ΓΡΑΜΜΟΜΟΡΙΑΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΕΣ ΑΕΡΙΩΝ

ΓΡΑΜΜΟΜΟΡΙΑΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΕΣ ΑΕΡΙΩΝ

ΓΡΑΜΜΟΜΟΡΙΑΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΕΣ ΑΕΡΙΩΝ

ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΘΕΡΜΙΔΟΜΕΤΡΙΑΣ

 Από πειραματικές μετρήσεις έχει βρεθεί ότι το ποσό θερμότητας που απαιτείται για να αυξηθεί η θερμοκρασία ενός σώματος μάζας m,κατά ΔΤ δίνεται από τη σχέση:

                                                                                         Q=m·c·ΔΤ       

όπου:
Q το ποσό της θερμότητας.
m η μάζα του σώματος. 
c η ειδική θερμότητα του υλικού. 
ΔΤ η αύξηση της θερμοκρασίας του σώματος.
 Στα υγρά και στα στερεά η ειδική θερμότητα του σώματος εξαρτάται μόνο από το υλικό του.

Η ειδική θερμότητα c εκφράζει το ποσό θερμότητας που πρέπει να προσφερθεί στη μονάδα μάζας ενός σώματος για να αυξηθεί η θερμοκρασία του κατά ένα βαθμό

 Αν είναι m=1 Kg και ΔΤ=1 Κ,τότε η σχέση Q=n·c·ΔΤ δίνει αριθμητικά το ίδιο αποτέλεσμα για το ποσό θερμότητας Q και την ειδική θερμότητα c.
  Άρα:
 Η ειδική θερμότητα c εκφράζει το ποσό θερμότητας που πρέπει να προσφερθεί στη μονάδα μάζας ενός σώματος για να αυξηθεί η θερμοκρασία του κατά ένα βαθμό.
 Μονάδα μέτρησης της ειδικής θερμότητας C,στο SI,είναι το: 

                                                                                           1 J/Kg·K

ΓΡΑΜΜΟΜΟΡΙΑΚΗ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ

 Όμως σε θέματα θερμοδυναμικής,είναι πιο χρήσιμο να εκφράσουμε τη μάζα ενός σώματος σε mol.
 Γνωρίζουμε ότι:

                                                                                         m=n·M 

όπου: 
Μ η γραμμομοριακή μάζα.
 Έτσι μπορούμε να γράψουμε τη σχέση Q=m·c·ΔΤ με τη μορφή:

                                                                                         Q=n·M ·c·ΔΤ   

 Το γινόμενο Μ·c ονομάζεται γραμμομοριακή ειδική θερμότητα  και συμβολίζεται με C.
 Άρα η η γραμμομοριακή ειδική θερμότητα C και η ειδική θερμότητα c συνδέονται με την σχέση:

                                                                                            C=M·c

 Αντικαθιστώντας το γινόμενο Μ·c με το C η σχέση Q=n·M·c·ΔΤ γίνεται:

                                                                                            Q=n·C·ΔΤ

όπου:
Q το ποσό της θερμότητας.
n ο αριθμός των mol. 
C η γραμμομοριακή ειδική θερμότητα του υλικού. 
ΔΤ η αύξηση της θερμοκρασίας του σώματος.

Το γινόμενο Μ·c  ονομάζεται γραμμομοριακή ειδική θερμότητα  και συμβολίζεται με C

 Αν n=1 mol και ΔΤ=1 Κ,τότε η σχέση Q=n·C·ΔΤ δίνει αριθμητικά το ίδιο αποτέλεσμα για το ποσό θερμότητας Q και την γραμμομοριακή ειδική θερμότητα C.
 Άρα:
 Η γραμμομοριακή ειδική θερμότητα C εκφράζει το ποσό θερμότητας που πρέπει να προσφερθεί σε 1 mol του σώματος για να αυξηθεί η θερμοκρασία του κατά ένα βαθμό.

Η γραμμομοριακή ειδική θερμότητα C εκφράζει το ποσό θερμότητας που πρέπει να προσφερθεί σε 1 mol του σώματος για να αυξηθεί η θερμοκρασία του κατά ένα βαθμό

 Μονάδα μέτρησης της γραμμομοριακής ειδικής θερμότητας C,στο SI,είναι το:

                                                                                            1 J/mol·K

 Ενώ η ειδική θερμότητα στα υγρά και στα στερεά εξαρτάται μόνο από το υλικό,στα αέρια η γραμμομοριακή ειδική θερμότητα εξαρτάται και από τον τρόπο με τον οποίο θερμαίνεται το αέριο.

Η γραμμομοριακή ειδική θερμότητα εξαρτάται και από τον τρόπο με τον οποίο θερμαίνεται το αέριο

 Από όλους του δυνατούς τρόπους με τους οποίους μπορεί να θερμανθεί ένα αέριο,και τις αντίστοιχες γραμμομοριακές ειδικές θερμότητες που προκύπτουν,ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν δύο,η θέρμανση με σταθερό όγκο και η θέρμανση με σταθερή πίεση.

