| 
ΕΞΙΣΩΣΗ BERNOULLI (ΜΠΕΡΝΟΥΛΙ)
ΕΙΣΑΓΩΓΗ
W=W1-W2=p1·A1·Δs1-p2·A2·Δs2=(p1-p2)·ΔV
Η παραπάνω σχέση είναι η εξίσωση του Bernoulli για ένα ασυμπίεστο ρευστό,χωρίς ιξώδες και για συνθήκες στρωτής ροής.
p+1/2·ρ·υ2=σταθερό
ΑΡΧΗ BERNOULLI
Στη πραγματικότητα πρόκειται για ένα άθροισμα τριών ενεργειών:της "ενέργειας θέσεως",της "δυναμικής πίεσης",που αποτελεί το μέτρο της "κινητικής ενέργειας" του υγρού,και της "υδροστατικής πίεσης",που είναι και το μέτρο της "δυναμικής ενέργειας" λόγω ύψους ή λόγω του πεδίου βαρύτητας.
 |
| ΕΞΙΣΩΣΗ BERNOULLI (ΜΠΕΡΝΟΥΛΙ) |
Από την καθημερινότητα μας ξέρουμε ότι η πίεση ενός ρευστού που ρέει μέσα σε ένα σωλήνα είναι διαφορετική ανάμεσα σε δύο σημεία που έχουν υψομετρική διαφορά.Για παράδειγμα το νερό στις βρύσες του τρίτου ορόφου έχει μικρότερη πίεση από το νερό στις βρύσες του ισογείου.
.jpg) |
| O Ντάνιελ Μπερνούλι (Daniel Bernoulli,Γκρόνινγκεν,8 Φεβρουαρίου 1700-17 Μαρτίου 1782) ήταν Ελβετός φυσικός και μαθηματικός.Γεννημένος στην Ολλανδία,που έζησε επί το πλείστον στην Βασιλεία της Ελβετίας,όπου και πέθανε.Προέρχεται από μια οικογένεια καταξιωμένων μαθηματικών,φυσικών και μηχανικών.Ο ίδιος έδωσε βάρος σε τομείς όπως η μηχανική των ρευστών και την στατιστική.Η πιο φημισμένη του εργασία ήταν πάνω στην υδροδυναμική.Οι μελέτες του Bernoulli πάνω στα ρευστά αποτέλεσαν την απαρχή της κινητικής θεωρίας των αερίων.Ο Bernoulli τιμήθηκε πολύ στη διάρκεια της ζωής του με σειρά από αξιώματα και θέσεις στα πανεπιστήμια της εποχής του |
Από την εξίσωση της συνέχειας γνωρίζουμε ότι σε έναν σωλήνα μεταβλητής διατομής,η ταχύτητα του υγρού μεταβάλλεται.Έτσι μια μικρή μάζα A·m του υγρού σε άλλες περιοχές του σωλήνα επιταχύνεται και σε άλλες επιβραδύνεται.Η συνολική δύναμη που δέχεται αυτή η μάζα από το περιβάλλον υγρό δεν είναι μηδενική και άρα η πίεση μεταβάλλεται σε όλες τις περιοχές του σωλήνα.
 |
| Hydrodynamica (1738) |
Το 1738 με την δημοσίευση του βιβλίου του Hydrodynamica ο Ελβετός Daniel Bernoulli επινόησε μια σχέση η οποία συνδέει την πίεση με την ταχύτητα του ρευστού και με το ύψος.
Όπως θα δούμε,η σχέση αυτή είναι άμεσο αποτέλεσμα της εφαρμογής της διατήρησης της ενέργειας σε ένα ιδανικό ρευστό.
Όπως θα δούμε,η σχέση αυτή είναι άμεσο αποτέλεσμα της εφαρμογής της διατήρησης της ενέργειας σε ένα ιδανικό ρευστό.
ΕΞΙΣΩΣΗ BERNOULLI
Θα θεωρήσουμε ότι το ρευστό είναι ασυμπίεστο,χωρίς ιξώδες και ότι ρέει χωρίς στροβίλους,με στρωτή ροή.Θεωρούμε ότι η ροή γίνεται στο χρονικό διάστημα Δt μέσα σε έναν σωλήνα μεταβλητής διατομής,όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Θα μελετήσουμε την πίεση σε δύο σημεία Β,Γ,του σωλήνα.Το σημείο Β βρίσκεται σε ύψος y1 από το έδαφος και ο σωλήνας έχει στην περιοχή του Β διατομή Α1.
