ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWELL (ΜΑΞΓΟΥΕΛ)

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWELL (ΜΑΞΓΟΥΕΛ)

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWELL (ΜΑΞΓΟΥΕΛ)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

 Στις αρχές του 19ου αιώνα οι ερευνητές είχαν αντιληφθεί ότι ο ηλεκτρισμός και ο μαγνητισμός είναι συγγενή φαινόμενα.

  Ο Χανς Κρίστιαν Έρστεντ (14 Αυγούστου 1777–9 Μαρτίου 1851) ήταν Δανός φυσικός και χημικός.Προσπάθησε ν' αποδείξει και να συσχετίσει τα μαγνητικά και ηλεκτρικά φαινόμενα,που επιβεβαιώθηκε αργότερα και κατέληξε στις εξισώσεις του Μάξγουελ,ώστε οι φυσικοί να μιλούν πλέον μόνο για Ηλεκτρομαγνητισμό

 Το πείραμα του Oersted,με το οποίο ανακαλύφθηκε στα 1820 ότι ο αγωγός που διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα δημιουργεί γύρω του μαγνητικό πεδίο,οδήγησε τους επιστήμονες της εποχής εκείνης να μελετήσουν το αντίστροφο πρόβλημα το οποίο διατυπωνόταν ως εξής.Είναι δυνατό από το μαγνητικό πεδίο να δημιουργήσουμε ηλεκτρικό ρεύμα;

Το πείραμα του Oersted στα 1820 αποδεικνύει ότι ο αγωγός που διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα δημιουργεί γύρω του μαγνητικό πεδίο

 Ο Michael Faraday (Φαραντέι) ήταν ο πρώτος που μελέτησε συστηματικά αυτό το πρόβλημα.Στα 1831 ύστερα από μια σειρά επιτυχών πειραμάτων,ανακάλυψε το νόμο της ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής,ή νόμο της επαγωγής,όπως λέμε για συντομία.

Ο Μάικλ Φαραντέι (22 Σεπτεμβρίου 1791–25 Αυγούστου 1867) ήταν ένας Άγγλος επιστήμονας με σημαντική συμβολή στην εξέλιξη του ηλεκτρομαγνητισμού και της ηλεκτροχημείας.Δεν είχε κοινοπολιτειακή υπηκοότητα,αλλά είχε αποκτήσει τον τίτλο του Εταίρου της Βασιλικής Εταιρείας,που δίνονταν σε πολίτες ή μόνιμους κατοίκους της Κοινοπολιτείας των Εθνών

 Τα πειράματα αυτά οδήγησαν τον Faraday στο συμπέρασμα ότι ένα σταθερό μαγνητικό πεδίο δε δημιουργεί ηλεκτρικό ρεύμα.Αντίθετα,αν μεταβληθεί η μαγνητική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια που ορίζει το κύκλωμα,στο κύκλωμα εμφανίζεται ένα απροσδόκητο ρεύμα.

Ο δίσκος του Faraday,η πρώτη γεννήτρια

 Στα ίδια συμπεράσματα κατέληξε την ίδια χρονιά,ανεξάρτητα από τον Faraday,ο Αμερικανός Joseph Henry (Χένρι).Η σημασία του φαινομένου της ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής είναι τεράστια στην σύγχρονη εποχή.Στην ηλεκτρομαγνητική επαγωγή βασίζεται η λειτουργία της ηλεκτρικής γεννήτριας. 

Μια σύγχρονη γεννήτρια τουρμπίνας ατμού

 Η ηλεκτρική ενέργεια που σήμερα παράγεται σχεδόν αποκλειστικά από τις ηλεκτρικές γεννήτριες,επηρέασε και επηρεάζει την εξέλιξη της τεχνολογίας και την ευημερία των λαών γενικότερα.

