| 
ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ
.gif) |
| ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ |
ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Θεωρούμε σώμα Σ που βρίσκεται πάνω σε οριζόντια βάση και είναι δεμένο στις άκρες δύο ελατηρίων οι άλλες άκρες των οποίων είναι στερεωμένες σε ακίνητα σημεία,όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.Το σώμα μπορεί να κινείται χωρίς τριβές.
Απομακρύνουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του και το αφήνουμε ελεύθερο θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ1.Τώρα με κατάλληλο μηχανισμό εξαναγκάζουμε τη βάση πάνω στην οποία βρίσκεται το σώμα να εκτελεί αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ2.
Άρα το σώμα Σ κάνει ταυτόχρονα δυο αρμονικές ταλαντώσεις.Η ταλάντωση της βάσης δεν είναι απαραίτητο να γίνεται στη διεύθυνση της ταλάντωσης του σώματος.
Η κίνηση του σώματος Σ είναι πολύ πολύπλοκη.Η διεύθυνση,η συχνότητα,το πλάτος και η φάση της εξαρτώνται από τα αντίστοιχα χαρακτηριστικά των επί μέρους ταλαντώσεων.
Η κίνηση που κάνει το σώμα λέγεται σύνθετη ταλάντωση και η μελέτη της σύνθεση ταλαντώσεων.
Όταν ένα σώμα αναγκάζεται να εκτελέσει ταυτόχρονα δύο ή περισσότερες ταλαντώσεις,τότε η κίνηση που θα κάνει τελικά είναι η συνισταμένη αυτών των ταλαντώσεων.
Σύνθετη ταλάντωση ονομάζεται ο προσδιορισμός της συνισταμένης κίνησης όταν ένα σώμα αναγκάζεται να εκτελέσει ταυτόχρονα δύο ή περισσότερες ταλαντώσεις.
Σύνθεση ταλαντώσεων ονομάζεται η μελέτη της σύνθετης ταλάντωσης.
Εμείς θα μελετήσουμε δύο ειδικές περιπτώσεις σύνθεσης ταλαντώσεων.
Έστω ότι ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που εξελίσσονται πάνω στην ίδια ευθεία και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και ότι οι δύο ταλαντώσεις έχουν την ίδια κυκλική συχνότητα ω,διαφορετικά πλάτη Α1 και Α2 και διαφορά φάσης φ.
Οι εξισώσεις των απομακρύνσεων για τις δύο ταλαντώσεις είναι:
x1=Α1·ημω·t και
x2=Α2·ημ(ω·t+φ)
Εφαρμόζουμε την αρχή της επαλληλίας των κινήσεων (ή της ανεξαρτησίας των κινήσεων).
Άρα η απομάκρυνση του σώματος κάθε στιγμή θα είναι είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των απομακρύνσεων που θα είχε αν έκανε την κάθε ταλάντωση ξεχωριστά.
Δηλαδή:
x=x1+x2
Με την βοήθεια των εξισώσεων των απομακρύνσεων για τις δύο ταλαντώσεις x1=Α1·ημω·t και x2=Α·ημ(ω·t+φ) η εξίσωση x=x1+x2 γίνεται :
x=x1+x2 ή
x=Α1·ημω·t+Α·ημ(ω·t+φ)
Η σχέση αυτή μπορεί να πάρει τη μορφή:
x=Α·ημ(ω·t+θ)
όπου:
και
.
Συνεπώς από την x=Α·ημ(ω·t+θ) μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η σύνθετη ταλάντωση του σώματος Σ είναι απλή αρμονική ταλάντωση γύρω από το το ίδιο σημείο Ο,με την ίδια διεύθυνση και την ίδια συχνότητα.
Το πλάτος και η αρχική φάση υπολογίζονται από τις σχέσεις, δηλαδή εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά των επιμέρους ταλαντώσεων.
ΔΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ 0° ΤΩΝ ΔΥΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ
Στην ειδική περίπτωση όπου φ=0° οι εξισώσεις των επιμέρους ταλαντώσεων είναι:
x1=Α1·ημω·t και
x2=Α2·ημω·t
και της σύνθετης ταλάντωσης:
x=Α·ημω·t
όπου:
Α=Α1+Α2
Άρα στην ειδική περίπτωση όπου φ=0°,οι τελευταίες σχέσεις δίνουν:
Α=Α1+Α2 και
θ=0°
Συνεπώς το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι ίσο με το άθροισμα των πλατών των επιμέρους ταλαντώσεων και η φάση της είναι ίδια με τη φάση των επιμέρους ταλαντώσεων.
ΔΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ 180° ΤΩΝ ΔΥΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ
Στην ειδική περίπτωση όπου φ=180° οι εξισώσεις των επιμέρους ταλαντώσεων είναι:
x1=Α1·ημω·t και
x2=Α2·ημ(ω·t+π)
και της σύνθετης ταλάντωσης:
x=Α·ημω·t,αν Α1>Α2
ή
x=Α·ημ(ω·t+π),αν Α1<Α2
όπου:
Α=|Α1-Α2|
Άρα στην ειδική περίπτωση όπου φ=180°,οι τελευταίες σχέσεις δίνουν:
Α=|Α1+Α2| και
θ=0° ή
θ=180°
Συνεπώς το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι ίσο με τη διαφορά των πλατών των επιμέρους ταλαντώσεων και η φάση της είναι ίση με τη φάση της ταλάντωσης που έχει το μεγαλύτερο πλάτος.
ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΥΟ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΙΔΙΑΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ,ΠΟΥ ΓΙΝΟΝΤΑΙ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ,ΜΕ ΤΟ ΙΔΙΟ ΠΛΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ
Έστω ότι ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που εξελίσσονται πάνω στην ίδια ευθεία και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και ότι οι δύο ταλαντώσεις έχουν το ίδιο πλάτος Α,ενώ οι συχνότητες τους f1 και f2 με f1>f2 διαφέρουν λίγο μεταξύ τους.
Οι εξισώσεις των απομακρύνσεων για τις δύο ταλαντώσεις είναι:
x1=Α·ημω1·t και
x2=Α·ημω2·t
Εφαρμόζουμε πάλι την αρχή της επαλληλίας των κινήσεων (ή της ανεξαρτησίας των κινήσεων).
Άρα η απομάκρυνση του σώματος κάθε στιγμή θα είναι είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των απομακρύνσεων που θα είχε αν έκανε την κάθε ταλάντωση ξεχωριστά.
Δηλαδή:
x=x1+x2
Με την βοήθεια των εξισώσεων των απομακρύνσεων για τις δύο ταλαντώσεις x1=Α·ημω1·t και x2=Α·ημω2·t η εξίσωση x=x1+x2 γίνεται :
x=x1+x2 ή
x=Α·ημω1·t+Α·ημω2·t ή
x=Α·(ημω1·t+ημω2·t)
Με βάση την τριγωνομετρική ταυτότητα:
η εξίσωση x=Α·(ημω1·t+ημω2·t) γίνεται:
Από την σχέση αυτή παρατηρούμε ότι η σύνθετη ταλάντωση του σώματος είναι πολύπλοκη.Η κίνηση δεν είναι απλή αρμονική ταλάντωση.
Η συγκεκριμένη κίνηση έχει ενδιαφέρον όταν οι δύο επιμέρους γωνιακές συχνότητες ω1,ω2 διαφέρουν ελάχιστα.
Τότε ο παράγοντας:
μεταβάλλεται χρονικά πολύ πιο αργά από τον παράγοντα:
ο οποίος μεταβάλλεται με γωνιακή συχνότητα ίση με τη μέση τιμή των ω1 και ω2.Επειδή αυτές διαφέρουν ελάχιστα μπορούμε να γράψουμε:
_
ω=ω1+ω2/2≈ω1≈ω2
Επομένως η εξίσωση
μπορεί να γραφεί :
Δηλαδή η σύνθετη ταλάντωση είναι μια ιδιόμορφη ταλάντωση με γωνιακή συχνότητα περίπου ίση με τις συχνότητες των επιμέρους ταλαντώσεων.Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης μεταβάλλεται,με αργό ρυθμό,περιοδικά από 0 έως 2·Α.