ΘΕΡΜΑΝΣΗ ΑΕΡΙΟΥ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟ ΟΓΚΟ

 Ας υποθέσουμε ότι το θεωρούμενο σώμα είναι ορισμένη ποσότητα ιδανικού αεριού.Το αέριο βρίσκεται μέσα σε δοχείο σταθερού όγκου και θερμαίνεται ώστε η θερμοκρασία του να αυξηθεί κατά ΔΤ.

Το αέριο βρίσκεται μέσα σε δοχείο σταθερού όγκου και θερμαίνεται ώστε η θερμοκρασία του να αυξηθεί κατά ΔΤ

 Αν συμβολίσουμε με Qv το ποσό θερμότητας που απορροφά το αέριο και με Cv τη  γραμμομοριακή ειδική θερμότητα κατά την ισόχωρη αυτή θέρμανση έχουμε:

                                                                                QV=n·CV·ΔΤ 

 Κατά την ισόχωρη θέρμανση ο όγκος του αερίου παραμένει σταθερός.Άρα το έργο του αερίου είναι μηδέν.
 Δηλαδή:

                                                                                 W=0
    
 Εφαρμόζοντας τον πρώτο θερμοδυναμικό νόμο έχουμε:

                                                                                 QV=ΔU

 Η σχέση QV=ΔU,λόγω της QV=n·CV·ΔΤ,γίνεται ΔU=n·CV·n·ΔΤ.

Επειδή η εσωτερική ενέργεια ενός αερίου εξαρτάται μόνο από την αρχική και τελική θερμοκρασία του αερίου η σχέση ΔU=n·CV·ΔΤ δίνει τη μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας σε κάθε περίπτωση που η θερμοκρασία ενός αερίου μεταβάλλεται κατά ΔΤ

 Άρα η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου κατά την ισόχωρη θέρμανση είναι:

                                                                                ΔU=n·CV·ΔΤ

 Επειδή η εσωτερική ενέργεια ενός αερίου εξαρτάται μόνο από την αρχική και τελική θερμοκρασία του αερίου η σχέση ΔU=n·CV·ΔΤ δίνει τη μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας σε κάθε περίπτωση που η θερμοκρασία ενός αερίου μεταβάλλεται κατά ΔΤ,με όποιον τρόπο και αν πραγματοποιείται αυτή η μεταβολή.

ΘΕΡΜΑΝΣΗ ΑΕΡΙΟΥ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΠΙΕΣΗ

 Υποθέτουμε ότι η ίδια ποσότητα αερίου θερμαίνεται ισοβαρώς ώστε η θερμοκρασία του να μεταβληθεί κατά το ίδιο ποσό ΔΤ.

Η ίδια ποσότητα αερίου θερμαίνεται ισοβαρώς ώστε η θερμοκρασία του να μεταβληθεί κατά το ίδιο ποσό ΔΤ

 Αν συμβολίσουμε με Qp και Cp τη θερμότητα και τη γραμμομοριακή ειδική θερμότητα του αερίου στην ισοβαρή θέρμανση,μπορούμε να γράψουμε:

                                                                                Qp=n·Cp·ΔΤ

 Το έργο που παράγει το αέριο στην ισοβαρή θέρμανση είναι:

                                                                                W=p·ΔV

 Όπως είπαμε επειδή η εσωτερική ενέργεια ενός αερίου εξαρτάται μόνο από την αρχική και τελική θερμοκρασία του αερίου η σχέση ΔU=n·CV·ΔΤ είναι κοινή για όλες τις μεταβολές που η θερμοκρασία ενός αερίου μεταβάλλεται κατά ΔΤ.
 Άρα η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου κατά την ισόβαρη θέρμανση είναι:

                                                                                ΔU=n·CV·ΔΤ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ Cp=CV+R

 Από τον πρώτο θερμοδυναμικό νόμο έχουμε, αν λάβουμε υπόψη ότι Q=n·Cp·ΔΤ  και ΔU=n·CV·ΔΤ και W=p·ΔV,έχουμε:

Q=ΔU+W                                    ή    

n·Cp·ΔΤ=n·CV ·ΔΤ+p ΔV            (1)

 Από την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων έχουμε:

p·VΑ=n·R·ΤΑ                               και  

p·VB=n·R·ΤB

 Αν αφαιρέσουμε κατά μέλη τις δύο τελευταίες σχέσεις προκύπτει:

p·(VB-VΑ)=n·R·(TB-ΤΑ)                ή   

p·ΔV=n·R·ΔΤ                             (2)


 Οπότε η σχέση n·Cp·ΔΤ=n·CV·ΔΤ+p·ΔV λόγω της σχέσης p·ΔV=n·R·ΔΤ γράφεται:

n·Cp·ΔΤ=CV·ΔΤ+n·R·ΔT             ή

  

                                                                                Cp=CV+R

 Η σχέση Cp=CV+R δείχνει ότι η Cp  είναι μεγαλύτερη από τη Cv κατά την ποσότητα R.

