|
ΣΤΕΡΓΙΟΣ ΠΕΛΛΗΣ | 2:01 μ.μ. | | | | | Best Blogger Tips

ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ
ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ

 Στην φύση αρκετές φορές ένα φαινόμενο επαναλαμβάνεται συνέχεια με τον ίδιο τρόπο.
 Η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο ολοκληρώνεται περίπου σε 365 ημέρες και ύστερα επαναλαμβάνεται συνεχώς κατά τον ίδιο τρόπο και στον ίδιο ακριβώς χρόνο.Μία τέτοια κίνηση λέγεται περιοδική ή γενικότερα περιοδικό φαινόμενο.


Η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο επαναλαμβάνεται συνεχώς κατά τον ίδιο τρόπο και στον ίδιο ακριβώς χρόνο
 Η κούνια που έχουν τα μωρά ξεκίνα από ψηλά,κατεβαίνει,ανεβαίνει πάλι ψηλά,κατεβαίνει χαμηλά,επιστρέφει πάλι ψηλά στην αρχική της θέση και συνεχίζει την κίνηση της ακριβώς με τον ίδιο τρόπο.


Η κίνηση τoυ παιχνιδιού γιο-γιο επαναλαμβάνεται σε ίσα χρονικά διαστήματα.Άρα είναι μία περιοδική κίνηση
 Το γιο-γιο είναι ένα παιχνίδι για παιδιά.Το παιδί κρατάει το σχοινί από την ελεύθερη άκρη και αφήνει το δίσκο να κινηθεί.Το σχοινί τυλίγεται και ξετυλίγεται γύρω από το αυλάκι πολλές φορές με τον ίδιο ακριβώς τρόπο.Οι κινήσεις της Γης γύρω από τον Ήλιο,της κούνιας και του γιο-γιου επαναλαμβάνονται σε ίσα χρονικά διαστήματα.Αυτές οι κινήσεις ονομάζονται περιοδικές κινήσεις.
Το φως του φάρου ανάβει και σβήνει σε ορισμένα χρονικά διαστήματα με κάποιο ρυθμό
 Περιοδική κίνηση ονομάζεται η κίνηση που επαναλαμβάνεται σε ίσα χρονικά διαστήματα.Άλλα παραδείγματα περιοδικών κινήσεων είναι η ομαλή κυκλική κίνηση,ο μυς της καρδιάς και το ηλεκτροκαρδιογράφημα.
 Το <<φλας>> του αυτοκινήτου ανάβει και σβήνει σε ορισμένα χρονικά διαστήματα με κάποιο ρυθμό.Το ίδιο συμβαίνει και με το φως ενός φάρου.
 Η εκπομπή του φωτός,που διακόπτεται με ορισμένο ρυθμό,είναι επίσης ένα περιοδικό φαινόμενο.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΡΙΟΔΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ

 Άλλα τέτοια φαινόμενα είναι η κυκλοφορία του αίματος μας,το αναβοσβήσιμο του <<φλας>> ενός αυτοκινήτου,το ημερονύχτιο,το δρομολόγιο ενός λεωφορείου,η παλλίροια του Ευρίπου,η τριχόπτωση που παρατηρείται σε μερικά ζώα,τα μελτέμια του Αιγαίου κ.α.

Περιοδικά φαινόμενα ονομάζονται τα φαινόμενα που  εξελίσσονται και  επαναλαμβάνονται το ίδιο σε ίσα σταθερά χρονικά διαστήματα
  Περιοδικά φαινόμενα ονομάζονται τα φαινόμενα που  εξελίσσονται και  επαναλαμβάνονται το ίδιο σε ίσα σταθερά χρονικά διαστήματα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ

