ΕΞΙΣΩΣΗ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ

 Εξίσωση αρμονικού κύματος ονομάζεται η εξίσωση που συνδέει την απομάκρυνση (y) από την θέση ισορροπίας ενός υλικού σημείου του ελαστικού μέσου διάδοσης του κύματος με τη θέση (x) του σημείου και τον χρόνο.

Κύμα το οποίο διαδίδεται προς την θετική φορά του άξονα x'Ox

 Η εξίσωση αρμονικού κύματος πλάτους Α,μήκους κύματος λ και περιόδου Τ,το οποίο διαδίδεται προς την θετική φορά του άξονα x'Ox είναι:

όπου:
y η απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας, 
A το πλάτος της ταλάντωσης,που ονομάζεται και πλάτος του κύματος,
T η περίοδος του κύματος,
λ το μήκος κύματος του κύματος,
t η χρονική στιγμή,
x η απόσταση από την πηγή του κύματος.

Κύμα το οποίο διαδίδεται προς την αρνητική φορά του άξονα x'Ox

 Η εξίσωση του αρμονικού κύματος που έχει τα ίδια χαρακτηριστικά με το προηγούμενο,αλλά διαδίδεται προς την αρνητική φορά του άξονα x'Ox είναι:

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ

 Θεωρούμε γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με το άξονα x'Ox.Στην αρχή Ο του άξονα (x=0) βρίσκεται πηγή αρμονικής διαταραχής,η οποία αρχίζει τη χρονική στιγμή t0=0 να ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση  y=Α·ημω·t,όπου Α το πλάτος και ω η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης της πηγής.Η πηγή του κύματος Ο ξεκινά τη χρονική στιγμή t0=0 να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

Το σημείο Μ απέχει απόσταση x από την πηγή Ο του κύματος

 Ένα τυχαίο σημείο Μ, το οποίο απέχει απόσταση x από την πηγή Ο θα εκτελέσει,λόγω της διάδοσης του κύματος από την πηγή Ο προς το σημείο Μ,την ίδια κίνηση με την πηγή,αλλά με χρονική καθυστέρηση t1,που εξαρτάται από την ταχύτητα του κύματος και από την απόσταση x.
 Άρα από την εξίσωση ορισμού της ταχύτητας διάδοσης του κύματος έχουμε:

υδ=Δx/Δt                             ή

υδ=x/t1                                ή

t1=x/υδ

 Επομένως τη χρονική στιγμή t,με t≥t1,ενώ η πηγή έχει ταλαντωθεί για χρόνο t με εξίσωση y=Α·ημω·t,το σημείο Μ θα  ταλαντώνεται επί χρόνο:

t-t1=t-x/υδ 

 Με την προϋπόθεση ότι το πλάτος της  ταλάντωσης  του σημείου Μ είναι ίσο με το πλάτος ταλάντωσης  του Ο,δηλαδή η διαταραχή διαδίδεται χωρίς απώλειες ενέργειας,η εξίσωση της κίνησής  του σημείου Μ θα είναι: 

y=A·ημ(t-t1)                          ή

y=A·ημ(t-x/υδ)                     ή     

y=A·ημ2π/Τ(t-x/υδ)             ή       

y=A·ημ2π(t/Τ-x/υδ·Τ) 

επειδή ισχύει λ=υδ·Τ,προκύπτει:

 Αν το κύμα διαδίδεται κατά την αντίθετη φορά:

 Η σχέση  αποτελεί  την εξίσωση  του κύματος και δίνει κάθε στιγμή την απομάκρυνση που έχουν τα σημεία του ελαστικού μέσου από τη θέση ισορροπίας τους.
 Το Α ονομάζεται πλάτος του κύματος και είναι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η απομάκρυνση ενός σημείου  του μέσου κατά  την αρμονική ταλάντωση που εκτελεί.

