ΣΤΕΡΓΙΟΣ ΠΕΛΛΗΣ | 11:04 π.μ. | | | | | Best Blogger Tips

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

|
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ



Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ 

ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

 Για να περιγράψουμε τις κινήσεις και για να τις συγκρίνουμε μεταξύ τους,χρειαζόμαστε και άλλες έννοιες εκτός από τη θέση,τη χρονική στιγμή,τη μετατόπιση και τη χρονική διάρκεια. 
 Χρησιμοποιούμε καθημερινά την έννοια της ταχύτητας για να δείξουμε πόσο γρήγορα ή πόσο αργά κινείται ένα αντικείμενο.Η έννοια αυτή χρησιμοποιείται με δυο διαφορετικούς τρόπους.
Ένα σώμα Α είναι ταχύτερο από κάποιο άλλο Β,όταν το Α μπορεί να διανύσει την ίδια διαδρομή με τον Β σε μικρότερο χρόνο.Επίσης,μεταξύ δυο σωμάτων Α και Β που κινούνται,ταχύτερο είναι εκείνο,που στον ίδιο χρόνο διανύει διαδρομή μεγαλύτερου μήκους
  Λέμε ότι ένα σώμα Α είναι ταχύτερο από κάποιο άλλο Β,όταν το Α μπορεί να διανύσει την ίδια διαδρομή με τον Β σε μικρότερο χρόνο.Επίσης,μεταξύ δυο σωμάτων Α και Β που κινούνται,ταχύτερο είναι εκείνο,που στον ίδιο χρόνο διανύει διαδρομή μεγαλύτερου μήκους.
H ταχύτητα συνδέεται με δυο μεγέθη,το μήκος της διαδρομής και το χρόνο  
  Άρα βλέπουμε ότι η ταχύτητα συνδέεται με δυο μεγέθη,το μήκος της διαδρομής και το χρόνο.
  Ο Γαλιλαίος όρισε πρώτος την ταχύτητα ως την απόσταση που διανύει ένα σώμα στη μονάδα του χρόνου.
Ταχύτητα ενός σώματος υ ονομάζεται το διανυσματικό φυσικό μέγεθος που το μέτρο της ισούται με το πηλίκο της μετατόπισης Δx του σώματος σε χρονικό διάστημα Δt ως προς το χρονικό διάστημα Δt αυτό      
  Ταχύτητα ενός σώματος υ ονομάζεται το διανυσματικό φυσικό μέγεθος που το μέτρο της ισούται με το πηλίκο της μετατόπισης Δτου σώματος σε χρονικό διάστημα Δt ως προς το χρονικό διάστημα Δt αυτό.

                                                                   υ=Δx/Δt

  Η ταχύτητα είναι το φυσικό μέγεθος που εκφράζει το πόσο γρήγορα ή αργά κινείται ένα σώμα.
Η ταχύτητα είναι το φυσικό μέγεθος που εκφράζει το πόσο γρήγορα ή αργά κινείται ένα σώμα
 Όπως γνωρίζουμε η μετατόπιση είναι μέγεθος διανυσματικό.Συνεπώς και η ταχύτητα είναι επίσης μέγεθος διανυσματικό,δηλαδή χαρακτηρίζεται τόσο από το μέτρο της,όσο και από τη φορά και τη διεύθυνση της.
H μετατόπιση είναι μέγεθος διανυσματικό.Συνεπώς και η ταχύτητα είναι επίσης μέγεθος διανυσματικό
  Δηλαδή:
  Μονάδα μέτρησης της ταχύτητας στο S.I. είναι το ένα μέτρο ανά δευτερόλεπτο 1m/s.Γενικά μονάδα μέτρησης της ταχύτητας μπορεί να θεωρηθεί οποιαδήποτε μονάδα μήκους ανά οποιαδήποτε μονάδα χρόνου.  
 Η ταχύτητα χρησιμοποιείται με δυο έννοιες,της μέσης και της στιγμιαίας ταχύτητας.


ΜΕΣΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ
ΜΕΣΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ

 Έχουμε μελετήσει την έννοια της ταχύτητας όπου η ταχύτητα παραμένει σταθερή σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή της κίνησης.
Οι κινήσεις που εκτελούν τα κινητά δεν είναι πάντοτε ευθύγραμμες ομαλές,αλλά μεταβαλλόμενες
 Στην καθημερινότητα οι συνηθισμένες κινήσεις δεν είναι ευθύγραμμες ομαλές.Οι κινήσεις που εκτελούν τα κινητά (αυτοκίνητα,αεροπλάνα,τρένα,πλοία κ.λπ.) δεν είναι πάντοτε ευθύγραμμες ομαλές,αλλά μεταβαλλόμενες,δηλαδή η ταχύτητά τους δεν παραμένει διαρκώς σταθερή.
Αγώνας κολύμβησης 100 m
  Σ' έναν αγώνα κολύμβησης 100 m,ο κολυμβητής διανύει δυο φορές το μήκος της πισίνας και επιστρέφει στο σημείο εκκίνησης.Σ' αυτή την περίπτωση,το μήκος της διαδρομής που διήνυσε είναι s=(50 m)+(50 m)=100 m.
Η ταχύτητα που διανύει ένα  αυτοκίνητο στη διαδρομή Αθήνα - Θεσσαλονίκη δεν είναι η ίδια σε όλη τη χρονική διάρκεια της κίνησης
  Τώρα πρέπει να μελετήσουμε για παράδειγμα,τη ταχύτητα που διανύει ένα αυτοκίνητο στη διαδρομή Αθήνα-Θεσσαλονίκη.Σ' αυτή την περίπτωση η ταχύτητα αλλάζει,δεν είναι η ίδια σε όλη τη χρονική διάρκεια της κίνησης.Με λίγα λόγια ο λόγος της μετατόπισης προς τον χρόνο παίρνει διαφορετικές τιμές κατά τη διάρκεια διαδρομής του αυτοκινήτου από την Αθήνα στη Θεσσαλονίκη.Οι τιμές αυτές εξαρτώνται από το διάστημα s ή από το χρόνο t που θα επιλέξουμε.

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

 Άρα για να προσδιορίσουμε την ταχύτητα που διανύει το αυτοκίνητο στη διαδρομή Αθήνα-Θεσσαλονίκη πρέπει να βρούμε μια νέα έννοια.Αυτή η νέα έννοια σχετίζεται με τη συνολική απόσταση που διανύει το αυτοκίνητο και τη συνολική χρονική διάρκεια κίνησής του.
 Σε τέτοιες περιπτώσεις ορίζουμε ένα νέο φυσικό μέγεθος που λέγεται μέση ταχύτητα υμ.Aν s είναι το διάστημα,που διανύει το κινητό σε χρόνο t,τότε η μέση ταχύτητα του,για το χρονικό διάστημα t,ορίζεται ως εξής:
Μέση ταχύτητα υμ ονομάζεται το πηλίκο του συνολικού μήκους της διαδρομής που διήνυσε  ένα κινητό σε ορισμένο συνολικό χρόνο προς το συνολικό χρόνο αυτό  t
  Μέση ταχύτητα υμ ονομάζεται το πηλίκο του συνολικού μήκους της διαδρομής που διήνυσε  ένα κινητό σε ορισμένο συνολικό χρόνο προς το συνολικό χρόνο αυτό  t.                     

                                               μέση ταχύτητα=διάστημα/αντίστοιχος χρόνος

                                                                               υμ=s/t

  Πολύ σημαντικό να τονίσουμε είναι ότι η μέση ταχύτητα είναι μονόμετρο μέγεθος.
H µέση ταχύτητα είναι ο µέσος όρος των διαφόρων ταχυτήτων που ανάπτυξε κατά διαστήµατα το κινητό
  H µέση ταχύτητα είναι ο µέσος όρος των διαφόρων ταχυτήτων που ανάπτυξε κατά διαστήµατα το κινητό.
 Αν κάποιο άλλο κινητό εκτελέσει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με σταθερή ταχύτητα υμ,θα διανύσει το ίδιο διάστημα s που θα διανύει το κινητό στον ίδιο χρόνο  t.

ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

  Η ταχύτητα είναι παράγωγο μέγεθος και σύμφωνα με τη σχέση υμ=s/t,η μονάδα της στο διεθνές σύστημα μονάδων (SI) είναι το 1 m/s δηλαδή ένα μέτρο ανά δευτερόλεπτο.
  Άλλες μονάδες μέτρησης είναι το χιλιόμετρο ανά ώρα (km/h),το μίλι ανά ώρα (mi/h) και το εκατοστό ανά ώρα (cm/h) κτλ.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΣΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ

 Διανύουμε μ' ένα αυτοκίνητο 200 χιλιόμετρα σε δύο ώρες.Τότε μπορούμε να πούμε ότι η μέση ταχύτητα του αυτοκίνητου ήταν: 