  Παραδείγματα περιοδικών φαινομένων είναι: 
1) Η κίνηση  της Γης γύρω από τον Ήλιο.
2) Το <<φλας>> του αυτοκινήτου.
3) Η  κίνηση  του εκκρεμούς.
4) Το άναμμα και το σβήσιμο  του  φάρου.
5) Η ομαλή κυκλική κίνηση.
6) Η κίνηση του εκκρεμούς. 
7) Η κίνηση της κούνιας που έχουν τα μωρά.
8) Η κίνηση του γιο-γιο.
9) Ο μυς της καρδιάς.
10) Το ηλεκτροκαρδιογράφημα.
11) Η κυκλοφορία του αίματος μας. 
12) Το ταξίδι ενός κομήτη.
13) Το ημερονύχτιο.
14) Το δρομολόγιο ενός λεωφορείου.
15)  Η παλλίροια του Ευρίπου.
16) Η τριχόπτωση που παρατηρείται σε μερικά ζώα.
17) Τα μελτέμια του Αιγαίου
18) Κυκλοφορία  του αίματος.
19) Η περιστροφή ενός  τεχνητού δορυφόρου γύρω από  τη Γη.

ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ

 Κάθε περιοδικό φαινόμενο ολοκληρώνεται μέσα σ'  ένα ορισμένο χρόνο που λέγεται περίοδος και αποτελεί  ένα από  τα βασικά χαρακτηριστικά του.Για παράδειγμα η περιστροφή  της Γης γύρω από  τον Ήλιο σε ένα  έτος,το ημερονύχτιο σε μια μέρα,η παλίρροια σε 12 ώρες κ.λπ.
 Έτσι κάθε περιοδικό φαινόμενο  χαρακτηρίζεται από την περίοδο  του (Τ).

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ


 Περίοδος (Τ) περιοδικού φαινομένου ονομάζεται το  χρονικό διάστημα που χρειάζεται για  να πραγματοποιηθεί μια φορά το φαινόμενο. 

Περίοδος περιοδικού φαινομένου ονομάζεται το  χρονικό διάστημα που χρειάζεται το σώμα για να συμπληρώσει έναν πλήρη κύκλο της κίνησής του
 Με άλλα λόγια περίοδος περιοδικού φαινομένου είναι ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών επαναλήψεων του.
 Αν σε χρόνο γίνονται Ν  επαναλήψεις  του φαινομένου,η περίοδος  είναι ίση με το πηλίκο.

                                                                             Τ=t/N 

όπου:
Τ η περίοδος περιοδικού φαινομένου.
t ο χρόνος του φαινομένου του σώματος.
Ν ο αριθμός των επαναλήψεων που κάνει το σώμα.
 Η περίοδος (Τ) περιοδικού φαινομένου είναι μονόμετρο μέγεθος.

ΜΟΝΑΔΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ

 Μονάδα μέτρησης της περιόδου είναι το 1 sec.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΙΜΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ
ΚίνησηΠερίοδος
Περίοδος περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονά της24 ώρες
Περίοδος περιστροφής της Σελήνης γύρω από την Γη27,321 ημέρες
Περίοδος περιστροφής της Γης γύρω από τον Ήλιο365,256 ημέρες
Περίοδος περιστροφής του Άρη γύρω από τον Ήλιο686,96 ημέρες

ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ

 Αν μπορούσαμε να παρακολουθήσουμε  για ίδιο χρονικό διάστημα,διαφορετικά περιοδικά φαινόμενα θα διαπιστώσουμε  ότι ο αριθμός των επαναλήψεων διαφέρει από φαινόμενο σε φαινόμενο.
 Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι επαναλήψεις περιοδικών φαινομένων σε 1 λεπτό.


