχεδιάστε τη μορφή του μέσου τη χρονική στιγμή t2=1,5 s.

ΑΣΚΗΣΗ 13

Στο σχήμα βλέπετε δύο σύγχρονες πηγές O₁ και O₂,οι οποίες απέχουν d=1 m,ταλαντώνονται με συχνότητα 10 Ηz και παράγουν κύματα στην επιφάνεια ενός υγρού,με πλάτος ταλάντωσης 1 cm.Οι λευκοί κύκλοι αποτελούν ισοφασικές γραμμές με φάση 2κπ και οι μαύροι κύκλοι με φάση (2κ+1)π.

α) Ποια η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο κυμάτων που συμβάλουν στο σημείο Α; Ποιο το πλάτος ταλάντωσης του σημείου αυτού;

β) Ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις για το σημείο Β;

γ) Πόσο είναι το μήκος κύματος των δύο κυμάτων και πόσα σημεία μεταξύ των δύο πηγών ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος;

δ) Για το σημείο Σ του σχήματος ποια η διαφορά r2-r1 των αποστάσεών του από τις δύο πηγές;Επιβεβαιώστε,μετρώντας τις δύο αποστάσεις με βάση το σχήμα.

ε) Πόσα τόξα ενισχυτικής συμβολής σχηματίζονται στην επιφάνεια του υγρού;

στ) Αν αυξηθεί η συχνότητα ταλάντωσης των πηγών στην τιμή f1=12,5 Ηz,να σχεδιάστε τα τόξα ενισχυτικής συμβολής στην επιφάνεια του υγρού, μεταξύ των δύο πηγών.

ΑΣΚΗΣΗ 14

Στα σημεία Π1 και Π2 της οριζόντιας επιφάνειας ενός υγρού βρίσκονται δύο πηγές κυμάτων που ταλαντώνονται σύμφωνα με την εξίσωση y=0,1·ημ(40π·t),(S.I).Τα κύματα που παράγονται από τις δύο πηγές διαδίδονται στην επιφάνεια του υγρού με ταχύτητα 40 m/s και συμβάλουν.Ένα σημείο Ρ της επιφάνειας του υγρού απέχει από τις πηγές Π1 και Π2 αποστάσεις 60 m και 40 m αντίστοιχα.Τα κύματα φτάνουν στο Ρ σε φάση. Η υπερβολή (κροσσός ενισχυτικής συμβολής) που περνάει από το Ρ τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα Π1Π2 στο σημείο Β.

α)Να αποδείξετε ότι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος Π1Π2 είναι επίσης κροσσός ενισχυτικής συμβολής.
β)Πόσοι άλλοι κροσσοί ενισχυτικής συμβολής υπάρχουν μεταξύ των δύο προηγούμενων κροσσών;
γ)Να υπολογίσετε την απόσταση ΟΒ.

ΑΣΚΗΣΗ 15

Δύο σύγχρονες πηγές Π1 και Π2  που απέχουν απόσταση d=4 m,ξεκινούν να ταλαντώνονται την t=0 με εξίσωση y=0,25·ημω·t (S.I.),παράγοντας στην επιφάνεια ενός υγρού αρμονικά κύματα.Το μήκος κύματος των κυμάτων είναι ίσο με το διάστημα που διανύει κάθε πηγή καθώς ταλαντώνεται σε χρόνο μιας περιόδου.Ένα σημείο Σ της επιφάνειας του υγρού που απέχει απόσταση r1=0,8 m από την πηγή Π1 και απόσταση r2=2,8 m από την πηγή Π2,ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t1=0,4 s.

α) Να υπολογίσετε το μήκος κύματος λ και την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων.
β) Να διερευνήσετε αν στο σημείο Σ έχουμε ενισχυτική ή αποσβεστική συμβολή.
γ) Να βρεθεί η υπερβολή ενίσχυσης ή απόσβεσης στην οποία βρίσκεται το Σ.
δ) Να βρεθεί η υπερβολή ενίσχυσης ή απόσβεσης στην οποία βρίσκεται  Σ.
ε) Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης,της ταχύτητας και της επιτάχυνσης.

ΑΣΚΗΣΗ 16

Ποια σημεία στην επιφάνεια ενός υγρού,στην οποία διαδίδονται δύο κύματα από σύγχρονες πηγές ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος και ποια παραμένουν ακίνητα.

Στην επιφάνεια ενός υγρού διαδίδονται  δύο κύματα που προέρχονται από δύο σύγχρονες πηγές,με μήκος κύματος λ=20 cm.

Α) Να βρεθούν τα σημεία που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος και να σημειωθούν πάνω στο σχήμα,όταν η απόσταση των πηγών είναι:

α) d=39 cm 

β) d=40 cm 

γ) d=41 cm, 

δ) 30 cm

Β) Πάνω στα παραπάνω σχήματα να σχεδιαστούν και οι αντίστοιχες γραμμές που να εμφανίζουν τα σημεία που παραμένουν διαρκώς ακίνητα.

ΑΣΚΗΣΗ 17

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ένα στιγμιότυπο ενός στάσιμου κύματος, πάνω στο οποίο έχει σχεδιαστεί η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Β.

Α) Να σχεδιάστε,πάνω στο σχήμα,τις ταχύτητες ταλάντωσης των υπολοίπων σημείων,τα οποία έχουν σημειωθεί.

Β) Ποια η διαφορά φάσης μεταξύ των σημείων:
α) Β και Γ, 
β) Β και Ζ και 
γ) Β και Θ.

ΑΣΚΗΣΗ 18

Δίνονται οι εξισώσεις για την ένταση ενός ηλεκτρικού και ενός μαγνητικού πεδίου,τα οποία μεταβάλλονται σε κάθετα επίπεδα.

Ε=120∙ημ 2π(α·t-2∙10⁶∙x) και 

Β=4∙10^-7∙ημ 2π(α·t-2∙10⁶∙x) 

(μονάδες στο S.Ι.)

α) Μπορούν οι παραπάνω εξισώσεις να περιγράφουν ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα που να διαδίδεται στο κενό;

β) Αν πράγματι υπάρχει τέτοιο ηλεκτρομαγνητικό κύμα, να βρεθεί ο συντελεστής α του χρόνου, στην παραπάνω εξίσωση.Σε ποια περιοχή του φάσματος ανήκει αυτό το ΗΜΚ;

γ) Το παρακάτω κύμα προσπίπτει από τον αέρα σε πλάκα πάχους d=√2 m,όπως στο σχήμα όπου θ=30°,οπότε φτάνει στο σημείο Β,σε απόσταση x=0,5 m από το σημείο Α.

α) Να βρεθεί ο δείκτης διάθλασης του υλικού της πλάκας για το παραπάνω κύμα.

β) Αν η φάση του διαθλώμενου κύματος είναι της μορφής φ=ωt-kx',να προσδιορίσετε τις τιμές των ω και k.

Δίνεται c=3∙10⁸ m/s

ΑΣΚΗΣΗ 19

Η εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου σ’ ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι E=0,6·ημπ(2·10∙⁸t–2∙x/3)  (S.I.)  (1)

α) Να βρείτε τη συχνότητα του κύματος και να αποδείξετε ότι η διάδοσή του γίνεται στο κενό (ή στον αέρα).

β) Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του μαγνητικού πεδίου του κύματος.

γ) Αν σε κάποια στιγμή είναι E=0,3 N/C,να βρείτε το μέτρο της έντασης του μαγνητικού πεδίου εκείνη τη στιγμή.

δ) Να υπολογίσετε τη χωρητικότητα C του πυκνωτή ενός ραδιοφώνου για να μπορεί να λαμβάνει τα παραπάνω ραδιοκύματα αν το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=1 mΗ.

Δίνεται για το κενό ή τον αέρα:
c=3·10⁸ m/s.

ΑΣΚΗΣΗ 20

Δύο πηγές κυμάτων Π1,Π2 βρίσκονται στα σημεία Κ,Λ ελαστικού μέσου και την χρονική στιγμή μηδέν αρχίζουν να εκτελούν ταλαντώσεις, ίδιου πλάτους και συχνότητας.Η Π1 ξεκινά να ταλαντώνεται με μέγιστη θετική ταχύτητα ενώ η Π2 με μέγιστη αρνητική.Αν η απόσταση του μέσου Μ του ΚΛ από το σημείο Α,που είναι το πλησιέστερο σε αυτό σημείο ενισχυτικής συμβολής, είναι d= 0,25 m,και η απομάκρυνση του Α από την θέση ισορροπίας ,σε συνάρτηση με τον χρόνο,αν θεωρήσουμε σαν χρονική στιγμή μηδέν,την στιγμή που άρχισε η συμβολή στο Α φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα:

Να υπολογιστούν:
α) Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.
β) Ο αριθμός των σημείων του ΚΛ που είναι ακίνητα αν (ΚΛ)=8 m.
γ) Η εξίσωση του κύματος που οφείλεται στη Π2.
δ) Αν σε σημείο Ζ του ελαστικού μέσου τα κύματα φθάνουν με χρονική καθυστέρηση 0,3 s.
Να βρεθεί το πλάτος των ταλαντώσεων του Ζ μετά την συμβολή.
ε) Να σχεδιάσετε τα στιγμιότυπα των δύο κυμάτων πάνω στο ΚΛ την χρονική στιγμή που οι διαταραχές φθάνουν στο μέσο του ΚΛ.
στ) Ποια είναι η μικρότερη χρονική στιγμή που αν ξεκινούσε να ταλαντώνεται η Π2 , τα σημεία της μεσοκαθέτου του ΚΛ,θα ήταν σημεία ενισχυτικής συμβολής.

ΑΣΚΗΣΗ 20

Ένα κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου με ταχύτητα 2 m/s και συχνότητα 1 Ηz.Το πλάτος ταλάντωσης κάθε σημείου είναι Α=0,1 m.
Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος αν η πηγή του κύματος που είναι στη θέση x=0:

α) Για t=0 περνά από τη θέση ισορροπίας της με θετική ταχύτητα.

β) Για t=0 βρίσκεται στην ακραία θέση της με θετική απομάκρυνση, για πρώτη φορά.

γ) Για t=0 ξεκινά την ταλάντωση της με ταχύτητα ταλάντωσης υ=-ω·Α.

ΑΣΚΗΣΗ 21

Κατά μήκος γραμμικού και ομογενούς ελαστικού μέσου στη διεύθυνση του άξονα x, έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα με εξίσωση y=6 συν(π·x/10)·ημ(10π·t). 

α) Ποιες είναι οι εξισώσεις των τρέχοντων αρμονικών κυμάτων, με τη συμβολή των οποίων δημιουργήθηκε το στάσιμο κύμα;

β) Δύο σημεία Α και Β βρίσκονται στις θέσεις x1=-20 cm και x2=20 cm.
Πόσες κοιλίες υπάρχουν ανάμεσα τους;

γ) Μεταβάλλουμε τη συχνότητα ταλάντωσης, έτσι ώστε μεταξύ των σημείων Α και Β να υπάρχει μία κοιλία λιγότερη, χωρίς να μεταβληθεί το πλάτος της ταλάντωσης.
Ποια θα είναι η εξίσωση του νέου στάσιμου κύματος;

ΑΣΚΗΣΗ 22

Στην ήρεμη επιφάνεια του νερού δημιουργείται ένα εγκάρσιο επιφανειακό αρμονικό κύμα,το οποίο διαδίδεται με ταχύτητα υ=20 m/s και έχει μήκος κύματος λ=2 cm.'Ενα μικρό κομμάτι ξύλου (φελλός),που βρίσκεται σε απόσταση d=5 cm από την πηγή του κύματος, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, με μέγιστη ταχύτητα υmax=10π m/s. 
Να βρείτε:

α) την εξίσωση του κύματος που διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα x'x.

β) την απομάκρυνση του ξύλου από τη θέση ισορροπίας του,όταν η απομάκρυνση της πηγής είναι y=-2 mm.

γ) τη θέση του πλησιέστερου ως προς την πηγή σημείου του νερού,που βρίσκεται σε συμφωνία φάσης με το κομμάτι του ξύλου.

ΑΣΚΗΣΗ 23

Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα x'x με ταχύτητα v=100 m/s.Το πλάτος του κύματος είναι A=10 cm και έχει μήκος κύματος λ=1,6 m.Η πηγή Ο του κύματος τη χρονική στιγμή t=0 έχει απομάκρυνση y=0.

α) Πόση είναι η συχνότητα του κύματος;

β) Ποια είναι η εξίσωση του κύματος;

γ) Πόση είναι η μετατόπιση ενός υλικού σημείου του ελαστικού μέσου, το οποίο βρίσκεται σε απόσταση x=0,08 m τη χρονική στιγμή t=0,032 s;

ΑΣΚΗΣΗ 24

Η εξίσωση ενός γραμμικού αρμονικού κύματος είναι y=3·ημ4·(330·t-x).
Να βρείτε:

α) την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

β) τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των υλικών σημείων του ελαστικού μέσου.

γ) την απόσταση δύο σημείων του ελαστικού μέσου με διαφορά φάσης 2π/3 rad.

ΑΣΚΗΣΗ 25

Η εξίσωση ενός γραμμικού αρμονικού κύματος που διαδίδεται κατά μήκος μιας χορδής είναι y=-10·ημπ(20·x-10·t),με y,x σε cm και t σε s.

α) Για ένα σημείο Μ που απέχει κατά 60cm από την πηγή Ο να βρεθούν οι τιμές της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης τις χρονικές στιγμές t1=0,4 s και t2=2,4 s.

β) Να βρείτε πόσο απέχει από την πηγή ένα σημείο ν που προηγείται του Μ κατά Δφ=π rad.

γ) Για το σημείο Μ να βρεθεί η μεταβολή της φάσης μεταξύ των χρονικών στιγμών t1=1 s και t2=1,2 s.

ΑΣΚΗΣΗ 26

Η εξίσωση ενός γραμμικού αρμονικού κύματος είναι:

y(x,t)=0,01·ημ(4π·t-10π·x) (SI)

Να βρεθούν:

α) Το πλάτος,η περίοδος,το μήκος κύματος και η ταχύτητα διάδοσης.