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ Cp ΚΑΙ Cv

 Αποδεικνύεται ότι η εσωτερική ενέργεια ιδανικού αερίου δίνεται από τη σχέση:

                                                                                U=3/2·n·R·T

 Όταν η θερμοκρασία του αερίου μεταβάλλεται κατά ΔΤ η εσωτερική του ενέργεια μεταβάλλεται κατά ΔU=3/2·n·R·T.

 Από τη σχέση ΔU=n·CV·ΔΤ προκύπτει:

n ·CV·ΔΤ=3/2·n·R·T

 Συνεπώς:

                                                                                Cv=3/2R=12,47 J/mol·K

 Για τη Cp ισχύει: 

Cp=Cv+R=3/2R+R 

οπότε:

                                                                                Cp=5/2R=20,78 J/mol·K 

 Η ποσότητα γ που συναντήσαμε στο νόμο της αδιαβατικής μεταβολής είναι ο λόγος των δύο γραμμομοριακών ειδικών θερμοτήτων.

                                                                                γ=Cp/Cv

το γ είναι καθαρός αριθμός μεγαλύτερος της μονάδας και στα ιδανικά αέρια σύμφωνα με τις σχέσεις Cv=3/2R και Cp=5/2R έχει την τιμή γ=5/3.

Το γ είναι καθαρός αριθμός μεγαλύτερος της μονάδας και στα ιδανικά αέρια σύμφωνα με τις σχέσεις Cv=3/2R και Cp=5/2R έχει την τιμή γ=5/3

 Για τα πραγματικά αέρια η τιμή του λόγου Cp/Cv εξαρτάται από την ατομικότητά του και το είδος των δεσμών που συγκρατούν τα άτομα στο μόριο.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

 Αν πρόκειται για μονοατομικό αέριο η θεωρητική πρόβλεψη για τα Cv και Cp με βάση το ιδανικό αέριο, συμφωνεί απόλυτα με τα πειραματικά δεδομένα.Αντιθέτως αποκλίνει αισθητά για τα διατομικά και πολυατομικά αέρια.Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι τα μόρια των μονοατομικών  αερίων προσεγγίζουν το μοντέλο του ιδανικού αερίου.Αντίθετα τα μόρια που αποτελούνται από περισσότερα άτομα εμφανίζουν μια ορισμένη δομή.

Για μονοατομικό αέριο η θεωρητική πρόβλεψη για τα Cv και Cp με βάση το ιδανικό αέριο,συμφωνεί απόλυτα με τα πειραματικά δεδομένα

 Πιο συγκεκριμένα,στο ιδανικό αέριο θεωρήσαμε τα μόρια υλικά σημεία,οπότε η μόνη  δυνατότητα κίνησης είναι η μεταφορική κίνηση και υπολογίσαμε την εσωτερική του ενέργεια ως το άθροισμα των μεταφορικών κινητικών ενεργειών των μορίων του. 

Τα διατομικά μόρια, όπως τα μόρια του Ν2 και του Ο2 πρέπει να θεωρηθούν ότι αποτελούνται από δύο σωματίδια συνδεδεμένα μεταξύ τους

 Τα διατομικά μόρια,όπως τα μόρια του Ν2 και του Ο2 πρέπει να θεωρηθούν ότι αποτελούνται από δύο σωματίδια συνδεδεμένα μεταξύ τους.Εκτός από τη δυνατότητα που έχει ένα τέτοιο μόριο να κάνει μεταφορική κίνηση,τα σωματίδια που το αποτελούν έχουν τη δυνατότητα να περιστρέφονται γύρω από το κοινό κέντρο μάζας τους  και,κάτω από ορισμένες συνθήκες (υψηλή θερμοκρασία),να ταλαντώνονται.

Τα σωματίδια που αποτελούν τα διατομικά μόρια έχουν τη δυνατότητα να περιστρέφονται γύρω από το κοινό κέντρο μάζας τους  και,κάτω από ορισμένες συνθήκες (υψηλή θερμοκρασία),να ταλαντώνονται

 Όλες αυτές οι κινήσεις συνεισφέρουν στην εσωτερική ενέργεια.Έτσι,αν θέλαμε να κάνουμε πιο ακριβείς υπολογισμούς όταν υπολογίζουμε την εσωτερική ενέργεια θα πρέπει για τέτοια αέρια (διατομικά-τριατομικά) να λάβουμε υπόψη όλες τις κινήσεις.