Ο Τζόζεφ Χένρι (17 Δεκεμβρίου 1797-13 Μαΐου 1878) ήταν Αμερικανός φυσικός ο οποίος ανακάλυψε το φαινόμενο της αυτεπαγωγής.Επίσης ανακάλυψε το φαινόμενο της αμοιβαίας επαγωγής ταυτόχρονα σχεδόν με τον Φαραντέι αλλά ο Φαραντέι δημοσίευσε πρώτος την ανακάλυψη.Η μονάδα του συντελεστή αυτεπαγωγής στο διεθνές σύστημα μονάδων,το Χένρι,έχει πάρει το όνομά του.Ο Χένρι τελειοποίησε επίσης το ηλεκτρομαγνητικό ρελέ που αποτέλεσε βασικό εξάρτημα για την κατασκευή του τηλέγραφου.Ήταν επίσης ο εφευρέτης των πρώτων ηλεκτροκινητήρων

 Επίσης η παραγωγή και μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας στηρίζεται στο φαινόμενο της ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής.Τέλος μια από τις σύγχρονες εφαρμογές του νόμου της επαγωγής είναι ο βηματοδότης.

Ο Βηματοδότης.Το πρώτο πηνίο τοποθετείται με χειρουργική επέμβαση στο εσωτερικό των τοιχωμάτων του στήθους και έξω από το στήθος τοποθετείται το δεύτερο πηνίο.Με ειδική γεννήτρια στέλνονται ηλεκτρικοί παλμοί στο δεύτερο πηνίο και με επαγωγή δημιουργείται τάση στα άκρα του πρώτου πηνίου,τα οποία στηρίζονται στους μυς της καρδιάς.Έτσι μια άρρυθμη καρδιά μπορεί να λειτουργεί κανονικά με ελεγχόμενο ρυθμό

 Ο J.C. Maxwell λαμβάνοντας υπόψη όλη την προηγούμενη εμπειρία  (Coulomb,Ampere,Faraday….) μετά από μελέτες έφτασε στο συμπέρασμα ότι και το φως είναι ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα.

Ο Τζέιμς Κλερκ Μάξγουελ (James Clerk Maxwell) ήταν Σκωτσέζος φυσικός.Γεννήθηκε στο Εδιμβούργο στις 13 Ιουνίου 1831 και πέθανε στο Καίμπριτζ στις 5 Νοεμβρίου 1879

 Ο Maxwell με τέσσερις εξισώσεις του (1864),ολοκλήρωσε τη θεωρία του ηλεκτρομαγνητισμού.

Η ενοποίηση ηλεκτρισμού-μαγνητισμού

 Η ενοποίηση ηλεκτρισμού-μαγνητισμού (θεωρία ηλεκτρομαγνητισμού) αποτέλεσε ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα της ανθρώπινης διανόησης.

Οι τέσσερις εξισώσεις του Maxwell

 Η σπουδαιότητα των εξισώσεων αυτών στον ηλεκτρομαγνητισμό είναι αντίστοιχη με τη σπουδαιότητα των νόμων του Newton στη μηχανική.

ΠΡΩΤΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

 Η πρώτη είναι ο νόμος του Gauss για το ηλεκτρικό πεδίο, σύμφωνα με τον οποίο η ηλεκτρική ροή μέσα από μια κλειστή επιφάνεια είναι ανάλογη με το συνολικό φορτίο Qεγκ που περικλείει η επιφάνεια.

                                                                          ΦΕ=Qεγκ/ε0

που συνδέει το ηλεκτρικό πεδίο με το ηλεκτρικό φορτίο που το δημιουργεί.

 Η ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss για το ηλεκτρικό πεδίο είναι:

 Η διαφορική μορφή του νόμου του Gauss για το ηλεκτρικό πεδίο είναι:

και η φυσική σημασία της παραπάνω μορφής είναι ότι συνδέει το ηλεκτρικό πεδίο Ε σε κάποιο σημείο του χώρου με την κατανομή φορτίου,που εκφράζεται με την πυκνότητα ρ,στο ίδιο σημείο του χώρου.Εκφράζει δηλαδή,μια τοπική σχέση μεταξύ των δυο αυτών φυσικών ποσοτήτων.Έτσι μπορούμε να πούμε ότι τα ηλεκτρικά φορτία είναι οι πηγές του ηλεκτρικού πεδίου και ότι η κατανομή και το μέγεθός τους ορίζουν το ηλεκτρικό πεδίο σε κάθε σημείο του χώρου.

ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

 Η δεύτερη είναι ο νόμος του Gauss για το μαγνητισμό:

                                                                          Φm=0

που δηλώνει ότι δεν υπάρχουν μαγνητικά μονόπολα,δηλαδή δεν υπάρχει  μαγνητικό αντίστοιχο του ηλεκτρικού φορτίου.

 Η ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss για το μαγνητισμό είναι:

 Η διαφορική μορφή του νόμου του Gauss για το μαγνητισμό είναι:

 Η μαγνητική ροή που διέρχεται μέσα από μια κλειστή επιφάνεια είναι πάντοτε μηδέν.Και αυτό είναι συνέπεια του γεγονότος ότι οι μαγνητικές δυναμικές γραμμές είναι κλειστές (αφού δεν υπάρχουν μαγνητικά μονόπολα).

ΤΡΙΤΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

 Η τρίτη είναι ο νόμος της επαγωγής του Faraday σύμφωνα με τον οποίο η ηλεκτρεγερτική δύναμη ΕΕΠ από επαγωγή που επάγεται σε ένα κύκλωμα είναι ανάλογη με το ρυθμό μεταβολής της μαγνητικής ροής ΔΦ/Δt που διέρχεται από την επιφάνεια που ορίζει το κύκλωμα και ανάλογη με τον αριθμό Ν των σπειρών του πηνίου.

                                                                          ΕΕΠ=-ΝΔΦ/Δt

 Μια διάσταση αυτού του νόμου  είναι ότι ένα μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο δημιουργεί ηλεκτρικό πεδίο.

 Η ολοκληρωτική μορφή του νόμου της επαγωγής του Faraday είναι:

  Η διαφορική μορφή του νόμου της επαγωγής του Faraday είναι:

 Η τρίτη εξίσωση μας λέει ότι μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο δημιουργεί μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο.

ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

 Τέλος η τέταρτη εξίσωση είναι ο νόμος του Ampère,τροποποιημένος από το Maxwell.O νόμος του Ampere συνδέει το μαγνητικό πεδίο με τις πηγές του,που είναι τα ηλεκτρικά ρεύματα.Ο νόμος Ampere-Maxwell πηγαίνει ένα βήμα μακρύτερα και υποδεικνύει ότι στο μαγνητικό πεδίο συνεισφέρει επίσης και ένα μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο.Ο Maxwell τον τροποποίησε ως εξής:

 Στη σχέση αυτή,ΦΕ είναι η ηλεκτρική ροή που διέρχεται από την κλειστή διαδρομή γύρω από την οποία υπολογίζεται το άθροισμα Bdlσυνθ.Η τροποποίηση που επέφερε ο Maxwell δηλώνει ότι πηγή του μαγνητικού πεδίου δεν είναι μόνο το ηλεκτρικό ρεύμα αλλά και το μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο.Αξίζει να σημειωθεί ότι την εποχή εκείνη  δεν είχε γίνει κανένα πείραμα  από το οποίο να αποδεικνύεται ότι  ένα μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο μπορεί να δημιουργήσει μαγνητικό πεδίο.

  Η ολοκληρωτική μορφή του νόμου  Ampere-Maxwell είναι:

 Η διαφορική μορφή του νόμου  Ampere-Maxwell είναι:

συσχετίζει το μαγνητικό πεδίο Β,το ηλεκτρικό πεδίο Ε και την πυκνότητα ρεύματος j στο ίδιο σημείο του χώρου.Ο δεύτερος όρος στην τέταρτη εξίσωση είναι συνεισφορά του Maxwell και αποτελεί το περίφημο ρεύμα μετατόπισης. Μας λέει ότι το μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο δημιουργεί μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο.

 Το μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο με τη σειρά του(λόγω της τρίτης εξίσωσης) δημιουργεί μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο κ.ο.κ.

ΤΕΣΣΕΡΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWELL 

 Συνολικά οι τέσσερις εξισώσεις του Maxwell σε διαφορική και ολοκληρωτική μορφή φαίνονται στο παρακάτω πίνακα.