υμ=s/t=200/2=100 km/h

 Ένα κινούμενο σώμα έχει μεγαλύτερη μέση ταχύτητα από ένα άλλο,όταν διανύει την ίδια απόσταση σε μικρότερο χρόνο.Ένα αυτοκίνητο χρειάζεται περίπου πέντε ώρες για το ταξίδι Αθήνα-Θεσσαλονίκη,ενώ ένα λεωφορείο χρειάζεται για την ίδια απόσταση σε 7 ώρες.Άρα το αυτοκίνητο έχει μεγαλύτερη μέση ταχύτητα από το λεωφορείο.
Ένα κινούμενο σώμα έχει μεγαλύτερη μέση ταχύτητα από ένα άλλο,όταν διανύει την ίδια απόσταση σε μικρότερο χρόνο
  Αν τρέξουµε µε το αυτοκίνητο µας απόσταση 50 χιλιοµέτρων σε µια ώρα,λέµε ότι η ταχύτητα µας ήταν 50 χιλιόµετρα ανά ώρα (50 Km/h).Όµως δεν σηµαίνει κατ’ ανάγκη πως το ταχύµετρο έδειχνε συνεχώς την ίδια ταχύτητα.Η ταχύτητα µεταβαλλόταν συνεχώς είτε σε µικρότερες είτε σε µεγαλύτερες τιµές από 50 Km/h.
 Το 50 Km/h,ονοµάζεται µέση ταχύτητα και είναι ουσιαστικά ο µέσος όρος των διαφόρων ταχυτήτων που ανάπτυξε κατά διαστήµατα το αυτοκίνητο.

ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ 
ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ

  Στο ταξίδι από την Αθήνα στη Θεσσαλονίκη,η ταχύτητα του αυτοκινήτου δεν παραμένει σταθερή.Η κίνηση αυτή που δεν είναι ούτε ευθύγραμμη ούτε ομαλή,ονομάζεται γενικά μεταβαλλόμενη κίνηση.
 Μεταβαλλόμενη κίνηση ονομάζεται η κίνηση η οποία δεν είναι ούτε ευθύγραμμη ούτε ομαλή.
Μεταβαλλόμενη κίνηση ονομάζεται η κίνηση η οποία δεν είναι ούτε ευθύγραμμη ούτε ομαλή
  Ένα σώμα που κινείται δεν έχει πάντοτε την ίδια ταχύτητα.Για παράδειγμα,ένα αυτοκίνητο κινείται σε μια λεωφόρο με ταχύτητα 40 km/h.Όταν το αυτοκίνητο σταματά στο κόκκινο φανάρι,η ταχύτητά του μηδενίζεται.Όταν αργότερα αρχίζει να κινείται πάλι,εξαιτίας της έντονης κυκλοφορίας,φθάνει σταδιακά μόνο τα 20 km/h.Πιο μετά στην εθνική οδό τρέχει με 120 km/h.
File:Animated Aston Martin Speedometer.gif
Τη στιγμιαία ταχύτητα του αυτοκινήτου σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή μας τη δείχνει το ταχύμετρο
 Ας υποθέσουμε ότι οδηγούμε ένα αυτοκίνητο.Παρατηρούμε,ότι όσο μικραίνει η χρονική διάρκεια κίνησης του αυτοκινήτου,τόσο η υπολογιζόμενη από τις μετρήσεις μέση ταχύτητα προσεγγίζει την πραγματική ταχύτητα του αυτοκινήτου που δείχνει το κοντέρ.
Αν η χρονική διάρκεια κίνησης του αυτοκινήτου γίνει πάρα πολύ μικρή, τότε η υπολογιζόμενη ταχύτητα λέγεται στιγμιαία και ταυτίζεται με αυτή που δείχνει το ταχύμετρο σε μία τυχαία χρονική στιγμή
 Αν η χρονική διάρκεια κίνησης του αυτοκινήτου γίνει πάρα πολύ μικρή,τότε η υπολογιζόμενη ταχύτητα λέγεται στιγμιαία και ταυτίζεται με αυτή που δείχνει το ταχύμετρο σε μία τυχαία χρονική στιγμή.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

 Μπορούμε να μιλήσουμε για την ταχύτητα του αυτοκινήτου σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή κοιτάζοντας την ένδειξη του ταχύμετρου (κοντέρ).Η ταχύτητα του κινητού σε μια ορισμένη χρονική στιγμή λέγεται στιγμιαία ταχύτητα.
Στιγμιαία ταχύτητα ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος που δείχνει την ταχύτητα του σώματος μία συγκεκριμένη χρονική στιγμή
 Στιγμιαία ταχύτητα ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος που δείχνει την ταχύτητα του σώματος μία συγκεκριμένη χρονική στιγμή.
  Το μέτρο της δίνεται από τον τύπο:

