ΕΡΓΟ ΒΑΡΟΥΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

ΕΡΓΟ ΒΑΡΟΥΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

ΕΡΓΟ ΒΑΡΟΥΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

 Μελετήσαμε ότι η ενέργεια που μεταφέρεται σ' ένα σώμα,προκαλώντας έτσι αύξηση στην ενέργεια του,υπολογίζεται μέσω του έργου W=F·x.

Υπάρχουν περιπτώσεις που ο υπολογισμός του έργου είναι δύσκολος ενώ αντίθετα είναι εύκολος ο υπολογισμός της μεταβολής της ενέργειας του σώματος

 Υπάρχουν όμως περιπτώσεις,που ο υπολογισμός του έργου είναι δύσκολος ή ακόμα και αδύνατος,π.χ. αν η δύναμη F είναι άγνωστη,ενώ αντίθετα είναι εύκολος ο υπολογισμός της μεταβολής της ενέργειας του σώματος.

ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΒΑΡΟΥΣ

 Ρίχνουμε κατακόρυφα προς τα πάνω μια σφαίρα.Η σφαίρα θα φτάσει στο υψηλότερο σημείο της τροχιάς της και στην συνέχεια επανέρχεται και συναντά το τεντωμένο χέρι μας.

Ρίχνουμε κατακόρυφα προς τα πάνω μια σφαίρα.Η σφαίρα θα φτάσει στο υψηλότερο σημείο της τροχιάς της και στην συνέχεια επανέρχεται και συναντά το τεντωμένο χέρι μας

 Πρέπει να βρούμε την κινητική ενέργεια που έχει αποκτήσει η σφαίρα κατά τη διάρκεια  της πτώσης της και μέχρι τη στιγμή που φτάνει στο χέρι μας.Επίσης πρέπει να βρούμε την σχέση της ενέργειας αυτής με το έργο του βάρους της σφαίρας.

Πρέπει να βρούμε την σχέση της κινητικής ενέργειας που έχει αποκτήσει η σφαίρα κατά τη διάρκεια  της πτώσης της και μέχρι τη στιγμή που φτάνει στο χέρι μας με το έργο του βάρους της σφαίρας

 Αρχικά  θα πρέπει να υπολογίσουμε το έργο του βάρους.Το έργο του βάρους υπολογίζεται από τη σχέση του ορισμού του έργου:

                                                                         W=F·x·συνθ 

 Όμως F=B,x=h και θ=0°.Έτσι με απλή αντικατάσταση στην τελευταία σχέση W=F·x·συνθ έχουμε:

                                                                         WΒ=Β·h·συν0°=B·h  

 Θεωρούμε την αντίσταση του αέρα αμελητέα.Έτσι η μόνη δύναμη που δρα στη σφαίρα είναι το βάρος της.Συνεπώς θεωρητικά μπορούμε να πούμε ότι η κινητική ενέργεια που απέκτησε η σφαίρα κατά την ελεύθερη πτώση της από το ανώτερο σημείο που έφτασε,μέχρι το χέρι μας,είναι ίση με το έργο του βάρους της.Η θεώρηση ότι η κινητική ενέργεια του σώματος είναι ίση με το έργο του βάρους του προκύπτει από τις εξισώσεις τις ελεύθερης πτώσης.

Η μεταβολή της κινητικής και δυναμικής ενέργειας της σφαίρας στην άνοδο και κάθοδο της.Το έργο του βάρους της σφαίρας ισούται με την κινητική ενέργεια της σφαίρας

 Γνωρίζουμε ότι η ελεύθερη πτώση της σφαίρας είναι κίνηση ομαλά επιταχυνόμενη με επιτάχυνση g.Άρα ισχύουν οι γνωστές εξισώσεις της ελεύθερης πτώσης:

                                                                         h=1/2·g·t² 

                                                                         υ=g·t        

 Στη σχέση WΒ=B·h αν αντικαταστήσουμε το ύψος h με την τιμή του από τη σχέση h=1/2·g·t² και το βάρος Β από τη σχέση Β=m·g προκύπτει για το έργο:
                                                                        WB=B·h=m·g·1/2·g·t²=1/2·m·g²·t²

 Όμως το γινόμενο g·t,όπως φαίνεται από τη σχέση υ=g·t,είναι η ταχύτητα υ της σφαίρας.

Η σχέση WΒ=K μας δείχνει ότι το έργο του βάρους της σφαίρας ισούται με την κινητική ενέργεια της σφαίρας

 Συνεπώς  για το έργο WB με απλή αντικατάσταση έχουμε:

                                                                         WB=1/2·m·υ²

 Γνωρίζουμε ότι η ποσότητα 1/2·m·υ² εκφράζει την κινητική ενέργεια (K) της σφαίρας.
 Άρα η τελευταία σχέση WB=1/2·m·υ² μπορεί να γραφεί ως εξής:     

                                                                         WΒ=K 

 Η σχέση αυτή μας δείχνει ότι το έργο του βάρους της σφαίρας ισούται με την κινητική ενέργεια της σφαίρας.

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

 Θεωρούμε ότι η αρχική ταχύτητα του σώματος είναι μηδέν.Συνεπώς και η αρχική του κινητική ενέργεια είναι μηδέν.  
 Άρα η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ΔΚ του σώματος είναι:

                                                                          ΔΚ=Κτελ-Καρχ=Κ

 Έτσι η σχέση WΒ=K γράφεται:

                                                                         WΒ=ΔK

    

 Από την σχέση αυτή μπορούμε να πούμε ότι η κινητική ενέργεια της σφαίρας μεταβλήθηκε και ότι η μεταβολή της είναι ακριβώς ίση με το έργο του βάρους της.

Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σώματος είναι ακριβώς ίση με το έργο του βάρους του

 Το συμπέρασμα αυτό είναι πάρα πολύ σημαντικό και μπορούμε να το γενικεύσουμε σ' οποιαδήποτε περίπτωση,όπου σ' ένα σώμα δρουν πολλές δυνάμεις και η κινητική του ενέργεια μεταβάλλεται.

Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σώματος είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των δυνάμεων που δρουν πάνω του ή,ισοδύναμα,είναι ίση με το έργο της συνισταμένης δύναμης

 Έτσι μπορούμε να διατυπώσουμε την πρόταση:

 Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σώματος είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των δυνάμεων που δρουν πάνω του ή,ισοδύναμα,είναι ίση με το έργο της συνισταμένης δύναμης.

                                                                         ΔΚ=ΣWF=WF(ολ)

  

 Η παραπάνω γενίκευση ονομάζεται Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας ή απλά Θεώρημα της κινητικής ενέργειας.

Το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας είναι ένα πολύ σπουδαίο θεώρημα γιατί μπορούμε να  υπολογίζουμε την κινητική ενέργεια ή την ταχύτητα ενός σώματος.Επίσης έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε το έργο μίας άγνωστης δύναμης ή μίας μεταβλητής δύναμης

 Το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας είναι ένα πολύ σπουδαίο θεώρημα.Με αυτό μπορούμε να υπολογίζουμε την κινητική ενέργεια ή την ταχύτητα ενός σώματος.Επίσης έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε το έργο μίας άγνωστης δύναμης ή μίας μεταβλητής δύναμης,όταν η σχέση W=F·x δεν ισχύει.Αρκεί για το σκοπό αυτό να γνωρίζουμε τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος στο οποίο δρα η δύναμη.