Η ιδιόμορφη αυτή ταλάντωση του σώματος ονομάζεται διακρότημα με το πλάτος της ταλάντωσης να μεταβάλλεται από 0 έως 2·Α.
Ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς ή διαδοχικές μεγιστοποιήσεις του πλάτους ονομάζεται περίοδος Τδ των διακροτημάτων.
Το διάγραμμα απομάκρυνσης-χρόνου του διακροτήματος φαίνεται στο παραπάνω σχήμα.
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΤΩΝ ΔΙΑΚΡΟΤΗΜΑΤΩΝ
Το πλάτος Α' της ταλάντωσης μηδενίζεται όταν:
ή
Με την βοήθεια της τριγωνομετρίας έχουμε:
, με k=0,1,1,3,.......
Δύο διαδοχικές στιγμές t1 και t2 που μηδενίζεται το πλάτος αντιστοιχούν στο k=0 και k=1.
Άρα προκύπτει για:
Η διαφορά t2-t1 είναι η περίοδος Τδ των διακροτημάτων.
Άρα:
ή
ή
ή
ή
ή
ή
ή
fδ=|f1-f2|
όπου:
fδ η συχνότητα των διακροτημάτων.
Θεωρούμε σώμα Σ που βρίσκεται πάνω σε οριζόντια βάση και είναι δεμένο στις άκρες δύο ελατηρίων οι άλλες άκρες των οποίων είναι στερεωμένες σε ακίνητα σημεία,όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.Το σώμα μπορεί να κινείται χωρίς τριβές.
.png) |
| Θεωρούμε σώμα Σ που βρίσκεται πάνω σε οριζόντια βάση και είναι δεμένο στις άκρες δύο ελατηρίων οι άλλες άκρες των οποίων είναι στερεωμένες σε ακίνητα σημεία |
.gif) |
| Το σώμα Σ εκτελεί ταυτόχρονα δυο ταλαντώσεις |
Η κίνηση του σώματος Σ είναι πολύ πολύπλοκη.Η διεύθυνση,η συχνότητα,το πλάτος και η φάση της εξαρτώνται από τα αντίστοιχα χαρακτηριστικά των επί μέρους ταλαντώσεων.
Η κίνηση που κάνει το σώμα λέγεται σύνθετη ταλάντωση και η μελέτη της σύνθεση ταλαντώσεων.
.gif) |
| Σύνθετη ταλάντωση ονομάζεται ο προσδιορισμός της συνισταμένης κίνησης όταν ένα σώμα αναγκάζεται να εκτελέσει ταυτόχρονα δύο ή περισσότερες ταλαντώσεις |
Σύνθετη ταλάντωση ονομάζεται ο προσδιορισμός της συνισταμένης κίνησης όταν ένα σώμα αναγκάζεται να εκτελέσει ταυτόχρονα δύο ή περισσότερες ταλαντώσεις.
Σύνθεση ταλαντώσεων ονομάζεται η μελέτη της σύνθετης ταλάντωσης.
Εμείς θα μελετήσουμε δύο ειδικές περιπτώσεις σύνθεσης ταλαντώσεων.
ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΥΟ ΑΠΛΩΝ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΤΗΣ ΙΔΙΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ,ΠΟΥ ΓΙΝΟΝΤΑΙ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ ΣΤΗΝ ΙΔΙΑ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ
Έστω ότι ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που εξελίσσονται πάνω στην ίδια ευθεία και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και ότι οι δύο ταλαντώσεις έχουν την ίδια κυκλική συχνότητα ω,διαφορετικά πλάτη Α1 και Α2 και διαφορά φάσης φ.
Οι εξισώσεις των απομακρύνσεων για τις δύο ταλαντώσεις είναι:
x1=Α1·ημω·t και
x2=Α2·ημ(ω·t+φ)
Εφαρμόζουμε την αρχή της επαλληλίας των κινήσεων (ή της ανεξαρτησίας των κινήσεων).