ΦΑΣΗ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ

 Φάση φ αρμονικού κύματος,εάν το κύμα διαδίδεται προς την θετική φορά του άξονα x'Ox ονομάζεται η γωνία:

  Φάση φ αρμονικού κύματος,εάν το κύμα διαδίδεται προς την αρνητική φορά του άξονα x'Ox ονομάζεται η γωνία:

 Η φάση μετριέται σε ακτίνια.
 Επειδή η φάση εξαρτάται από την απόσταση x από την πηγή προκύπτει ότι τα σημεία του ελαστικού μέσου την ίδια χρονική στιγμή έχουν διαφορετικές φάσεις.

ΔΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ΤΟΥ ΜΕΣΟΥ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΧΡΟΝΙΚΗ ΣΤΙΓΜΗ

 Έστω δύο σημεία Κ, Λ στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Οι φάσεις τους ως προς το χρόνο δίνονται από τις εξισώσεις:

 Με αφαίρεση κατά μέλη,έχουμε:





Επομένως:





α) Όταν: 

 

λέμε ότι τα σημεία Κ,Λ βρίσκονται σε συμφωνία φάσης. 
 Τότε ισχύει ότι:



β) Όταν: 

 

λέμε ότι τα σημεία Κ,Λ βρίσκονται σε αντίθεση φάσης.
 Τότε ισχύει ότι:

 

ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΦΑΣΗΣ ΕΝΟΣ ΣΗΜΕΙΟΥ ΤΟΥ ΜΕΣΟΥ ΓΙΑ ΔΥΟ ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΤΙΓΜΕΣ

 Έστω ένα σημείο Κ στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Οι φάσεις της ταλάντωσης του τις χρονικές στιγμές tA και tB δίνονται από τις εξισώσεις:

 Με αφαίρεση κατά μέλη,έχουμε:

 Επομένως:

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΟΥΝ ΤΗΝ ΚΙΝΗΣΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΤΟΥ ΜΕΣΟΥ

 Αφού σε ένα αρμονικό κύμα κάθε σημείο στο οποίο φτάνει η διαταραχή εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση θα ισχύουν για την κίνησή του όλα όσα μάθαμε στις απλές αρμονικές ταλαντώσεις.Έτσι,για παράδειγμα,αν η εξίσωση ταλάντωσης ενός σημείου του μέσου περιγράφεται από τη σχέση: 

τότε η ταχύτητά του θα περιγράφεται από τη σχέση: 

και η επιτάχυνσή του από τη σχέση: 

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΦΑΣΗΣ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΗΣ ΘΕΣΗΣ ΚΑΠΟΙΑ ΧΡΟΝΙΚΗ ΣΤΙΓΜΗ

 Η εξίσωση της φάσης του κύματος συναρτήσει της θέσης κάποια χρονική στιγμή είναι:

 Άρα η γραφική παράσταση της φάσης του κύματος συναρτήσει της θέσης κάποια χρονική στιγμή φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Η γραφική παράσταση της φάσης του κύματος συναρτήσει της θέσης κάποια χρονική στιγμή

 Από τη μορφή της γραφικής παράστασης συμπεραίνουμε ότι:
α)Τη στιγμή t1 το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση x1 και φάση ίση με μηδέν έχει ένα μόνο σημείο του ελαστικού μέσου,αυτό που βρίσκεται στη θέση x1.
β) Τη στιγμή t1 η πηγή του κύματος έχει φάση φ1.
γ) Η φάση φ μειώνεται καθώς κινούμαστε στην κατεύθυνση διάδοσης του κύματος. 

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΦΑΣΗΣ ΕΝΟΣ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

 Η εξίσωση της φάσης ενός υλικού σημείου συναρτήσει του χρόνου είναι:

 Άρα η γραφική παράσταση της φάσης ενός υλικού σημείου συναρτήσει του χρόνου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Η γραφική παράσταση της φάσης ενός υλικού σημείου συναρτήσει του χρόνου

 Από τη μορφή της γραφικής παράστασης συμπεραίνουμε ότι τη στιγμή t1 το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση x1.