Χρόνος 1 λεπτό
Περιοδικό φαινόμενο
Αριθμός επαναλήψεων
Περιστροφή ηλεκτρονίου γύρω από τον πυρήνα στο άτομο του υδρογόνου
3,9·1017
Ανεβοκατέβασμα εμβόλου μηχανής αυτοκινήτου
3·103
«Φλας» αυτοκινήτου
2·102
Χτύπος ανθρώπινης καρδιάς
70
Περιστροφή δίσκου πικ-απ
45
Περιστροφή δευτερολεπτοδείκτη
1

 Γι' αυτό και με  τη βοήθεια  του αριθμού των επαναλήψεων  του φαινομένου και του χρόνου μέσα στον οποίο πραγματοποιήθηκαν, ορίσαμε  τη συχνότητα,ένα φυσικό μέγεθος που δείχνει πόσες  φορές  επαναλαμβάνεται  ένα περιοδικό φαινόμενο στη μονάδα  του χρόνου. 
Mε  τη βοήθεια  του αριθμού των επαναλήψεων  του φαινομένου και  του χρόνου μέσα στον οποίο πραγματοποιήθηκαν,ορίσαμε  τη συχνότητα,  ένα φυσικό μέγεθος που δείχνει πόσες  φορές  επαναλαμβάνεται  ένα περιοδικό φαινόμενο στη μονάδα  του χρόνου
 Η συχνότητα αποτελεί επίσης ένα από  τα βασικά χαρακτηριστικά του περιοδικού φαινομένου. 
 Το αντίστροφο της περιόδου είναι η συχνότητα της κίνησης.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ

 Συχνότητα (f) ενός περιοδικού φαινομένου  λέγεται το φυσικό  μέγεθος που εκφράζεται με το πηλίκο του αριθμού Ν των επαναλήψεων του φαινομένου  προς τον  χρόνο t μέσα στον οποίο πραγματοποιήθηκαν.
Συχνότητα περιοδικού φαινομένου ονομάζεται ο αριθμός των επαναλήψεων που κάνει το σώμα στη μονάδα του χρόνου
 Η τιμή της συχνότητας του περιοδικού φαινομένου είναι το αντίστροφο πηλίκο  του αριθμού  των  επαναλήψεων  του  φαινομένου προς τον αντίστοιχο  χρόνο.
  
                                                                       f=N/t

όπου:
f η συχνότητα περιοδικού φαινομένου.
Ν ο αριθμός των επαναλήψεων που κάνει το σώμα.
t ο χρόνος του φαινομένου του σώματος.
 Η συχνότητα (f) περιοδικού φαινομένου είναι μονόμετρο μέγεθος.


ΜΟΝΑΔΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ

 Μονάδα μέτρησης της συχνότητας είναι το 1 Ηz.
 Το Ηz ισούται με 1 s-1 ή με 1 κύκλο/s.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΙΜΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ

ΠαράδειγμαΣυχνότητα (Hz)
Συχνότητα περιστροφής CD σε συσκευή CD Player8,33
Συχνότητα εναλλασσόμενου ρεύματος (Ευρωπαϊκά ηλεκτρικά δίκτυα)50
Συχνότητα νότας Λα (4η οκτάβα)440 
Περιοχή συχνοτήτων ακουστικών σημάτων20 - 20.000
Περιοχή συχνοτήτων ορατού φωτός4.3×1014 − 7.5×1014
ΣΧΕΣΗ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΚΑΙ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ 

 Όπως αναφέραμε η περίοδος και η συχνότητα είναι αντίστροφα μεγέθη. Επειδή σε χρόνο t=Τ το σώμα κάνει μία επανάληψη,έχουμε Ν=1.Από την σχέση f=N/t όπου t=Τ και Ν=1 προκύπτει:          

f=N/t                       ή                                              


                                                           f=1/Τ

ΓΩΝΙΑΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ


 Στην κυκλική κίνηση ορίζεται το  διανυσματικό μέγεθος γωνιακή  ταχύτητα με μέτρο ω=dφ/dt.Ένα άλλο μέγεθος των περιοδικών φαινομένων είναι η γωνιακή συχνότητα ω.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΓΩΝΙΑΚΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ


 Γωνιακή συχνότητα (ω) περιοδικού φαινομένου ονομάζεται το μέγεθος που αναφέρεται σε όλα τα περιοδικά φαινόμενα και εκφράζει τον αριθμό των επαναλήψεων ενός φαινομένου σε χρόνο 2π sec.