                                                                              υ=Δx/Δt  
όπου:
υ η στιγμιαία ταχύτητα,
Δη μετατόπιση του σώματος,
Δt το πολύ μικρό χρονικό διάστημα.
  Η στιγμιαία ταχύτητα είναι μέγεθος ταχύτητας.Άρα η μονάδα μέτρησης της στιγμιαίας ταχύτητας στο SI είναι:

                                                                              1 m/s

  Όταν ταξιδεύουμε με ένα αυτοκίνητο,μας ενδιαφέρει το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να διανύσουμε τη συνολική διαδρομή που αντιστοιχεί στο ταξίδι.Ενδιαφερόμαστε για τη μέση ταχύτητα που μπορεί να αναπτύξουμε στη διάρκεια όλου του ταξιδιού.
Όταν ταξιδεύουμε με ένα αυτοκίνητο,μας ενδιαφέρει το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να διανύσουμε τη συνολική διαδρομή που αντιστοιχεί στο ταξίδι
 Η μέση ταχύτητα,επειδή αναφέρεται στη συνολική διαδρομή,δε δίνει πληροφορίες για τις μεταβολές της στιγμιαίας ταχύτητας,στη διάρκεια της διαδρομής.Στις περισσότερες κινήσεις,η στιγμιαία ταχύτητα δε διατηρείται σταθερή,έτσι γενικά είναι διαφορετική από τη μέση ταχύτητα.
Στις περισσότερες κινήσεις,η στιγμιαία ταχύτητα δε διατηρείται σταθερή,έτσι γενικά είναι διαφορετική από τη μέση ταχύτητα
   Στην περίπτωση της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης η στιγμιαία και η μέση ταχύτητα συμπίπτουν.

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ
ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ
ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ

 Για παράδειγμα έχουμε ένα αυτοκίνητο που κινείται σε ευθεία γραμμή και κατά τέτοιο τρόπο ώστε σε ίσους χρόνους διανύει ίσα διαστήματα.Μια τέτοια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη ομαλή κίνηση και είναι η απλούστερη από όλες τις κινήσεις.
Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ονομάζεται η κίνηση στην οποία ένα σώμα κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά και σε ίσα χρονικά διαστήματα Δt διανύει ίσα διαστήματα Δx,δηλαδή κινείται με σταθερή ταχύτητα
  Άρα:
  Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ονομάζεται η κίνηση στην οποία ένα σώμα κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά και σε ίσα χρονικά διαστήματα Δt διανύει ίσα διαστήματα Δx,δηλαδή κινείται με σταθερή ταχύτητα.
Στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση  το σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα 
  Στην κίνηση αυτή ονομάζουμε μέτρο της ταχύτητας υ του σώματος το σταθερό πηλίκο του διαστήματος Δx που διανύει το σώμα σε χρόνο Δt,προς το χρόνο αυτό Δt.

                                                                              υ=Δx/Δt

  Στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση,η θέση μεταβάλλεται ανάλογα με το χρόνο.Στη κίνηση αυτή η ταχύτητα είναι σταθερή δηλαδή έχει σταθερό μέτρο,διεύθυνση και φορά και η διεύθυνση της είναι παράλληλη με την ευθύγραμμη τροχιά της κίνησης.
Στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση η ταχύτητα είναι σταθερή δηλαδή έχει σταθερό μέτρο,διεύθυνση και φορά και η διεύθυνση της είναι παράλληλη με την ευθύγραμμη τροχιά της κίνησης

  Η μεταβολή της ταχύτητας ενός σώματος(Δυ),που εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση,μεταξύ μιας αρχικής και μιας τελικής θέσης,ισούται με το μηδενικό διάνυσμα δηλαδή η ταχύτητα υ παραμένει σταθερή κατά μέτρο,διεύθυνση και φορά από την μία χρονική στιγμή στην άλλη.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ

   Από την εξίσωση ορισμού της ταχύτητας προκύπτει ότι η μετατόπιση Δx είναι:

Δx=υ·Δt      ή 

                                                                              x=υ·t

 Η ευθύγραμμη ομαλή κίνηση περιγράφεται με τη σχέση x=υ·t με την οποία βρίσκουμε κάθε χρονική στιγμή τη μετατόπιση του κινητού,εφόσον γνωρίζουμε την ταχύτητα του.
  Η σχέση αυτή ονομάζεται εξίσωση κίνησης.
  Για να διαπιστώσω αν ένα σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση θα πρέπει: 
α) Να υπολογίσω τη μετατόπιση Δx του σώματος από μια χρονική στιγμή tμέχρι την χρονική στιγμή t2
β) Να υπολογίσω το χρονικό διάστημα Δt=t2–t1
γ) Να υπολογίσω το λόγο Δx/Δt 
δ) Να επαναλάβω τη διαδικασία για άλλες χρονικές στιγμές και να βρω τον ίδιο λόγο.