.jpg) |
| Ασυμπίεστο ρευστό ρέει με στρωτή ροή μέσα σε ένα σωλήνα.Το ρευστό που βρίσκεται στο μέρος του σωλήνα με μήκος Δs1 μετακινείται στο μέρος του σωλήνα που έχει μήκος Δs2.Οι όγκοι του ρευστού στα δύο μέρη είναι ίσοι |
Θα μελετήσουμε την πίεση σε δύο σημεία Β,Γ,του σωλήνα.Το σημείο Β βρίσκεται σε ύψος y1 από το έδαφος και ο σωλήνας έχει στην περιοχή του Β διατομή Α1.
.jpg) |
| Έστω ότι έχουμε ένα σωλήνα μεταβλητής διατομής μέσα στον οποίο ρέει ένα ασυμπίεστο ρευστό.Θα εξετάσουμε την πίεση σε δύο σημεία του σωλήνα |
Εάν η πίεση του ρευστού στο Β,που είναι το χαμηλότερο σημείο της ροής,είναι p1,τότε η δύναμη είναι:
F1=p1·Α1
Το σημείο Γ βρίσκεται σε ύψος y2 από το έδαφος και ο σωλήνας έχει στην περιοχή του Γ διατομή Α2.Εάν η πίεση του ρευστού στο Γ,που είναι το υψηλότερο σημείο της ροής,είναι p2,τότε η δύναμη είναι:
F2=p2·Α2
Η δύναμη αυτή έχει φορά αντίθετη από τη φορά της δύναμης F1=p1·A1.
Στο πολύ μικρό χρονικό διάστημα Δt ένα στοιχειώδες τμήμα του ρευστού στην περιοχή του Β μετατοπίζεται κατά Δs1 ενώ ένα αντίστοιχο τμήμα του ρευστού ίσης μάζας,άρα και όγκου,στην περιοχή του Γ μετατοπίζεται κατά Δs2.
Το έργο που παράγει η δύναμη F1 στο κάτω μέρος του ρευστού κατά το πολύ μικρό χρονικό διάστημα Δt είναι:
W1=F1·Δs1=p1·Α1·Δs1
Παρομοίως,το έργο που παράγει η δύναμη F2 στο πάνω μέρος του ρευστού κατά το πολύ μικρό χρονικό διάστημα Δt είναι:
W2=-F2·Δs2=- p2·Α2·Δs2
Το έργο είναι αρνητικό,διότι η δύναμη του ρευστού εναντιώνεται στη μετατόπιση.Όμως ο όγκος του ρευστού που περνάει από την περιοχή 1 κατά το πολύ μικρό χρονικό διάστημα Δt είναι ίσος με τον όγκο του ρευστού που περνάει από την περιοχή 2 κατά το ίδιο μικρό χρονικό διάστημα Δt.
F1=p1·Α1
Το σημείο Γ βρίσκεται σε ύψος y2 από το έδαφος και ο σωλήνας έχει στην περιοχή του Γ διατομή Α2.Εάν η πίεση του ρευστού στο Γ,που είναι το υψηλότερο σημείο της ροής,είναι p2,τότε η δύναμη είναι:
F2=p2·Α2
Η δύναμη αυτή έχει φορά αντίθετη από τη φορά της δύναμης F1=p1·A1.
 |
| Η δύναμη F2 έχει φορά αντίθετη από τη φορά της δύναμης F1 |
Το έργο που παράγει η δύναμη F1 στο κάτω μέρος του ρευστού κατά το πολύ μικρό χρονικό διάστημα Δt είναι:
W1=F1·Δs1=p1·Α1·Δs1
Παρομοίως,το έργο που παράγει η δύναμη F2 στο πάνω μέρος του ρευστού κατά το πολύ μικρό χρονικό διάστημα Δt είναι:
W2=-F2·Δs2=- p2·Α2·Δs2
Το έργο είναι αρνητικό,διότι η δύναμη του ρευστού εναντιώνεται στη μετατόπιση.Όμως ο όγκος του ρευστού που περνάει από την περιοχή 1 κατά το πολύ μικρό χρονικό διάστημα Δt είναι ίσος με τον όγκο του ρευστού που περνάει από την περιοχή 2 κατά το ίδιο μικρό χρονικό διάστημα Δt.