Γωνιακή συχνότητα (ω) περιοδικού φαινομένου ονομάζεται το μέγεθος που αναφέρεται σε όλα τα περιοδικά φαινόμενα και εκφράζει τον αριθμό των επαναλήψεων ενός φαινομένου σε χρόνο 2π sec
 Το μέτρο  της γωνιακή συχνότητας είναι:

                                                                          ω=2·π/Τ=2·π·f

όπου:
ω η γωνιακή συχνότητα του περιοδικού φαινομένου
Τ η περίοδος περιοδικού φαινομένου.
f η συχνότητα περιοδικού φαινομένου.
 Η γωνιακή συχνότητα (ω) περιοδικού φαινομένου είναι μονόμετρο μέγεθος.
Το διάνυσμα της γωνιακής  ταχύτητας στην κυκλική κίνηση
 Η γωνιακή συχνότητα δεν έχει άμεση φυσική σημασία.Στην ομαλή κυκλική κίνηση  το μέτρο της  γωνιακής  ταχύτητας που έχει ως  κυκλική κίνηση είναι ίσο με τη γωνιακή συχνότητα που έχει ως περιοδική κίνηση.

ΜΟΝΑΔΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΚΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ


 Μονάδα μέτρησης της  γωνιακής συχνότητας είναι  το 1 rad/s

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

 Είδαμε τόσα παραδείγματα περιοδικών κινήσεων.Παρατηρούμε ότι οι περιοδικές κινήσεις δεν είναι όλες όμοιες.
Τα μόρια του βατήρα πραγματοποιούν ταλάντωση
 Η τροχιά της Γης γύρω από τον Ήλιο είναι κλειστή.Δεν έχει ακραία σημεία.Αντίθετα το γιο-γιο κινείται μεταξύ δυο ακραίων σημείων.Η τροχιά του δεν είναι μια κλειστή γραμμή όπως ο κύκλος.
 Με άλλα λόγια το γιο-γιο κινείται γύρω από μια θέση σε αντίθεση με την κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο.
Ταλάντωση δύο οριζόντιων ελατηρίων
  Άρα σε μερικές περιοδικές κινήσεις  ένα σώμα κινείται παλινδρομικά μεταξύ δυο ακραίων θέσεων.Τέτοιες περιοδικές κινήσεις ανάμεσα σε δυο ακραία σημεία ονομάζονται ταλαντώσεις.
Σχηματική αναπαράσταση της αδρανειακής ταλάντωσης
 Ταλάντωση ονομάζεται η περιοδική κίνηση που γίνεται παλινδρομικά γύρω από μία θέση ισορροπίας.
Ταλάντωση ονομάζεται η περιοδική κίνηση που γίνεται παλινδρομικά γύρω από μία θέση ισορροπίας
 Η κίνηση του εκκρεμούς είναι μια ταλάντωση.Άλλα παραδείγματα ταλαντώσεων είναι η κούνια,η χορδή μιας κιθάρας,η ράβδος σ'ένα παλιό ρολόι τοίχου,η στήλη του αέρα μέσα στη φλογέρα,το έμβολο  της μηχανής ενός αυτοκινήτου,όταν αυτή λειτουργεί,μια μικρή σφαίρα που αφήσαμε στο εσωτερικό ενός ημισφαιρίου,τα άκρα ενός διαπασών που διεγείραμε,ο βατήρας μιας πισίνας καταδύσεων μετά  την προσπάθεια που αθλητή,το  εκκρεμές ενός ρολογιού τοίχου κ.α.