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ

  Η ευθύγραμμη ομαλή κίνηση μπορεί να μελετηθεί και γραφικά με τη βοήθεια του διαγράμματος της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο t.
Το διάγραμμα ταχύτητας (υ)-χρόνου(t) στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση  
 Για να κατασκευάσουμε μια γραφική παράσταση,χρειαζόμαστε πειραματικές τιμές των φυσικών μεγεθών που θα παραστήσουμε,ή αν δεν έχουμε πειραματικές τιμές,πρέπει να γνωρίζουμε την αλγεβρική σχέση που συνδέει τα φυσικά μεγέθη,ώστε να συμπληρώσουμε πίνακα τιμών.
Διαγράμματα στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση  
  Παρατηρούμε,ότι οι γραφικές παραστάσεις είναι ευθείες γραμμές,όπως ήταν αναμενόμενο,εφόσον η αλγεβρική σχέση μεταξύ των μεγεθών x,t είναι γραμμική,που όμως έχουν διαφορετική κλίση.
Η κλίση της ευθείας στο διάγραμμα της μετατόπισης σε συνάρτηση με το χρόνο δίνει την ταχύτητα στην ευθύγραμμη κίνηση
 Επειδή η κλίση προκύπτει ως το πηλίκο της μετατόπισης δια του χρόνου,Δx/Δt,με το οποίο πηλίκο έχουμε ορίσει την ταχύτητα, συμπεραίνουμε ότι:
 Η κλίση της ευθείας στο διάγραμμα της μετατόπισης σε συνάρτηση με το χρόνο δίνει την ταχύτητα στην ευθύγραμμη κίνηση.   
 Αν παραστήσουμε γραφικά σε συνάρτηση με το χρόνο, τη σταθερή ταχύτητα υα και υβ των δύο κινητών, προκύπτουν οι ευθείες γραμμές (α) και (β).
Γραφική παράσταση της ταχύτητας υα και υβ των δύο κινητών σε συνάρτηση με το χρόνο.Τα εμβαδά Εα(μπλε) και Εβ (γραμμοσκιασμένο),δίνουν τις μετατοπίσεις των κινητών α,β,αντίστοιχα
  Οι ευθείες (α) και (β) είναι παράλληλες στον άξονα του χρόνου.Υπολογίζοντας τα εμβαδά Εα και Εβ μεταξύ των αντίστοιχων ευθειών (α),(β) και των αξόνων ταχύτητα-χρόνος,βρίσκουμε τις αντίστοιχες μετατοπίσεις.
  Μπορούμε λοιπόν από τη γραφική παράσταση υ=f(t) να υπολογίζουμε τη μετατόπιση Δx,βρίσκοντας το αντίστοιχο εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ των αξόνων υ,t και της ευθείας που παριστά την ταχύτητα.




Παρακαλώ αναρτήστε:

author

ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ τμήμα ΦΥΣΙΚΗΣ τομέαs ΑΣΤΡΟΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ μέλοs τηs ΕΝΩΣΗΣ ΕΛΛΗΝΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

Αποκτήστε δωρεάν ενημερώσεις!!!

ΠΑΡΑΔΙΔΟΝΤΑΙ ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΧΗΜΕΙΑΣ ΓΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΤΑΞΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΑΙ ΛΥΚΕΙΟΥ------------ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΑΣΤΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α.Ε.Ι , Τ.Ε.Ι. ΚΑΙ Ε.Μ.Π.------------ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ------------ Τηλέφωνο κινητό : 6974662001 ------------ Τηλέφωνο οικίας :210 7560725 ------------ Email : sterpellis@gmail.com Εθνική Τράπεζα της Ελλάδος: Αριθμός λογαριασμού 117/946964-81

ΠΑΡΑΔΙΔΟΝΤΑΙ ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΧΗΜΕΙΑΣ ΓΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΤΑΞΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΑΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΑΣΤΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α.Ε.Ι , Τ.Ε.Ι. ΚΑΙ Ε.Μ.Π. ------------------------------------ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ Τηλέφωνο κινητό : 6974662001 Τηλέφωνο οικίας :210 7560725 Email : sterpellis@gmail.com Εθνική Τράπεζα της Ελλάδος: Αριθμός λογαριασμού 117/946964-81