β) Η χρονική στιγμή που αρχίζει να ταλαντώνεται ένα σημείο Α που απέχει από την πηγή απόσταση xA=80 cm.

γ) Η ταχύτητα του σημείου Α τη χρονική στιγμή t1=5 s.

ΑΣΚΗΣΗ 27

Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται με ταχύτητα 2 m/s,κατά μήκος του άξονα x από αριστερά προς τα δεξιά και για t=0 φτάνει σε ένα σημείο Ρ στη θέση x₁=4/3 m.Το σημείο Ρ αρχίζει την ταλάντωση του από τη θέση ισορροπίας και κινείται προς την θετική κατεύθυνση με συχνότητα 1 Ηz και πλάτος A=0,2 m.

α) Να βρεθεί την εξίσωση του κύματος.

β) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₁=5/6 s.

γ) Να βρείτε τη θέση ενός σημείου Σ το οποίο τη στιγμή t₁ έχει φάση 8π.

ΑΣΚΗΣΗ 28

Δύο πηγές Π1 και Π2 δημιουργούν στην επιφάνεια του νερού δύο κύματα που έχουν συχνότητα f=100 Hz,πλάτος Α=1 mm,διαφορά φάσης 0 rad και ταχύτητα διάδοσης υ=100 cm/s.Οι δύο πηγές απέχουν απόσταση d=8 cm.
Να βρεθεί το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελεί το σημείο Σ,αν (Π1Σ)=10 cm.

ΑΣΚΗΣΗ 29

Δύο σύγχρονες πηγές Ο1 και Ο2 απέχουν μεταξύ τους 1m και δημιουργούν στην επιφάνεια ενός υγρού εγκάρσια κύματα τα οποία διαδίδονται με ταχύτητα υ=5 m/s.Oι δύο πηγές των κυμάτων την χρονική στιγμή t=0 αρχίζουν να εκτελούν κατακόρυφες ταλαντώσεις με εξισώσεις:

y1=y2=0,3·ημ50π·t (S.I.)

Δύο σημεία Α και Β βρίσκονται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα Ο1Ο2 και απέχουν 0,45 m και 0,65 m από την πηγή Ο₁ αντίστοιχα.
Να βρεθούν :

Α) Οι εξισώσεις απομάκρυνσης και ταχύτητας ταλάντωσης σε συνάρτηση με τον χρόνο για τα σημεία Α και Β.

Β) Πόσο απέχουν τα σημεία μεταξύ τους τις χρονικές στιγμές:
α)t1=0,08 s,
β)t2=0,1 s, 
γ)t3=0,2 s.

Γ) Πόσα σημεία στο ευθύγραμμο τμήμα AB ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος μετά την έναρξη της συμβολής και στα δύο σημεία;

ΑΣΚΗΣΗ 30

Στην ήρεμη επιφάνεια ενός υγρού υπάρχουν δύο σύμφωνες Α και Β που εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α=1 cm και συχνότητας f=5Hz.Οι δύο πηγές απέχουν απόσταση d=4 m.Τα παραγόμενα κύματα διαδίδονται με ταχύτητα v=10 m/s.Ένα μικρό κομμάτι φελλού βρίσκεται στο σημείο Γ σε απόσταση 3 m από το Β,έτσι ώστε η ΒΓ να είναι κάθετη στην ΑΒ.

α) Αν θεωρήσουμε ότι οι πηγές άρχισαν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή t=0,να βρεθεί η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του και η ταχύτητα του φελλού τις χρονικές στιγμές t1=0,2 s,t2=0,45 s και t3=0,575 s.

β) Ποια χρονική στιγμή,αφού συμβάλλουν και τα δύο κύματα στο σημείο Γ,ο φελλός θα φτάσει για πρώτη φορά στη θέση μέγιστης αρνητικής απομάκρυνσης;

γ) Σε ποια σημεία του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ θα μπορούσε να τοποθετηθεί ένα δεύτερος φελλός,ώστε να παραμένει διαρκώς ακίνητος;

ΑΣΚΗΣΗ 31

Δύο σημαδούρες Α και Β απέχουν μεταξύ τους απόσταση ΑΒ=13,5 m και η ευθεία γραμμή που διέρχεται από αυτές είναι κάθετη στην ακτογραμμή.Πλοίο που κινείται παράλληλα στην ακτογραμμή,μακριά από τις σημαδούρες δημιουργεί κύμα,με φορά διάδοσης από το Α προς το Β,το οποίο θεωρούμε εγκάρσιο αρμονικό.Το κύμα διαδίδεται προς την ακτή.Εξ αιτίας του κύματος η κάθε σημαδούρα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας της 30 φορές το λεπτό.Ο χρόνος που απαιτείται,για να φτάσει ένα «όρος» του κύματος από τη σημαδούρα Α στη Β,είναι 9s.H μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης της κάθε σημαδούρας είναι π/5 m/s.Θεωρούμε ως αρχή μέτρησης των αποστάσεων τη σημαδούρα Α και ως αρχή μέτρησης των χρόνων τη στιγμή που η σημαδούρα Α βρίσκεται στη θέση ισορροπίας και κινείται προς τα θετικά.

α) Να υπολογιστεί το μήκος κύματος.

β) Πόσο απέχει η σημαδούρα Α από την ακτή, αν αυτή βρίσκεται για 21^η φορά στην ανώτερη θέση της ταλάντωσης της, όταν το κύμα φτάνει στην ακτή.

γ) Να γραφεί η εξίσωση ταλάντωσης της σημαδούρας Β,καθώς το κύμα διαδίδεται από τη σημαδούρα Α προς τη Β.

δ) Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης της σημαδούρας Β κάποια χρονική στιγμή που σημαδούρα Α βρίσκεται στο ανώτερο σημείο της ταλάντωσης της.

ε) Ένας νεαρός θέλοντας να παίξει με το κύμα ξεκινάει από τη ακτή με φορά προς τις δύο  σημαδούρες και πάνω στην ευθεία που ενώνει τις σημαδούρες.Ο νεαρός κάθεται πάνω σε κάθισμα που στηρίζεται σε ιδανικό ελατήριο σταθερά Κ=400π² Ν/m έχοντας αυτός μάζα Μ₁=60 Kg ενώ το κάθισμα της βάρκας έχει μάζα Μ₂=40 Kg.Τι ταχύτητα πρέπει να έχει η βάρκα του για να απολαύσει «μέγιστα» την διαδρομή;Η εξαναγκασμένη ταλάντωση που θα εκτελέσει ο νεαρός να θεωρηθεί χωρίς απόσβεση.

ΑΣΚΗΣΗ 32

Δύο σύγχρονες πηγές Π1 και Π2 που απέχουν απόσταση d=8 m,παράγουν στην επιφάνεια ενός υγρού αρμονικά κύματα που έχουν ταχύτητα διάδοσης υ=20 m/s.Η εξίσωση της απομάκρυνσης των πηγών σε συνάρτηση με το χρόνο δίνεται από τη σχέση y=0,4·ημ20π·t  (S.I.).Σε ένα σημείο Σ της επιφάνειας του υγρού που απέχει απόσταση r1=4 m από την πηγή Π1 και απόσταση r2 από την πηγή Π2 με r2>r1,τα δύο κύματα φτάνουν με χρονική καθυστέρηση Δt=0,2 s.