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

 Παρατηρούμε αρκετά σώματα που εκτελούν ταλάντωση κινούνται σε ευθεία γραμμή.Όταν η τροχιά του σώματος που κάνει ταλάντωση,είναι ευθεία γραμμή τότε έχουμε γραμμική ταλάντωση.
Η ταλάντωση ενός σώματος που είναι δεμένο στην ελεύθερη άκρη ελατηρίου εξελίσσεται πάνω σε ευθεία τροχιά.Αυτή η ταλάντωση ονομάζεται γραμμική 
 Γραμμική ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση που εξελίσσεται πάνω σε ευθεία τροχιά.
Τα μόρια της χορδής πραγματοποιούν γραμμική ταλάντωση
 Παράδειγμα γραμμικής ταλάντωσης είναι ένα σώμα που είναι δεμένο στην ελεύθερη άκρη ελατηρίου.
Ο κύλινδρος πραγματοποιεί γραμμική ταλάντωση
 Άλλα παραδείγματα γραμμικής ταλάντωσης είναι το έμβολο της μηχανής ενός αυτοκινήτου όταν αυτή λειτουργεί,ένα ξύλινος κύλινδρος που αρχικά ηρεμούσε μισοβυθισμένος σε λεκάνη με νερό αν τον βυθίσουμε λίγο περισσότερο και  τον αφήσουμε,το σφαιρίδιο ενός απλού  εκκρεμούς όταν η διαδρομή  του  είναι μικρή,τα μόρια μιας χορδής άρπας όταν  τη χτυπήσουμε κ.ά. 

ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ 

 Έχουμε ένα σώμα που είναι δεμένο στην άκρη ενός ελατηρίου.Η κίνηση του είναι μεταβαλλόμενη.Στο σώμα ασκείται το βάρος του w=mg και η δύναμη του ελατηρίου Fελ=-k·x.
Τρεις θέσεις ενός σώματος.Φυσικό μήκος,θέση ισορροπίας και τυχαία θέση
 Η δύναμη που ασκεί το ελατήριο κατά την διάρκεια της κίνησης μεταβάλλεται συνεχώς συναρτήσει του x,ενώ το βάρος παραμένει σταθερό με τιμή m·g.
Η δύναμη που ασκεί το ελατήριο κατά την διάρκεια της κίνησης μεταβάλλεται συνεχώς συναρτήσει του x,ενώ το βάρος παραμένει σταθερό με τιμή m·g
 Κατά την διάρκεια της κίνησης του το σώμα περνάει από μία θέση στην οποία η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι μηδέν.Σε αυτή τη θέση έχουμε:

                                                                                     ΣF=0

                                                                                       Fελ=w

 Η θέση αυτή ονομάζεται θέση ισορροπίας του σώματος.
  Στη θέση ισορροπίας του σώματος που είναι δεμένο στην άκρη ελατηρίου η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι μηδέν.Σε αυτή τη θέση έχουμε ΣF=0 ~Fελ=w
 Θέση ισορροπίας ονομάζεται η θέση όπου η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα μηδενίζεται.Όταν το σώμα απομακρύνεται από την θέση ισορροπίας,η δύναμη τείνει να το επαναφέρει προς αυτήν.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

 Η απλή αρμονική ταλάντωση είναι μια ειδική περίπτωση γραμμικής ταλάντωσης.
Στην απλή αρμονική ταλάντωση ένα αντικείμενο ταλαντώνεται ανάμεσα σε δύο θέσεις στον χώρο για απεριόριστο χρόνο,χωρίς απώλειες μηχανικής ενέργειας,όπως λόγω τριβών
 Κατά την κίνηση αυτή,ένα αντικείμενο ταλαντώνεται ανάμεσα σε δύο θέσεις στον χώρο για απεριόριστο χρόνο,χωρίς απώλειες μηχανικής ενέργειας,όπως λόγω τριβών.
Ένα σώμα κινείται παλινδρομικά πάνω σε ένα άξονα xOx'  μεταξύ δύο ακραίων θέσεων Α και Α' γύρω από  το σημείο  Ο,που είναι το μέσο της  τροχιάς του
 Ένα σώμα κινείται παλινδρομικά πάνω σε ένα άξονα xΟx'   μεταξύ δύο ακραίων θέσεων Α και Α' γύρω από  το σημείο Ο,που είναι το μέσο της  τροχιάς του.
Απλή  αρμονική ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση κατά την οποία η τροχιά είναι ευθύγραμμη και η απομάκρυνση του κινητού x από τη θέση ισορροπίας του O είναι ημιτονοειδής(αρμονική) συνάρτηση του χρόνου
 Η  απομάκρυνση του σώματος  είναι x.