.gif) |
| Η απομάκρυνση του σώματος κάθε στιγμή θα είναι είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των απομακρύνσεων που θα είχε αν έκανε την κάθε ταλάντωση ξεχωριστά |
Δηλαδή:
x=x1+x2
Με την βοήθεια των εξισώσεων των απομακρύνσεων για τις δύο ταλαντώσεις x1=Α1·ημω·t και x2=Α·ημ(ω·t+φ) η εξίσωση x=x1+x2 γίνεται :
x=x1+x2 ή
x=Α1·ημω·t+Α·ημ(ω·t+φ)
.gif) |
| Το σώμα Σ κάνει ταυτόχρονα τις αρμονικές ταλαντώσεις (α) και (β). Η απομάκρυνσή του κάθε στιγμή είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των απομακρύνσεων του στις επιμέρους ταλαντώσεις στις οποίες μετέχει (γ) |
x=Α·ημ(ω·t+θ)
όπου:
και
.Συνεπώς από την x=Α·ημ(ω·t+θ) μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η σύνθετη ταλάντωση του σώματος Σ είναι απλή αρμονική ταλάντωση γύρω από το το ίδιο σημείο Ο,με την ίδια διεύθυνση και την ίδια συχνότητα.
.gif) |
| α) Από τη σύνθεση των ταλαντώσεων 1 και 2 που έχουν την ίδια φάση, προκύπτει η ταλάντωση 3. β) Από τις ταλαντώσεις 1 και 2 που παρουσιάζουν διαφορά φάσης 180° προκύπτει η ταλάντωση 3 |
ΔΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ 0° ΤΩΝ ΔΥΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ
Στην ειδική περίπτωση όπου φ=0° οι εξισώσεις των επιμέρους ταλαντώσεων είναι:
x1=Α1·ημω·t και
x2=Α2·ημω·t
και της σύνθετης ταλάντωσης:
x=Α·ημω·t
όπου:
Α=Α1+Α2
.gif) |
| Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης την ειδική περίπτωση όπου φ=0° είναι ίσο με το άθροισμα των πλατών των επιμέρους ταλαντώσεων και η φάση της είναι ίδια με τη φάση των επιμέρους ταλαντώσεων |
Α=Α1+Α2 και
θ=0°
Συνεπώς το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι ίσο με το άθροισμα των πλατών των επιμέρους ταλαντώσεων και η φάση της είναι ίδια με τη φάση των επιμέρους ταλαντώσεων.
Στην ειδική περίπτωση όπου φ=180° οι εξισώσεις των επιμέρους ταλαντώσεων είναι:
x1=Α1·ημω·t και
x2=Α2·ημ(ω·t+π)
και της σύνθετης ταλάντωσης:
x=Α·ημω·t,αν Α1>Α2
ή
x=Α·ημ(ω·t+π),αν Α1<Α2
όπου:
Α=|Α1-Α2|
.gif) |
| Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης στην ειδική περίπτωση όπου φ=180° είναι ίσο με τη διαφορά των πλατών των επιμέρους ταλαντώσεων και η φάση της είναι ίση με τη φάση της ταλάντωσης που έχει το μεγαλύτερο πλάτος |
Α=|Α1+Α2| και
θ=0° ή
θ=180°
Συνεπώς το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι ίσο με τη διαφορά των πλατών των επιμέρους ταλαντώσεων και η φάση της είναι ίση με τη φάση της ταλάντωσης που έχει το μεγαλύτερο πλάτος.
ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΥΟ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΙΔΙΑΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ,ΠΟΥ ΓΙΝΟΝΤΑΙ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ,ΜΕ ΤΟ ΙΔΙΟ ΠΛΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ
Έστω ότι ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που εξελίσσονται πάνω στην ίδια ευθεία και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και ότι οι δύο ταλαντώσεις έχουν το ίδιο πλάτος Α,ενώ οι συχνότητες τους f1 και f2 με f1>f2 διαφέρουν λίγο μεταξύ τους.