Έτσι,το συνολικό έργο που παράγουν οι δυνάμεις αυτές κατά το πολύ μικρό χρονικό διάστημα Δt είναι άθροισμα του έργου της δύναμης F1=p1·Α1 (θετικό) συν του έργου της δύναμης F2=p2·Α2 (αρνητικό):
W=W1-W2=p1·A1·Δs1-p2·A2·Δs2
Όμως ο όγκος του ρευστού που περνάει από την περιοχή 1 κατά το πολύ μικρό χρονικό διάστημα Δt είναι ίσος με τον όγκο του ρευστού που περνάει από την περιοχή 2 κατά το ίδιο μικρό χρονικό διάστημα Δt.
 |
| Στο στενό μέρος του σωλήνα η ταχύτητα του υγρού είναι μεγαλύτερη |
Άρα:
A1·Δs1=A2·Δs2=ΔV
Οπότε:
Οπότε:
W=W1-W2=p1·A1·Δs1-p2·A2·Δs2=(p1-p2)·ΔV
Μέρος του έργου αυτού μεταβάλλει την κινητική ενέργεια του ρευστού και άλλο μέρος μεταβάλλει τη βαρυτική δυναμική ενέργεια του.Εάν Δm είναι η ποσότητα μάζας που περνάει από τον σωλήνα στο χρονικό διάστημα Δt,τότε η μεταβολή της κινητικής ενέργειας είναι:
ΔΚ=1/2·Δm·υ22-1/2·Δm·υ21=1/2·ρ·ΔV·(υ22-υ21)
όπου:
ΔΚ=1/2·Δm·υ22-1/2·Δm·υ21=1/2·ρ·ΔV·(υ22-υ21)
όπου:
υ1 η ταχύτητα του ρευστού στο Β και
υ2 η ταχύτητα του ρευστού στο Γ.
υ2 η ταχύτητα του ρευστού στο Γ.
Η μεταβολή της δυναμικής ενέργεια είναι:
ΔU=Δm·g·y2-Δm·g·y1
Το έργο του βάρους στο ίδιο χρονικό διάστημα Δt είναι:
ΔU=Δm·g·y2-Δm·g·y1
Το έργο του βάρους στο ίδιο χρονικό διάστημα Δt είναι:
WB=-ΔU=-(Δm·g·y2-Δm·g·y1)=-Δm·g·(y2-y1)=-ρ·ΔV·g·(y2-y1)
καθώς,στην ουσία,ένα τμήμα του ρευστού A·m έφυγε από το ύψος y1 και βρέθηκε στο ύψος y2.
καθώς,στην ουσία,ένα τμήμα του ρευστού A·m έφυγε από το ύψος y1 και βρέθηκε στο ύψος y2.
.jpg) |
| Στο στενό μέρος του σωλήνα η ταχύτητα του υγρού είναι μεγαλύτερη.Το ύψος της στάθμης του υγρού πάνω από την περιοχή αυτή δείχνει ότι η πίεση στο σωλήνα είναι μικρότερη |
Μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα έργου-ενέργειας για αυτόν τον όγκο ρευστού στο μικρό χρονικό διάστημα Δt.
Έχουμε:
Έχουμε:
ΣW=ΔΚ
W+WB=ΔΚ
όπου:
W το συνολικό έργο που παράγουν οι δυνάμεις αυτές κατά το πολύ μικρό χρονικό διάστημα Δt.
W το συνολικό έργο που παράγουν οι δυνάμεις αυτές κατά το πολύ μικρό χρονικό διάστημα Δt.
.jpg) |
| Η εξίσωση του Bernoulli αποτελεί έκφραση της αρχής διατήρησης της ενέργειας στη ροή των ρευστών |
Αντικαθιστώντας τις σχέσεις αυτές έχουμε:
W+WB=ΔΚ
(p1-p2)·ΔV-ρ·ΔV·g·(y2-y1)=1/2·ρ·ΔV·(υ22-υ21)
W+WB=ΔΚ
(p1-p2)·ΔV-ρ·ΔV·g·(y2-y1)=1/2·ρ·ΔV·(υ22-υ21)
Διαιρούμε κάθε όρο με ΔV,αντικαθιστούμε ρ=Δm/ΔV και βρίσκουμε:
p1+1/2·ρ·υ21+ρ·g·y1=p2 +1/2·ρ·υ22+ρ·g·y2
Η σχέση αυτή ισχύει για οποιοδήποτε ζεύγος σημείων άρα μπορεί να γραφτεί και με τη μορφή:
p+1/2·ρ·υ2+ρ·g·y=σταθερό
p+1/2·ρ·υ2+ρ·g·y=σταθερό
Η παραπάνω σχέση είναι η εξίσωση του Bernoulli για ένα ασυμπίεστο ρευστό,χωρίς ιξώδες και για συνθήκες στρωτής ροής.