Η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του κινητού x  συνάρτηση του χρόνου t
 Απλή  αρμονική ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση κατά την οποία η τροχιά είναι ευθύγραμμη και η απομάκρυνση του κινητού x από τη θέση ισορροπίας του O είναι ημιτονοειδής(αρμονική) συνάρτηση του χρόνου,δηλαδή μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου σύμφωνα με την σχέση:

                                                                       x=Α·ημω·t

 Το Α είναι η μέγιστη απομάκρυνση,δηλαδή η μέγιστη απόσταση από το σημείο Ο στην οποία φτάνει το κινητό,και ονομάζεται πλάτος της ταλάντωσης.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

 Παραδείγματα απλής  αρμονική ταλάντωση είναι:
α) Το σύστημα ιδανικού ελατηρίου-μάζας.
β) Το απλό εκκρεμές για μικρές γωνίες εκτροπής.
γ) Ένας κατακόρυφος ξύλινος κύλινδρος βυθισμένος εν μέρει σε υγρό κ.ά. 
Η απλή αρμονική ταλάντωση ενός συστήματος ιδανικού ελατηρίου-μάζας
 Στα παραπάνω παραδείγματα υπάρχει η προϋπόθεση ότι δεν υπάρχουν απώλειες μηχανικής ενέργειες,όπως λόγω τριβών. 
ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ
 Έστω ένα υλικό σημείο το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση στον άξονα xΟx' με θέση ισορροπίας (x=0) την αρχή του άξονα.
 Τα χαρακτηριστικά μεγέθη αυτής της κίνησης είναι: 
α) Η απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας, 
β) Το πλάτος της ταλάντωσης A,
γ) Η στιγμιαία φάση, 
δ) Η αρχική φάση φ0 της ταλάντωσης,
ε) Η κυκλική συχνότητα ω,
στ) Η περίοδος Τ  και 
ζ) Η συχνότητα f της ταλάντωσης.




Παρακαλώ αναρτήστε:

author

ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ τμήμα ΦΥΣΙΚΗΣ τομέαs ΑΣΤΡΟΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ μέλοs τηs ΕΝΩΣΗΣ ΕΛΛΗΝΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

Αποκτήστε δωρεάν ενημερώσεις!!!

ΠΑΡΑΔΙΔΟΝΤΑΙ ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΧΗΜΕΙΑΣ ΓΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΤΑΞΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΑΙ ΛΥΚΕΙΟΥ------------ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΑΣΤΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α.Ε.Ι , Τ.Ε.Ι. ΚΑΙ Ε.Μ.Π.------------ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ------------ Τηλέφωνο κινητό : 6974662001 ------------ Τηλέφωνο οικίας :210 7560725 ------------ Email : sterpellis@gmail.com

ΠΑΡΑΔΙΔΟΝΤΑΙ ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΧΗΜΕΙΑΣ ΓΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΤΑΞΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΑΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΑΣΤΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α.Ε.Ι , Τ.Ε.Ι. ΚΑΙ Ε.Μ.Π. ------------------------------------ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ Τηλέφωνο κινητό : 6974662001 Τηλέφωνο οικίας :210 7560725 Email : sterpellis@gmail.com