α) Να διερευνήσετε αν στο σημείο Σ έχουμε ενισχυτική ή αποσβεστική συμβολή.

β) Να βρεθεί η απόσταση r2.

γ) Να βρεθεί η υπερβολή ενίσχυσης ή απόσβεσης στην οποία βρίσκεται το σημείο Σ.

δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σημείου Σ σε συνάρτηση με το χρόνο για t≥0.

ε) Να υπολογίσετε την ταχύτητα ταλάντωσης του Σ τη χρονική στιγμή t=0,45s.

στ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της δύναμης επαναφοράς που δέχεται

το υλικό σημείο Σ σε συνάρτηση με το χρόνο για t≥0 αν θεωρήσουμε ότι η στοιχειώδης μάζα του υλικού σημείου Σ είναι m=5•10^-3 Kg.

ζ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση του πλάτους ταλάντωσης του σημείου Σ

σε συνάρτηση με το χρόνο για t≥0.

ΑΣΚΗΣΗ 33

Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με πλάτος Α=10 cm,συχνότητα f=20Hz και μήκος κύματος λ=40 cm , παράγονται από δύο σύγχρονες πηγές Π1 και Π2 που απέχουν η μια από την άλλη απόσταση  d=80 cm. 
α) Να γράψετε την εξίσωση της ταλάντωσης ενός σημείου που απέχει από τις πηγές Π1 και Π2 αποστάσεις d1=110 cm και d2=30 cm αντίστοιχα.
β) Ποιο είναι το πλάτος αυτού του σημείου και ποια η φάση του μετά τη συμβολή των κυμάτων σ’ αυτό;
γ) Πόσα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος Π1Π2 μένουν συνεχώς ακίνητα και πόσα ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος;
δ) Ένα σημείο που απέχει από την πηγή Π1 απόσταση d1=35 cm και βρίσκεται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα Π1Π2.Tι απομάκρυνση θα έχει από τη θέση ισορροπίας του,πόση ταχύτητα και επιτάχυνση τη χρονική στιγμή t=37/120 s;

ΑΣΚΗΣΗ 34

Αρμονικό κύμα χωρίς αρχική φάση διαδίδεται σε ελαστικό μέσο.Για το κύμα γνωρίζουμε τα εξής: τη χρονική στιγμή t=0,2 s η πηγή έχει εκτελέσει ακριβώς 3 πλήρεις ταλαντώσεις, ενώ το σημείο Μ,που βρίσκεται σε απόσταση 0,2 m από την πηγή έχει φάση ίση με 2π rad.Η μέγιστη επιτάχυνση του σημείου Μ είναι α0=90π² m/s².

α) Να γράψετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος και να υπολογίσετε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σημείου Μ τις χρονικές στιγμές t1=1/30 s και t2=1 s.

β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση απομάκρυνσης-χρόνου για το σημείο Μ μέχρι τη χρονική στιγμή t3=3/15 s καθώς και το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t3.

γ) Ποια είναι η εξίσωση ενός δεύτερου κύματος που διαδίδεται στο ελαστικό μέσο και η συμβολή του με το πρώτο κύμα δίνει στάσιμο κύμα;Να γραφεί η εξίσωση του στάσιμου κύματος, θεωρώντας ως t=0 τη στιγμή που συμβάλλουν τα κύματα στο Ο.

ΑΣΚΗΣΗ 35

Τα άκρα Α και Β μιας τεντωμένης ελαστικής χορδής μήκους L είναι ακλόνητα στερεωμένα.Στο μέσο Ο της χορδής προκαλούμε μια απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y=0,05·ημ20π·t (SI).Τα παραγόμενα κύματα διαδίδονται στη χορδή με ταχύτητα v=4 m/s.Όταν αποκατασταθεί στη χορδή μόνιμη κατάσταση,παρατηρούμε ότι υπάρχουν 4 σημεία,εκτός από τα Α και Β,που παραμένουν διαρκώς ακίνητα. 

α) Να βρεθεί το μήκος L της χορδής.

β) Να γραφεί η εξίσωση του στάσιμου κύματος, αν τη χρονική στιγμή t=0,το μέσο Ο της χορδής,που θεωρούμε αρχή του άξονα x'x,βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα.

γ) Να σχεδιαστεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t=1/40 s.

δ) Να βρεθεί η εξίσωση της ταλάντωσης ενός σημείου Μ,που βρίσκεται στη θέση x1=0,15m.

ε) Αν η συχνότητα ταλάντωσης της χορδής γίνει f'=18 Hz,πόσοι δεσμοί δημιουργούνται στη χορδή;

στ) Αλλάζουμε τη χορδή με μια άλλη,από άλλο υλικό.Αν επαναλάβουμε το αρχικό πείραμα,παρατηρούμε ότι πάνω στη χορδή δημιουργούνται 8 συνολικά δεσμοί.Ποια είναι τώρα η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων;

η) Να βρεθεί ο λόγος των μέγιστων ταχυτήτων ταλάντωσης για το σημείο Ο και για τις δύο χορδές.

ΑΣΚΗΣΗ 36

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε το στιγμιότυπο ενός στάσιμου κύματος που δημιουργείται κατά μήκος μιας χορδής μήκους l=45 cm και έχει δημιουργηθεί από τη συμβολή δύο τρέχοντων κυμάτων.Η ταχύτητα διάδοσης των δύο τρέχοντων κυμάτων μέσα στο ελαστικό μέσο είναι v=20 cm/s.Αν x1=35 cm και d=40 cm:

α) να βρείτε την εξίσωση του στάσιμου κύματος και τις εξισώσεις των κυμάτων που δημιουργούν με τη συμβολή τους το στάσιμο κύμα.

β) να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις της απομάκρυνσης με το χρόνο για δύο υλικά σημεία Α και Β με xA=12,5 cm και xB=25 cm.

γ) να γίνουν τα στιγμιότυπα του στάσιμου κύματος τη χρονική στιγμή t1=1 s και να δείξετε για δύο τυχαίες κοιλίες στο στιγμιότυπο την κατεύθυνση της κίνησής τους.

δ) να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση των σημείων Β και Γ,με xΓ=30 cm,κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής τους.

ΑΣΚΗΣΗ 37

Μια χορδή ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση y=10·συν(2π·x/3)·ημ50π·t (x,y σε cm).
Να βρείτε:

α) τις εξισώσεις των δύο κυμάτων που όταν συμβάλλουν, δίνουν την παραπάνω εξίσωση.

β) την απόσταση d μεταξύ δύο διαδοχικών ακίνητων σημείων της χορδής

γ) την ταχύτητα που έχει τη χρονική στιγμή t=0,18 s ένα σημείο της χορδής το οποίο βρίσκεται στη θέση x=3 cm.

ΑΣΚΗΣΗ 38

Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα που έχουν το ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα f=20Hz διαδίδονται κατά μήκος μιας χορδής προς αντίθετες κατευθύνσεις και δημιουργούν στάσιμο κύμα.
Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σωματιδίων που βρίσκονται στις κοιλίες είναι 160 π cm/s.
Η απόσταση μεταξύ ενός δεσμού και της αμέσως επόμενης κοιλίας είναι Δx=15 cm.

α) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος.

β) Ποια είναι η διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων της χορδής,που απέχουν μεταξύ τους απόσταση 20 cm.

γ) Πόσοι δεσμοί σχηματίζονται μεταξύ μιας κοιλίας του στάσιμου κύματος που επιλέγουμε σαν αρχή μέτρησης των αποστάσεων x=0 και ενός σημείου της χορδής που απέχει από αυτήν απόσταση 135 cm.

ΑΣΚΗΣΗ 39

Ένα κύμα διαδίδεται κατά μήκος ενός ελαστικού μέσου,προς τα δεξιά (θετική φορά) με εξίσωση:

y=0,2·ημ2π·(5·t-10·x) (S.Ι)

Να γράψετε την εξίσωση ενός άλλου κύματος το οποίο διαδίδεται κατά μήκος του ελαστικού μέσου και συμβάλλοντας με το πρώτο δημιουργεί στάσιμο,με κοιλία στη θέση x=0.Ποια η εξίσωση του προκύπτοντος στάσιμου,θεωρώντας ως t=0 τη στιγμή που τα κύματα συμβάλλουν στο Ο (x=0).
Να εξετάσετε αν τα σημεία Κ,με xΚ=0,125 m και Η με xΗ=0,35 m είναι δεσμοί ή κοιλίες του στάσιμου.
Να βρείτε πόσες κοιλίες και πόσοι δεσμοί του στάσιμου βρίσκονται μεταξύ των σημείων Κ,Η.
Δύο σημεία Ζ,Μ του μέσου βρίσκονται στις θέσεις x_Ζ=0,21 m και x_Μ=0,33m.
Να βρείτε πόσοι δεσμοί του στάσιμου βρίσκονται μεταξύ των σημείων Ζ,Μ και στη συνέχεια να υπολογίσετε την απομάκρυνση και την ταχύτητα του σημείου Μ,τη χρονική στιγμή που το Ζ διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα

ΑΣΚΗΣΗ 40

Η εξίσωση του ηλεκτρικού πεδίου ενός ηλεκτροµαγνητικού κύµατος είναι Ε=60 ηµ2π·(6·10¹⁰·t–2·10²·x) στο σύστηµα SI.
α) Να δειχθεί ότι το ηλεκτροµαγνητικό κύµα διαδίδεται στο κενό.
β) Όταν το παραπάνω ηλεκτροµαγνητικό κύµα διαδίδεται σε ένα γυαλί έχει µήκος κύµατος 2,5 mm.
Να βρεθεί ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού αυτού.
γ) Αναφερόµαστε στη διάδοση του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος στο κενό.
Να γραφεί η εξίσωση Β του μαγνητικού πεδίου του παραπάνω κύματος.

Δίνεται ότι η ταχύτητα διάδοσης των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων στο κενό c=3·10⁸ m/s.

ΑΣΚΗΣΗ 41

Η κοινή φάση του ηλεκτρικού και µαγνητικού πεδίου ενός ηλεκτροµαγνητικού κύµατος είναι 2π·(6·10¹⁰·t–2·10²·x) στο σύστηµα SI.

α) Να δειχθεί ότι το ηλεκτροµαγνητικό κύµα διαδίδεται στο κενό.

β) Όταν το παραπάνω ηλεκτροµαγνητικό κύµα διαδίδεται σε ένα γυαλί έχει µήκος κύµατος 2,5 mm.Να βρεθεί ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού αυτού.

γ) Αναφερόµαστε στη διάδοση του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος στο κενό.

Τα πεδία του περιγράφονται από τις εξισώσεις

60·ηµ[2π (6·10¹⁰·t–2·10²·x)]          (1) 

2·10^-7ηµ[2π (6·10¹⁰·t–2·10²·x)]     (2) 

στο σύστηµα SI.

Να αιτιολογήσετε ποια από τις (1),(2) περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο και ποια το µαγνητικό πεδίο.

Δίνεται ότι η ταχύτητα διάδοσης των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων στο κενό είναι c=3·10⁸ m/s.

ΑΣΚΗΣΗ 42

Ακτίνα ορατής μονοχρωματικής ακτινοβολίας συχνότητας f=5·10¹⁴ Hz διαδίδεται στον αέρα με ταχύτητα c=3·10⁸ m/s και στη συνέχεια διέρχεται από τον αέρα σε γυάλινη πλάκα.Ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού για την παραπάνω ακτινοβολία είναι 1,5.

α) Να υπολογίσετε το μήκος κύματος της ακτινοβολίας λ0 στο κενό.

β) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης της ακτινοβολίας μέσα στο γυαλί.

γ) Να υπολογίσετε το μήκος κύματος της ακτινοβολίας λ μέσα στο γυαλί.

δ) Να βρείτε πόσο διαφέρει η συχνότητα ενός φωτονίου της ακτινοβολίας στο κενό από την ενέργεια του φωτονίου αυτού,όταν η ακτίνα βρίσκεται μέσα στο γυαλί.

ε) Τον αριθμό των μηκών κύματος που περιλαμβάνονται:

i) σε 6 cm αέρα και

ii) σε 6 cm του γυαλιού.

ζ) Να βρείτε την % μεταβολή της ταχύτητάς της και του μήκους κύματός της κατά τη μετάβασή της από τον αέρα στο διαφανές υλικό με n=1,5.

η) Σχεδιάστε τη πορεία μιας ακτίνας της παραπάνω μονοχρωματικής ακτινοβολίας κατά την είσοδό της από τον αέρα στο γυαλί.(θεωρείστε ότι θΠ=30°.)

θ) Να βρείτε σε πόσο χρόνο η ακτινοβολία διαδίδεται σε απόσταση ίση με 10 μήκη κύματός της.

i) στον αέρα και

ii) στο γυαλί.

ι) Να βρείτε την τιμή του δείκτη διάθλασης ενός διαφανούς υλικού στο οποίο αν διαδιδόταν η παραπάνω ακτινοβολία θα παρουσίαζε μεταβολή της ταχύτητάς της κατά 20% σε σχέση με την ταχύτητά της στο κενό.

ΑΣΚΗΣΗ 43

Δυο πηγές κύματος Π1,Π2 βρίσκονται στα σημεία Κ,Λ ενός ελαστικού μέσου.Την χρονική στιγμή μηδέν αρχίζει να ταλαντώνεται η Π1,με εξίσωση ταλάντωσης τής μορφής y=0,4·ημω·t (S.I).Την χρονική στιγμή t1 που η διαταραχή φτάνει σε σημείο Ζ του ελαστικού μέσου που βρίσκεται πάνω στην μεσοκάθετο του ΚΛ και απέχει από την Π1 d1=5 m,αρχίζει να ταλαντώνεται και η Π2 ξεκινώντας με μέγιστη αρνητική ταχύτητα.

Α) Αν την χρονική στιγμή t1 η Π1 περνά από την θέση ισορροπίας με ταχύτητα υ=-8π m/s,και στο ευθύγραμμο τμήμα Π1Ζ υπάρχουν ακόμα,άλλα 2 σημεία με την ίδια ταχύτητα.

Να βρεθούν:

α) Η χρονική στιγμή t1.