Όταν το ρευστό είναι ακίνητο,υ1=υ2=0 και y2-y1=h τότε η εξίσωση του Bernoulli γίνεται:
p1-p2=ρ·g·y2
Αν ο σωλήνας είναι οριζόντιος η εξίσωση του Bernoulli παίρνει τη μορφή:
Αν ο σωλήνας είναι οριζόντιος η εξίσωση του Bernoulli παίρνει τη μορφή:
p+1/2·ρ·υ2=σταθερό
από όπου φαίνεται ότι σε περιοχές όπου πυκνώνουν οι ρευματικές γραμμές (μικρή διατομή του σωλήνα) και η ταχύτητα ροής αυξάνεται,η πίεση ελαττώνεται.
ΑΡΧΗ BERNOULLI
Από την εξίσωση του Bernoulli προκύπτει ότι:
Το άθροισμα της πίεσης (p),της κινητικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου (1/2·ρ·υ2) και της δυναμικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου (ρ·g·y) έχει την ίδια σταθερή τιμή σε οποιοδήποτε σημείο της ρευματικής γραμμής.
Η διατύπωση αυτή ονομάζεται αρχή του Bernoulli ή καλούμενο και Θεμελιώδες θεώρημα της Υδροδυναμικής η οποία αποτελεί έκφραση της αρχής διατήρησης της ενέργειας στη ροή των ρευστών.
Το άθροισμα της πίεσης (p),της κινητικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου (1/2·ρ·υ2) και της δυναμικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου (ρ·g·y) έχει την ίδια σταθερή τιμή σε οποιοδήποτε σημείο της ρευματικής γραμμής.
Η διατύπωση αυτή ονομάζεται αρχή του Bernoulli ή καλούμενο και Θεμελιώδες θεώρημα της Υδροδυναμικής η οποία αποτελεί έκφραση της αρχής διατήρησης της ενέργειας στη ροή των ρευστών.
.jpg) |
| Το άθροισμα της πίεσης (p),της κινητικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου (1/2·ρ·υ2) και της δυναμικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου (ρ·g·y) έχει την ίδια σταθερή τιμή σε οποιοδήποτε σημείο της ρευματικής γραμμής |
Κατόπιν όλων των παραπάνω,ως κατάληξη,ο Νόμος του Μπερνούλι καθορίζει ότι:
Κατά μήκος μιας φλέβας ή ενός αγωγού που διέρχεται υγρό το άθροισμα της εξωτερικής πίεσης,της δυναμικής πίεσης και της υδροστατικής πίεσης είναι σταθερό.
Εξ αυτού του τελευταίου συνάγεται ότι:
Κατά τη ροή του υγρού,η πίεση είναι μικρή στα σημεία όπου η ταχύτητα είναι μεγάλη,και αντίστροφα είναι μεγάλη σε σημεία όπου η ταχύτητα είναι μικρή.
ή ακόμα,
Το άθροισμα της "ενέργειας θέσεως" και της "κινητικής ενέργειας" είναι σταθερό.
Τούτο άλλωστε γίνεται εύκολα αντιληπτό δεδομένου ότι όταν αυξάνεται η κινητική ενέργεια του υγρού,η αύξηση αυτή πραγματοποιείται με αντίστοιχη ελάττωση της ενέργειας θέσεως προκειμένου το άθροισμα τους να παραμένει σταθερό.
Κατά μήκος μιας φλέβας ή ενός αγωγού που διέρχεται υγρό το άθροισμα της εξωτερικής πίεσης,της δυναμικής πίεσης και της υδροστατικής πίεσης είναι σταθερό.
Εξ αυτού του τελευταίου συνάγεται ότι:
Κατά τη ροή του υγρού,η πίεση είναι μικρή στα σημεία όπου η ταχύτητα είναι μεγάλη,και αντίστροφα είναι μεγάλη σε σημεία όπου η ταχύτητα είναι μικρή.
ή ακόμα,
Το άθροισμα της "ενέργειας θέσεως" και της "κινητικής ενέργειας" είναι σταθερό.
Τούτο άλλωστε γίνεται εύκολα αντιληπτό δεδομένου ότι όταν αυξάνεται η κινητική ενέργεια του υγρού,η αύξηση αυτή πραγματοποιείται με αντίστοιχη ελάττωση της ενέργειας θέσεως προκειμένου το άθροισμα τους να παραμένει σταθερό.