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ

 Από τη σχέση y=A·ημ2π(t/Τ-x/λ) προκύπτει ότι η απομάκρυνση y ενός υλικού σημείου του ελαστικού μέσου διάδοσης του κύματος από τη θέση ισορροπίας του είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών,του χρόνου t και της θέσης του σημείου από την πηγή.Για το λόγο αυτό δεν είναι δυνατό η σχέση y=A·ημ2π(t/Τ-x/λ) να παρασταθεί  γραφικά σε επίπεδο σχήμα.

Μια γραφική παράσταση κύματος

 Άρα,η γραφική της παράσταση της εξίσωσης του αρμονικού κύματος σχεδιάζεται,εάν θεωρήσουμε μια από τις δύο μεταβλητές σταθερή.Τότε η απομάκρυνση είναι συνάρτηση μόνο της άλλης μεταβλητής και είναι δυνατή η γραφική της παράσταση.

ΣΤΙΓΜΙΟΤΥΠΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ

 Για δεδομένη χρονική στιγμή t=t1 η σχέση y=A·ημ2π(t/Τ-x/λ) γράφεται:

y=A·ημ2π(t1/Τ-x/λ)          ή

y=A·ημ2π[σταθ.-x/λ] 

 Ο τελευταίος τύπος δίνει την απομάκρυνση κάθε σημείου του μέσου συναρτήσει της απόστασής του από  την πηγή.

Η γραφική παράσταση της εξίσωσης y=f(x) ονομάζεται στιγμιότυπο  του κύματος

 Το διάγραμμα αυτής της συνάρτησης,δίνει τη θέση  των διαφόρων σημείων  του μέσου μια ορισμένη χρονική στιγμή και φαίνεται στο παραπάνω σχήμα.
 Η γραφική παράσταση της εξίσωσης y=f(x) ονομάζεται στιγμιότυπο  του κύματος.

 Ένα στιγμιότυπο του κύματος.Τα σημεία Β και Γ που έχουν διαφορά φάσης 2π,απέχουν ένα μήκος κύματος

 Από τη μορφή της γραφικής παράστασης συμπεραίνουμε ότι:
α) Tη στιγμή t1  το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση x1.
β) Tη στιγμή t1 το σημείο στη θέση x1 θα ξεκινήσει να εκτελεί την ίδια ταλάντωση με εκείνη που ξεκίνησε η πηγή του κύματος τη στιγμή t=0.
γ) Από τον αριθμό των επαναλήψεων Ν  της κυματικής εικόνας μπορούμε να υπολογίσουμε τον αριθμό των ταλαντώσεων που έχει εκτελέσει η πηγή Ν  και τη φάση της πηγής (2π·Ν)  τη στιγμή t1.

  

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΕΝΟΣ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΤΟΥ ΕΛΑΣΤΙΚΟΥ ΜΕΣΟΥ

 Για ένα σημείο το οποίο βρίσκεται σε ορισμένη απόσταση από  την πηγή,στη θέση x=x1,η σχέση y=A·ημ2π(t/Τ-x/λ) γράφεται:

y=A·ημ2π(t/Τ-x1/λ)     ή

y=A·ημ2π(t/Τ-σταθ.)

 Το διάγραμμα αυτής της συνάρτησης δίνει την απομάκρυνση ενός συγκεκριμένου σημείου του μέσου συναρτήσει  του  χρόνου και φαίνεται στο παραπάνω σχήμα.

Το διάγραμμα της συνάρτησης δίνει την απομάκρυνση ενός συγκεκριμένου σημείου του μέσου συναρτήσει  του  χρόνου

 Η γραφική παράσταση  της σχέσης αυτής είναι η γνωστή μας γραφική παράσταση  της απλής αρμονικής  ταλάντωσης.

Γραφική παράσταση της κίνησης ενός σημείου του ελαστικού μέσου σε συνάρτηση με το χρόνο

 Από τη μορφή της γραφικής παράστασης συμπεραίνουμε ότι:
α) Tη στιγμή t1 το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση x1.
β) Τη στιγμή t1 το σημείο στη θέση x1 θα ξεκινήσει να εκτελεί την ίδια ταλάντωση με εκείνη που ξεκίνησε η πηγή του κύματος τη στιγμή t=0.