β) Να παρασταθεί γραφικά η φάση του κύματος σε συνάρτηση με την απόσταση x από την πηγή Π1,για τα σημεία που βρίσκονται στο ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ ,την χρονική στιγμή t1.

γ) Να σχεδιαστεί το στιγμιότυπο του κύματος στο τμήμα Π1Ζ την χρονική στιγμή t1.

Β) Αν την χρονική στιγμή t2,που φτάνει στο Ζ η διαταραχή από την Π2,σταματά να ταλαντώνεται η Π1.

α) να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του Ζ με τον χρόνο για το χρονικό διάστημα 0-1s και να παρασταθεί γραφικά.

β) Να βρεθεί η χρονική στιγμή που η απομάκρυνση του Ζ από την θέση ισορροπίας γίνεται για πρώτη φορά 0,8 m.

ΑΣΚΗΣΗ 44

Δυο πηγές κύματος Π1,Π2 βρίσκονται στα άκρα ευθυγράμμου τμήματος (ΚΛ) μήκους 4 m πάνω σε ελαστική επιφάνεια.Την χρονική στιγμή μηδέν αρχίζει να ταλαντώνεται η Π1,με εξίσωση ταλάντωσης τής μορφής y=0,2·ημ(π/2·t).

Σημείο Α του ελαστικού μέσου βρίσκεται πάνω στην κάθετη στο (ΚΛ) στο σημείο Κ ,και απέχει από την Π1 απόσταση(ΚΑ)=3 m.Η διαταραχή από την Π1 φτάνει στο Α την χρονική στιγμή t1=3 s.Την χρονική στιγμή t2 που το Α φτάνει στην μέγιστη θετική του απομάκρυνση για 2^η φορά αρχίζει να ταλαντώνεται και η Π2_.Την χρονική στιγμή t₃ που η διαταραχή από την Π2 φτάσει στο Α παύει να ταλαντώνεται η Π1 ενώ η Π2 συνεχίζει να ταλαντώνεται.

α) Να βρεθεί η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων,το μήκος κύματος λ και οι χρονικές στιγμές t2 και t3.

β) Να βρεθεί η διαφορά φάσης των ταλαντώσεων που κάνουν οι πηγές.

γ) Σημείο Ν του ελαστικού μέσου απέχει από τις πηγές,αποστάσεις x1 και x2.Αν το Ν μετά την συμβολή παραμένει ακίνητο ποια είναι η μορφή της διαφοράς x1-x2.

δ) Πόσα σημεία του (ΚΛ) παραμένουν ακίνητα όσο και τα δύο κύματα διαδίδονται στο (ΚΛ).

ε) Αν η υπερβολή που περνά από το Α τέμνει το ΚΛ στο Θ να βρεθεί η απόσταση ΚΘ.

στ) Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του Α με τον χρόνο και να παρασταθεί γραφικά στο χρονικό διάστημα 0 έως t3+2Τ.

ζ) Να σχεδιαστεί το στιγμιότυπο του κύματος που οφείλεται στην Π1 την χρονική στιγμή t3+0,75 s.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος μιας χορδής.Ο χρόνος που χρειάζεται ένα σημείο της χορδής για να μετατοπιστεί από τη θέση μέγιστης απομάκρυνσης στη θέση ισορροπίας του είναι 0,15 s.
Ποια είναι η συχνότητα του κύματος;Αν το μήκος κύματος είναι λ=1,2 m ποια είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος; 

ΛΥΣΗ

10/6 Hz, 

2 m/s

ΑΣΚΗΣΗ 2

Η εξίσωση ενός γραμμικού αρμονικού κύματος είναι y=3x10^-2ημπ(1320·t-4·x).
Να υπολογίσετε:

α)  το μήκος κύματος (Α),την ταχύτητα του κύματος υ.

β) τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων του ελαστικού μέσου.

γ) την απόσταση μεταξύ δύο σημείων του ελαστικού μέσου τα οποία 

δ) παρουσιάζουν διαφορά φάσης 120°.

ΛΥΣΗ

1,57 m, 

330 m/s, 

39,6 m/s, 

0,523 m

ΑΣΚΗΣΗ 3

Η πηγή κυμάτων Ο αρχίζει τη χρονική στιγμή μηδέν να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α=10 cm και συχνότητας f=0,25 Hz.Το κύμα που δημιουργεί διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου με ταχύτητα υ=3 m/s.
Να υπολογίσετε:

α) μετά από πόσο χρόνο θα αρχίσει να κινείται κάποιο σημείο Β του μέσου,που απέχει x=60 m από την πηγή Ο. 

β) την απομάκρυνση του σημείου Β, από τη θέση ισορροπίας του,τη στιγμή t=21,5 s. 

ΛΥΣΗ

20 s,  

5√ 2 cm

ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ

ΑΣΚΗΣΗ 4

Ένα στάσιμο κύμα περιγράφεται από την εξίσωση:

y=0,5·συνπ·x/3 · ημ40π·t όπου τα x και y είναι σε cm και το t σε s. 

α) Να γράψετε τις εξισώσεις των δύο κυμάτων που συμβάλλουν για να δημιουργήσουν το στάσιμο κύμα.

β ) Πόσο απέχουν δύο διαδοχικοί δεσμοί;

γ) Τι ταχύτητα έχει τη χρονική στιγμή t=9/8 s ένα σημείο του μέσου το οποίο απέχει 1cm από τη θέση x=0;                     

δ) Με τι ταχύτητα διαδίδονται τα κύματα που δημιουργούν το στάσιμο;

ΛΥΣΗ

y1=0,25 ·ημ2π·(20·t-x/6), 

y2 =0,25·ημ2π(20·t+x/6), 

3 cm, 

-31,4 cm/s, 

1,2 m/s

ΑΣΚΗΣΗ 5

Στο σχήμα απεικονίζεται το στιγμιότυπο ενός στάσιμου κύματος, κάποια στιγμή κατά την οποία όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου έχουν μηδενική ταχύτητα.Τα κύματα που συμβάλλουν για να δώσουν το στάσιμο κύμα έχουν περίοδο  Τ=2 s.

α) Να σχεδιάσετε τα στιγμιότυπα του στάσιμου κύματος μετά από 0,5 s και μετά από 1 s.          

β) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης ενός σημείου που βρίσκεται στη θέση x=12,5 cm.

ΛΥΣΗ

2√ 2 cm

ΑΣΚΗΣΗ 6

Διαπασών συχνότητας 340 Hz ηχεί μπροστά σε λείο κατακόρυφο τοίχο.Ανάμεσα στο διαπασών και στον τοίχο,στην ευθεία που είναι κάθετη στον τοίχο,μετακινείται ευαίσθητος δέκτης.Παρατηρούμε ότι σε δύο διαδοχικές θέσεις του δέκτη,που απέχουν μεταξύ τους 0,5 m,η ένδειξή του μηδενίζεται.

α) Ποια είναι η ταχύτητα διάδοσης του ήχου;Αντικαθιστούμε το διαπασών με άλλο άγνωστης συχνότητας.