.jpg) |
| Δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που εξελίσσονται πάνω στην ίδια ευθεία και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και ότι οι δύο ταλαντώσεις έχουν το ίδιο πλάτος Α,ενώ οι συχνότητες τους f1 και f2 με f1>f2 διαφέρουν λίγο μεταξύ τους |
Οι εξισώσεις των απομακρύνσεων για τις δύο ταλαντώσεις είναι:
x1=Α·ημω1·t και
x2=Α·ημω2·t
Εφαρμόζουμε πάλι την αρχή της επαλληλίας των κινήσεων (ή της ανεξαρτησίας των κινήσεων).
Άρα η απομάκρυνση του σώματος κάθε στιγμή θα είναι είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των απομακρύνσεων που θα είχε αν έκανε την κάθε ταλάντωση ξεχωριστά.
Δηλαδή:
x=x1+x2
Με την βοήθεια των εξισώσεων των απομακρύνσεων για τις δύο ταλαντώσεις x1=Α·ημω1·t και x2=Α·ημω2·t η εξίσωση x=x1+x2 γίνεται :
x=x1+x2 ή
x=Α·ημω1·t+Α·ημω2·t ή
x=Α·(ημω1·t+ημω2·t)
Με βάση την τριγωνομετρική ταυτότητα:
η εξίσωση x=Α·(ημω1·t+ημω2·t) γίνεται:
Από την σχέση αυτή παρατηρούμε ότι η σύνθετη ταλάντωση του σώματος είναι πολύπλοκη.Η κίνηση δεν είναι απλή αρμονική ταλάντωση.
.jpg) |
| Από τη σύνθεση δύο ταλαντώσεων που οι συχνότητές τους διαφέρουν πολύ λίγο (πράσινη και μπλε γραμμή) προκύπτει ιδιόμορφη περιοδική κίνηση (κόκκινη γραμμή) που παρουσιάζει διακροτήματα |
Τότε ο παράγοντας:
μεταβάλλεται χρονικά πολύ πιο αργά από τον παράγοντα:
ο οποίος μεταβάλλεται με γωνιακή συχνότητα ίση με τη μέση τιμή των ω1 και ω2.Επειδή αυτές διαφέρουν ελάχιστα μπορούμε να γράψουμε:
_
ω=ω1+ω2/2≈ω1≈ω2
Επομένως η εξίσωση
μπορεί να γραφεί :
_
x=A'·ημω·t
Δηλαδή η σύνθετη ταλάντωση είναι μια ιδιόμορφη ταλάντωση με γωνιακή συχνότητα περίπου ίση με τις συχνότητες των επιμέρους ταλαντώσεων.Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης μεταβάλλεται,με αργό ρυθμό,περιοδικά από 0 έως 2·Α.
|
| Το διακρότημα είναι ιδιόμορφη ταλάντωση |
Ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς ή διαδοχικές μεγιστοποιήσεις του πλάτους ονομάζεται περίοδος Τδ των διακροτημάτων.
.gif) |
| Το διάγραμμα απομάκρυνσης-χρόνου του διακροτήματος |
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΤΩΝ ΔΙΑΚΡΟΤΗΜΑΤΩΝ
Το πλάτος Α' της ταλάντωσης μηδενίζεται όταν:
ήΜε την βοήθεια της τριγωνομετρίας έχουμε:
, με k=0,1,1,3,.......Δύο διαδοχικές στιγμές t1 και t2 που μηδενίζεται το πλάτος αντιστοιχούν στο k=0 και k=1.
 |
| Ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς ή διαδοχικές μεγιστοποιήσεις του πλάτους ονομάζεται περίοδος Τδ των διακροτημάτων |
Άρα προκύπτει για:
Η διαφορά t2-t1 είναι η περίοδος Τδ των διακροτημάτων.
Άρα:
ή ή ή ή ή ή ήfδ=|f1-f2|
όπου:
fδ η συχνότητα των διακροτημάτων.