Όνομα	Διαφορική μορφή	Ολοκληρωτική μορφή
Νόμος του Γκάους
Μαγνητικός νόμος του Γκάους
Νόμος επαγωγής του Φαραντέι
Νόμος του Αμπέρ

 Στην ηλεκτρομαγνητική θεωρία οι εξισώσεις Μάξγουελ είναι μία τετράδα εξισώσεων που διατυπώθηκαν από τον Σκοτσέζο φυσικό και μαθηματικό Τζέημς Κλαρκ Μάξγουελ (James Clerk Maxwell) και περιγράφουν τη συμπεριφορά ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων καθώς και τις αλληλεπιδράσεις τους με την ύλη.

ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΤΟΥ MAXWELL

 Στα πλαίσια της σχετικιστικής ηλεκτροδυναμικής,οι 4 εξισώσεις του Μάξγουελ μπορούν να διατυπωθούν υπό συμπαγή μορφή ως δύο τανυστικές εξισώσεις:

όπου το σύμβολο 'ν' μετά το κόμμα (,)αναφέρεται σε παραγώγιση ως προς x^ν(ct,x,y,z),το σύνολο των οποίων αντιστοιχεί στις χωροχρονικές συντεταγμένες ως προς δεδομένο αδρανειακό σύστημα αναφοράς.Η παραπάνω διατύπωση σέβεται την αρχή της σχετικότητας.

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

 Η ηλεκτρομαγνητική θεωρία,όπως τη διατύπωσε ο Maxwell,συνδέει το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο με τις πηγές τους.Πηγές του ηλεκτρικού πεδίου δεν είναι μόνο τα φορτία αλλά και τα μεταβαλλόμενα μαγνητικά πεδία και πηγές του μαγνητικού πεδίου είναι όχι μόνο τα ρεύματα αλλά και τα μεταβαλλόμενα ηλεκτρικά πεδία.

Σύμφωνα με τη ηλεκτρομαγνητική θεωρία  η μεταβολή του ενός πεδίου συνεπάγεται και τη δημιουργία του άλλου

 Σύμφωνα με τη θεωρία αυτή,η μεταβολή του ενός πεδίου συνεπάγεται και τη δημιουργία του άλλου.Κατά τον Maxwell τέτοιες μεταβολές ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου πρέπει να διαδίδονται στο χώρο,όπως διαδίδονται τα ηχητικά ή τα υδάτινα κύματα.Στο κενό,οι διαταραχές αυτές πρέπει να διαδίδονται με την ταχύτητα c του φωτός.

Ο Χάινριχ Ρούντολφ Χερτς ή Χερτζ,(Heinrich Rudolf Hertz),(22 Φεβρουαρίου 1857-1894) ήταν Γερμανός φυσικός,ο πρώτος που πέτυχε την εκπομπή,μετάδοση και λήψη ραδιοκυμάτων.Γόνος ευκατάστατης μεγαλοαστικής οικογένειας του Αμβούργου.Γνώριζε πολλές ξένες γλώσσες μεταξύ των οποίων και αραβικά.Διάβαζε τον Όμηρο στο πρωτότυπο.Μαθητής και βοηθός του Helmholtz διακρίθηκε για την φοβερή πειραματική του επιδεξιότητα.Προσπάθησε ίσως περισσότερο από οποιονδήποτε άλλο να επιβεβαιώσει πειραματικά την ηλεκτρομαγνητική θεωρία του Maxwell και τα κατάφερε.Πέθανε σε ηλικία τριανταέξι ετών,θύμα της "ζήλιας των θεών",όπως είπε ο Helmholtz όταν έμαθε για το θάνατό του

 Λίγα χρόνια αργότερα ο Hertz (Χερτζ) επιβεβαίωσε πειραματικά τις προβλέψεις του Maxwell,παράγοντας ηλεκτρομαγνητικά κύματα στο εργαστήριο, και μετρώντας την ταχύτητά τους.

 Η ηλεκτρομαγνητική θεωρία,όπως διατυπώθηκε από το Maxwell,έπαιξε σπουδαίο,αν όχι το σπουδαιότερο,ρόλο στη διατύπωση της θεωρίας της σχετικότητας από τον Einstein.Με τη θεωρία της σχετικότητας πολλές βασικές έννοιες της φυσικής αναθεωρήθηκαν,οι εξισώσεις του Maxwell όμως παρέμειναν άθικτες.