β) Διαπιστώνουμε δύο διαδοχικά μέγιστα έντασης σε θέσεις που απέχουν μεταξύ τους 0,2 m.Ποια είναι η συχνότητα του δεύτερου διαπασών; 

ΛΥΣΗ

340 m/s, 

850 Hz

ΑΣΚΗΣΗ 7

Δύο κύματα διαδίδονται ταυτόχρονα κατά μήκος του ίδιου σχοινιού.Οι εξισώσεις των κυμάτων είναι:

y1=5·ημπ(5·t-x) και 

y2=5·ημπ(5·t+x) 

όπου τα y και x είναι μετρημένα σε cm και το t σε s.       

α) Υπολογίστε την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων.

β) Βρείτε τη θέση τριών σημείων του σχοινιού τα οποία παραμένουν ακίνητα και τριών σημείων των οποίων το πλάτος της ταλάντωσης είναι μέγιστο.                 

γ) Ποιο είναι το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης;

ΛΥΣΗ

α) 5 cm/s 

β) 0,1 cm,2 cm, ...και 0,5 cm,1,5 cm,2,5 cm,... 

γ) 10cm

ΑΣΚΗΣΗ 8

Δύο κύματα ίδιου πλάτους,συχνότητας 60 Hz,διαδίδονται αντίθετα σε χορδή της οποίας τα άκρα είναι στερεωμένα σε ακλόνητα σημεία.Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων είναι 120 m/s.Το στάσιμο κύμα που δημιουργείται στη χορδή έχει τρεις δεσμούς.
Βρείτε το μήκος της χορδής. 

ΛΥΣΗ

2 m

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΗ 9

Ένας ραδιοφωνικός σταθμός εκπέμπει στα 100 MHz.

α) Ποιο είναι το μήκος κύματος που εκπέμπει ο σταθμός;

β) Η μέγιστη mm του ηλεκτρικού πεδίου του κύματος σε κάποια θέση είναι Εmax=12x10^-3 V/m. 

Ποια είναι η μέγιστη τιμή του μαγνητικού πεδίου του κύματος σε εκείνη τη θέση;

γ) Αν για τη λήψη αυτού του ηλεκτρομαγνητικού κύματος χρησιμοποιείται δέκτης με κύκλωμα LC,στο οποίο το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=5 mH,για ποια τιμή της χωρητικότητας του πυκνωτή συντονίζεται ο δέκτης; 

(c=3x10⁸ m/s) 
Θεωρείστε π²≈10

ΛΥΣΗ

3 m, 

4x10^-11 T, 

5x10^-16

ΑΝΑΚΛΑΣΗ-ΔΙΑΘΛΑΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ 10

Με ποια ταχύτητα διαδίδεται μονοχρωματικό φως σε γυαλί που έχει γι' αυτό το φως δείκτη διάθλασης n=1,5;
Η ταχύτητα του φωτός στο κενό είναι c=3x10⁸ m/s.

ΛΥΣΗ

2x3x10⁸ m/s

ΑΣΚΗΣΗ 11

Στον πυθμένα δοχείου που περιέχει νερό τοποθετούμε μια γυάλινη πλάκα.Δέσμη παράλληλων ακτίνων μονοχρωματικού φωτός προσπίπτει από το νερό στη γυάλινη πλάκα με γωνία πρόσπτωσης 30°.
Βρείτε τις διευθύνσεις των ανακλώμενων και διαθλώμενων ακτίνων. 

Δίνονται οι δείκτες διάθλασης του νερού και του γυαλιού n1=1,33 και n2=1,55 αντίστοιχα 

ΛΥΣΗ

θr=30°, 

ημθb=0,4375

ΑΣΚΗΣΗ 12

Μέσα σε υγρό με άγνωστο δείκτη διάθλασης βυθίζουμε μια γυάλινη πλάκα.Μια λεπτή μονοχρωματική δέσμη πέφτει στην πλάκα με γωνία πρόσπτωσης θα.Μεταβάλλοντας τη γωνία πρόσπτωσης παρατηρούμε ότι όταν είναι μεγαλύτερη των 60° η δέσμη παθαίνει ολική ανάκλαση  στη γυάλινη πλάκα.Αν ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού είναι nb=1,5 να βρεθεί ο δείκτης διάθλασης του υγρού.

ΛΥΣΗ

√3

ΑΣΚΗΣΗ 13

Ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία συχνότητας f=5,1x10¹⁴ Hz έχει στο νερό μήκος κύματος λ=4,4x10^-7 m.
Να βρείτε το δείκτη διάθλασης του νερού.Η ταχύτητα του φωτός στο κενό είναι c=3x10⁸ m/s.

ΛΥΣΗ

1,33

ΑΣΚΗΣΗ 14

Το μήκος κύματος μιας μονοχρωματικής ακτινοβολίας στον αέρα είναι 650nm.      

α) Ποια είναι η συχνότητα της ακτινοβολίας;                     

β) Ποιο είναι το μήκος κύματος της ακτινοβολίας όταν διέρχεται από γυαλί που έχει δείκτη διάθλασης 1,4;                         

γ) Ποια είναι η ταχύτητα της ακτινοβολίας στο γυαλί;

Δίνεται c=3x10⁸ m/s.

ΛΥΣΗ

α) 4,6x10¹⁴ Hz, 

β) 464 nm, 

γ) 2,4x10⁸ m/s

ΑΣΚΗΣΗ 15

Το κίτρινο φως που δίνει η λάμπα νατρίου διαδίδεται σε κάποιο υγρό ταχύτητα 1,92x10⁸ m/s.
Ποιος είναι ο δείκτης διάθλασης του υγρού αυτού για το κίτρινο φως; 
Δίνεται c=3x10⁸ m/s.

ΛΥΣΗ

n=1,56

ΑΣΚΗΣΗ 16

Μονοχρωματική δέσμη φωτός πέφτει κάθετα στην επιφάνεια πρίσματος με δείκτη διάθλασης n=√2 όπως στο παρακάτω σχήμα. 

Υπολογίστε τη μεγαλύτερη τιμή της γωνίας φ για την οποία η δέσμη υφίσταται ολική ανάκλαση στην επιφάνεια ΒΓ του πρίσματος.

ΛΥΣΗ

φmax=45°

ΑΣΚΗΣΗ 17

Μονοχρωματική δέσμη προσπίπτει στο σημείο Α μιας γυάλινης με γωνία πρόσπτωσης 60°. 

Ποιος πρέπει να είναι ο ελάχιστος δείκτης διάθλασης του γυαλιού ώστε η δέσμη να υποστεί ολική ανάκλαση στο σημείο Β;(Η γυάλινη πλάκα βρίσκεται στον αέρα).

ΛΥΣΗ

1,32 

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Δύο σύγχρονες πηγές Π1 και Π2 δημιουργούν στην επιφάνεια ενός υγρού κύματα, με πλάτος Α=3 mm και περίοδο Τ = 0,4 s.Η ταχύτητα των κυμάτων είναι υ =5 m/s.Ένα μικρό κομμάτι φελλού βρίσκεται σε κάποιο σημείο της επιφάνειας, σε αποστάσεις r1=6 m και r2=5,5 m από τις πηγές.Η κίνηση του φελλού είναι αποτέλεσμα της συμβολής των δύο κυμάτων.
Να περιγράψετε την κίνηση του. 

ΛΥΣΗ

απλή αρμονική ταλάντωση,με πλάτος A'=3 mm και περίοδο 0,4 s.

ΑΣΚΗΣΗ 2

Σε κάποιο σημείο στην επιφάνεια ενός υγρού δημιουργούμε κύματα με την πηγή Π.Στο σημείο Σ της επιφάνειας, σε απόσταση α από την πηγή,τα κύματα μπορούν να φτάσουν ή απευθείας (ακολουθώντας τη διαδρομή ΠΣ) ή αφού ανακλαστούν στον ανακλαστήρα Α που βρίσκεται στην επιφάνεια του υγρού και πάνω στη μεσοκάθετο του τμήματος ΠΣ.Αν μετακινήσουμε τον ανακλαστήρα παρατηρούμε ότι όταν απέχει απόσταση Η από το 0,το σημείο Σ παραμένει συνέχεια ακίνητο,ενώ,για πρώτη φορά,κάνει ταλάντωση με μέγιστο πλάτος,όταν ο ανακλαστήρας μετακινείται κατά d. 

Να βρείτε το μήκος του κύματος. 

ΛΥΣΗ

     _________        ______

2√ 4(Η+d)+α²-2√4H²+α²

ΑΣΚΗΣΗ 3

Μια σημειακή πηγή μονοχρωματικού φωτός βρίσκεται σε βάθος h,μέσα σε υγρό με δείκτη διάθλασης n για το φως που εκπέμπει η πηγή.
Να υπολογίσετε την ακτίνα του φωτεινού δίσκου που βλέπει στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού ένας παρατηρητής που βρίσκεται έξω από το υγρό. 

ΛΥΣΗ

     ___

h/√n²-1

ΑΣΚΗΣΗ 4

Μια ακτίνα μονοχρωματικού φωτός πέφτει πάνω σε γυάλινη πλάκα πάχους d.Η γωνία πρόσπτωσης της ακτίνας είναι φ και ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού η.

α) Δείξτε ότι η ακτίνα που εξέρχεται από το γυαλί είναι παράλληλη στην αρχική.

β) Υπολογίστε την παράλληλη μετατόπιση που υφίσταται η ακτίνα από το γυαλί.

ΛΥΣΗ

                             _______

l=dημφ[1-συνφ/√n²-ημφ²]

ΑΣΚΗΣΗ 5

Κυλινδρικό δοχείο έχει διάμετρο βάσης 8 cm και άγνωστο ύψος.Ένας παρατηρητής βρίσκεται σε τέτοια θέση,ώστε μόλις να βλέπει την απέναντι εσωτερική άκρη του πυθμένα,όταν το δοχείο είναι κενό.Αν το δοχείο είναι γεμάτο με νερό ο παρατηρητής,χωρίς να αλλάξει θέση βλέπει το κέντρο του πυθμένα. 

Να υπολογίσετε το ύψος του δοχείου.
Δίνεται ότι ο δείκτης διάθλασης του νερού είναι n=√2

ΛΥΣΗ

8 cm

ΑΣΚΗΣΗ 6

Η διάταξη του παρακάτω σχήματος αποτελείται από δύο σωλήνες Α και Β.Ο σωλήνας Β μπορεί να μετακινείται.Με τον τρόπο αυτό μεταβάλλεται το μήκος χ.Μια ηχητική πηγή Π δημιουργεί στο ανοιχτό άκρο του σωλήνα ήχο συχνότητας 1,25 kHz.Στο άλλο άκρο (Σ) του σωλήνα φτάνουν ταυτόχρονα δύο ηχητικά κύματα.Τα κύματα δημιουργούνται από την πηγή και διαδίδονται μέσω του αέρα στους σωλήνες Α και Β.Όταν μετακινούμε το σωλήνα Β (μεταβάλλεται τότε η απόσταση x) παρατηρούμε ότι η ένταση του ήχου στο σημείο Σ αυξομειώνεται.Η ένταση του ήχου στο σημείο Σ είναι μηδέν όταν η απόσταση x είναι x0=0,408 m.

Ποια είναι η επόμενη τιμή της απόστασης x (x>0,408 m) για την οποία μηδενίζεται ξανά η ένταση του ήχου;
Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υ=340 m/s. 

ΛΥΣΗ

0,544 m

ΑΣΚΗΣΗ 7

Πηγές κυμάτων Π1 και Π2 δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού εγκάρσια κύματα. Ένα σημείο Κ που απέχει r1 και r2 από τις πηγές έχει κάθε στιγμή απομάκρυνση y1=A·ημ(2π·t-π·r1+φο) (SI) εξαιτίας του κύματος που δημιουργεί η πηγή Π1 και y2=A·ημ(2π·t-π·r2) (SI) εξαιτίας του κύματος που δημιουργεί η πηγή Π2.

α) Να βρείτε την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στην επιφάνεια του υγρού.

β) Αν  ποια πρέπει να είναι η διαφορά των αποστάσεων r1-r2 του σημείου Κ από τις δύο πηγές ώστε  να διατηρείται συνεχώς ακίνητο και
ii.  να ταλαντώνεται με πλάτος 2Α

γ) Ποια πρέπει να είναι η τιμή της φo, ώστε ένα σημείο Μ της επιφάνειας του υγρού που βρίσκεται σε απόσταση r1=12 m από την Π1 και r1=10 m από την Π2 να παραμένει διαρκώς ακίνητο;

ΛΥΣΗ

2m/s,(2N+3/2)m,N=0, ±1,±2, .... 

(2N+1/2)m N=0, ±1, ±2,....π rad

ΑΣΚΗΣΗ 8

Το άκρο Ο,γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου που εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του ημιάξονα Οx αρχίζει,τη χρονική στιγμή t=0,να ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση: 

y=5·ημ10π·t (το y σε cm το t σε s)

Η ταλάντωση του σημείου Ο διαδίδεται στο μέσο με ταχύτητα υ=20 cm/s.

α) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος.

β) Να παραστήσετε γραφικά τις φάσεις των σημείων του μέσου στο οποίο διαδίδεται το κύμα σε συνάρτηση με την απόσταση(x) από την πηγή  Ο,τη χρονική στιγμή t1=1 s.

γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1.

ΛΥΣΗ

y=5·ημ2π·(5·t-x/4),(τα x,y σε cm το t σε s)

ΑΣΚΗΣΗ 9

Σε γραμμικό ελαστικό μέσον που εκτείνεται κατά μήκος του άξονα x'x έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα που περιγράφεται από την εξίσωση y=8·ημ10π·t.(τα x,y σε cm το t σε s)

α) Ποια είναι η ταχύτητα των κυμάτων η συμβολή των οποίων έδωσε αυτό το στάσιμο κύμα;                   

β) Ποια είναι, τη χρονική στιγμή t=1/40 s,η απομάκρυνση και η ταχύτητα του σημείου Μ του υλικού που βρίσκεται στη θέση 

γ) Πόσοι δεσμοί υπάρχουν μεταξύ των σημείων Α και Β του υλικού που βρίσκονται στις θέσεις xA=-4 cm και xB=10 cm.

ΛΥΣΗ

α) 20 cm/s, 

β) yM=4 cm υΜ=40π cm/s 

γ) επτά